Как найти все разложения функции по степеням - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Ранее рассматривалась задача разложения функции в степенной ряд $sum_{n=0}^{infty} c_n(z-z_0)^n$ , при этом функция предполагалась аналитической в точке z_0 , а ряд сходящимся в круге |z-z_0|<R,~ 0<Rleqslantinfty .

Другим частным случаем функциональных рядов, наряду со степенными, является ряд $sum_{n=-infty}^{infty} c_n(z-z_0)^n$ ряд по целым степеням разности (z-z_0) . Такой ряд сходится в кольце r<|z-z_0|<R,~ r geqslant0,~ Rleqslantinfty и его сумма — функция аналитическая внутри этого кольца.

Можно рассматривать задачу разложения функции, аналитической в кольце r<|z-z_0|<R . Имеет место теорема, аналогичная теореме 3.3.

Теорема Лорана о разложении функции в ряд по целым степеням

Теорема 3.5 (Лорана). Функция f(z) , аналитическая в кольце, представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место равенство

$f(z)=sum_{n=-infty}^{infty} c_n(z-z_0)^n.$

(3.24)

Коэффициенты ряда вычисляются по формуле

$c_n= frac{1}{2pi i} ointlimits_{gamma} frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz,quad n=0,pm1,pm2,ldots,$

(3.25)

где gamma — произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку z_0 ; в частности, gamma — окружность |z-z_0|=rho,~ r<rho<R .

Имеют место следующие определения.

1. Ряд $sum_{n=-infty}^{infty} c_n(z-z_0)^n$ коэффициенты которого вычисляются по формуле (3.25), называется рядом Лорана функции f(z) .

Заметим, что формула (3.16) получается из формулы (3.25) при ngeqslant0 , но для коэффициентов ряда Лорана не имеет места формула вида (3.17), так как функция в точке z_0 может быть не определена.

2. Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями — $sum_{n=0}^{infty} c_n(z-z_0)^n$ называется правильной частью ряда Лорана; члены с отрицательными степенями образуют главную часть ряда Лорана: $sum_{n=-infty}^{-1} c_n(z-z_0)^n$ или $sum_{n=1}^{infty} frac{c_{-n}}{(z-z_0)^n}$ .

3. При r=0 получаем частный случай кольца — вырожденное кольцо 0<|z-z_0|<R . Это — круг с выколотым центром. Точка z_0 — особая точка функции, и разложение в этом случае называется разложением функции в окрестности особой точки.

4. При R=infty область |z-z_0|>r есть внешность круга. В частном случае при z_0=0 — внешность круга |z|>r . Разложение в этом случае называется разложением в окрестности бесконечно удаленной точки и имеет вид

$f(z)= sum_{n=-infty}^{infty}c_nz^n= sum_{n=0}^{infty} c_nz^n+ sum_{n=-infty}^{-1}c_nz^n,$

(3.26)

или, что то же,

$f(z)= sum_{n=0}^{infty} c_nz^n+ sum_{n=1}^{infty} frac{c_{-n}}{z^n},.$

(3.27)

Здесь совокупность неотрицательных степеней $sum_{n=0}^{infty}c_nz^n$ образует главную часть ряда Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки; совокупность отрицательных $sum_{n=-infty}^{-1}c_nz^n$ — правильную часть ряда Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.

Пример 3.30. Исследовать возможность разложения функции $f(z)= sqrt{frac{z}{(z+1)(z-2)}}$ в ряды Тейлора и Лорана.

Решение

Функцию $f(z)= sqrt{frac{z}{(z+1)(z-2)}}$ нельзя разложить в ряд по степеням ни в окрестности точки z_0=0 (ряд Тейлора), ни в окрестности точки z_0=infty (ряд Лорана), так как эти точки являются точками ветвления функции и в их окрестностях невозможно выделение однозначных ветвей.

Невозможны также разложения этой функции в ряды по степеням (z+1) и (z-2) , поскольку точки z=-1 и z=2 — также точки ветвления. Разложения по степеням (z-z_0) , где z_0ne0,~z_0ne-1,~ z_0ne2 , возможны.

Функция же $f(z)= frac{z}{(z+1)(z-2)}$ раскладывается по степеням и в ряд Тейлора в круге |z|<1 и в ряд Лорана в области |z|>2 (окрестность бесконечно удаленной точки), а также в кольце 1<|z|<2 . Возможны разложения и по степеням (z+1) и (z-2) в кольцевых областях, а также в окрестностях особых точек z=-1,~ z=2 .

Так как ряды по целым степеням обладают свойствами степенных рядов (см. утверждение 3.2), то, учитывая теорию и практику решения задачи разложения функции в степенной ряд (см. утверждения 3.3 и 3.4), можно сформулировать следующее утверждение.

Утверждение 3.6

1. Функция, аналитическая в кольце r<|z-z_0|<R,~ rgeqslant0,~ Rleqslantinfty , разлагается в этом кольце в ряд Лорана (3.24), коэффициенты которого вычисляются по формуле (3.25).

2. Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов — неравенство Коши:

$|c_n|leqslant frac{M}{rho^n},quad n=0,pm1,pm2,ldots$

(3.28)

где $M=max_{zingamma}|f(z)|,~rho$ — радиус окружности (частный случай контура gamma ), по которой производится интегрирование в (3.25).

3. На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции f(z) — его суммы.

4. Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки z_0~(r=0) и окрестности бесконечно удаленной точки (z_0=0,~ R=infty) .

5. Разложение в ряд Лорана сводится к разложению в ряд Тейлора, используются основные разложения и действия над рядами.

6. При разложении рациональных дробей, как и в случае рядов Тейлора, выдерется целая часть неправильной дроби, а правильная записывается в виде суммы элементарных дробей, для разложения которых используется формула суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. При этом элементарные дроби преобразуются следующим образом:

– для получения правильной части, т.е. ряда, сходящегося в круге |z-z_0|<R , разложение элементарной дроби записывается в виде

$frac{1}{a-(z-z_0)}= frac{frac{1}{a}}{1-frac{z-z_0}{a}}= sum_{n=0}^{infty} frac{(z-z_0)^n}{a^{n+2}}= sum_{n=0}^{infty} c_n(z-z_0)^n,quad |z-z_0|<|a|,quad ane0;$

– для получения главной части, т.е. ряда, сходящегося вне круга |z-z_0|>r , изложение элементарной дроби записывается в виде

$frac{1}{a-(z-z_0)}= frac{-frac{1}{z-z_0}}{1-frac{a}{z-z_0}}= -sum_{n=0}^{infty} frac{a^n}{(z-z_0)^{n+1}}= sum_{n=1}^{infty} frac{c_n}{(z-z_0)^n},,quad left|frac{a}{z-z_0}right|<1~ Leftrightarrow~ |z-z_0|>|a|.$

Примеры разложения функций в ряд Лорана

Пример 3.31. Разложить функцию $f(z)=frac{z+2}{z^2-2z-3}$ в ряд Лорана по степеням .

Решение

Функция является аналитической всюду, кроме точек z_1=-1 и z_2=3 , в частности: в круге |z|<1 , в кольце 1<|z|<3 и в окрестности бесконечно удаленной точки |z|>3 (рис. 3.4).

В круге |z|<1 функция раскладывается в ряд Тейлора (см. пример 3.21). Получим разложения в двух других областях.

Рассмотрим разложение в кольце. Дробь правильная, ее разложение на элементарные дроби получено в примере (3.21):

$f(z)= frac{z+2}{z^2-2z-3}= frac{z+2}{(z+1)(z-3)}= -frac{1}{4}cdot frac{1}{z+1}+ frac{5}{4}cdot frac{1}{z-3},.$

Чтобы получить разложение в кольце, первое слагаемое раскладываем в области |z|>1 , т.е. записываем главную часть ряда, второе — в круге |z|<3 — правильная часть. Получаем разложения:

$begin{gathered}frac{1}{z+1}= frac{1 slash z}{1+1 slash z}= frac{1 slash z}{1-(-1 slash z)}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n}{z^{n+1}}= sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n-1}}{z^n},quad left|-frac{1}{z}right|= frac{1}{|z|}<1~ Leftrightarrow~ |z|>1;\[2pt] frac{1}{z-3}= frac{-1 slash 3}{1-z slash 3}= -sum_{n=0}^{infty} frac{z^n}{3^{n+1}},quad |z|<3. end{gathered}$

Записываем окончательный результат:

$frac{z+2}{z^2-2z-3}= sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n}{4cdot z^n}-sum_{n=0}^{infty} frac{5cdot z^n}{4cdot 3^{n+1}},quad 1<|z|<3.$

Здесь первое слагаемое — главная часть, а второе — правильная часть ряда Лорана в кольце 1<|z|<3 .

Чтобы получить разложение в области |z|>3 — окрестности бесконечно удаленной точки, нужно и второе слагаемое разложить по отрицательным степеням:

$frac{1}{z-3}= frac{1}{z}cdot frac{1}{1-frac{3}{z}}= sum_{n=0}^{infty} frac{3^n}{z^{n+1}},~~ left|frac{3}{z}right|<1$ или $frac{1}{z-3}= sum_{n=1}^{infty} frac{3^{n-1}}{z^n},~~ |z|>3.$ .

В результате получаем разложение в окрестности бесконечно удаленной точки:

$frac{z+2}{z^2-2z-3}= sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n}{4z^n}+ frac{5}{4} sum_{n=1}^{infty} frac{3^{n-1}}{z^n}= sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n+5cdot3^{n-1}}{4}cdot frac{1}{z^n},,quad |z|>3.$

Заметим, что главная часть ряда отсутствует, так как в разложении присутствуют только члены с отрицательными степенями.

Круг и кольцо на комплексной плоскости

Пример 3.32. Разложить функцию $f(z)=frac{z+2}{z^2-2z-3}$ в ряд Лорана: а) по степеням (z-2) ; б) по степеням (z-1) .

Решение

а) Особыми точками функции являются точки z_1=-1 и z_2=3 , причем вторая — ближайшая к центру разложения, т.е. к z_0=2 (рис. 3.5,а); расстояние между z_0=2 и z_2=3 равно единице, поэтому в круге |z-2|<1 функция раскладывается в ряд Тейлора. Расстояние от z_0=2 до другой особой точки z_1=-1 равно трем, и в кольце 1<|z-2|<3 данная функция является аналитической и раскладывается в ряд Лорана. Аналитической она является и в области |z-2|>3 и раскладывается в ней также в ряд Лорана по степеням (z-2) . Оба разложения получаем, как в предыдущем примере, причем замену z-2=t можно сделать в исходной дроби, а можно не вводить обозначения (см. пример 3.21). Запишем разложения в каждой из двух областей, учитывая представление функции в виде суммы элементарных дробей (см. примеры 3.21 и 3.31):

$f(z)= frac{z+2}{z^2-2z-3}= frac{z+2}{(z+1)(z-3)}= -frac{1}{4}cdot frac{1}{z+1}+ frac{5}{4}cdot frac{1}{z-3},.$

Разложение в кольце 1<|z-2|<3,colon

$begin{aligned}frac{1}{z+1}&= frac{1}{z-2+3}= frac{1}{3! left(1+frac{z-2}{3}right)}= frac{1}{3! left(1-left(-frac{z-2}{3}right)right)}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n(z-2)^n}{3^{n+1}},quad |z-2|<3;\[2pt] frac{1}{z-3}&= frac{1}{z-2-1}= frac{1}{z-2}cdot frac{1}{1-frac{1}{z-2}}= sum_{n=0}^{infty} frac{1}{(z-2)^{n+1}}= sum_{n=1}^{infty} frac{1}{(z-2)^n},,quad |z-2|>1.end{aligned}$

Получаем ответ: $frac{z+2}{z^2-2z-3}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^{n+1}}{4cdot3^{n+1}}(z-2)^n+ sum_{n=1}^{infty} frac{5}{4(z-2)^n},~1<|z-2|<3$ .

Разложение в области |z-2|>3,colon

$begin{aligned}frac{1}{z+1}&= frac{1}{z-2+3}= frac{1}{z-2}cdot frac{1}{1+ frac{3}{z-2}}= frac{1}{z-2}cdot frac{1}{1-left(-frac{3}{z-2}right)}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n3^n}{(z-2)^{n+1}}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^{n-1}3^{n-1}}{(z-2)^n},~~ |z-2|>3;\[2pt] frac{1}{z-3}&= sum_{n=1}^{infty} frac{1}{(z-2)^n},quad |z-2|>1. end{aligned}$

Получаем ответ: $frac{z+2}{z^2-2z-3}= sum_{n=1}^{infty}! left(frac{(-1)^n3^{n-1}}{4}+ frac{5}{4}right)!cdot frac{1}{(z-2)^n},,~ |z-2|>3.$ .

б) Задача решается так же, как и в предыдущем пункте. Различие заключается в том, что в данном случае обе особые точки расположены на одном расстоянии от центра — точки z_0=1 . Поэтому разложения по степеням (z-1) могут быть получены в круге |z-1|<2 и в вырожденном кольце — в области |z-1|>2 (рис. 3.5,б). Разложение в круге | |z-1|<2 — ряд Тейлора — получено в примере 3.21. Запишем разложение в области |z-1|>2colon

$begin{aligned}frac{1}{z+2}&= frac{1}{z-1}cdot frac{1}{1+frac{1}{z-1}}= frac{1}{z-1}cdot frac{1}{1-left(-frac{1}{z-1}right)}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n}{(z-1)^{n+1}}= sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n-1}}{(z-1)^n},,quad |z-1|>1;\[2pt] frac{1}{z-3}&= frac{1}{z-1-2}= frac{1}{z-1}cdot frac{1}{1-frac{2}{z-1}}= sum_{n=0}^{infty} frac{2^n}{(z-1)^{n+1}}= sum_{n=1}^{infty} frac{2^{n-1}}{(z-1)^n},,quad |z-1|>2. end{aligned}$

Получаем ответ: $frac{z+2}{z^2-2z-3}= sum_{n=1}^{infty}! left(frac{(-1)^n}{4}+ 5cdot2^{n-3}right)! frac{1}{(z-1)^n},,quad |z-1|>2.$ .

Пример 3.33. Записать разложения функции $f(z)=frac{z+2}{z^2-2z-3}$ в окрестностях особых точек.

Решение

Особыми точками дроби являются z_1=infty,~ z_2=-1,~ z_3=3 . Решим задачу для каждой особой точки z_0 .

Разложение в окрестности бесконечно удаленной точки (z_0=infty) получено в примере 3.31:

$frac{z+2}{z^2-2z-3}= sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n+5cdot3^{n-1}}{4}cdot frac{1}{z^n},,quad |z|>3.$

Заметим, что в разложении отсутствует главная часть — совокупность членов с положительными степенями .

Запишем разложение в окрестности точки z_0=-1 . Расстояние до другой особой точки z=3 равно четырем, поэтому окрестность точки z_0=-1 — проколотая окрестность, которая записывается в виде 0<|z+1|<4 (рис. 3.6).

Пересечение окружностей на комплексной плоскости

В разложении $frac{z+2}{z^2-2z-3}= -frac{1}{4}cdot frac{1}{z+1}+ frac{5}{4}cdot frac{1}{z-3}$ исходной дроби на элементарные первое слагаемое записано по степеням (z+1) (уже разложено). Это разложение содержит только главную часть, состоящую из одного члена: здесь все c_k=0 , кроме $c_{-1}=-frac{1}{4}$ , и разложение имеет место в области |z+1|>0 . Второе слагаемое раскладываем в окрестности z_0=-1 и, так как для него эта точка не является особой, получим ряд Тейлора в круге |z+1|<4 . Для исходной дроби это будет правильная часть ряда Лорана:

$frac{1}{z-3}= frac{1}{z+1-4}= frac{-1}{4! left(1-frac{z+1}{4}right)}= -sum_{n=0}^{infty} frac{(z+1)^n}{4^{n+1}},,quad left|frac{z+1}{4}right|<1~ Leftrightarrow~ |z+1|<4.$

Получаем ответ: $frac{z+2}{z^2-2z-3}= frac{-1}{4}cdot frac{1}{z+1}-sum_{n=0}^{infty} frac{5(z+1)^{n}}{4^{n+2}},~ 0<|z+1|<4$ .

Для точки z_0=3 задача решается аналогично (рис. 3.6):

$frac{z+2}{z^2-2z-3}= frac{5}{4}cdot frac{1}{z-3}-frac{1}{4}cdot frac{1}{(z-3)+4}= frac{5}{4}cdot frac{1}{z-3}-frac{1}{4} sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n(z-3)^n}{4^{n+1}},.$

Получаем ответ: $frac{z+2}{z^2-2z-3}= frac{5}{4}cdot frac{1}{z-3}+ sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^{n+1}}{4^{n+2}}(z-3)^n,~ 0<|z-3|<4$ — разложение функции в окрестности особой точки z_0=3 . Заметим, что в полученных разложениях в окрестности каждой особой точки главная часть содержит только одно слагаемое.

Пример 3.34. Исследовать разложения функции $f(z)=frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)}$ по степеням (z-z_0) . Записать разложения в окрестностях особых точек.

Решение

Функция может быть разложена в ряд Тейлора по степеням (z-z_0) . окрестности любой конечной точки z_0ne-1,~z_0ne3 ; окрестностью будет круг |z-z_0|<r , где $r=minbigl{|z_0+1|,|z_0-3|bigr}$ — наименьшее из расстояний от точки z_0 до особых точек (рис. 3.7,а).

В ряд Лорана по степеням (z-z_0) функция может быть разложена в кольце r<|z-z_0|<R , где $r=minbigl{|z_0+1|,|z_0-3|bigr},$ $R=maxbigl{|z_0+1|,|z_0-3|bigr}$ и $operatorname{Re}z_0ne1$ , а также во внешности круга, т.е. в области |z-z_0|>R (рис. 3.7,а). Если $operatorname{Re}z_0=1$ , то разложение будет иметь место только в вырожденном кольце вида , так как в этом случае точка го одинаково удалена от обеих особых точек и r=R (рис. 3.7,б).

Расстояния от точек до особых точек на комплексной плоскости

Особенностью примера является наличие в знаменателе множителя (z+1)^2 , поэтому в разложении дроби на элементарные присутствует дробь $frac{1}{(z+1)^2}$ , а именно имеет место равенство

$frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)}= frac{-5}{16}cdot frac{1}{z+1}+ frac{-1}{4}cdot frac{1}{(z+1)^2}+ frac{5}{16}cdot frac{1}{z-3},.$

Для разложения дроби $frac{1}{(z+1)^2}$ по степеням (z-z_0),~z_0ne-2 используется правило дифференцирования рядов (см. пример 3.22).

Запишем разложение функции в окрестности z_0 — особой точки.

В случае z_0=-1 в разложении дроби на элементарные две первые дроби представляют собой слагаемые требуемого вида (уже разложены): $frac{1}{z+1}=(z+1)^{-1},~ frac{1}{(z+ 1)^2}=(z+1)^{-2}$ . Эти разложения справедливы во всей плоскости с выколотой точкой z_0=-1 , т.е. в области |z+1|>0 .

От третьего слагаемого получаем правильную часть ряда Лорана:

$frac{1}{z-3}=-sum_{n=0}^{infty} frac{(z+1)^n}{4^{n+1}},,quad |z+1|<4.$

Окончательный ответ: $frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)}= frac{-5}{16}cdot frac{1}{z+1}+ frac{-1}{4}cdot frac{1}{(z+1)^2}-sum_{n=0}^{infty} frac{5(z+1)^n}{4^{n+3}},~0<|z+1|<4$ .

В главной части разложения присутствуют два члена, при этом $c_{-1}=-frac{5}{16},~ c_{-2}=-frac{1}{4}$ .

В случае разложения в окрестности z_0=3 главная часть разложения содержит одно слагаемое $frac{5}{16}frac{1}{z-3}$ ; правильная получается от разложения дробей $frac{1}{z+1}$ и $frac{1}{(z+1)^2}$ по степеням (z-3) .

Найдем эти разложения:

$begin{gathered}frac{1}{z+1}= frac{1}{(z-3)+4}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n}{4^{n+1}}(z-3)^n,quad |z-3|<4;\[2pt] frac{1}{(z+1)^2}=-left(frac{1}{z+1}right)'=-sum_{n=0}^{infty}! left(frac{(-1)^n}{4^{n+1}}(z-3)^nright)'= sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n+1}n}{4^{n+1}}(z-3)^{n-1}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n(n+1)}{4^{n+2}}(z-3)^n,quad |z-3|<4.end{gathered}$

Записываем ответ: $frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)}= frac{5}{16}cdot frac{1}{z-3}+ sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^{n+1}(n+6)}{4^{n+3}}(z-3)^n,quad 0<|z-3|<4.$

Пример 3.35. Разложить функцию $z^3e^{frac{1}{z}}$ в окрестностях точек z_0=0 и z_0=infty .

Решение

Оба разложения — разложения по степеням и получаются из основного разложения, а именно

$z^3e^{frac{1}{z}}= z^3! left(1+frac{1}{z}+ frac{1}{2!z^2}+ ldots+ frac{1}{n!z^n}+ ldotsright)!,$

или

$z^3e^{frac{1}{z}}=z^3+z^2+frac{1}{2!}z+frac{1}{3!}+frac{1}{4!z}+ ldots+ frac{1}{n!z^{n-3}}+ldots,quad |z|>0.$

Различие разложений заключается в записи правильной и главной частей. Так, в случае точки z_0=0 правильная часть содержит конечное число слагаемых — четыре и ответ записывается в виде

$z^3e^{frac{1}{z}}= z^3+z^2+frac{1}{2}z+frac{1}{6}+ sum_{n=-infty}^{-1} frac{z^n}{(3-n)!},quad |z|>0.$

В случае z_0=infty конечное число слагаемых образует главную часть и ответ записывается в виде

$z^3e^{frac{1}{z}}= z^3+z^2+frac{1}{2}z+ sum_{n=-infty}^{0} frac{z^n}{(3-n)!},quad |z|>0.$

Пример 3.36. Разложить по степеням функции: а) $frac{1-cos z}{z^2}$ ; б) $frac{sin z}{z}$ . С помощью полученных разложений найти $limlimits_{zto0}f(z)$ .

Решение

Применяем основные разложения для cos z и sin z и записываем ряды для заданных функций:

а)

$begin{aligned}frac{1-cos z}{z^2}&= frac{1}{z^2}! left(1-sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!} right)= frac{1}{z^2}! left(1-1-sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!} right)= frac{1}{z^2} sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n+1}z^{2n}}{(2n)!}=\ &= sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n+1}z^{2n-2}}{(2n)!}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n+2)!},,quad |z|>0.end{aligned}$

Таким образом, получаем результат: $frac{1-cos z}{z^2}= frac{1}{2}-frac{z^2}{4!}+ frac{z^4}{6!}-ldots$ .

Справа записан степенной ряд, сходящийся всюду, его сумма при zne0 равна $frac{1-cos z}{z^2}$ , а при z=0 , очевидно, равна $frac{1}{2}$ .

Получаем $limlimits_{zto0} frac{1-cos z}{z^2} = frac{1}{2}$ или $2limlimits_{} frac{1-cos z}{z^2}=1$ . Результат можно записать в виде асимптотической формулы:

$1-cos zsim frac{1}{2},z^2,quad zto0.$

б) $frac{sin z}{z}= frac{1}{z} sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n+1}z^{2n-1}}{(2n-1)!}= sum_{n=0}^{infty} frac{z^{2n}(-1)^n}{(2n+1)!},~~|z|>0$ .

Получен результат: $frac{sin z}{z}=1-frac{z^2}{3!}+ldots$ . Отсюда $limlimits_{zto0}frac{sin z}{z}=1$ . Результат, как и в случае “а”, можно записать в виде асимптотической формулы: sin zsim z,~zto0 .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

4.1. Ряд Тейлора

Справедливы
следующие теоремы.

1.
Всякую функцию ,
аналитическую в круге с центром в точке
можно представить внутри этого круга
в виде суммы ряда Тейлора:

(1)

Во
всякой замкнутой области, принадлежащей
этому кругу, ряд Тейлора (1) сходится
равномерно.

2.
Всякую аналитическую функцию в каждой
внутренней точке области аналитичности
можно разложить в ряд Тейлора (1). Это
разложение справедливо в области
,
где– расстояние от точкидо ближайшей особой точки функции,
то есть точки, в которойне является аналитической.

3.
Если функция
разлагается в окрестности точкив степенной ряд,
то этот ряд является ее рядом Тейлора,
то есть

, .

Пользуясь
теоремой 3, можно разложить данную
функцию
в ряд по степеням,
который является ее рядом Тейлора в
окрестности точки.
Часто коэффициенты такого ряда находят,
используя известные разложения функцийи т.д.

Напомним
также разложение

(2)

сходящееся
в круге
<1.

Пример 1.
Разложить
функцию
в ряд Тейлора в окрестности точки.
Указать область, в которой справедливо
это разложение.

Решение.
В окрестности
точки
функцияявляется аналитической. Следовательно,
согласно теореме 2, ее можно разложить
в ряд Тейлора. Для разложения в ряд
Тейлора преобразуем данную функцию к
виду

Разложим
второй сомножитель в ряд по формуле
(2). Область сходимости этого ряда
,
отсюда.

Искомое
разложение имеет вид:

или

; .

Пример 2.
Разложить функцию
в ряд Тейлора в окрестности точки.
Указать область, в которой справедливо
это разложение.

Решение.
Для разложения
в ряд Тейлора преобразуем данную функцию
к виду
и воспользуемся формулой (2).

Так
как
,
то.
Получаем искомое разложение:

;

4.2. Ряд Лорана

Справедлива
теорема:

Функция
,аналитичная
в кольце
,
представляется в этом кольце сходящимся
рядом Лорана

,
(3)

где

,
(4)

,
– любая окружность, ориентированная
против часовой стрелки и лежащая внутри
указанного кольца с центром в точке.
Разложение в ряд Лорана единственно.

Первое
слагаемое в разложении (3) называется
правильной частью ряда Лорана, второе
слагаемое – главной частью ряда Лорана.
Правильная часть ряда Лорана сходится
в круге
.
Главная часть ряда Лорана сходится во
внешности круга радиуса,
то есть при.

Разложение
(3) иногда можно получить на практике,
не применяя формулы (4) для коэффициентов
.

Пример 1.
Найти все разложения функции
в ряд Лорана по степеням.

Решение.
Пусть
.
Тогда данная функция может быть разложена
в ряд Лорана в кольцах:

I) ,II) ,III) ,

где
она является аналитической.

Разлагаем
на элементарные дроби:

I. Дробь

разлагается вне круга
по степеням
с отрицательными показателями, то есть

,
при
.

Дробь

разлагается внутри круга
по степеням
с положительными показателями, то есть

,
при
.

Итак,
,
при
.

II.
Дроби
и
разложим в ряд по степеням
с положительными показателями внутри
круга ,

Итак,
,
при.

III.
Дроби
и
разложим по степеням
с отрицательными показателями, то есть

,
где ;
,
где .

Итак,
,.

Пример 2.
Найти все
лорановские разложения
по степеням,
если,.

Решение.
Пусть

Точки
являются особыми точками функции(в нихне аналитична). Тогда кольцами аналитичностибудут области:

Возвращаясь
к переменной
,
получаем следующие области разложенияпо степеням

Рассмотрим
разложение функции
в ряд Лорана в кольце,
то есть.

Представим
функцию
в виде

Таким
образом,
.

Дробь

разложим по степеням
с отрицательными показателями вне круга,
то есть

где

Дробь

разложим по степеням
с положительными показателями внутри
круга,
то есть

Итак,
,

где.

Остальные
случаи разложения данной функции в ряд
Лорана предлагается рассмотреть
самостоятельно.

Для разложения
функции в ряд Лорана иногда используют
готовые разложения элементарных функций
в ряд Тейлора.

(5)

которые
сходятся во всей комплексной плоскости.

Пример
3. Функцию
разложить в ряд Лорана в окрестности
точки.

Решение.
Функция
является аналитической в кольце.
Следовательно, она разложима в ряд
Лорана. Воспользуемся разложением
функциив ряд Тейлора.

и
положим
:

(6)

В
силу единственности разложения в ряд
Лорана (6) является рядом Лорана для
функции
в кольце.

Соседние файлы в папке ТФКП

Источник

1°. Ряд Тейлора. Функция однозначная и аналитическая в точке разлагается (то есть является суммой) в окрестности этой точки в степенной ряд – ряд Тейлора

, (5.10)

Где коэффициенты вычисляются по формулам

, (5.11)

Где Г – окружность с центром в точке , целиком лежащая в области аналитичности . Областью сходимости ряда является круг с центром в точке разложения радиуса R, равном расстоянию от центра разложения до ближайшей осо бой точки – точки, в которой теряет аналитичность.

Теорема Тейлора. Функция , аналитическая в круге однозначно представима в нем своим рядом Тейлора (5.10), коэффициенты которого определяются по формулам (5.11).

Из этой теоремы и теоремы о возможности дифференцирования степенного ряда в круге сходимости любое число раз следует, что разложение функции в степенной ряд единственно. Это означает, что по любому методу разложения функции в степенной ряд мы получаем одно и то же разложение – ряд Тейлора. При ряд (5.10) называется рядом Маклорена.

При решении многих задач рекомендуется пользоваться следующими разложениями элементарных функций:

1) , ; 2) , ;

3) ,; 4) , ; (5.12)

5) , ; 6) ,

, ; 7) ;

8) .

Для непосредственного разложения функции в степенной ряд (ряд Тейлора), необходимо найти закон получения производной N-го порядка (подобные примеры опустим).

Пример 1. Разложить в ряд по степеням функцию .

Решение. Рассмотрим сначала следующее преобразование данной логарифмической функции . Воспользуемся разложением 4) из (5.12) для , полагая . Так как разложение 4) имеет место при , то наше разложение будет иметь место при . Таким образом, для : .

Часто при разложении функций в ряд удобно пользоваться дифференцированием или интегрированием известных разложений, а при разложении рациональной дроби – разложением ее на простейшие.

Пример 2. Разложить в ряд по степеням Z функцию .

Решение. Разложим на простейшие дроби: . По формуле суммы геометрической прогрессии 7) из (5.12) получим:

, и ,

. Замечая, что и применяя теорему о возможном почленном дифференцировании степенного ряда в круге сходимости, получим , . Складывая ряды для и , имеем , .

2°. Ряды Лорана.

Определение. Рядом Лорана называется ряд (5.6)

; (5.6)

При этом ряд называется главной частью ряда Лорана, а ряд – правильной частью. Если , то областью сходимости ряда (5.6) является кольцо .

Теорема Лорана. Если функция аналитична в кольце , то в этом кольце она единственным образом представима в виде ряда Лорана (5.6), коэффициенты которого вычисляются по формулам:

(5.13)

Заметим, что из этой теоремы “кольца разложимости” определяются через расстояния от центра разложения до двух “соседних” особых точек . Вычисление контурных интегралов (5.14), как правило, достаточно затруднительно. Поэтому для разложения функций в ряды Лорана используются различные искусственные приемы.

Пример 1. Разложить в ряд Лорана в кольце функцию .

Решение. Преобразуем данную функцию:

. (1)

Первые два слагаемых в правой части (1) имеют нужный вид, так как представляют собой степени разности . Последние два слагаемых запишем в виде: , . Применяя формулу 7), а затем 8) (из (5.12)), найдем

, (2)

(3)

Подставляя (2) и (3) в (1), после несложных преобразований получим разложение в кольце в ряд Лорана:

Пример 2. Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности .

Решение. Для любого комплексного имеем
Полагая , получим: . Это разложение справедливо для любой точки . В данном случае “кольцо” представляет собой всю комплексную плоскость с одной выброшенной точкой : .

Пример 3. Рассмотреть различные разложения в ряд Лорана функции .

Решение. Функция имеет две особые точки: и . Следовательно, имеется три “кольца” с центром в точке , в каждом из которых является аналитической: а) круг ; б) кольцо ; в) – внешность круга . Найдем ряды Лорана для функции В каждом из этих “колец”. Представим предварительно функцию в виде суммы простейших дробей: (1). а)разложение в круге . Преобразуем (1) следующим образом: (2). Используя формулу 7) из (5.12), получим: , (3); , (4). Подставляя эти разложения в (2), получим: – это разложение есть ряд Маклорена функции . б) разложение в кольце . Ряд (4) для функции остается сходящимся в этом кольце, так как . Ряд (3) для функции расходится для . Поэтому преобразуем следующим образом:
(5). Применяя формулу 7), получим: (6). Этот ряд сходится, если , то есть при . Подставляя (4) и (6) в (5), найдем . в) разложение для . Ряд (4) для функции при расходится, а ряд (6) для функции будет сходиться, так как, если , то и подавно . Функцию представим в таком виде . Используя формулу 7), получаем . Заметим, что этот пример показывает, что для одной и той же функции ряд Лорана, вообще говоря, имеет разный вид для разных колец.

Пример 4. Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности ее особых точек.

Решение. Особые точки функции: . а) разложение в окрестности точки , то есть в кольце . Представим функцию в виде суммы простейших дробей: . Правую часть преобразуем так: . Применяя разложение 7), в котором Z Заменим на , получим или . б) разложение в окрестности точки , то есть в кольце . Имеем .

< Предыдущая		Следующая >

Источник

Введение

Теория функций комплексной переменной (ТФКП) дошла до наших дней почти в том виде, в котором оставил нам ее создатель великий французский математик Огюстен Коши (1789–1857 гг.).

ТФКП как продолжает, так и расширяет идеи математического анализа функций действительной переменной. Обычные определения, известные из алгебры чисел и математического анализа функций действительной переменной, остаются почти без изменений, но их содержание меняется весьма существенным образом. Хорошо известно, что уже обычные простейшие операции над действительными числами могут вывести за пределы их области. И решения большинства алгебраических уравнений не могут быть выражены только обычными действительными числами. Поэтому приходится расширять область действительных чисел, а таким расширением этой области и является область комплексных чисел.

Основное понятие комплексного анализа аналитическая функция. Это понятие позволяет доказать теоремы о существовании производных любого порядка от этих функций, о независимости интегралов от формы пути интегрирования. Позволяет сравнительно единообразно вычислять сложные интегралы с помощью вычетов и многое другое.

В данных методических указаниях изложены основные вопросы теории функций комплексной переменной в соответствии с действующими рабочими программами для студентов всех направлений подготовки бакалавров инженерно-технических специальностей вуза.

Каждый из выделенных параграфов содержит краткое изложение основных теоретических сведений, практическое руководство по решению стандартных математических задач. В конце предлагаются варианты заданий для расчетно-графической работы.

1. Функциональные ряды в комплексной области.
Степенные ряды

Пусть – последовательность функций, определенных на множестве . Функциональным рядом в комплексной области называется выражение

, (1)

где . Функции , называются членами ряда. Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке , если сходится числовой ряд . Функциональный ряд (1) называется абсолютно сходящимся в точке , если сходится числовой ряд . Множество точек, в которых функциональный ряд (1) сходится, называется областью сходимости ряда, а функция , – суммой функционального ряда (1).

Функциональный ряд вида

, (2)

где , комплексные постоянные, – комплексная переменная, называется степенным рядом в комплексной области. Числа называются коэффициентами ряда, – его центром.

Область определения степенного ряда – вся комплексная плоскость. Очевидно, что в точке ряд (2) сходится. Следовательно, область сходимости любого степенного ряда состоит, по крайней мере, из одной точки.

Теорема 1 (Абеля). Если степенной ряд (2) сходится в точке , то он сходится абсолютно при любом , удовлетворяющем условию .

Областью сходимости ряда (2) является круг с центром в точке . Радиус сходимости степенного ряда может быть найден по формулам:

(3)

, (4)

если указанные пределы существуют.

Если , то круг сходимости – вся конечная комплексная плоскость.

Если , то круг вырождается в точку , а в его внешности, т. е. во всей комплексной плоскости, кроме точки , ряд расходится.

На окружности ряд (2) может вести себя по-разному: может сходиться во всех точках окружности, расходиться во всех точках, может в одних сходиться, а в других расходиться.

Пример 1.1. Найти радиус сходимости степенного ряда: .

Решение. Воспользуемся формулой (3). Имеем

Пример 1.2. Найти круг сходимости степенного ряда: .

Решение. Воспользуемся формулой (4). Имеем

, ,

Следовательно, – круг сходимости данного ряда.

2. Разложение функций в ряд Тейлора

Теорема 2 (о разложении аналитической функции в степенной ряд). Пусть – аналитическая функция в области , и – расстояние от до границы . Тогда в круге функция разлагается в степенной ряд

, где , (5)

называемый рядом Тейлора функции . При этом коэффициенты ряда удовлетворяют соотношениям

(6)

при любых , .

Первый отличный от нуля член ряда Тейлора называется главным членом разложения в ряд Тейлора, а его степень – порядком главного члена.

Из этой теоремы следует еще одно определение аналитической функции.

Функция называется аналитической в точке , если она разлагается в степенной ряд в некоторой окрестности точки .

Функция называется аналитической в области , если она разлагается в степенной ряд в некоторой окрестности каждой точки .

Ряды Тейлора некоторых элементарных функций:

, ; (7)

, ; (8)

, ; (9)

, ; (10)

, ; (11)

, . (12)

Формула (12) называется суммой бесконечной геометрической прогрессии и является следствием (11) при .

Пример 2.1. Разложить функцию в ряд по степеням и определить радиус сходимости ряда.

Решение. Найдем коэффициенты ряда Тейлора, пользуясь формулой (5):

Таким образом

Поскольку функция аналитична на всей комплексной плоскости, то по теореме 2 этот ряд сходится также при всех .

Пример 2.2. Разложить функцию в ряд по степеням и определить радиус сходимости ряда.

Решение. Преобразуем данную функцию:

Обозначим и воспользуемся разложением (12) для функции при . Получим:

Из условия следует, что полученный ряд сходится при , т. е. при .

Пример 2.3. Разложить функцию в ряд по степеням и определить радиус сходимости ряда.

Решение. Найдем нули знаменателя дроби: , . Так как , , то данная функция аналитична в круге как частное двух аналитических функций. Представим данную функцию в виде суммы простейших дробей:

Каждое слагаемое разложим в ряд по степеням , пользуясь формулой (12):

, ,

, .

Складывая полученные разложения и учитывая аналитичность функции в круге , получаем:

, .

Пример 2.4. Разложить функцию в ряд по степеням и определить радиус сходимости ряда.

Решение. Преобразуем данную функцию и воспользуемся разложением (9):

Полученный ряд сходится на всей комплексной плоскости, так как ряд (9) сходится при всех .

3. Ряд Лорана

Рядом Лорана называется выражение

, (13)

где , . Ряд Лорана называется сходящимся на множестве , если на этом множестве сходятся оба функциональных ряда:

(14)

. (15)

Суммой ряда Лорана (13) называется сумма , где и – суммы рядов (14) и (15) соответственно. Ряд (14) называется главной, а ряд (15) – правильной частью ряда Лорана. Ряд Лорана называется абсолютно сходящимся на множестве , если на этом множестве абсолютно сходятся ряды (14) и (15).

Ряды Лорана позволяют изучать функции, аналитические в кольцах , где , .

Теорема 3 (о сходимости ряда Лорана). Ряд Лорана сходится абсолютно внутри кольца , где – радиус сходимости степенного ряда (15), а – радиус сходимости степенного ряда

, (16)

если .

Теорема 4 (Лорана). Функция , аналитическая в кольце , представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана

где

, (17)

, .

Главная часть ряда Лорана сходится во внешности круга с центром в точке и радиусом , где , как и в случае степенных рядов, может быть найден (если существуют соответствующие пределы) по формулам:

(18)

или

. (19)

При эта область вырождается в в несобственную точку , а при – во всю плоскость, за исключением, возможно, .

Пример 3.1. Найти область сходимости ряда .

Решение. Найдем круг сходимости правильной части ряда, т. е. ряда . Воспользуемся формулой (4). Так как

то это круг . Для ряда

представляющего собой главную часть данного ряда,

поэтому его область сходимости . Исходный ряд сходится в кольце .

Пример 3.2. Разложить функцию в ряд Лорана в кольце .

Решение. Записав функцию в виде

замечаем, что данная функция является аналитической на всей комплексной плоскости, за исключением точек и , в которых знаменатель дроби обращается в нуль. Эти точки лежат на границе данного кольца (рис. 1).

Рис. 1

Это означает, что в самом кольце функция аналитическая и, следовательно, по теореме 4 разлагается в ряд Лорана с центром в точке . Для получения этого разложения представим функцию в виде

, где , .

Функция аналитична в большем круге . Разложим ее в ряд Тейлора с центром в точке . Преобразуем следующим образом:

Положим и воспользуемся разложением (12). Получим:

, .

Функция также разлагается в ряд по положительным степеням , но этот ряд сходится лишь в круге , а мы хотим разложить функцию вне этого круга. Нужно получить разложение этой функции по отрицательным степеням. Преобразуем функцию следующим образом:

Положим и воспользуемся разложением (12). Получим:

Этот ряд сходится при , т. е. при . Окончательно получаем:

, .

Пример 3.3. Найти все возможные разложения в ряд Лорана по степеням функции .

Решение. Данная функция является аналитической на всей комплексной плоскости, за исключением точек и , в которых знаменатель дроби обращается в нуль. Следовательно, по теореме 4 она разлагается в ряд Лорана в любом кольце с центром в точке , не содержащем точку . Получаем два кольца: и . Найдем разложение функции в ряд Лорана в кольце . Имеем

В кольце :

Таким образом, получены два разложения данной функции в ряд Лорана по степеням :

, ,

, .

4. Изолированные особые точки аналитических функций

Точка называется правильной точкой функции , если функция аналитична в этой точке. Если функция не является аналитической в точке , но аналитична в некоторой ее проколотой окрестности , то точка называется изолированной особой точкой функции .

Так как проколотую окрестность точки можно рассматривать как частный случай кольца, то функция разлагается в нем в ряд Лорана по степеням . В зависимости от вида этого ряда различают три типа изолированных особых точек.

Изолированная особая точка для функции называется

1) устранимой, если указанный ряд Лорана содержит только правильную часть:

;

2) полюсом, если главная часть ряда Лорана содержит лишь конечное число членов:

причем , . Число называется порядком полюса, при полюс называется простым.

3) существенно особой, если главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов:

причем для бесконечного числа отрицательных номеров .

Во многих вопросах комплексного анализа удобно рассматривать расширенную комплексную плоскость, т. е. плоскость, дополненную символической точкой .

Точка называется изолированной особой точкой функции , если аналитична в области (в окрестности бесконечно удаленной точки). В этом случае точка является изолированной особой точкой функции . Точка называется устранимой особой точкой, полюсом порядка или существенно особой точкой функции в зависимости от того, является ли точка устранимой особой точкой, полюсом порядка или существенно особой точкой функции .

Разложим функцию в ряд Лорана в кольце

и произведем замену переменной . Получим ряд

который называется рядом Лорана функции в окрестности бесконечно удаленной точки. Ряд называется главной, а ряд – правильной частью ряда Лорана функции в окрестности бесконечно удаленной точки. Если главная часть разложения отсутствует, то точка является устранимой особой точкой. В этом случае полагают по определению и говорят, что является правильной точкой функции . При этом, если является нулем порядка функции , то говорят, что является нулем порядка функции .

Теорема 5 (о связи между нулем и полюсом). Точка является полюсом порядка функции тогда и только тогда, когда она является нулем порядка функции .

Теорема 6 (о существенно особой точке). Если существует окрестность существенно особой точки аналитической функции , в которой , то точка является существенно особой и для функции .

Теорема 7 (Сохоцкого). Если – существенно особая точка функции , то для любого существует последовательность точек , , сходящаяся к точке , такая что .

Функция, аналитическая на всей комплексной плоскости, называется целой. Целая функция, для которой точка является существенно особой точкой, называется целой трансцендентной. Функция, аналитическая в области всюду, кроме полюсов, называется мероморфной в .

На практике при определении вида особых точек часто бывает полезен следующий простой факт:

если – нуль порядка аналитической функции , а функция аналитична в точке и , то – полюс порядка функции .

Пример 4.1. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид.

Решение. Данная функция представляет собой частное двух аналитических на всей комплексной плоскости функций, поэтому ее особыми точками могут быть только нули знаменателя. Найдем их:

, , .

Причем они являются простыми нулями.

Так как числитель ни в одной из этих точек не обращается в нуль, то по теореме 5 точки , , являются простыми полюсами исходной функции.

Пример 4.2. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид.

Решение. Данная функция как частное двух аналитических на всей комплексной плоскости функций может иметь особой точкой только нуль знаменателя, т. е. . Однако точка является также и нулем числителя. Поэтому для выяснения вида особенности разложим функцию в ряд Лорана по степеням :

Ряд не содержит отрицательных степеней , поэтому – устранимая особая точка.

Пример 4.3. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид.

Решение. Данная функция определена и дифференцируема на всей комплексной плоскости, за исключением точки . Это изолированная особая точка. Запишем ряд Лорана для функции в окрестности точки , пользуясь разложением (7) для функции , полагая :

Ряд содержит бесконечно много членов с отрицательными степенями. Поэтому точка – существенно особая.

Пример 4.4. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид.

Решение. Данная функция есть частное двух аналитических на всей комплексной плоскости функций. Поэтому ее особыми точками являются нули знаменателя:

, .

Так как числитель дроби в нуль не обращается, то эти точки являются полюсами. Определим порядки полюсов по порядкам нулей функции

Вычислим:

, , ,

, , .

Следовательно, точки () являются нулями второго порядка функции и, по теореме 5, полюсами второго порядка функции .

Вид изолированной особенности характеризует поведение функции в окрестности этой особенности:

если – устранимая особая точка функции , то существует конечный предел функции в точке ;

если – полюс, то при

если же – существенно особая точка, то указанного предела не существует.

Эти свойства являются характеристическими, т. е. справедливы и обратные утверждения.

Пример 4.5. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид, используя характеристические свойства особых точек.

Решение. Единственная особая точка данной функции – (см. пример 4.2). Так как

,

т. е. функция имеет конечный предел в точке , то является устранимой особой точкой данной функции.

5. Вычеты и их применение

Пусть – изолированная особая точка однозначной аналитической функции и – окружность такая, что в замкнутом круге нет других особых точек функции , кроме точки . Интеграл от функции по такой окружности , деленный на , называется вычетом функции в точке и обозначается .

Таким образом, по определению

.

Вычислять вычеты, исходя из определения, довольно трудно. Поэтому на практике применяются следующие утверждения:

Теорема 8 (о вычете относительно изолированной особой точки). Вычет функции в изолированной особой точке равен коэффициенту при в разложении функции в ряд Лорана в окрестности точки :

.

Если точка – полюс, то для определения вычета иногда можно и не находить разложение функции в ряд Лорана. Имеются более простые способы.

Теорема 9 (о вычете относительно полюса). Пусть – полюс порядка функции . Тогда

. (20)

Следствие. Если – простой полюс функции , то

. (21)

Вычисление вычета в простом полюсе еще более упрощается, если имеет вид:

,

где , , . Тогда

. (22)

Пример 5.1. Вычислить вычеты функции относительно каждой из ее особых точек.

Решение. В примере 4.3 установлено, что точка – существенно особая точка данной функции, и получено разложение функции в ряд Лорана в окрестности этой точки:

,

следовательно,

.

Пример 5.2. Вычислить вычеты функции относительно каждой из ее особых точек.

Решение. Особыми точками данной функции являются нули знаменателя – простой полюс и – полюс второго порядка. Найдем вычет относительно точки по формуле (21):

.

Для определения вычета относительно точки воспользуемся формулой (20) при :

.

Теория вычетов находит широкое применение благодаря следующему утверждению:

Теорема 10 (о вычетах). Пусть функция является аналитической в области всюду, за исключением конечного числа точек , . Пусть замкнутый контур содержится в области и не проходит через особые точки. Тогда интеграл от функции по контуру равен сумме вычетов функции относительно всех особых точек (), заключенных внутри , умноженной на :

.

Теорема 11 (о вычетах на расширенной комплексной плоскости). Пусть функция является аналитической на расширенной комплексной плоскости, кроме конечного числа точек , , ,…, . Тогда

.

Пример 5.3. Вычислить интеграл .

Решение. Особыми точками подынтегральной функции являются точки , , . Из них внутри окружности лежат только две: и . Поэтому по теореме 10

.

Обе эти точки являются для данной функции простыми полюсами. Воспользуемся формулой (22):

,

.

Следовательно,

.

Пример 5.4. Вычислить интеграл .

Решение. Внутри окружности лежат восемь полюсов второго порядка, а вне ее – простой полюс и . По формуле (21) найдем вычет в точке :

.

Для определения вычета в точке найдем несколько членов разложения подынтегральной функции в ряд Лорана в окрестности этой точки. Введем новую переменную , тогда

.

Так как функция аналитична в круге , то ее можно разложить в этом круге в степенной ряд:

, .

Тогда

,

или

, .

В полученном разложении коэффициент при равен нулю, т. е. . Значит по теореме 11

.

Варианты заданий для РГР

Задание 1. Разложить функцию в ряд по степеням и определить радиус сходимости полученного ряда.

1. а) , ; б) , .

2. а) , ; б) , .

3. а) , ; б) , .

4. а) , ; б) , .

5. а) , ; б) , .

6. а) , ; б) , .

7. а) , ; б) , .

8. а) , ; б) , .

9. а) , ; б) , .

10. а) , ; б) , .

11. а) , ; б) , .

12. а) , ; б) , .

13. а) , ; б) , .

14. а) , ; б) , .

15. а) , ; б) , .

16. а) , ; б) , .

17. а) , ; б) , .

18. а) , ; б) , .

19. а) , ; б) , .

20. а) , ; б) , .

21. а) , ; б) , .

22. а) , ; б) , .

23. а) , ; б) , .

24. а) , ; б) , .

25. а) , ; б) , .

26. а) , ; б) , .

27. а) , ; б) , .

28. а) , ; б) , .

29. а) , ; б) , .

30. а) , ; б) , .

Задание 2. Разложить функцию в ряд Лорана в указанном кольце.

1. , ;

2. , ;

3. , ;

4. , ;

5. , ;

6. , ;

7. , ;

8. , ;

9. , ;

10. , ;

11. , ;

12. , ;

13. , ;

14. , ;

15. , ;

16. , ;

17. , ;

18. , ;

19. , ;

20. , ;

21. , ;

22. , ;

23. , ;

24. , ;

25. , ;

26. , ;

27. , ;

28. , ;

29. , ;

30. , .

Задание 3. Найти все возможные разложения функции в ряд Лорана по степеням .

1. , ;

2. , ;

3. , ;

4. , ;

5. , ;

6. , ;

7. , ;

8. , ;

9. , ;

10. , ;

11. , ;

12. , ;

13. , ;

14. , ;

15. , ;

16. , ;

17. , ;

18. , ;

19. , ;

20. , ;

21. , ;

22. , ;

23. , ;

24. , ;

25. , ;

26. , ;

27. , ;

28. , ;

29. , ;

30. , .

Задание 4. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. .

Задание 5. Вычислить вычеты функции относительно каждой из ее особых точек.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. .

Задание 6. Вычислить интеграл.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. .

Литература

1. Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

2. Леонтьева Т. А. Лекции по теории функций комплексного переменного. – М.: Научный мир. 2004.

3. Лунц Г. Л., Эльсгольц Л. Э. Функции комплексного переменного (с элементами операционного исчисления). – М.: Лань, 2002.

4. Морозова В. Д. Теория функций комплексного переменного. – М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2009.

5. Пантелеев А. В., Якимова А. С. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах. – М.: Вузовская книга, 2012.

6. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике, 1, 2 часть. – М.: 2004.

7. Письменный Д. Т. Сборник задач по высшей математике, 1, 2 часть. – М.: 2004.

8. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

9. Шабунин М. И. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2006.

Антоненкова О. Е., Часова Н. А.

МАТЕМАТИКА

Теория функций
комплексной переменной

Методические указания и задания к расчетно-графической работе
для студентов всех направлений подготовки бакалавров
очной формы обучения

Формат Объем Тираж Заказ

Брянск, Станке Димитрова 3, Редакционно-издательский отдел

Отпечатано: Печатный цех БГИТА

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Источник

Пример 2.5. Найти сумму ряда .

Выясним интервал сходимости ряда. По признаку Даламбера для ряда из модулей получаем: .На концах интервала сходимости ряд расходится, так как при и при получаем ряды и , для которых не выполняется необходимый признак. Пусть сумма данного ряда . Далее, в области сходимости данного ряда проинтегрируем ряд почленно: .

Получили сумму геометрической прогрессии, где b=x, q=x.

, так как .

Итак, проинтегрированный ряд имеет сумму .

Следовательно, . Ответ:

Пример 2.6. Найти сумму ряда .

Выясним интервал сходимости ряда с помощью признака Даламбера: .

В точке получаем гармонический ряд . Он расходится. В точке получаем ряд ,сходящийся условно по признаку Лейбница. Следовательно, область сходимости степенного ряда .

Пусть сумма исходного ряда . В области сходимости почленно продифференцируем этот ряд:

Получили сумму геометрической прогрессии, где b=1, q=x.

Ответ: .

Задачи для самостоятельной работы.

Найти область сходимости ряда:

1. ; Ответ: 2. ; Ответ:

3. ; Ответ:

4. ; Ответ: 5. Ответ:

Часть 3. Разложение функций в степенные ряды.

Возможность почленного дифференцирования и интегрирования степенного ряда внутри его интервала сходимости, а также простота степенной функции, делают степенные ряды незаменимыми в теоретических и практических исследованиях. Встаёт вопрос о разложении функции в степенной ряд и нахождении области его сходимости.

Теорема. Функция , бесконечно дифференцируемая в некотором интервале , может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора , (3.1)

если в этом интервале выполняется условие , где

-остаточный член формулы Тейлора, . При получаем ряд Маклорена: .(3.2)

Замечание. Если в некотором интервале, содержащем точку , при любом n выполняется неравенство , М>0,то , и разложима в ряд Тейлора.

( Если последнее условие не выполняется, то формально построенный ряд Тейлора может быть сходящимся, но к другой функции.)

Пример 3.1. Можно ли разложить: а) в ряд Маклорена;

б) в ряд Тейлора по степеням ;

в) в ряд Маклорена?

Решение. а) нельзя разложить в ряд Маклорена, так как в точке ни функция, ни её производные не определены; б) разложить по степеням нельзя, так как в точке

функция определена, но является граничной точкой области определения, и производные в ней не определены;

в) можно разложить в ряд Маклорена, так как в точке определена как сама функция, так и её производная любого порядка.

Притом очевидно, что , то есть полученный ряд будет сходиться именно к .

Приёмы разложения функций в степенные ряды.

Непосредственное разложение функции в ряд Тейлора.

В этом случае, находя все , формально составляют ряд

и находят область сходимости этого ряда.

Пример 3.2. Разложить в ряд Тейлора по степеням .

а) Составим ряд Тейлора в виде .

Вычислим производные до n порядка и найдём их значения при .

………………. ………………………

Подставим вычисленные производные в ряд Тейлора:

б) Область сходимости полученного ряда: .

На концах интервала: – расходится, как гармонический ряд. – сходится условно.

Итак, область сходимости полученного ряда .

в) Чтобы ответить на вопрос, сходится ли полученный ряд именно к функции , проверим выполнимость условия .

, , .Следовательно, ряд в области сходится к функции , т. е. является разложением данной функции по степеням .

Отметим, что непосредственное разложение функций в ряд Тейлора не всегда позволяет получить разложение вида ,

так как найти общую формулу бывает затруднительно. В таких случаях либо ограничиваются конечным числом членов степенного ряда, либо пользуются разложениями в степенной ряд элементарных функций.

Разложение в степенные ряды с использованием представления основных элементарных функций в виде ряда Маклорена.

Имеют место разложения в ряды Маклорена следующих функций:

(3.9)

Используя эти разложения, можно находить разложения других функций. При этом отпадает необходимость исследования поведения остаточного члена , так как интервалы сходимости рядов, полученных для основных элементарных функций, известны.

Прежде чем приступить к дальнейшему рассмотрению, напомним некоторые свойства элементарных функций и формулы, их связывающие:

Пример 3.3. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням . (Это второй способ решения примера 3.2.) Сведём задачу о

разложении в ряд Тейлора к разложению в ряд Маклорена, используя замену переменной. .

Найдём область сходимости ряда к данной функции. Из разложения (3.8) имеем: .

Сравнивая результаты примеров 3.2 и 3.3, видим, что данный способ позволяет получить результат более рационально.

Пример 3.4. Разложить функцию по степеням .

Как и в предыдущем примере, сведём задачу о разложении в ряд Тейлора к разложению в ряд Маклорена с помощью линейной замены:

Область сходимости полученного ряда: .

Пример 3.5. Разложить функцию по степеням .

(Далее, с помощью формул (3.4) и (3.5), считая , получаем):

Заметим, что в полученном разложении присутствуют все степени 2t, начиная с нулевой. Попробуем объединить оба ряда в один вида :

Окончательно,

P.S. Чередование знака по два в общем элементе можно записать следующим образом: , или .

Пример 3.6. Разложить функцию по степеням .

Далее, используя формулу (3.3), принимая в ней , получаем:

. Получившиеся три ряда имеют одинаковые степени, начиная с . Преобразуем результат в одну сумму вида . Сначала «сместим» индексы так, чтобы в каждой из сумм степени t были одинаковыми. Для этого в первой сумме заменим n+2 на n, во второй заменим n+1 на n. Суммы станут выглядеть так:

У всех трёх сумм одинаковы степени t, начиная с .Вычислим слагаемые с меньшими степенями t, т.е. и .

Ответ: .

Пример 3.7. Разложить функцию по степеням .

Представим полученную дробь в виде суммы простых дробей методом неопределённых коэффициентов:

. Итак, исходную функцию можно представить в виде: .

Далее, с помощью (3.10),получим: .

Так как , область сходимости этого ряда .

Аналогично, .

Так как , область сходимости этого ряда .

Окончательно,

Область сходимости полученного ряда: .

Пример 3.8. Разложить функцию по степеням x.

Область сходимости данного ряда: .

Пример 3.9. Разложить функцию в ряд Маклорена.

. Напомним, что степенной ряд можно почленно интегрировать в области сходимости. Разложим с помощью формулы (3.9) для m=-1/2 в ряд Маклорена функцию ,а затем, проинтегрировав полученный ряд, получим разложение исходной функции.

. Область сходимости полученного ряда .

Контрольное задание.

Разложить данные функции в ряды по степеням и найти

области сходимости полученных рядов:

1. ; Ответ: a) b) , .

2. Ответ: .

3. Ответ: , .

4. Ответ: ,

5. Ответ: , .

6. Ответ: .

7. Ответ: a) , b) .

8. Используя метод интегрирования степенного ряда, разложить в ряд Маклорена и указать область сходимости:

Ответ:

Часть 4. Приближённое вычисление определённых интегралов при помощи степенных рядов.

Многие определённые интегралы не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, так как первообразная не всегда выражается в элементарных функциях. Если подынтегральная функция разлагается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат области сходимости этого ряда, то определённый интеграл можно вычислить приближённо.

Приближённое вычисление суммы S сходящегося числового ряда связано с оценкой погрешности, допускаемой при замене S частичной суммой . с точностью до .

Оценка остаточного члена числового ряда.

а) Для знакочередующихся рядов, удовлетворяющих условиям признака Лейбница, .

б) Построение мажорирующей геометрической прогрессии для оценки погрешности знакопостоянного ряда.( ).

Пример 4.1. Вычислить интеграл с точностью до δ=0,001.Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена:

Получили знакочередующийся ряд. Его область сходимости Область интегрирования принадлежит области сходимости, следовательно, полученный ряд можно интегрировать: