Как найти все пары действительных чисел

Найдите все пары действительных чисел $%(x; y) $% которые удовлетворяют неравенству
$%sqrt{x+y-1} +x^4+y^4-1/8≤0$%

Я рассуждал следующим образом. $%x+y geq 1$%, так как $%x+y-1$% находится под корнем. $%x$% и $%y$% оба меньше единицы, так как в противном случае $%x^{4}$% или $%y^{4}$% будут больше 1 и заданное неравенство будет неверно. Я взял $%x+y=1$% и получил систему

$%x+y=1$%;

$% x^{4} + y^{4} leq frac{1}{8} $%

Преобразуем неравенство, вводя замены: $%x+y=a$%; $%xy=b$%.

Получим выражение $% (a^{2}-2b) ^{2}-2 b^{2}leq frac{1}{8}$%. Подставим $%x+y=a=1$% в неравенство и получим $%(1-2b)^2-2 b^{2} leq frac{1}{8}$%

Раскрыв скобки получим $%2 b^{2}-4b+ frac{7}{8} leq 0$%

Решив его получим $%frac{1}{4} leq b leq frac{7}{4} $%.

После обратной замены получается система:

$%xy geq frac{1}{4}; xy leq frac{7}{4} ; x+y=1$% .

Решим её. Первое неравенство: $%y=1-x$%; $%x- x^{2} geq frac{1}{4}$%;
$%4 x^{2} -4x+1 leq 0$%; $% (2x-1)^{2} leq 0$%; получается единственное решение $%x= frac{1}{2}$%.

Второе неравенство:
$%x- x^{2} leq frac{7}{4} $%; $%4 x^{2}- 4x +7 geq 0$%. Его решением являются все допустимые действительные числа, так как дискриминант отрицательный.

Пересекая все решения этой системы неравенств и уравнения получаем $%x= frac{1}{2} $% . Тогда $%y= frac{1}{2}$%.

Единственное в чём я сомневаюсь, что у меня на мой взгляд очень слабое обоснование положения, что $%x+y=1$%, или даже его вообще нет Или я вообще не верно рассуждал? Заранее благодарен. С уважением.

ДВИ в МГУ 2022 – 3 поток, Вариант 223 Задание 6 № задачи в базе 3419

ФИПИ 2023 🔥 …

Примечание: Найдите все все пары действительных чисел x, y, удовлетворяющих соотношению ! ДВИ в МГУ 2022 – 3 поток, Вариант 223 Задание 6

Рейтинг сложности задачи:

Это хитрая задача. Возведем левую часть неравенства в квадрат и найдем экстремум :

[math]big [(x^2-6x+18)(y^2+14y+50)]’_x=2(x-3)(y^2+14y+50)=0[/math]

[math]big [(x^2-6x+18)(y^2+14y+50)]’_y=2(y+7)(x^2-6x+18)=0[/math]

квадратные уравнения в скобках – суть параболы, не имеющие пересечения с осями (корни мнимые)

Остается система

[math]x-3=0[/math]

[math]y+7=0[/math]

Откуда [math]x=3 , ;quad y=-7[/math]

Если подставить в [math](x^2-6x+18)(y^2+14y+50)[/math] , то получим [math]9[/math] или [math]3^2[/math]

То есть условию задачи подчиняется только одна точка экстремума (легко показать, что это глобальный минимум).

Следовательно, ответ [math]x=3, ; quad y=-7[/math]

2019-08-15

Главная » СТАТЬИ » ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ » Задача с параметрами. ДВИ в МГУ 2019

Инна |
Отзывов (2)