Как найти все принадлежащие промежутки корни уравнения

Отбор корней в тригонометрическом уравнение

В этой статье и постараюсь объяснить 2 способа отбора корней в тригонометрическом уравнение: с помощью неравенств и с помощью тригонометрической окружности. Перейдем сразу к наглядному примеру и походу дела будем разбираться.

а) Решить уравнение sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-7Pi/2; -2Pi]

Решим пункт а.

Воспользуемся формулой приведения для синуса sin(Pi/2+x) = cos(x)

sqrt(2)cos^2x – cosx = 0

cosx(sqrt(2)cosx – 1) = 0

x1 = Pi/2 + Pin, n ∈ Z

sqrt(2)cosx – 1 = 0

x2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z

x2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z

Решим пункт б.

1) Отбор корней с помощью неравенств

Здесь все делается просто, полученные корни подставляем в заданный нам промежуток [-7Pi/2; -2Pi], находим целые значения для n.

-7Pi/2 меньше или равно Pi/2 + Pin меньше или равно -2Pi

Сразу делим все на Pi

-7/2 меньше или равно 1/2 + n меньше или равно -2

-7/2 – 1/2 меньше или равно n меньше или равно -2 – 1/2

-4 меньше или равно n меньше или равно -5/2

Целые n в этом промежутку это -4 и -3. Значит корни принадлежащие этому промежутку буду Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2

Аналогично делаем еще два неравенства

-7Pi/2 меньше или равно Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-15/8 меньше или равно n меньше или равно -9/8

Целых n в этом промежутке нет

-7Pi/2 меньше или равно -Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-13/8 меньше или равно n меньше или равно -7/8

Одно целое n в этом промежутку это -1. Значит отобранный корень на этом промежутку -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.

Значит ответ в пункте б: -7Pi/2, -5Pi/2, -9Pi/4

2) Отбор корней с помощью тригонометрической окружности

Чтобы пользоваться этим способом надо понимать как работает эта окружность. Постараюсь простым языком объяснить как это понимаю я. Думаю в школах на уроках алгебры эта тема объяснялась много раз умными словами учителя, в учебниках сложные формулировки. Лично я понимаю это как окружность, которую можно обходить бесконечное число раз, объясняется это тем, что функции синус и косинус периодичны.

Обойдем раз против часовой стрелки

Обойдем 2 раза против часовой стрелки

Обойдем 1 раз по часовой стрелки (значения будут отрицательные)

Вернемся к нашем вопросу, нам надо отобрать корни на промежутке [-7Pi/2; -2Pi]

Чтобы попасть к числам -7Pi/2 и -2Pi надо обойти окружность против часовой стрелки два раза. Для того, чтобы найти корни уравнения на этом промежутке надо прикидывать и подставлять.

Рассмотри x = Pi/2 + Pin. Какой приблизительно должен быть n, чтобы значение x было где-то в этом промежутке? Подставляем, допустим -2, получаем Pi/2 – 2Pi = -3Pi/2, очевидно это не входит в наш промежуток, значит берем меньше -3, Pi/2 – 3Pi = -5Pi/2, это подходит, попробуем еще -4, Pi/2 – 4Pi = -7Pi/2, также подходит.

Рассуждая аналогично для Pi/4 + 2Pin и -Pi/4 + 2Pin, находим еще один корень -9Pi/4.

Сравнение двух методов.

Первый способ (с помощью неравенств) гораздо надежнее и намного проще для пониманию, но если действительно серьезно разобраться с тригонометрической окружностью и со вторым методом отбора, то отбор корней будет гораздо быстрее, можно сэкономить около 15 минут на экзамене.

Как решать задание 13

О чем задача?

Задачи на решение тригонометрических уравнений, более сложных, чем в задании 5. В большинстве задач требуется не только решить уравнение, но и отобрать корни, принадлежащие определенному отрезку.

Как решать?

Шаг 1. Найдите область определения

Шаг 2. Приведите уравнение к виду простейших тригонометрических уравнений

Для того чтобы привести уравнение к виду простейших тригонометрических уравнений, применяйте следующие стандартные приемы:

Мы свели исходное уравнение к совокупности простейших тригонометрических уравнений [ cos x = − 1 , cos x = − 1 2 . left[begin cos x = -1 <,>\cos x = -frac<1> <2><.>endright. [ cos x = − 1 , cos x = − 2 1 ​ . ​

Шаг 3. Решите простейшие тригонометрические уравнения

О решении простейших тригонометрических уравнений читайте в отдельной статье .

Убедитесь, что найденные вами корни принадлежат области определения уравнения.

Остается решить уравнение cos x = − 1 2 cos x =-frac<1> <2>cos x = − 2 1 ​ .

Шаг 4. Выберите корни, принадлежащие отрезку, данному в условии

Корни, принадлежащие данному в условии отрезку, можно найти либо методом перебора, либо путем решения неравенства относительно k k k .

Найдем подходящие корни методом перебора. Для этого рассмотрим две серии корней по отдельности.

Задание №12. Уравнения — профильный ЕГЭ по математике

Задание 12 Профильного ЕГЭ по математике – это решение уравнений. Чаще всего, конечно, это тригонометрические уравнения. Но встречаются и другие типы – показательные, логарифмические, комбинированные.

Сейчас задание 12 Профильного ЕГЭ на решение уравнения состоят из двух пунктов: собственно решения и отбора корней на определенном отрезке.

Что нужно знать, чтобы справиться с этой задачей на ЕГЭ? Вот необходимые темы для повторения.

Что необходимо помнить при решении уравнений?

1) Помним про область допустимых значений уравнения! Если в уравнении есть дроби, корни, логарифмы или арксинусы с арккосинусами — сразу записываем ОДЗ. А найдя корни, проверяем, входят они в эту область или нет. Есть в уравнении есть — помним, что он существует, только если

2) Стараемся записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

3) Если есть возможность сделать замену переменной — делаем замену переменной! Уравнение сразу станет проще.

4) Если еще не выучили формулы тригонометрии — пора это сделать! Много формул не нужно. Самое главное — тригонометрический круг, формулы синусов и косинусов двойных углов, синусов и косинусов суммы (разности), понижения степени. Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо знать, как они получаются.

5) Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений , где — целое, а найти надо корни на отрезке На указанном промежутке лежит точка . От нее и будем отсчитывать. Получим:

6) Получив ответ, проверьте его правильность. Просто подставьте найденные решения в исходное уравнение!

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Упростим левую часть по формуле приведения.

Вынесем за скобки. Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок

Видим, что указанному отрезку принадлежат решения

Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений , где — целое, а найти надо корни на отрезке На указанном промежутке лежит точка От нее и отсчитываем.

2. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Это уравнение — комбинированное. Кроме тригонометрии, применяем свойства степеней.

Степени равны, их основания равны. Значит, равны и показатели.

Это ответ в пункте (а).

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку

Отметим на тригонометрическом круге отрезок и найденные серии решений.

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки и из серии

Точки серии не входят в указанный отрезок.

А из серии в указанный отрезок входит точка

Ответ в пункте (б):

3. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Применим формулу косинуса двойного угла:

Перенесем всё в левую часть уравнения и разложим по формуле разности квадратов.

Обратите внимание: мы отметили серии решений на тригонометрическом круге. Это помогло нам увидеть, как их записать одной формулой.

б) Для разнообразия отберем корни на отрезке с помощью двойного неравенства.

Какой способ отбора корней лучше — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства? У каждого из них есть «плюсы» и «минусы».

Пользуясь тригонометрическим кругом, вы не ошибетесь. Вы видите и интервал, и сами серии решений. Это наглядный способ.

Зато, если интервал больше, чем один круг, удобнее отбирать корни с помощью двойного неравенства. Например, надо найти корни из серии на отрезке Это больше 10 кругов! Конечно, в таком случае лучше решить двойное неравенство.

4. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Самое сложное здесь — область допустимых значений (ОДЗ). Условие заметно сразу. А условие появляется, поскольку в уравнении есть

Уравнение равносильно системе:

Отберем решения с помощью тригонометрического круга. Нам нужны те серии решений, для которых , то есть те, что соответствуют точкам справа от оси .

Ответ в пункте а)

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок

Как обычно, ориентируемся на начало круга. Видим, что указанному промежутку принадлежат точки

5. а) Решите уравнение

б) Найдите корни, принадлежащие отрезку

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Это значит, что уравнение равносильно системе:

Решим эту систему с помощью тригонометрического круга. Отметим на нем углы, для которых или . Заметим, что среди них находятся и углы, для которых

Числа серии не могут быть корнями исходного уравнения, т.к. для этих чисел не выполнено условие . Остальные серии решений нас устраивают.

Тогда в ответ в пункте (а) войдут серии решений:

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку любым способом — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства.

[spoiler title=”источники:”]

http://lampa.io/p/%D0%BA%D0%B0%D0%BA-%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B0%D1%82%D1%8C-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5-13-000000009d385cbc7312b1ad6da2a9ec

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/zadanie-12-profilnogo-ege-po-matematike-uravneniya/

[/spoiler]

Автор проекта:

Шелкова Полина,

Класс: 10

Руководитель:

Злобова Людмила Викторовна,

учитель математики

ВВЕДЕНИЕ

Слово «тригонометрия» греческое, оно переводится как «измерение треугольников» (τρίγονον – «тригон» – треугольник и μετρειν – «метрео» – измеряю).

Тригонометрия, как и всякая другая наука, выросла из практической деятельности человека. Потребности развивающегося мореплавания, для которого требовалось умение правильно определять курс корабля в открытом море по положению небесных светил, оказали большое влияние на развитие астрономии и тесно связанной с ней тригонометрией. Предполагают, что основополагающее значение для развития тригонометрии в эпоху ее зарождения, имели работы древнегреческого астронома Гиппарха Никейского (180-125 лет до н. э.) (прил. №3). Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд (прил. №2). Т.е. таблицы, которые выражают длину хорды для различных центральных углов в круге постоянного радиуса, что является аналогом современных таблиц тригонометрических функций. Впрочем, до нас не дошли оригинальные таблицы Гиппарха, как и почти все, что им написано. И мы, можем составить себе о них представление главным образом по сочинению «Великое построение» или «Альмагесту» знаменитого астронома Клавдия Птолемея, жившего в середине II века н.э.

Несмотря на то, что в работах ученых древности нет «тригонометрии» в строгом смысле этого слова, но по существу они, пользуясь известными им средствами элементарной геометрии, решали те задачи, которыми занимается тригонометрия. Например, задачи на решение треугольников (определение всех сторон и углов треугольника по трем его известным элементам), теоремы Евклида и Архимеда представленные в геометрическом виде, эквивалентны специфическим тригонометрическим формулам. Главным достижением средневековой Индии стала замена хорд синусами. Это позволило вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии, как учению о тригонометрических величинах.

Учёные стран Ближнего и Среднего Востока с VIII века развили тригонометрию своих предшественников. Уже в середине IX века среднеазиатский учёный аль-Хорезми написал сочинение «Об индийском счёте». После того, как трактаты мусульманских ученых были переведены на латынь, многие идеи греческих, индийских и мусульманских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки. В дальнейшем потребности географии, геодезии, военного дела, способствовали развитию тригонометрии. Особенно усиленно шло ее развитие в средневековое время. Большая заслуга в формировании тригонометрии как отдельной науки принадлежит азербайджанскому ученому Насир ад-Дину ат-Туси (1201-1274), написавшему «Трактат о полном четырехстороннике». Творения ученых этого периода привели к выделению тригонометрии как нового самостоятельного раздела науки. Однако в их трудах еще не была введена необходимая символика. Современный вид тригонометрия получила в трудах Леонарда Эйлера (1707-1783). На основании трудов Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности (прил. №4). Тригонометрические вычисления применяются во многих областях человеческой деятельности: в геометрии, в физике, в астрономии, в архитектуре, в геодезии, инженерном деле, в акустике, в электронике и т.д.

I РАЗДЕЛ (теоретический)

Тема проекта и её актуальность: почему я выбрала тему «Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях»?

• Расширить и углубить свои знания, полученные в курсе геометрии 8-9 класса.
• Тригонометрические уравнения рассматриваются в курсе алгебры и начал математического анализа 10-11 класса.
• Тригонометрические уравнения включены в КИМы ЕГЭ по математике.

Решение тригонометрических уравнений и отбор корней, принадлежащих заданному промежутку – это одна из сложнейших тем математики, которая выносится на Единый Государственный Экзамен. По результатам анкетирования многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать тригонометрические уравнения и особенно затрудняются в отборе корней, принадлежащих промежутку. Немаловажно также знать, тригонометрические формулы, табличные значения тригонометрических функций для решения целого ряда заданий Единого Государственного Экзамена по математике.

Цель проекта: изучить способы отбора корней в тригонометрических уравнениях и выбрать для себя наиболее рациональные подходы для качественной подготовки к ЕГЭ.

Задачи:

• познакомиться с историческими сведениями о возникновении тригонометрии, как науки;
• изучить соответствующую литературу;
• научиться решать тригонометрические уравнения;
• найти теоретический материал и изучить методы отбора корней в тригонометрических уравнениях;
• научиться отбирать корни в тригонометрических уравнениях, принадлежащим заданному промежутку;
• подготовиться к ЕГЭ по математике.

Приёмы отбора корней тригонометрического уравнения на заданном промежутке.

При решении тригонометрических уравнений предлагается провести отбор корней из множества значений неизвестного. В тригонометрическом уравнении отбор корней можно осуществлять следующими способами: арифметическим, алгебраическим, геометрическим и функционально-графическим.

Арифметический способ отбора корней состоит в непосредственной подстановке полученных корней в уравнение, учитывая имеющиеся ограничения, при переборе значений целочисленного параметра.

Алгебраический способ предполагает составление неравенств, соответствующих дополнительным условиям, и их решение относительно целочисленного параметра.

Геометрический способ предполагает использование при отборе корней двух вариантов: тригонометрической окружности или числовой прямой. Тригонометрическая окружность более удобна, когда речь идет об отборе корней на промежутке или в случае, когда значение обратных тригонометрических функций, входящих в решения, не являются табличными. В остальных случаях предпочтительнее модель числовой прямой. Числовую прямую удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит 2 или требуется найти наибольший отрицательный или наименьший положительный корень уравнения.

Функционально-графический способ предполагает отбор корней осуществлять с использование графиков тригонометрических функций. Чтобы использовать данный способ отбора корней, требуется умение схематичного построения графиков тригонометрических функций.

II РАЗДЕЛ (практический)

Покажу практически три наиболее эффективных и рациональных, с моей точки зрения, метода отбора корней на примере решения следующего тригонометрического уравнения:

sinx=cos2x;

sinx−cos2x=0; [применили формулу двойного угла: cos2x = cos²x−sin²x]

sinx−(cos²x−sin²x)=0;

sinx−(1−sin²x−sin²x)=0;

sinx−(1−2sin²x)=0;

2sin²x+sinx−1=0.

Введем новую переменную: sinx = t, -1 ≤ t ≤1, получим

2t²+t-1=0

D=b²-4ac, т.е. D=9

t₁ = -1, t₂ = ½.

Вернемся к замене:

б) Рассмотрим три способа отбора корней, попадающих в отрезок .

1 способ: обратимся к единичной окружности. Отметим на ней дугу, соответствующую указанному отрезку, т.е. выполним отбор корней арифметическим способом и с помощью тригонометрической окружности:

2 способ: указанный отрезок соответствует неравенству: Подставим в него полученные корни:

3 способ: разместим корни уравнения на числовой прямой. Сначала отметим корни, подставив вместо n, и нуль (0), а потом добавим к каждому корню периоды.

Нам останется только выбрать корни, которые попали в нужный нам отрезок.

Ответ:

(Более подробный пример в приложении №1)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При работе над моим проектом я изучила методы решения тригонометрических уравнений и способы отбора корней тригонометрических уравнений. Выяснила для себя положительные и отрицательные моменты. При апробации этих подходов в отборе корней тригонометрического уравнения, понимаешь, что каждый из этих способов удобен по-своему в том или ином случае. Например, алгебраический способ (решение неравенством) наиболее эффективен, когда промежуток для отбора корней достаточно большой, в тоже время он дает практически стопроцентное нахождение целочисленного параметра для вычисления корней, а применение арифметического способа приводит к громоздким вычислениям. При отборе корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям, т.е. когда корни уравнения принадлежат заданному промежутку, мне проще и нагляднее получить корни с помощью тригонометрической окружности, а проверить себя можно арифметическим способом. Замечу, что при решении тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, возрастают, если в уравнении приходится учитывать ОДЗ. Как показывает практика и анкетирование моих одноклассников, из четырёх возможных методов отбора корней тригонометрического уравнения по дополнительным условиям, наиболее предпочтительным является отбор корней по окружности. Анкетирование проходили 12 респондентов, изучающих тригонометрию (прил. №5). Большинство из них отвечали, что этот раздел математики достаточно сложный: большой объем информации, очень много формул, табличных значений, которые нужно знать и уметь применять на практике. Еще как одна из проблем – небольшое количество времени, отведенное на изучение этого сложного раздела математики. И я разделяю их мнение. При такой сложности, многие считают, что тригонометрия важный раздел математики, который находит применение в других науках и практической деятельности человека.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб для общеобразоват. организаций: базовый и углубленный уровни/ [С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников и др.]-3 -е изд.- М.: Просвещение, 2016.
2. Алгебра и начала математического анализа: Учеб для 10-11 кл.общеобразоват. организаций / А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницин и др. под редакцией А.Н.Колмогорова – М. Просвещение, 2017.
3. С.В Кравцев и др. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных – М: Издательство: «Экзамен», 2005.
4. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. – Тригонометрические уравнения: методы решения и отбор корней. – М.: Математика ЕГЭ, 2012.

Электронные ресурсы

1. https://ru.wikipedia.org/wiki/Тригонометрия
2. https://www.yaklass.ru/p/ege/matematika/podgotovka-k-ege-po-matematike-profilnyi-uroven-10744/trigonometricheskie-uravneniia-s-ogranicheniiami-zadacha-13-536475/re-a4b9cc95-fe96-40c2-b70c-f46548b726a0
3. https://mat.1sept.ru/1999/no19.htm

4. Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

5. https://math-ege.sdamgia.ru/
6. https://alexlarin.net/ege21.html
7. https://www.academia.edu/10962821/МАТЕМАТИКА_ЕГЭ_2012_Тригонометрические_уравнения_методы_решений_и_отбор_корней_типовые_задания_С1
8. http://teacher-andreeva.ru/wp-content/uploads/2016/03/тригоном-ур-я.pdf
9. https://reshimvse.com/article.php?id=100

В этой статье и постараюсь объяснить 2 способа отбора корней в тригонометрическом уравнение: с помощью неравенств и с помощью тригонометрической окружности. Перейдем сразу к наглядному примеру и походу дела будем разбираться.

а) Решить уравнение sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-7Pi/2; -2Pi]

Решим пункт а.

Воспользуемся формулой приведения для синуса sin(Pi/2+x) = cos(x)

sqrt(2)cos^2x = cosx

sqrt(2)cos^2x – cosx = 0

cosx(sqrt(2)cosx – 1) = 0

cosx = 0

x1 = Pi/2 + Pin, n ∈ Z

sqrt(2)cosx – 1 = 0

cosx = 1/sqrt(2)

cosx = sqrt(2)/2

x2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z

x2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z

Решим пункт б.

1) Отбор корней с помощью неравенств

Здесь все делается просто, полученные корни подставляем в заданный нам промежуток [-7Pi/2; -2Pi], находим целые значения для n.

-7Pi/2 меньше или равно Pi/2 + Pin меньше или равно -2Pi

Сразу делим все на Pi

-7/2 меньше или равно 1/2 + n меньше или равно -2

-7/2 – 1/2 меньше или равно n меньше или равно -2 – 1/2

-4 меньше или равно n меньше или равно -5/2

Целые n в этом промежутку это -4 и -3. Значит корни принадлежащие этому промежутку буду Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2

Аналогично делаем еще два неравенства

-7Pi/2 меньше или равно Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-15/8 меньше или равно n меньше или равно -9/8

Целых n в этом промежутке нет

-7Pi/2 меньше или равно -Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-13/8 меньше или равно n меньше или равно -7/8

Одно целое n в этом промежутку это -1. Значит отобранный корень на этом промежутку -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.

Значит ответ в пункте б: -7Pi/2, -5Pi/2, -9Pi/4

2) Отбор корней с помощью тригонометрической окружности

Чтобы пользоваться этим способом надо понимать как работает эта окружность. Постараюсь простым языком объяснить как это понимаю я. Думаю в школах на уроках алгебры эта тема объяснялась много раз умными словами учителя, в учебниках сложные формулировки. Лично я понимаю это как окружность, которую можно обходить бесконечное число раз, объясняется это тем, что функции синус и косинус периодичны.

Обойдем раз против часовой стрелки

Обойдем 2 раза против часовой стрелки

Обойдем 1 раз по часовой стрелки (значения будут отрицательные)

Вернемся к нашем вопросу, нам надо отобрать корни на промежутке [-7Pi/2; -2Pi]

Чтобы попасть к числам -7Pi/2 и -2Pi надо обойти окружность против часовой стрелки два раза. Для того, чтобы найти корни уравнения на этом промежутке надо прикидывать и подставлять.

Рассмотри x = Pi/2 + Pin. Какой приблизительно должен быть n, чтобы значение x было где-то в этом промежутке? Подставляем, допустим -2, получаем Pi/2 – 2Pi = -3Pi/2, очевидно это не входит в наш промежуток, значит берем меньше -3, Pi/2 – 3Pi = -5Pi/2, это подходит, попробуем еще -4, Pi/2 – 4Pi = -7Pi/2, также подходит.

Рассуждая аналогично для Pi/4 + 2Pin и -Pi/4 + 2Pin, находим еще один корень -9Pi/4.

Сравнение двух методов.

Первый способ (с помощью неравенств) гораздо надежнее и намного проще для пониманию, но если действительно серьезно разобраться с тригонометрической окружностью и со вторым методом отбора, то отбор корней будет гораздо быстрее, можно сэкономить около 15 минут на экзамене.

Просмотры: 157076 |
Статью добавил: slava191 |
Категория: математика

Слайд 1

Методы отбора корней в тригонометрических уравнениях на заданном промежутке

Слайд 2

Баллы за задание №12 (С-1) 2015 2018 2020 2021 1 балл 90,7% 73, 7% 92,2% 100% 2 балла 69,4% 51,1% 83,5% 100%

Слайд 5

Обязательный минимум знаний sin x = a , -1  a  1 (  a   1) x = arcsin a + 2  n, n  Z x =  – arcsin a + 2  n, n  Z sin x = 1 x =  /2 + 2  k, k  Z sin x = – 1 x = –  /2 + 2  k, k  Z sin x = 0 x =  k, k  Z y x y x x y

Слайд 6

Обязательный минимум знаний cos x = a , -1  a  1 (  a   1) x =  arccos a + 2  n, n  Z arccos (- a) =  – arccos a cos x = 1 x = 2  k, k  Z cos x = – 1 x =  + 2  k, k  Z cos x = 0 x =  /2 +  k, k  Z y x y x y x

Слайд 7

Обязательный минимум знаний tg x = a , a  R x = arctg a +  n, n  Z arctg (- a) = – arctg a ctg x = a , a  R x = arcctg a +  n, n  Z arctg (- a) =  – arctg a

Слайд 8

Рекомендации по решению тригонометрических уравнений Свести уравнение к простейшему Некоторые методы решения тригонометрических уравнений Применение тригонометрических формул Использование формул сокращённого умножения Разложение на множители Сведение к квадратному уравнению относительно sin x, cos x, tg x Введением вспомогательного аргумента Делением обеих частей однородного уравнения первой степени ( asin x +bcosx = 0 ) на cos x Делением обеих частей однородного уравнения второй степени (a sin 2 x +bsin x cos x+ c cos 2 x =0) на cos 2 x

Слайд 9

Различные способы отбора корней cos 2x = ½, x  [-  /2; 3  /2] 2x = ± arccos ½ + 2  n, n  Z 2x = ±  /3 + 2  n, n  Z x = ±  /6 +  n, n  Z Отберём корни с помощью тригонометрической окружности Ответ : –  /6;  /6; 5  /6; 7  /6 Найти корни уравнения, принадлежащие данному промежутку (с помощью тригонометрической окружности)

Слайд 10

Различные способы отбора корней Найти корни уравнения, принадлежащие данному промежутку (арифметический, метод перебора) sin 3x = √3/2, x  [-  /2;  /2] 3x = ( – 1) k  /3 +  k, k  Z x = ( – 1) k  /9 +  k/3, k  Z Отберём корни с помощью перебора значений k: k = 0, x =  /9 – принадлежит промежутку k = 1, x = –  /9 +  /3 = 2  /9 – принадлежит промежутку k = 2, x =  /9 + 2  /3 = 7  /9 – не принадлежит промежутку k = – 1, x = –  /9 –  /3 = – 4  /9 – принадлежит промежутку k = – 2, x =  /9 – 2  /3 = – 5  /9 – не принадлежит промежутку Ответ: -4  /9;  /9; 2  /9

Слайд 11

Различные способы отбора корней tg 3x = – 1 , x  (-  /2;  ) 3x = –  /4 +  n, n  Z x = –  /12 +  n/3, n  Z Отберём корни с помощью неравенства: Ответ: – 5  /12; –  /12;  /4; 7  /12; 11  /12 –  /2 < –  /12 +  n/3 <  , – 1/2 < – 1/12 + n/3 < 1, – 1/2 + 1/12 < n/3 < 1+ 1/12, – 5/12 < n/3 < 13/12, – 5/4 < n < 13/4, n  Z, n = – 1; 0; 1; 2; 3 Найти корни уравнения, принадлежащие данному промежутку ( с помощью неравенства) n = – 1, x = –  /12 –  /3 = – 5  /12 n = 0, x = –  /12 n = 1, x = –  /12 +  /3 =  /4 n = 2, x = –  /12 + 2  /3 = 7  /12 n = 3, x = –  /12 +  = 11  /12

Слайд 12

Различные способы отбора корней Найти корни уравнения, принадлежащие данному промежутку ( с помощью графика) cos x = – √2/2, x  [ – 4; 5  /4] x =  arccos (– √2/2) + 2  n, n  Z x =  3  /4 + 2  n, n  Z Отберём корни с помощью графика: Ответ:  5  /4;  3  /4 x = –  /2 –  /4 = – 3  /4; x = –  –  /4 = – 5  /4

Слайд 13

1. Решить уравнение 7 2cosx = 49 sin2x и указать его корни на отрезке [  ; 5  /2] 7 2cosx = 49 sin2x, 7 2cosx = 7 2sin2x, 2cos x = 2sin 2x, cos x – 2 sinx cosx = 0, cos x (1 – 2sinx) = 0, cos x = 0 , x =  /2 +  k, k  Z или 1 – 2sinx = 0, sin x = ½, x =  /6 + 2  k, k  Z x = 5  /6 + 2  k, k  Z Решим уравнение: Проведём отбор корней с помощью тригонометрической окружности: Ответ: а)  /2 +  k, k  Z, x1 =  /6 + 2  k, k  Z; x2 = 5  /6 + 2  k, k  Z б) 3  /2; 5  /2; 13  /6 x = 2  +  /6 = 13  /6

Слайд 14

4cos 2 x + 8 cos (x – 3  /2) +1 = 0 4cos 2 x + 8 cos (3  /2 – x) +1 = 0, 4cos 2 x – 8 sin x +1 = 0, 4 – 4sin 2 x – 8 sin x +1 = 0, 4sin 2 x + 8sin x – 5 = 0, D/4 = 16 + 20 = 36, sin x = – 2,5  или sin x = ½ x1=  /6 + 2  k, k  Z x2 = 5  /6 + 2  k, k  Z 2. Решить уравнение 4cos 2 x + 8 cos (x – 3  /2) +1 = 0 Найти его корни на отрезке [3  ; 9  2]

Слайд 15

Проведем отбор корней на отрезке [3  ; 9  2] (с помощью графиков) x = 4  +  /6 = 25  /6 Ответ: а) x1 =  /6 + 2  k, k  Z x2 = 5  /6 + 2  k, k  Z б) 25  /6 sin x = ½ Построим графики функций y = sin x и y = ½

Слайд 16

3. Решить уравнение 4 – cos 2 2x = 3 sin 2 2x + 2 sin 4x Найти его корни на отрезке [0; 1] 4 – cos 2 2x = 3 sin 2 2x + 2 sin 4x 4 (sin 2 2x + cos 2 2x ) – cos 2 2x = 3 sin 2 2x + 4 sin 2x cos 2x, sin 2 2x + 3 cos 2 2x – 4 sin 2x cos 2x = 0 Если cos 2 2x = 0, то sin 2 2x = 0, что невозможно, поэтому cos 2 2x  0 и обе части уравнения можно разделить на cos 2 2x. tg 2 2x + 3 – 4 tg 2x = 0, tg 2 2x – 4 tg 2x + 3= 0, tg 2x = 1, 2x =  /4 +  n, n  Z x =  /8 +  n/2, n  Z или tg 2x = 3, 2x = arctg 3 +  k, k  Z x = ½ arctg 3 +  k/2, k  Z

Слайд 17

Проведём отбор корней на отрезке [0; 1] 4 – cos 2 2x = 3 sin 2 2x + 2 sin 4x x =  /8 +  n/2, n  Z или x = ½ arctg 3 +  k/2, k  Z Так как 0 < arctg 3<  /2, 0 < ½ arctg 3<  /4, то ½ arctg 3 является решением Так как 0 <  /8 <  /4 < 1,значит  /8 также является решением Другие решения не попадут в промежуток [0; 1], так как они получаются из чисел ½ arctg 3 и  /8 прибавлением чисел, кратных  /2. Ответ: а)  /8 +  n/2, n  Z ; ½ arctg 3 +  k/2, k  Z б)  /8; ½ arctg 3

Слайд 18

4. Решить уравнение log 5 (cos x – sin 2x + 25) = 2 Найти его корни на отрезке [2  ; 7  /2] log 5 (cos x – sin 2x + 25) = 2 cos x – sin 2x + 25 > 0, cos x – sin 2x + 25 = 25, 25 > 0, cos x – 2sin x cos x = 0, cos x (1 – 2sin x) = 0, cos x = 0, x =  /2 +  n, n  Z или 1 – 2sinx = 0, sin x = 1/2 x =  /6 + 2  k, k  Z x = 5  /6 + 2  k, k  Z Решим уравнение:

Слайд 19

1) x =  /2 +  n, n  Z 2    /2 +  n  7  /2, n  Z 2  1/2 + n  7/2, n  Z 2 – ½  n  7/2 – ½, n  Z 1,5  n  3, n  Z n = 2; 3 x =  /2 + 2  = 5  /2 x =  /2 + 3  = 7  /2 x = 2  +  /6 = 13  /6 x = 3  –  /6 = 17  /6 Проведём отбор корней на отрезке [2  ; 7  /2]: Проведём отбор корней на отрезке 2) sin x = 1/2 Ответ: а)  /2 +  n, n  Z; x1 =  /6 + 2  k, k  Z x2 = 5  /6 + 2  k, k  Z б) 13  /6 ; 5  /2; 7  /2; 17  /6

Слайд 20

5. Решить уравнение 1/sin 2 x + 1/sin x = 2 Найти его корни на отрезке [-5  /2; -3  /2] 1/sin 2 x + 1/sin x = 2 x   k Замена 1/sin x = t, t 2 + t = 2, t 2 + t – 2 = 0, t 1 = – 2, t 2 = 1 Решим уравнение: 1/sin x = – 2, sin x = – ½, x = –  /6 + 2  n, n  Z или x = – 5  /6 + 2  n, n  Z 1/sin x = 1, sin x = 1, x =  /2 + 2  n, n  Z

Слайд 21

1) x = –  /6 + 2  n, n  Z -5  /2  –  /6 + 2  n  -3  /2, n  Z -5/2  -1/6 + 2n  -3/2, n  Z -5/2 +1/6  2n  -3/2 + 1/6, n  Z – 7/3  2n  -4/3, n  Z -7/6  n  -2/3, n  Z n = -1 x = –  /6 – 2  = -13  /6 Рассмотрим остальные серии корней и проведём отбор корней на отрезке алгебраическим методом [-5  /2; -3  /2] Продолжим отбор корней на отрезке Ответ: а)  /2 + 2  n, n  Z ; x1 = –  /6 + 2  k, k  Z x2 = – 5  /6 + 2  k, k  Z б) -13  /6 ; -3  /2 2) x =  /2 + 2  n, n  Z -5  /2   /2 + 2  n  -3  /2, n  Z -5/2  1/2 + 2n  -3/2, n  Z -5/2 – 1/2  2n  -3/2 – 1/2, n  Z – 3  2n  -2, n  Z -1,5  n  -1, n  Z n = -1 x =  /2 – 2  = -3  /2

Слайд 22

6. Решить уравнение |sin x|/sin x + 2 = 2cos x Найти его корни на отрезке [-1; 8] Решим уравнение |sin x|/sin x + 2 = 2cos x 1)Если sin x >0, то |sin x| =sin x Уравнение примет вид: 2 cos x=3, cos x =1,5 – не имеет корней 2) Если sin x <0, то |sin x| =-sin x и уравнение примет вид 2cos x=1, cos x = 1/2, x = ±π/3 +2πk, k  Z Учитывая, что sin x < 0, то остаётся одна серия ответа x = – π/3 +2πk, k  Z Произведём отбор корней на отрезке [-1; 8] k=0, x= – π/3 , – π < -3, – π/3 < -1, -π/3 не принадлежит данному отрезку k=1, x = – π/3 +2π = 5 π/3<8, 5 π/3  [-1; 8] k=2, x= – π/3 + 4π = 11 π/3 > 8, 11 π/3 не принадлежит данному отрезку. Ответ: а) – π/3 +2πk, k  Z б) 5 π/3

Слайд 23

7. Решить уравнение 4sin 3 x=3cos(x- π/2) Найти его корни на промежутке [7  /2; 9  /2) Решим уравнение 4sin 3 x = 3cos(x- π/2) 4sin 3 x = 3cos(π/2-х), 4sin 3 x – 3cos(π/2-х) = 0, 4sin 3 x – 3sin x = 0, sin x (4sin 2 x – 3) = 0, sin x= 0 x=  n, n  Z или 4sin 2 x – 3=0, sin x=√3/2; sin x =-√3/2 sin x=√3/2, x1=  /3 + 2  k, k  Z, x2=4  /3 + 2  k, k  Z. sin x =-√3/2, x1=-  /3 + 2  k, k  Z, x2= -4  /3 + 2  k, k  Z.

Слайд 24

Объединим решения ( см. рисунок) Уравнение можно решить короче, зная формулу sin 3x = 3sinx – 4sin 3 x : 4sin 3 x – 3sin x =0, 3sin x – 4sin 3 x =0, s in 3x = 0, х =  m/3, m  Z или х =  m/3, m  Z

Слайд 25

Проведём отбор корней на промежутке [7  /2; 9  /2) х=  m/3, m  Z. 7  /2 ≤  m/3 < 9  /2, 21/2 ≤ m<27/2, m  Z, 10,5 ≤ m < 13,5, m  Z, m =10; 11; 12, x= 10  /3, x= 11  /3, x= 12  /3 Ответ : а)  m/3, m  Z; б) 10  /3; 11  /3; 12  /3

Слайд 26

8. Решить уравнение √1-sin 2 x= sin x Найти его корни на промежутке [5  /2; 4  ] Решим уравнение √1-sin 2 x= sin x. sin x ≥ 0, 1- sin 2 x = sin 2 x; sin x ≥ 0, sin x≥0, 2sin 2 x = 1; sin x =√2/2; sin x = – √2/2; sin x =√2/2 sin x =√2/2 x=(-1) k  /4 +  k, k  Z

Слайд 27

Проведём отбор корней на отрезке [5  /2; 4  ] x=(-1) k  /4 +  k, k  Z sin x =√2/2 у =sin x и у=√2/2 5  /2 +  /4 = 11  /4 Ответ: а) (-1) k  /4 +  k, k  Z ; б) 11  /4

Слайд 28

9. Решить уравнение (sin2x + 2 sin 2 x)/√-cos x =0 Найти его корни на промежутке [-5  ; -7  /2] Решим уравнение (sin2x + 2 sin 2 x)/√-cos x =0. 1) cos x <0 ,  /2 +2  n

Слайд 29

Отберём корни на заданном отрезке Отберём корни на заданном отрезке [-5  ; -7  /2] x=  +2  n, n  Z ; -5  ≤  +2  n ≤ -7  /2, -5-1 ≤ 2n ≤ -7/2-1, -3≤ n ≤ -9/4, n  Z n = -3, x=  -6  = -5  x= 3  /4 + 2  n, n  Z -5  ≤ 3  /4 + 2  n ≤ -7  /2 -23/8 ≤ n ≤ -17/8, нет такого целого n. Ответ: а)  +2  n, n  Z ; 3  /4 + 2  n, n  Z ; б) -5  .

Слайд 30

10. Решить уравнение 2sin2x =4cos x –sinx+1 Найти его корни на промежутке [  /2; 3  /2 ] Решим уравнение 2sin2x = 4cos x – sinx+1 2sin2x = 4cos x – sinx+1, 4 sinx∙cos x – 4cos x + sin x -1 = 0, 4cos x(sin x – 1) + (sin x – 1) = 0, (sin x – 1)(4cos x +1)=0, sin x – 1= 0, sin x = 1, x =  /2+2  n, n  Z или 4cos x +1= 0, cos x = -0,25 x = ± (  -arccos (0,25)) + 2  n, n  Z Запишем корни этого уравнения иначе x =  – arccos(0,25) + 2  n, x = -(  – arccos(0,25)) + 2  n, n  Z

Слайд 31

Отберём корни с помощью окружности x =  /2+2  n, n  Z, х =  /2; x =  -arccos(0,25)+2  n, х=-(  -arccos(0,25)) +2  n, n  Z, x =  – arccos(0,25), x =  + arccos(0,25) Ответ: а)  /2+2  n,  -arccos(0,25)+2  n, -(  -arccos(0,25)) +2  n, n  Z; б)  /2;  -arccos(0,25);  +arccos(0,25)