Как найти все решения квадратного уравнения - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение второй степени с общим видом

${displaystyle ax^{2}+bx+c=0,;aneq 0,}$

в котором — неизвестное, а коэффициенты , и — вещественные или комплексные числа.

Корень уравнения $ax^{2}+bx+c=0$ — это значение неизвестного , обращающее квадратный трёхчлен ${displaystyle ax^{2}+bx+c}$ в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство. Также это значение называется корнем самого многочлена ${displaystyle ax^{2}+bx+c.}$

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия^[1]:

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице^[1]. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент :

${displaystyle x^{2}+px+q=0,quad p={dfrac {b}{a}},quad q={dfrac {c}{a}}.}$

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

Квадратное уравнение является разрешимым в радикалах, то есть его корни могут быть выражены через коэффициенты в общем виде.

Исторические сведения о квадратных уравнениях[править | править код]

Древний Вавилон[править | править код]

Уже во втором тысячелетии до нашей эры вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения^[1]. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:

$x^{2}+x={frac {3}{4}}; x^{2}-x=14{frac {1}{2}}.$

Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.

Индия[править | править код]

Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанным индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Один из первых известных выводов формулы корней квадратного уравнения принадлежит индийскому учёному Брахмагупте (около 598 г.)^[1]; Брахмагупта изложил универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду: ${displaystyle ax^{2}+bx=c;}$ притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.

Корни квадратного уравнения на множестве действительных чисел[править | править код]

I способ. Общая формула для вычисления корней с помощью дискриминанта[править | править код]

Дискриминантом квадратного уравнения ${displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ называется величина ${displaystyle {mathcal {D}}=b^{2}-4ac}$ .

Условие
Количество корней	Два корня	Один корень кратности 2 (другими словами, два равных корня)	Действительных корней нет
Формула	${displaystyle x_{1,2}={frac {-bpm {sqrt {mathcal {D}}}}{2a}}}$ (1)	${displaystyle x=-{frac {b}{2a}}}$	—

Данный метод универсальный, однако не единственный.

II способ. Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b[править | править код]

Для уравнений вида $ax^{2}+2kx+c=0$ , то есть при чётном , где

$k={frac {1}{2}}b,$

вместо формулы (1) для нахождения корней существует возможность использования более простых выражений^[1].

Примечание: данные ниже формулы можно получить, подставив в стандартные формулы выражение b = 2k, через несложные преобразования.

Дискриминант	Корни
неприведённое	приведённое	D > 0	неприведённое	приведённое
удобнее вычислять значение четверти дискриминанта: ${frac {D}{4}}=k^{2}-ac$ Все необходимые свойства при этом сохраняются.	${frac {D}{4}}=k^{2}-c$ .	$x_{1,2}={frac {-kpm {sqrt {k^{2}-ac}}}{a}}.$	$x_{1,2}=-kpm {sqrt {k^{2}-c}}$
D = 0	$x={frac {-k}{a}}$

III способ. Решение неполных квадратных уравнений[править | править код]

К решению неполных квадратных уравнений практикуется особый подход. Рассматриваются три возможных ситуации.

IV способ. Использование частных соотношений коэффициентов[править | править код]

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту[править | править код]

Если в квадратном уравнении $ax^{2}+bx+c=0$ сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту: a+c=b , то его корнями являются и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту ( $-{frac {c}{a}}$ ).

Доказательство

Способ 1. Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня (в том числе, два совпадающих):

${displaystyle {mathcal {D}}=b^{2}-4ac=(a+c)^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c^{2}=(a-c)^{2}}$

Да, это так, ведь при любых действительных значениях коэффициентов $(a-c)^{2}geqslant 0$ , а значит и дискриминант неотрицателен. Таким образом, если anot =c , то уравнение имеет два корня, если же a=c , то оно имеет только один корень.
Найдём эти корни:

${displaystyle x_{1,2}={frac {-bpm {sqrt {mathcal {D}}}}{2a}}={frac {-(a+c)pm {sqrt {(a-c)^{2}}}}{2a}}={frac {-a-cpm |a-c|}{2a}}={frac {-a-cpm amp c}{2a}}}$

$x_{1}={frac {-a-c-a+c}{2a}}={frac {-2a}{2a}}=-1;$

$x_{2}={frac {-a-c+a-c}{2a}}={frac {-2c}{2a}}=-{frac {c}{a}}.$

В частности, если a=c , то корень будет один: -1.

Способ 2.

Геометрическая интерпретация: парабола, заданная аналитически указанной формулой, пересекает ось x в двух точках, абсциссами которых и являются корни, хотя бы один из которых равен -1

Используем геометрическую модель корней квадратного уравнения: их мы будем рассматривать как точки пересечения параболы $y=ax^{2}+bx+c$ с осью абсцисс. Всякая парабола вне зависимости от задающего её выражения является фигурой, симметричной относительно прямой $x=-{frac {b}{2a}}$ . Это означает, что отрезок всякой перпендикулярной к ней прямой, отсекаемый на ней параболой, делится осью симметрии пополам. Сказанное, в частности, верно и для оси абсцисс. Таким образом, для всякой параболы справедливо одно из следующих равенств: $-{frac {b}{2a}}+rho (x_{1};-{frac {b}{2a}})=x_{2}$ (если $x_{1}<x_{2}$ ) или $-{frac {b}{2a}}-rho (-{frac {b}{2a}};x_{1})=x_{2}$ (если верно неравенство противоположного смысла). Используя тождество , выражающее геометрический смысл модуля, а также принимая, что $x_{1}=-1$ (это можно доказать, подставив равенство в квадратный трёхчлен: $acdot (-1)^{2}+bcdot (-1)+c=(a+c)-b=0$ , поэтому -1 – корень такого уравнения) , приходим к следующему равенству: $-{frac {b}{2a}}pm |-{frac {b}{2a}}-(-1)|=x_{2}.$ Если учитывать, что разность в том случае, когда мы прибавляем модуль, всегда положительна, а в том, когда отнимаем – отрицательна, что говорит о тождественности этих случаев, и, к тому же, помня о равенстве b-a=c , раскрываем модуль: $x_{2}=-{frac {b}{2a}}-{frac {b}{2a}}+1=-{frac {2b-2a}{2a}}=-{frac {b-a}{a}}=-{frac {c}{a}}$ . Во втором случае,совершив аналогичные преобразования, придём к тому же результату, ч.т.д.

Отсюда следует, что перед решением какого-либо квадратного уравнения целесообразна проверка возможности применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.

Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю[править | править код]

Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю ( a+b+c=0 ), то корнями такого уравнения являются и отношение свободного члена к старшему коэффициенту ( ${frac {c}{a}}$ ).

Доказательство

Способ 1. Прежде всего заметим, что из равенства a+b+c=0 следует, что
Установим количество корней:

${displaystyle {mathcal {D}}=b^{2}-4ac=(-(a+c))^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c^{2}=(a-c)^{2}.}$

При любых значениях коэффициентов уравнение имеет хотя бы один корень: действительно, ведь при любых значениях коэффициентов $(a-c)^{2}geqslant 0$ , а значит и дискриминант неотрицателен. Обратите внимание, что если anot =c , то уравнение имеет два корня, если же a=c , то только один.
Найдём эти корни:

${displaystyle x_{1,2}={frac {-bpm {sqrt {mathcal {D}}}}{2a}}={frac {a+cpm {sqrt {(a-c)^{2}}}}{2a}}={frac {a+cpm |a-c|}{2a}}={frac {a+cpm amp c}{2a}};}$

$x_{1}={frac {a+c+a-c}{2a}}={frac {2a}{2a}}=1;$

$x_{2}={frac {a+c-a+c}{2a}}={frac {2c}{2a}}={frac {c}{a}},$

что и требовалось доказать.

В частности, если a=c

, то уравнение имеет только один корень, которым является число

Способ 2. Пользуясь данным выше определением корня квадратного уравнения, обнаруживаем путём подстановки, что число 1 является таковым в рассматриваемом случае: $acdot 1^{2}+bcdot 1+c=0$ – верное равенство, следовательно, единица – корень такого вида квадратных уравнений. Далее, по теореме Виета находим второй корень: согласно этой теореме, произведение корней уравнения равно числу, равному отношению свободного члена к старшему коэффициенту – $x_{1}x_{2}={frac {c}{a}}Rightarrow x_{2}={frac {c}{ax_{1}}}={frac {c}{acdot 1}}={frac {c}{a}}$ , ч.т.д.

Отсюда следует, что перед решением уравнения стандартными методами целесообразна проверка применимости к нему этой теоремы, а именно сложение всех коэффициентов данного уравнения и установление, не равна ли нулю эта сумма.

V способ. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители[править | править код]

Если трёхчлен вида ${displaystyle ax^{2}+bx+c~(anot =0)}$ удастся каким-либо образом представить в качестве произведения линейных множителей , то можно найти корни уравнения $ax^{2}+bx+c=0$ — ими будут $-{frac {m}{k}}$ и $-{frac {n}{l}}$ , действительно, ведь ${displaystyle (kx+m)(lx+n)=0Longleftrightarrow {biggl [}{begin{array}{lcl}kx+m=0,\lx+n=0,end{array}}}$ а решив указанные линейные уравнения, получим вышеописанное. Квадратный трёхчлен не всегда раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами: это возможно, если соответствующее ему уравнение имеет действительные корни.

Рассматриваются некоторые частные случаи.

Использование формулы квадрата суммы (разности)[править | править код]

Если квадратный трёхчлен имеет вид $(ax)^{2}+2abx+b^{2}$ , то применив к нему названную формулу, можно разложить его на линейные множители и, значит, найти корни:

${displaystyle (ax)^{2}+2abx+b^{2}=(ax+b)^{2},}$

${displaystyle (ax+b)^{2}=0,}$

$x=-{frac {b}{a}}.$

Выделение полного квадрата суммы (разности)[править | править код]

Также названную формулу применяют, пользуясь методом, получившим названия «выделение полного квадрата суммы (разности)». Применительно к приведённому квадратному уравнению с введёнными ранее обозначениями, это означает следующее:

прибавляют и отнимают одно и то же число:
$x^{2}+px+({frac {p}{2}})^{2}-({frac {p}{2}})^{2}+q=0;$ .
применяют формулу к полученному выражению, переносят вычитаемое и свободный член в правую часть:
${displaystyle (x^{2}+2{frac {p}{2}}x+({frac {p}{2}})^{2})+(-({frac {p}{2}})^{2}+q)=0,}$
$(x+{frac {p}{2}})^{2}={frac {p^{2}}{4}}-q;$
извлекают из левой и правой частей уравнения квадратный корень и выражают переменную:
${displaystyle x+{frac {p}{2}}=pm {sqrt {{frac {p^{2}}{4}}-q}},}$
$x_{1,2}=-{frac {p}{2}}pm {sqrt {{frac {p^{2}}{4}}-q}}.$

Примечание: данная формула совпадает с предлагаемой в разделе «Корни приведённого квадратного уравнения», которую, в свою очередь, можно получить из общей формулы (1) путём подстановки равенства a = 1. Этот факт не просто совпадение: описанным методом, произведя, правда, некоторые дополнительные рассуждения, можно вывести и общую формулу, а также доказать свойства дискриминанта.

VI способ. Использование прямой и обратной теоремы Виета[править | править код]

Прямая теорема Виета (см. ниже) и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к вычислениям по формуле (1).

Согласно обратной теореме, всякая пара чисел (число) $x_{1},x_{2}$ , будучи решением системы уравнений

${displaystyle {begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p,\x_{1}x_{2}=q,end{cases}}}$

являются корнями уравнения $x^{2}+px+q=0$

Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом:

1) если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения;

2) если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента.

VII способ. Метод «переброски»[править | править код]

По своей сущности метод «переброски» является просто модификацией теоремы Виета.

Метод «переброски» — это сведение уравнения, которое нельзя привести так, чтобы все коэффициенты остались целыми, к приведённому уравнению с целыми коэффициентами:

1) умножаем обе части на старший коэффициент:

${displaystyle ax^{2}+bx+c=0quad mid ;cdot a,}$

${displaystyle (ax)^{2}+b(ax)+ac=0;}$

2) заменяем

${displaystyle y^{2}+by+ac=0.}$

Далее решаем уравнение относительно y по методу, описанному выше, и находим x = y/a.

Как можно заметить, в методе «переброски» старший коэффициент как раз «перебрасывается» к свободному члену.

Графическое решение квадратного уравнения[править | править код]

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня (см. изображение справа.)

Если коэффициент положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент положительный (при положительном , при отрицательном наоборот), то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.

Графический способ решения квадратных уравнений[править | править код]

Помимо универсального способа, описанного выше, существует так называемый графический способ. В общем виде этот способ решения рационального уравнения вида заключается в следующем: в одной системе координат строят графики функций y=f(x) и y=g(x) и находят абсциссы общих точек этих графиков; найденные числа и будут корнями уравнения.

Есть всего пять основных способов графического решения квадратных уравнений.

Приём I[править | править код]

Для решения квадратного уравнения $ax^{2}+bx+c=0$ строится график функции $y=ax^{2}+bx+c$
и отыскиваются абсциссы точек пересечения такого графика с осью .

Приём II[править | править код]

Для решения того же уравнения этим приёмом уравнение преобразуют к виду $ax^{2}=-bx-c$
и строят в одной системе координат графики квадратичной функции $y=ax^{2}$ и линейной функции y=-bx-c , затем находят абсциссу точек их пересечения.

Приём III[править | править код]

Данный приём подразумевает преобразование исходного уравнения к виду $a(x+l)^{2}+m=0$ , используя метод выделения полного квадрата суммы (разности) и затем в $a(x+l)^{2}=-m$ . После этого строятся график функции $y=a(x+l)^{2}$ (им является график функции $y=ax^{2}$ , смещённый на |l| единиц масштаба вправо или влево в зависимости от знака) и прямую y=-m , параллельную оси абсцисс. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой.

Приём IV[править | править код]

Квадратное уравнение преобразуют к виду $ax^{2}+c=-bx$ , строят график функции $y=ax^{2}+c$ (им является график функции $y=ax^{2}$ , смещённый на единиц масштаба вверх, если этот коэффициент положителен, либо вниз, если он отрицателен), и y=-bx , находят абсциссы их общих точек.

Приём V[править | править код]

Квадратное уравнение преобразуют к особому виду:

${displaystyle {dfrac {ax^{2}}{x}}+{dfrac {bx}{x}}+{dfrac {c}{x}}={dfrac {0}{x}};}$

${displaystyle ax+b+{dfrac {c}{x}}=0;}$

затем

${displaystyle ax+b=-{dfrac {c}{x}}.}$

Совершив преобразования, строят графики линейной функции y=ax+b и обратной пропорциональности $y=-{frac {c}{x}}; (cnot =0)$ , отыскивают абсциссы точек пересечения этих графиков. Этот приём имеет границу применимости: если c=0 , то приём не используется.

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки[править | править код]

Описанные выше приёмы графического решения имеют существенные недостатки: они достаточно трудоёмки, при этом точность построения кривых — парабол и гипербол — низка. Указанные проблемы не присущи предлагаемому ниже методу, предполагающему относительно более точные построения циркулем и линейкой.

Чтобы произвести такое решение, нужно выполнить нижеследующую последовательность действий.

Построить в системе координат окружность с центром в точке ${displaystyle Sleft(-{dfrac {b}{2a}};{dfrac {a+c}{2a}}right)}$ , пересекающую ось в точке .
Далее возможны три случая:

Доказательство

Иллюстрация к доказательству.

Рассматриваемый способ предполагает построение окружности, пересекающей ось ординат в точках (точке), абсциссы которых являются корнями (или корнем) решаемого уравнения. Как нужно строить такую окружность? Предположим, что она уже построена. Окружность определяется однозначно заданием трёх своих точек. Пусть в случае, если корня два, это будут точки $A(x_{1};0),B(x_{2};0),C(0;1)$ , где $x_{1},x_{2}$ , естественно, действительные корни квадратного уравнения (подчёркиваем: если они имеются). Найдём координаты центра такой окружности. Для этого докажем, что эта окружность проходит через точку $D(0;{frac {c}{a}})$ . Действительно, согласно теореме о секущих, в принятых обозначениях выполняется равенство (см рисунок). Преобразовывая это выражение, получаем величину отрезка OD, которой и определяется искомая ордината точки D: ${displaystyle OD={dfrac {OAcdot OB}{OC}}={frac {x_{1}x_{2}}{1}}={frac {c}{a}}}$ (в последнем преобразовании использована теорема Виета (см. ниже в одноимённом разделе)). Если же корень один, то есть ось абсцисс будет касательной к такой окружности, и окружность пересекает ось y в точке с ординатой 1, то она обязательно пересечёт её и в точке с указанной выше ординатой (в частности, если 1=c/a, это могут быть совпадающие точки), что доказывается аналогично с использованием уже теоремы о секущей и касательной, являющаяся частным случаем теоремы о секущих. В первом случае ( ${displaystyle {dfrac {c}{a}}not =1}$ ), определяющими будут точка касания, точка оси y с ординатой 1, и её же точка с ординатой ${displaystyle {dfrac {c}{a}}}$ . Если c/a и 1 – совпадающие точки, а корня два, определяющими будут эта точка и точки пересечения с осью абсцисс. В случае, когда (1=c/a) и корень один, указанных сведений достаточно для доказательства, так как такая окружность может быть только одна – её центром будет вершина квадрата, образуемого отрезками касательных и перпендикулярами, а радиус – стороне этого квадрата, составляющей 1. Пускай S – центр окружности, имеющей с осью абсцисс две общие точки. Найдём его координаты: для этого опустим от этой точки перпендикуляры к координатным осям. Концы этих перпендикуляров будут серединами отрезков AB и CD – ведь треугольники ASB и CSD равнобедренные, так как в них AS=BS=CS=DS как радиусы одной окружности, следовательно, высоты в них, проведённые к основаниям, также являются и медианами. Найдём координаты середин названных отрезков. Так как парабола симметрична относительно прямой ${displaystyle x=-{dfrac {b}{2a}}}$ , то точка этой прямой с такой же абсциссой будет являться серединой отрезка AB. Следовательно, абсцисса точки S равна этому числу. В случае же, если уравнение имеет один корень, то ось x является касательной по отношению к окружности,поэтому, согласно её свойству, её радиус перпендикулярен оси, следовательно, и в этом случае указанное число – абсцисса центра. Её ординату найдём так: ${displaystyle {dfrac {CD}{2}}={dfrac {OC+(OC+CD)}{2}}={dfrac {OC+OD}{2}}={dfrac {1+{dfrac {c}{a}}}{2}}={dfrac {a+c}{2a}}}$ . В третьем из возможных случаев, когда ca=1 (и, значит, a=c), то ${displaystyle {dfrac {c}{a}}=1={dfrac {2a}{2a}}={dfrac {a+c}{2a}}}$ .

Итак, нами найдены необходимые для построения данные. Действительно, если мы построим окружность с центром в точке ${displaystyle S(-{dfrac {b}{2a}};{dfrac {c+a}{2a}})}$ , проходящую через точку C(0;1) , то она, в случаях, когда уравнение имеет действительные корни, пересечёт ось x в точках, абсциссы которых есть эти корни. Причём, если длина радиуса больше длины перпендикуляра к оси Ox, то уравнение имеет два корня (предположив обратное, мы бы получили противоречие с доказанным выше), если длины равны, то один (по той же причине), если же длина радиуса меньше длины перпендикуляра, то окружность не имеет общих точек с осью x, следовательно, и действительных корней у уравнения нет (доказывается тоже от противного: если корни есть, то окружность, проходящая через A, B, C совпадает с данной, и поэтому пересекает ось, однако она не должна пересекать ось абсцисс по условию, значит, предположение неверно).

Корни квадратного уравнения на множестве комплексных чисел[править | править код]

Уравнение с действительными коэффициентами[править | править код]

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами a,~b,~c всегда имеет с учётом кратности два комплексных корня, о чём гласит основная теорема алгебры. При этом, в случае неотрицательного дискриминанта корни будут вещественными, а в случае отрицательного — комплексно-сопряжёнными:

Уравнение с комплексными коэффициентами[править | править код]

В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле (1) и указанным выше её вариантам, но различимыми являются только два случая: нулевого дискриминанта (один двукратный корень) и ненулевого (два корня единичной кратности).

Корни приведённого квадратного уравнения[править | править код]

Квадратное уравнение вида $x^{2}+px+q=0,$ в котором старший коэффициент равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до

$x_{1,2}=-{frac {p}{2}}pm {sqrt {left({frac {p}{2}}right)^{2}-q}}.$

Мнемонические правила:

Из «Радионяни»:

«Минус» напишем сначала,
Рядом с ним p пополам,
«Плюс-минус» знак радикала,
С детства знакомого нам.
Ну, а под корнем, приятель,
Сводится всё к пустяку:
p пополам и в квадрате
Минус прекрасное^[2] q.

Из «Радионяни» (второй вариант):

p, со знаком взяв обратным,
На два мы его разделим,
И от корня аккуратно
Знаком «минус-плюс» отделим.
А под корнем очень кстати
Половина p в квадрате
Минус q — и вот решенья,
То есть корни уравненья.

Из «Радионяни» (третий вариант на мотив Подмосковных вечеров):

Чтобы x найти к половине p,

Взятой с минусом не забудь,
Радикал приставь с плюсом минусом,
Аккуратно, не как-нибудь.
А под ним квадрат половины p,

Ты, убавь на q и конец,
Будет формула приведенная,
Рассуждений твоих венец.
Будет формула приведенная,
Рассуждений твоих венец.

Теорема Виета ^[3][править | править код]

Формулировка для приведённого квадратного уравнения[править | править код]

Сумма корней приведённого квадратного уравнения $x^{2}+px+q=0$ (вещественных или комплексных) равна второму коэффициенту , взятому с противоположным знаком, а произведение этих корней — свободному члену :

$x_{1}+x_{2}=-p,quad x_{1}x_{2}=q.$

С его помощью приведённые уравнения можно решать устно:

Для неприведённого квадратного уравнения[править | править код]

В общем случае, то есть для неприведённого квадратного уравнения ${displaystyle ax^{2}+bx+c=0colon }$

${displaystyle {begin{cases}x_{1}+x_{2}=-b/a,\x_{1}x_{2}=c/a.end{cases}}}$

На практике (следуя методу «переброски») для вычисления корней применяется модификация теорема Виета:

${displaystyle {begin{cases}x_{1}+x_{2}=-b/a&mid cdot a,\x_{1}x_{2}=c/a&mid cdot a^{2};end{cases}}}$

${displaystyle {begin{cases}(ax_{1})+(ax_{2})=-b,\(ax_{1})(ax_{2})=ac,end{cases}}}$

по которой можно устно находить ax₁, ax₂, а оттуда — сами корни:

Но у некоторых неприведённых уравнений корни можно устно угадать даже по стандартной теореме Виета:

Разложение квадратного трёхчлена на множители и теоремы, следующие из этого[править | править код]

Если известны оба корня квадратного трёхчлена, его можно разложить по формуле

${displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})}$

(2)

Доказательство[править | править код]

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, корни $x_{1}$ и $x_{2}$ квадратного уравнения $ax^{2}+bx+c=0$ образуют соотношения с его коэффициентами: ${displaystyle x_{1}+x_{2}=-{frac {b}{a}}, x_{1}x_{2}={frac {c}{a}}}$ . Подставим эти соотношения в квадратный трёхчлен:

${displaystyle {begin{alignedat}{2}ax^{2}+bx+c&=a(x^{2}+{frac {b}{a}}x+{frac {c}{a}})=a(x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2})=\&=a(x^{2}-x_{1}x-x_{2}x+x_{1}x_{2})=a(x(x-x_{1})-x_{2}(x-x_{1}))\&=a(x-x_{1})(x-x_{2}).end{alignedat}}}$

В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.

Из формулы (2) имеются два важных следствия:

Следствие 1[править | править код]

Если квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами, то он имеет вещественные корни.

Доказательство[править | править код]

Пусть $ax^{2}+bx+c=(kx+m)(nx+l)$ . Тогда, переписав это разложение, получим:

$(kx+m)(nx+l)=k(x+{frac {m}{k}})n(x+{frac {l}{n}})=kn(x-(-{frac {m}{k}}))(x-(-{frac {l}{n}}))$

Сопоставив полученное выражение с формулой (2), находим, что корнями такого трёхчлена являются $-{frac {m}{k}}$ и $-{frac {l}{n}}$ . Так как коэффициенты вещественны, то и числа, противоположные их отношениям также являются элементами множества .

Следствие 2[править | править код]

Если квадратный трёхчлен не имеет вещественных корней, то он не раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами.

Доказательство[править | править код]

Действительно, если мы предположим противное (что такой трёхчлен раскладывается на линейные множители), то, согласно следствию 1, он имеет корни в множестве , что противоречит условию, а потому наше предположение неверно, и такой трёхчлен не раскладывается на линейные множители.

Для квадратичной функции:
f (x) = x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2) действительной переменной x, x — координаты точки, где график пересекает ось абсцисс, x = −1 и x = 2, являются решениями квадратного уравнения: x² − x − 2 = 0.

Уравнения, сводящиеся к квадратным[править | править код]

Алгебраические[править | править код]

Уравнение вида $acdot f^{2}(x)+bcdot f(x)+c=0$ является уравнением, сводящимся к квадратному.

В общем случае оно решается методом введения новой переменной, то есть заменой где — множество значений функции , c последующим решением квадратного уравнения $acdot t^{2}+bcdot t+c=0$ .

Также при решении можно обойтись без замены, решив совокупность двух уравнений:

$f(x)={frac {-b-{sqrt {b^{2}-4cdot acdot c}}}{2a}}$

$f(x)={frac {-b+{sqrt {b^{2}-4cdot acdot c}}}{2a}}$

К примеру, если $f(x)=x^{2}$ , то уравнение принимает вид:

${displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0.}$

Такое уравнение 4-й степени называется биквадратным^[4]^[1].

С помощью замены

$y=x+{dfrac {k}{x}}$

к квадратному уравнению сводится уравнение

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+kbx+k^{2}a=0,$

известное как возвратное или обобщённо-симметрическое уравнение^[1].

Дифференциальные[править | править код]

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

подстановкой $y=e^{kx}$ сводится к характеристическому квадратному уравнению:

$k^{2}+pk+q=0$

Если решения этого уравнения $k_{1}$ и $k_{2}$ не равны друг другу, то общее решение имеет вид:

$y=Ae^{k_{1}x}+Be^{k_{2}x}$

, где

— произвольные постоянные.

Для комплексных корней $k_{1,2}=k_{r}pm k_{i}i$ можно переписать общее решение, используя формулу Эйлера:

${displaystyle y=e^{k_{r}x}left(Acos {k_{i}x}+Bsin {k_{i}x}right)=Ce^{k_{r}x}cos(k_{i}x+varphi ),}$

где A, B, C, φ — любые постоянные. Если решения характеристического уравнения совпадают $k_{1}=k_{2}=k$ , общее решение записывается в виде:

$y=Axe^{kx}+Be^{kx}$

Уравнения такого типа часто встречаются в самых разнообразных задачах математики и физики, например, в теории колебаний или теории цепей переменного тока.

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Квадратное уравнение; Квадратный трёхчлен // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 133-136. — 352 с.

Ссылки[править | править код]

Weisstein, Eric W. Quadratic Equation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Вывод формулы корней полного квадратного уравнения. Решение приведённых квадратных уравнений и уравнений с чётным вторым коэффициентом Архивная копия от 28 января 2016 на Wayback Machine / Фестиваль педагогических идей «Открытый урок».
Математические методы

Источник

Решение квадратных уравнений

6 июля 2011

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

Не имеют корней;
Имеют ровно один корень;
Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b² − 4ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

Если D < 0, корней нет;
Если D = 0, есть ровно один корень;
Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

x² − 8x + 12 = 0;

5x² + 3x + 7 = 0;

x² − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8)² − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3² − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6)² − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Задача. Решить квадратные уравнения:

x² − 2x − 3 = 0;

15 − 2x − x² = 0;

x² + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x² − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2)² − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x² = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2)² − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

[begin{align} & {{x}_{1}}=frac{2+sqrt{64}}{2cdot left( -1 right)}=-5; \ & {{x}_{2}}=frac{2-sqrt{64}}{2cdot left( -1 right)}=3. \ end{align}]

Наконец, третье уравнение:
x² + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12² − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

[x=frac{-12+sqrt{0}}{2cdot 1}=-6]

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

x² + 9x = 0;
x² − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax² + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax² = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax² + c = 0. Немного преобразуем его:

Решение неполного квадратного уравнения

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c/a) ≥ 0. Вывод:

Если в неполном квадратном уравнении вида ax² + c = 0 выполнено неравенство (−c/a) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
Если же (−c/a) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c/a) ≥ 0. Достаточно выразить величину x² и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax² + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

x² − 7x = 0;

5x² + 30 = 0;

4x² − 9 = 0.

x² − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x₁ = 0; x₂ = −(−7)/1 = 7.

5x² + 30 = 0 ⇒ 5x² = −30 ⇒ x² = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x² − 9 = 0 ⇒ 4x² = 9 ⇒ x² = 9/4 ⇒ x₁ = 3/2 = 1,5; x₂ = −1,5.

Смотрите также:

Теорема Виета
Следствия из теоремы Виета
Тест на тему «Значащая часть числа»
Метод коэффициентов, часть 1
Однородные тригонометрические уравнения: общая схема решения
Задача B4: строительные бригады

Источник

В продолжение темы «Решение уравнений» материал данной статьи познакомит вас с квадратными уравнениями.

Рассмотрим все подробно: суть и запись квадратного уравнения, зададим сопутствующие термины, разберем схему решения неполных и полных уравнений, познакомимся с формулой корней и дискриминантом, установим связи между корнями и коэффициентами, ну и конечно приведем наглядное решение практических примеров.

Квадратное уравнение, его виды

Определение 1

Квадратное уравнение – это уравнение, записанное как a·x2+b·x+c=0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, при этом a не есть нуль.

Зачастую квадратные уравнения также носят название уравнений второй степени, поскольку по сути квадратное уравнение есть алгебраическое уравнение второй степени.

Приведем пример для иллюстрации заданного определения: 9·x2+16·x+2=0; 7,5·x2+3,1·x+0,11=0 и т.п. – это квадратные уравнения.

Определение 2

Числа a, b и c – это коэффициенты квадратного уравнения a·x2+b·x+c=0, при этом коэффициент a носит название первого, или старшего, или коэффициента при x2, b – второго коэффициента, или коэффициента при x, а c называют свободным членом.

К примеру, в квадратном уравнении 6·x2−2·x−11=0 старший коэффициент равен 6, второй коэффициент есть −2, а свободный член равен −11. Обратим внимание на тот факт, что, когда коэффициенты b и/или c являются отрицательными, то используется краткая форма записи вида 6·x2−2·x−11=0, а не 6·x2+(−2)·x+(−11)=0.

Уточним также такой аспект: если коэффициенты a и/или b равны 1 или −1, то явного участия в записи квадратного уравнения они могут не принимать, что объясняется особенностями записи указанных числовых коэффициентов. К примеру, в квадратном уравнении y2−y+7=0 старший коэффициент равен 1, а второй коэффициент есть −1.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

По значению первого коэффициента квадратные уравнения подразделяют на приведенные и неприведенные.

Определение 3

Приведенное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, где старший коэффициент равен 1. При иных значениях старшего коэффициента квадратное уравнение является неприведенным.

Приведем примеры: квадратные уравнения x2−4·x+3=0, x2−x−45=0 являются приведенными, в каждом из которых старший коэффициент равен 1.

9·x2−x−2=0 – неприведенное квадратное уравнение, где первый коэффициент отличен от 1.

Любое неприведенное квадратное уравнение возможно преобразовать в приведенное уравнение, если разделить обе его части на первый коэффициент (равносильное преобразование). Преобразованное уравнение будет иметь такие же корни, как и заданное неприведенное уравнение или так же не иметь корней вовсе.

Рассмотрение конкретного примера позволит нам наглядно продемонстрировать выполнение перехода от неприведенного квадратного уравнения к приведенному.

Пример 1

Задано уравнение 6·x2+18·x−7=0. Необходимо преобразовать исходное уравнение в приведенную форму.

Решение

Cогласно указанной выше схеме разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 6. Тогда получим: (6·x2+18·x−7):3=0:3, и это то же самое, что: (6·x2):3+(18·x):3−7:3=0 и далее: (6:6)·x2+(18:6)·x−7:6=0. Отсюда: x2+3·x-116=0. Таким образом, получено уравнение, равносильное заданному.

Ответ: x2+3·x-116=0.

Полные и неполные квадратные уравнения

Обратимся к определению квадратного уравнения. В нем мы уточнили, что a≠0. Подобное условие необходимо, чтобы уравнение a·x2+b·x+c=0 было именно квадратным, поскольку при a=0 оно по сути преобразуется в линейное уравнение b·x+c=0.

В случае же, когда коэффициенты b и c равны нулю (что возможно, как по отдельности, так и совместно), квадратное уравнение носит название неполного.

Определение 4

Неполное квадратное уравнение – такое квадратное уравнение a·x2+b·x+c=0, где хотя бы один из коэффициентов b и c (или оба) равен нулю.

Полное квадратное уравнение – квадратное уравнение, в котором все числовые коэффициенты не равны нулю.

Порассуждаем, почему типам квадратных уравнений даны именно такие названия.

При b=0 квадратное уравнение примет вид a·x2+0·x+c=0, что то же самое, что a·x2+c=0. При c=0 квадратное уравнение записано как a·x2+b·x+0=0, что равносильно a·x2+b·x=0. При b=0 и c=0 уравнение примет вид a·x2=0. Уравнения, которые мы получили, отличны от полного квадратного уравнения тем, что в их левых частях не содержится либо слагаемого с переменной x, либо свободного члена, либо обоих сразу. Собственно, этот факт и задал название такому типу уравнений – неполное.

Например, x2+3·x+4=0 и −7·x2−2·x+1,3=0 – это полные квадратные уравнения; x2=0, −5·x2=0; 11·x2+2=0, −x2−6·x=0 – неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Заданное выше определение дает возможность выделить следующие виды неполных квадратных уравнений:

a·x2=0, такому уравнению соответствуют коэффициенты b=0 и c=0;
a·x2+c=0 при b=0;
a·x2+b·x=0 при c=0.

Рассмотрим последовательно решение каждого вида неполного квадратного уравнения.

Решение уравнения a·x²=0

Как уже было указано выше, такому уравнению отвечают коэффициенты b и c, равные нулю. Уравнение a·x2=0 возможно преобразовать в равносильное ему уравнение x2=0, которое мы получим, поделив обе части исходного уравнения на число a, не равное нулю. Очевидный факт, что корень уравнения x2=0 это нуль, поскольку 02=0. Иных корней это уравнение не имеет, что объяснимо свойствами степени: для любого числа p, не равного нулю, верно неравенство p2>0, из чего следует, что при p≠0 равенство p2=0 никогда не будет достигнуто.

Определение 5

Таким образом, для неполного квадратного уравнение a·x2=0 существует единственный корень x=0.

Пример 2

Для примера решим неполное квадратное уравнение −3·x2=0. Ему равносильно уравнение x2=0, его единственным корнем является x=0, тогда и исходное уравнение имеет единственный корень – нуль.

Кратко решение оформляется так:

−3·x2=0,x2=0,x=0.

Решение уравнения a·x2+c=0

На очереди – решение неполных квадратных уравнений, где b=0, c≠0, то есть уравнений вида a·x2+c=0. Преобразуем это уравнение, перенеся слагаемое из одной части уравнения в другую, сменив знак на противоположный и разделив обе части уравнения на число, не равное нулю:

переносим c в правую часть, что дает уравнение a·x2=−c;
делим обе части уравнения на a, получаем в итоге x=-ca.

Наши преобразования являются равносильными, соответственно полученное уравнение также равносильно исходному, и этот факт дает возможность делать вывод о корнях уравнения. От того, каковы значения a и c зависит значение выражения -ca: оно может иметь знак минус (допустим, если a=1 и c=2, тогда -ca=-21=-2 ) или знак плюс (например, если a=−2 и c=6, то -ca=-6-2=3 ); оно не равно нулю, поскольку c≠0. Подробнее остановимся на ситуациях, когда -ca<0 и -ca>0.

В случае, когда -ca<0, уравнение x2=-ca не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при -ca<0 ни для какого числа p равенство p2=-ca не может быть верным.

Все иначе, когда -ca>0: вспомним о квадратном корне, и станет очевидно, что корнем уравнения x2=-ca будет число -ca, поскольку -ca2=-ca. Нетрудно понять, что число –ca – также корень уравнения x2=-ca: действительно, –ca2=-ca.

Прочих корней уравнение не будет иметь. Мы можем это продемонстрировать, используя метод от противного. Для начала зададим обозначения найденных выше корней как _x1 и _−x1. Выскажем предположение, что уравнение x2=-ca имеет также корень x2, который отличается от корней _x1 и _−x1. Мы знаем, что, подставив в уравнение вместо x его корни, преобразуем уравнение в справедливое числовое равенство.

Для _x1 и _−x1 запишем: x12=-ca , а для x2 – x22=-ca . Опираясь на свойства числовых равенств, почленно вычтем одно верное равенство из другого, что даст нам: x12−x22=0. Используем свойства действий с числами, чтобы переписать последнее равенство как (x1−x2)·(x1+x2)=0. Известно, что произведение двух чисел есть нуль тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел является нулем. Из сказанного следует, что x1−x2=0 и/или x1+x2=0, что то же самое, x2=x1 и/или x2=−x1. Возникло очевидное противоречие, ведь вначале было условлено, что корень уравнения x2 отличается от _x1 и _−x1. Так, мы доказали, что уравнение не имеет иных корней, кроме x=-ca и x=–ca.

Резюмируем все рассуждения выше.

Определение 6

Неполное квадратное уравнение a·x2+c=0 равносильно уравнению x2=-ca, которое:

не будет иметь корней при -ca<0;
будет иметь два корня x=-ca и x=–ca при -ca>0.

Приведем примеры решения уравнений a·x2+c=0.

Пример 3

Задано квадратное уравнение 9·x2+7=0. Необходимо найти его решение.

Решение

Перенесем свободный член в правую часть уравнения, тогда уравнение примет вид 9·x2=−7.
Разделим обе части полученного уравнения на 9, придем к x2=-79. В правой части мы видим число со знаком минус, что означает: у заданного уравнения нет корней. Тогда и исходное неполное квадратное уравнение 9·x2+7=0 не будет иметь корней.

Ответ: уравнение 9·x2+7=0 не имеет корней.

Пример 4

Необходимо решить уравнение −x2+36=0.

Решение

Перенесем 36 в правую часть: −x2=−36.
Разделим обе части на −1, получим x2=36. В правой части – положительное число, отсюда можно сделать вывод, что x=36 или x=-36.
Извлечем корень и запишем окончательный итог: неполное квадратное уравнение −x2+36=0 имеет два корня x=6 или x=−6.

Ответ: x=6 или x=−6.

Решение уравнения a·x²+b·x=0

Разберем третий вид неполных квадратных уравнений, когда c=0. Чтобы найти решение неполного квадратного уравнения a·x2+b·x=0, воспользуемся методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который находится в левой части уравнения, вынеся за скобки общий множитель x. Этот шаг даст возможность преобразовать исходное неполное квадратное уравнение в равносильное ему x·(a·x+b)=0. А это уравнение, в свою очередь, равносильно совокупности уравнений x=0 и a·x+b=0. Уравнение a·x+b=0 линейное, и корень его: x=−ba.

Определение 7

Таким образом, неполное квадратное уравнение a·x2+b·x=0 будет иметь два корня x=0 и x=−ba.

Закрепим материал примером.

Пример 5

Необходимо найти решение уравнения 23·x2-227·x=0.

Решение

Вынесем x за скобки и получим уравнение x·23·x-227=0. Это уравнение равносильно уравнениям x=0 и 23·x-227=0. Теперь следует решить полученное линейное уравнение: 23·x=227, x=22723.

Далее осуществим деление смешанного числа на обыкновенную дробь и определяем, что x=337. Таким образом, корни исходного уравнения это: x=0 и x=337.

Кратко решение уравнения запишем так:

23·x2-227·x=0x·23·x-227=0

x=0 или 23·x-227=0

x=0 или x=337

Ответ: x=0, x=337.

Дискриминант, формула корней квадратного уравнения

Для нахождения решения квадратных уравнений существует формула корней:

Определение 8

x=-b±D2·a, где D=b2−4·a·c – так называемый дискриминант квадратного уравнения.

Запись x=-b±D2·a по сути означает, что x1=-b+D2·a, x2=-b-D2·a.

Нелишним будет понимать, как была выведена указанная формула и каким образом ее применять.

Вывод формулы корней квадратного уравнения

Пускай перед нами стоит задача решить квадратное уравнение a·x2+b·x+c=0. Осуществим ряд равносильных преобразований:

разделим обе части уравнения на число a, отличное от нуля, получим приведенное квадратное уравнение: x2+ba·x+ca=0;
выделим полный квадрат в левой части получившегося уравнения:
x2+ba·x+ca=x2+2·b2·a·x+b2·a2-b2·a2+ca==x+b2·a2-b2·a2+ca
После этого уравнения примет вид: x+b2·a2-b2·a2+ca=0;
теперь возможно сделать перенос двух последних слагаемых в правую часть, сменив знак на противоположный, после чего получаем: x+b2·a2=b2·a2-ca;
наконец, преобразуем выражение, записанное в правой части последнего равенства:
b2·a2-ca=b24·a2-ca=b24·a2-4·a·c4·a2=b2-4·a·c4·a2.

Таким образом, мы пришли к уравнению x+b2·a2=b2-4·a·c4·a2, равносильному исходному уравнению a·x2+b·x+c=0.

Решение подобных уравнений мы разбирали в предыдущих пунктах (решение неполных квадратных уравнений). Уже полученный опыт дает возможность сделать вывод касательно корней уравнения x+b2·a2=b2-4·a·c4·a2:

при b2-4·a·c4·a2<0 уравнение не имеет действительных решений;
при b2-4·a·c4·a2=0 уравнение имеет вид x+b2·a2=0, тогда x+b2·a=0.

Отсюда очевиден единственный корень x=-b2·a;

при b2-4·a·c4·a2>0 верным будет: x+b2·a=b2-4·a·c4·a2 или x=b2·a-b2-4·a·c4·a2, что то же самое, что x+-b2·a=b2-4·a·c4·a2 или x=-b2·a-b2-4·a·c4·a2, т.е. уравнение имеет два корня.

Возможно сделать вывод, что наличие или отсутствие корней уравнения x+b2·a2=b2-4·a·c4·a2 (а значит и исходного уравнения) зависит от знака выражения b2-4·a·c4·a2, записанного в правой части. А знак этого выражения задается знаком числителя, (знаменатель 4·a2 всегда будет положителен), то есть, знаком выражения b2−4·a·c. Этому выражению b2−4·a·c дано название – дискриминант квадратного уравнения и определена в качестве его обозначения буква D. Здесь можно записать суть дискриминанта – по его значению и знаку делают вывод, будет ли квадратное уравнение иметь действительные корни, и, если будет, то каково количество корней – один или два.

Вернемся к уравнению x+b2·a2=b2-4·a·c4·a2. Перепишем его, используя обозначение дискриминанта: x+b2·a2=D4·a2.

Вновь сформулируем выводы:

Определение 9

при D<0 уравнение не имеет действительных корней;
при D=0 уравнение имеет единственный корень x=-b2·a;
при D>0 уравнение имеет два корня: x=-b2·a+D4·a2 или x=-b2·a-D4·a2. Эти корни на основе свойства радикалов возможно записать в виде: x=-b2·a+D2·a или -b2·a-D2·a. А, когда раскроем модули и приведем дроби к общему знаменателю, получим: x=-b+D2·a, x=-b-D2·a.

Так, результатом наших рассуждений стало выведение формулы корней квадратного уравнения:

x=-b+D2·a, x=-b-D2·a, дискриминант D вычисляется по формуле D=b2−4·a·c.

Данные формулы дают возможность при дискриминанте больше нуля определить оба действительных корня. Когда дискриминант равен нулю, применение обеих формул даст один и тот же корень, как единственное решение квадратного уравнения. В случае, когда дискриминант отрицателен, попытавшись использовать формулу корня квадратного уравнения, мы столкнемся с необходимостью извлечь квадратный корень из отрицательного числа, что выведет нас за рамки действительных чисел. При отрицательном дискриминанте у квадратного уравнения не будет действительных корней, но возможна пара комплексно сопряженных корней, определяемых теми же полученными нами формулами корней.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Решить квадратное уравнение возможно, сразу задействуя формулу корней, но в основном так поступают при необходимости найти комплексные корни.

В основной же массе случаев обычно подразумевается поиск не комплексных, а действительных корней квадратного уравнения. Тогда оптимально перед тем, как использовать формулы корней квадратного уравнения, сначала определить дискриминант и удостовериться, что он не является отрицательным (в ином случае сделаем вывод, что у уравнения нет действительных корней), а после приступить к вычислению значения корней.

Рассуждения выше дают возможность сформулировать алгоритм решения квадратного уравнения.

Определение 10

Чтобы решить квадратное уравнение a·x2+b·x+c=0, необходимо:

по формуле D=b2−4·a·c найти значение дискриминанта;
при D<0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
при D=0 найти единственный корень уравнения по формуле x=-b2·a;
при D>0 определить два действительных корня квадратного уравнения по формуле x=-b±D2·a.

Отметим, что, когда дискриминант есть нуль, можно использовать формулу x=-b±D2·a, она даст тот же результат, что и формула x=-b2·a.

Рассмотрим примеры.

Примеры решения квадратных уравнений

Приведем решение примеров при различных значениях дискриминанта.

Пример 6

Необходимо найти корни уравнения x2+2·x−6=0.

Решение

Запишем числовые коэффициенты квадратного уравнения: a=1, b=2 и c=−6. Далее действуем по алгоритму, т.е. приступим к вычислению дискриминанта, для чего подставим коэффициенты a, b и c в формулу дискриминанта: D=b2−4·a·c=22−4·1·(−6)=4+24=28.

Итак, мы получили D>0, а это означает, что исходное уравнение будет иметь два действительных корня.
Для их нахождения используем формулу корня x=-b±D2·a и, подставив соответствующие значения, получим: x=-2±282·1. Упростим полученное выражение, вынеся множитель за знак корня с последующим сокращением дроби:

x=-2±2·72

x=-2+2·72 или x=-2-2·72

x=-1+7 или x=-1-7

Ответ: x=-1+7, x=-1-7.

Пример 7

Необходимо решить квадратное уравнение −4·x2+28·x−49=0.

Решение

Определим дискриминант: D=282−4·(−4)·(−49)=784−784=0. При таком значении дискриминанта исходное уравнение будет иметь лишь один корень, определяемый по формуле x=-b2·a.

Тогда:

x=-282·(-4)x=3,5

Ответ: x=3,5.

Пример 8

Необходимо решить уравнение 5·y2+6·y+2=0

Решение

Числовые коэффициенты этого уравнения будут: a=5, b=6 и c=2. Используем эти значения для нахождения дискриминанта: D=b2−4·a·c=62−4·5·2=36−40=−4. Вычисленный дискриминант отрицателен, таким образом, исходное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

В случае, когда стоит задача указать комплексные корни, применим формулу корней, выполняя действия с комплексными числами:

x=-6±-42·5,

x=-6+2·i10 или x=-6-2·i10,

x=-35+15·i или x=-35-15·i.

Ответ: действительные корни отсутствуют; комплексные корни следующие: -35+15·i, -35-15·i.

В школьной программе стандартно нет требования искать комплексные корни, поэтому, если в ходе решения дискриминант определен как отрицательный, сразу записывается ответ, что действительных корней нет.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Формула корней x=-b±D2·a (D=b2−4·a·c) дает возможность получить еще одну формулу, более компактную, позволяющую находить решения квадратных уравнений с четным коэффициентом при x (либо с коэффициентом вида 2·n, к примеру, 2 · 3 или 14·ln5=2·7·ln5). Покажем, как выводится эта формула.

Пусть перед нами стоит задача найти решение квадратного уравнения a·x2+2·n·x+c=0. Действуем по алгоритму: определяем дискриминантD=(2·n)2−4·a·c=4·n2−4·a·c=4·(n2−a·c), а затем используем формулу корней:

x=-2·n±D2·a,x=-2·n±4·n2-a·c2·a,x=-2·n±2n2-a·c2·a,x=-n±n2-a·ca.

Пусть выражение n2−a·c будет обозначено как D1 (иногда его обозначают D’). Тогда формула корней рассматриваемого квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

x=-n±D1a, где D1=n2−a·c.

Легко увидеть, что что D=4·D1, или D1=D4. Иначе говоря, D1 – это четверть дискриминанта. Очевидно, что знак D1 такой же, как знак D, а значит знак D1 также может служить индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Определение 11

Таким образом, чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2 · n , необходимо:

найти D1=n2−a·c;
при D1<0 сделать вывод, что действительных корней нет;
при D1=0 определить единственный корень уравнения по формуле x=-na;
при D1>0 определить два действительных корня по формуле x=-n±D1a.

Пример 9

Необходимо решить квадратное уравнение 5·x2−6·x−32=0.

Решение

Второй коэффициент заданного уравнения можем представить как 2·(−3). Тогда перепишем заданное квадратное уравнение как 5·x2+2·(−3)·x−32=0, где a=5, n=−3 и c=−32.

Вычислим четвертую часть дискриминанта: D1=n2−a·c=(−3)2−5·(−32)=9+160=169. Полученное значение положительно, это означает, что уравнение имеет два действительных корня. Определим их по соответствующей формуле корней:

x=-n±D1a,x=–3±1695,x=3±135,

x=3+135 или x=3-135

x=315 или x=-2

Возможно было бы произвести вычисления и по обычной формуле корней квадратного уравнения, но в таком случае решение было бы более громоздким.

Ответ: x=315 или x=-2.

Упрощение вида квадратных уравнений

Иногда существует возможность оптимизировать вид исходного уравнения, что позволит упростить процесс вычисления корней.

К примеру, квадратное уравнение 12·x2−4·x−7=0 явно удобнее для решения, чем 1200·x2−400·x−700=0.

Чаще упрощение вида квадратного уравнения производится действиями умножения или деления его обеих частей на некое число. К примеру, выше мы показали упрощенную запись уравнения 1200·x2−400·x−700=0, полученную делением обеих его частей на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты квадратного уравнения не являются взаимно простыми числами. Тогда обычно осуществляют деление обеих частей уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Как пример используем квадратное уравнение 12·x2−42·x+48=0. Определим НОД абсолютных величин его коэффициентов: НОД(12, 42, 48)=НОД(НОД(12, 42), 48)=НОД(6, 48)=6. Произведем деление обеих частей исходного квадратного уравнения на 6 и получим равносильное ему квадратное уравнение 2·x2−7·x+8=0.

Умножением обеих частей квадратного уравнения обычно избавляются от дробных коэффициентов. При этом умножают на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. К примеру, если каждую часть квадратного уравнения 16·x2+23·x-3=0 перемножить с НОК(6, 3, 1)=6, то оно станет записано в более простом виде x2+4·x−18=0.

Напоследок отметим, что почти всегда избавляются от минуса при первом коэффициенте квадратного уравнения, изменяя знаки каждого члена уравнения, что достигается путем умножения (или деления) обеих частей на −1. К примеру, от квадратного уравнения −2·x2−3·x+7=0 можно перейти к упрощенной его версии 2·x2+3·x−7=0.

Связь между корнями и коэффициентами

Уже известная нам формула корней квадратных уравнений x=-b±D2·a выражает корни уравнения через его числовые коэффициенты. Опираясь на данную формулу, мы имеем возможность задать другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Самыми известными и применимыми являются формулы теоремы Виета:

x1+x2=-ba и x2=ca.

В частности, для приведенного квадратного уравнения сумма корней есть второй коэффициент с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. К примеру, по виду квадратного уравнения 3·x2−7·x+22=0 возможно сразу определить, что сумма его корней равна 73, а произведение корней – 223.

Также можно найти ряд прочих связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Например, сумма квадратов корней квадратного уравнения может быть выражена через коэффициенты:

x12+x22=(x1+x2)2-2·x1·x2=-ba2-2·ca=b2a2-2·ca=b2-2·a·ca2.

Источник

Что такое квадратные уравнения?

А теперь подробно с примерами обсудим квадратные уравнения.

Любые уравнения, сводящиеся к виду (ax^2+bx+c=0), называются квадратными. Где буквы ( b,; с) – любые числа, (aneq0). Почему (aneq0) мы обсудим ниже.

Обратите внимание на порядок слагаемых в квадратном уравнении:
(a) – всегда стоит первая и обязательно умножается на (x^2), она называется старшим коэффициентом (или первым);
(b) – принадлежит второму слагаемому и всегда умножается просто на переменную (x), это у нас второй коэффициент;
(c) – называют свободным членом, она не умножается ни на какую переменную.

В дальнейшем старайтесь приводить квадратное уравнение к виду (ax^2+bx+c=0), чтобы слагаемые стояли именно в таком порядке. Это очень важно при решении уравнений, и поможет избежать множества ошибок.

Потренируемся определять значения коэффициентов ( a, ; b,; с), чтобы запомнить порядок:

Пример 1
$$2x^2+3x+4=0;$$
$$a=2 quad b=3 quad c=4.$$

Пример 2
$$5x^2-3x-0,7=0;$$
$$a=5 quad b=-3 quad c=-0,7.$$

Пример 3
$$-x^2+2x+10=0;$$
Минус перед (x^2) можно представить в виде (-x^2=-1*x^2). Единицу обычно не пишут, поэтому минус перед первым слагаемым означает, что (a=-1):
$$a=-1 quad b=2 quad c=10.$$

Пример 4
$$3+x^2-5x=0;$$
Слагаемые стоят в неправильном порядке. Так коэффициенты находить неудобно, поэтому переставим все слагаемые в нужном порядке. От перемены мест слагаемых сумма не меняется:
$$x^2-5x+3=0;$$
$$a=1 quad b=-5 quad c=3.$$

Пример 5
$$2x^2-3x=0;$$
В уравнении нет свободного члена (c), поэтому он будет равен (0):
$$a=2 quad b=-3 quad c=0.$$

Пример 6
$$-4x^2+1=0;$$
А здесь уже нет второго коэффициента (b):
$$a=-4 quad b=0 quad c=1.$$

Уравнения, приведенные в примерах №5 и 6, называются неполными квадратными уравнениями, так как в них коэффициенты (b) или (c) равны нулю.

А вот если в уравнении коэффициенты ( a, ; b,; с) не равны 0, то такое уравнение называется полным.

От того, полное ли квадратное уравнение или неполное, зависит, как мы будем его решать. Начнем с неполных уравнений, они немного легче, но почему-то как раз в них все часто ошибаются.

Неполные квадратные уравнения

Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором один из коэффициентов (b) или (c) равен нулю, (aneq0).

Как решать квадратное уравнение (ax^2+bx=0)?

Рассмотрим уравнение, в котором (c=0), оно будет иметь вид:
$$ax^2+bx=0;$$
Чтобы его решить, нужно вынести общий множитель (x) за скобки:
$$x(ax+b)=0;$$
И вспомнить правило, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Здесь два множителя: (x) и ((ax+b)). Приравниваем их к нулю и решаем каждое по-отдельности:
$$x=0;$$
Тут решать-то нечего, сразу дан корень.
Второе:
$$ax+b=0;$$
Обычное линейное уравнение:
$$ax=-b;$$
$$x=frac{-b}{a};$$

Получили, что уравнение имеет сразу два корня:(x=0) и (x=frac{-b}{a}).

Разберем на примере:

Пример 7
$$2x^2+8x=0;$$
Выносим общий множитель (x):
$$x(2x+8)=0;$$
$$quad x_1=0 quad и quad 2x+8=0;$$
$$2x+8=0;$$
$$2x=-8;$$
$$x_2=-4.$$
Ответ: (x_1=0 quad и quad x_2=-4.)

Как решать квадратное уравнение (ax^2+с=0)?

Вот с такими уравнениями надо быть очень внимательными. Важно помнить, что любое число (выражение), возведенное в квадрат, всегда больше или равно нуля, оно не может быть отрицательным.

Общая схема решения уравнений вида (ax^2+с=0):

Выражаем (x^2) из уравнения:
$$ax^2+c=0;$$
$$ax^2=-c;$$
$$x^2=frac{-c}{a};$$
Если (-frac{c}{a} geq 0):
$$x_1=sqrt{-frac{c}{a}};$$
$$x_2=-sqrt{-frac{c}{a}};$$
Если (-frac{c}{a} lt 0):
РЕШЕНИЙ НЕТ.

Пример 8
$$2x^2-8=0;$$
$$2x^2=8;$$
$$x^2=frac{8}{2};$$
$$x^2=4;$$
$$x=pmsqrt{4};$$
$$x_1=2;$$
$$x_2=-2;$$
Ответ: (x_1=2 quad и quad x_2=-2.)

Пример 9
$$4x^2+36=0;$$
$$2x^2=-36;$$
$$x^2=frac{-36}{2}=-18;$$
Так как (-18 < 0), а (x^2) не может быть отрицательным, то это уравнение не имеет корней.
Ответ: Нет корней.

Пример 10
$$frac{1}{2}x^2-frac{1}{18}=0;$$
$$frac{1}{2}x^2=frac{1}{18};$$
Чтобы избавиться от (frac{1}{2}), умножим уравнение слева и справа на (2):
$$x^2=frac{2}{18};$$
$$x^2=frac{1}{9};$$
$$x=pmsqrt{frac{1}{9}};$$
$$x_1=frac{1}{3};$$
$$x_2=-frac{1}{3};$$
Ответ: (x_1=frac{1}{3} quad и quad x_2=-frac{1}{3}.)

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Квадратные уравнения (ax^2+bx+c=0), у которых все коэффициенты ( a, ; b,; с) не равны 0, называются полными квадратными уравнениями.

Чтобы их решать, нужно уметь находить дискриминант квадратного уравнения. Ничего страшного в этом нет, несмотря на странное называние. Дискриминантом уравнения (ax^2+bx+c=0) называют выражение:
$$D=b^2-4ac;$$

Если дискриминант получился больше нуля ((D ge 0)), то квадратное уравнение имеет два корня, которые можно найти по формулам:
$$x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2a};$$
$$x_2=frac{-b-sqrt{D}}{2a};$$
Если дискриминант равен нулю ((D=0)), то квадратное уравнение имеет один корень:
$$x=frac{-b}{2a};$$
Если дискриминант меньше нуля ((D<0)), то квадратное уравнение не имеет корней.

Примеры квадратных уравнений

Пример 11
$$2x^2-9x+4=0;$$
Прежде чем решать уравнение, я рекомендую выписать все коэффициенты:
$$a=2 quad b=-9 quad c=4.$$
Используя значения коэффициентов, можем посчитать дискриминант:
$$D=b^2-4ac=(-9)^2-4*2*4=81-32=49;$$
Ура, дискриминант посчитан и он больше нуля! Значит корней будет два, найдем их по формулам:
$$x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2a}=frac{-(-9)+sqrt{49}}{2*2}=frac{9+7}{4}=frac{16}{4}=4;$$
$$x_2=frac{-b-sqrt{D}}{2a}=frac{-(-9)—sqrt{49}}{2*2}=frac{9-7}{4}=frac{2}{4}=frac{1}{2};$$
Ответ: (x_1=4 quad и quad x_2=frac{1}{2}.)

Пример 12
$$10x^2+x-21=0;$$
$$a=10 quad b=1 quad c=-21.$$
$$D=b^2-4ac=1^2-4*10*(-21)=1+840=841;$$
$$x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2a}=frac{-1+sqrt{841}}{2*10}=frac{-1+29}{20}=frac{28}{20}=frac{7}{5};$$
$$x_2=frac{-b-sqrt{D}}{2a}=frac{-1-sqrt{841}}{2*10}=frac{-1-29}{20}=frac{-30}{20}=frac{-3}{2};$$
Ответ: (x_1=frac{7}{5} quad и quad x_2=-frac{3}{2}.)

Пример 13
$$(x-7)^2=2x^2+11x+23;$$
Это уравнение еще нужно привести к стандартному виду, для этого раскроем скобки по формуле «квадрат разности» ((a-b)^2=a^2-2ab+b^2):
$$x^2-14x+49=2x^2+11x+23;$$
Перекинем все слагаемые в левую часть, не забывая при этом менять знак на противоположный:
$$x^2-14x+49-2x^2-11x-23=0;$$
Приводим подобные слагаемые:
$$-x^2-25x+26=0;$$
$$a=-1 quad b=-25 quad c=26.$$
$$D=b^2-4ac=(-25)^2-4*(-1)*26=625+104=729;$$
$$x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2a}=frac{-(-25)+sqrt{729}}{2*(-1)}=frac{25+27}{-2}=frac{52}{-2}=-26;$$
$$x_2=frac{-b-sqrt{D}}{2a}=frac{-(-25)-sqrt{729}}{2*(-1)}=frac{25-27}{-2}=frac{-2}{-2}=1;$$
Ответ: (x_1=-26 quad и quad x_2=1.)

Пример 14
$$3x^2+7x+6=0;$$
$$a=3 quad b=7 quad c=6.$$
$$D=b^2-4ac=7^2-4*3*6=49-72=-23;$$
Стоп! Дискриминант получился отрицательный, это означает, что у этого квадратного уравнения не будет корней.
Ответ: Нет корней.

Пример 15
$$4x^2-4x+1=0;$$
$$a=4 quad b=-4 quad c=1.$$
$$D=b^2-4ac=(-4)^2-4*4*1=16-16=0;$$
Дискриминат получился равен нулю. В этом случае у квадратного уравнения будет всего один корень, который можно найти по формуле:
$$x=frac{-b}{2a}=frac{-(-4)}{2*4}=frac{4}{8}=frac{1}{2};$$
Ответ: (x=frac{1}{2}.)

Полезно знать! Если дискриминант получился равен нулю, то перед вами формула полного квадрата. Это значит, что квадратный многочлен можно разложить по формуле ((apm b)^2=a^2pm 2ab+b^2).
И пример №15 можно решить, используя эту формулу:
$$4x^2-4x+1=0;$$
$$(2x-1)^2=0;$$
Квадрат равен нулю только в том случае, если выражение под квадратом равно нулю:
$$2x-1=0;$$
$$2x=1;$$
$$x=frac{1}{2};$$
Ответ получили точно такой же, как и при решении через дискриминант.

Дискриминант деленный на 4

Квадратные уравнения иногда удобно решать по упрощенной формуле дискриминанта. Но применять ее можно не во всех случаях, а только, если коэффициент (b) в уравнении (ax^2+bx+c=0) четный (делится на 2).

Итак, представим, что коэффициент (b) четный, тогда дискриминант можно посчитать по формуле:
$$D_4=left(frac{b}{2}right)^2-ac;$$
А корни уравнения находятся по формулам:
$$x_1=frac{-frac{b}{2}+sqrt{D_4}}{a};$$
$$x_2=frac{-frac{b}{2}-sqrt{D_4}}{a};$$
Кстати, обычный дискриминант (D) отличается от (D_4) в 4 раза:
$$D_4=frac{D}{4}=frac{b^2-4ac}{4}=frac{b^2}{4}-frac{4ac}{4}=left(frac{b}{2}right)^2-ac;$$
Поэтому (D_4) называют «дискриминантом деленным на 4».

Эти формулы нужны, чтобы, когда это возможно, сократить вычисления. Разберем на примере:

Пример 16
$$7x^2-20x-1067=0;$$
$$a=7 quad b=-20 quad c=-1067.$$
(b=-20) – четный, поэтому воспользуемся дискриминантом деленным на 4:
$$D_4=left(frac{b}{2}right)^2-ac=left(frac{-20}{2}right)^2-7*(-1067)=(-10)^2+7469=100+7469=7569;$$
$$x_1=frac{-frac{b}{2}+sqrt{D_4}}{a}=frac{-frac{-20}{2}+sqrt{7569}}{7}=frac{10+87}{7}=frac{97}{7};$$
$$x_2=frac{-frac{b}{2}-sqrt{D_4}}{a}=frac{-frac{-20}{2}-sqrt{7569}}{7}=frac{10-87}{7}=frac{-77}{7}=-11;$$
Ответ: (x_1=frac{97}{7} quad и quad x_2=-11.)

Возникает вопрос, зачем вообще нужен этот (D_4), если все можно считать через обычный дискриминант? Если бы мы считали пример №16 как обычно, то наш дискриминант, который и так получился не маленьким – ((D_4=7659)), был бы в четыре раза больше. А чем больше числа, тем сложнее расчеты.

Теорема Виета для решения квадратных уравнений

Теорема Виета – это еще один способ упростить решение полных квадратных уравнений. Ее очень часто используют для решения несложных квадратных уравнений в уме и для анализа квадратного многочлена, особенно это актуально в сложных заданиях с параметром в ЕГЭ.

Прежде чем сформулировать теорему Виета, познакомимся с приведенными квадратными уравнениями.

Приведенное квадратное уравнение

Квадратные уравнения (ax^2+bx+c=0), у которых коэффициент (a) при (x^2) равен (1), называют приведенными.

Например:
$$x^2+4x-3=0;$$
$$x^2-140x-65=0;$$
Любое полное квадратное уравнение всегда можно свести к приведенному. Для этого надо поделить все уравнение на коэффициент (a):

Пример 17
Привести квадратное уравнение к приведенному.
$$3x^2-15x+9=0;$$
Разделим уравнение на (a=3). (Так можно делать: если левую и правую части уравнения поделить на одно и то же число, то корни уравнения от этого не изменятся.)
$$frac{3x^2-15x+9}{3}=frac{0}{3};$$
В результате каждое слагаемое поделится на (3):
$$frac{3x^2}{3}-frac{15x}{3}+frac{9}{3}=0;$$
$$x^2-5x+3=0;$$

Формулы Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения (x^2+bx+c=0) равна второму коэффициенту (b) со знаком минус, а произведение корней равно свободному члену (c).

Пусть (x_1), и (x_2) – корни квадратного уравнения (x^2+bx+c=0), тогда справедливы формулы:
$$ begin{cases}
x_1+x_2=-b; \
x_1*x_2=c. \
end{cases}$$
На первый взгляд может показаться, что это очень запутанно, но на самом деле, теорема Виета часто помогает решить уравнение в уме. Попробуем на практике:

Пример 18
$$x^2+4x+3=0;$$
$$a=1 quad b=4 quad c=3.$$
Воспользуемся теоремой Виета и выпишем формулы:
$$ begin{cases}
x_1+x_2=-b; \
x_1*x_2=c. \
end{cases}$$
Подставим коэффициенты:
$$ begin{cases}
x_1+x_2=-4; \
x_1*x_2=3. \
end{cases}$$

Нужно найти такие (x_1) и (x_2), которые удовлетворяют и первому, и второму уравнениям в системе. Подобрать корни достаточно просто: рассмотрим второе уравнение, какие два числа дают при умножении (3ку)?

Либо: (3=1*3);
Либо: (3=(-1)*(-3)).

Осталось проверить, будут ли найденные множители удовлетворять первому уравнению в системе, просто подставим их:
$$1+3 neq -4;$$
$$-1+(-3) = -4;$$
Вот мы и нашли корни системы уравнений: (x_1=-1) и (x_2=-3). А самое главное, мы нашли корни исходного квадратного уравнения.
Ответ: (x_1=-1 quad и quad x_2=-3.)

Если потренироваться, то все эти вычисления можно легко проводить в уме, если коэффициенты небольшие. Главное запомнить, что произведение корней должно быть равно свободному члену (c), а сумма корней равна ((-b)).

Теорема Виета, если (aneq1)

По теореме Виета можно решать не только приведенные квадратные уравнения (у которых (a=1)). Но перед тем, как применять формулы Виета, надо привести уравнение к приведенному, поделив на первый коэффициент (a):
$$ax^2+bx+c=0; quad mid :a$$
$$frac{ax^2}{a}+frac{bx}{a}+frac{c}{a};$$
$$x^2+frac{b}{a}*x+frac{c}{a};$$
Получили приведенное квадратное уравнение, для которого можно записать формулы Виета, где вторым коэффициентом будет (frac{b}{a}), а свободным членом (frac{c}{a}):
$$ begin{cases}
x_1+x_2=-frac{b}{a}; \
x_1*x_2=frac{c}{a}. \
end{cases}$$

Пример 19
$$12x^2+x-1=0;$$
$$a=12 quad b=1 quad c=-1.$$
Коэффициент (a=12 neq 1), поэтому разделим все уравнение на (a=12):
$$12x^2+x-1=0; quad mid :12$$
$$x^2+frac{1}{12}x-frac{1}{12}=0;$$
$$a=1 quad b=frac{1}{12} quad c=-frac{1}{12}.$$

Теорема Виета:
$$ begin{cases}
x_1+x_2=-frac{1}{12}; \
x_1*x_2=-frac{1}{12}. \
end{cases}$$

Подбираем корни:
$$x_1=-frac{1}{3};$$
$$x_2=frac{1}{4};$$

Ответ: (x_1=-frac{1}{3} quad и quad x_2=frac{1}{4}.)

Теорема Виета удобна, когда у квадратного уравнения небольшие коэффициенты и можно легко подобрать корни. В остальных случаях лучше пользоваться дискриминантом.

Источник

Download Article

A quadratic equation is a polynomial equation in a single variable where the highest exponent of the variable is 2.^[1] There are three main ways to solve quadratic equations: 1) to factor the quadratic equation if you can do so, 2) to use the quadratic formula, or 3) to complete the square. If you want to know how to master these three methods, just follow these steps.

1
2
Factor the expression. To factor the expression, you have to use the factors of the $x^{2}$ term (3), and the factors of the constant term (-4), to make them multiply and then add up to the middle term, (-11). Here’s how you do it:
- Since $3x^{2}$ only has one set of possible factors, and , you can write those in the parenthesis: .
- Then, use the process of elimination to plug in the factors of 4 to find a combination that produces -11x when multiplied. You can either use a combination of 4 and 1, or 2 and 2, since both of those numbers multiply to get 4. Just remember that one of the terms should be negative, since the term is -4.^[3]
- By trial and error, try out this combination of factors . When you multiply them out, you get $3x^{2}-12x+x-4$ . If you combine the terms and , you get , which is the middle term you were aiming for. You have just factored the quadratic equation.
- As an example of trial and error, let’s try checking a factoring combination for $3x^{2}-11x-4=0$ that is an error (does not work): = $3x^{2}+6x-2x-4$ . If you combine those terms, you get $3x^{2}-4x-4$ . Though the factors -2 and 2 do multiply to make -4, the middle term does not work, because you needed to get , not .
Advertisement
3

Set each set of parenthesis equal to zero as separate equations. This will lead you to find two values for that will make the entire equation equal to zero, = 0. Now that you’ve factored the equation, all you have to do is put the expression in each set of parenthesis equal to zero. But why? — because to get zero by multiplying, we have the “principle, rule or property” that one factor must be zero, then at least one of the factors in parentheses, as must be zero; so, either (3x + 1) or else (x – 4) must equal zero. So, you would write and also.
4
Solve each “zeroed” equation independently. In a quadratic equation, there will be two possible values for x. Find x for each possible value of x one by one by isolating the variable and writing down the two solutions for x as the final solution. Here’s how you do it:
- Solve 3x + 1 = 0
  - 3x = -1 ….. by subtracting
  - 3x/3 = -1/3 ….. by dividing
  - x = -1/3 ….. simplified
- Solve x – 4 = 0
  - x = 4 ….. by subtracting
- x = (-1/3, 4) ….. by making a set of possible, separate solutions, meaning x = -1/3, or x = 4 seem good.
5

Check x = -1/3 in (3x + 1)(x – 4) = 0:

We have

(3[-1/3] + 1)([-1/3] – 4) ?=? 0

….. by substituting
(-1 + 1)(-4 1/3) ?=? 0 ….. by simplifying
(0)(-4 1/3) = 0 ….. by multiplying
therefore 0 = 0 ….. Yes, x = -1/3 works^[4]

Advertisement
6
Check x = 4 in (3x + 1)(x – 4) = 0:

We have (3[4] + 1)([4] – 4) ?=? 0

….. by substituting
(13)(4 – 4) ?=? 0 ….. by simplifying
(13)(0) = 0 ….. by multiplying
0 = 0 ….. Yes, x = 4 works^[5]
- So, both solutions do “check” separately, and both are verified as working and correct for two different solutions.

1
2

Write down the quadratic formula. The quadratic formula is: ${frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ ^[7]
3

Identify the values of a, b, and c in the quadratic equation. The variable a is the coefficient of the x² term, b is the coefficient of the x term, and c is the constant. For the equation 3x² -5x – 8 = 0, a = 3, b = -5, and c = -8. Write this down.
4
Substitute the values of a, b, and c into the equation. Now that you know the values of the three variables, you can just plug them into the equation like this^[8]:
- {-b +/-√ (b² – 4ac)}/2
- {-(-5) +/-√ ((-5)² – 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)² – (-96))}/2(3)
5
Do the math. After you’ve plugged in the numbers, do the remaining math to simplify positive or negative signs, multiply, or square the remaining terms.^[9] Here’s how you do it:
- {-(-5) +/-√ ((-5)² – (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
6

Simplify the square root. If the number under the radical symbol is a perfect square, you will get a whole number. If the number is not a perfect square, then simplify to its simplest radical version.^[10] If the number is negative, and you’re sure it’s supposed to be negative, then the roots will be complex. In this example, √(121) = 11. You can write that x = (5 +/- 11)/6.
7
Solve for the positive and negative answers. If you’ve eliminated the square root symbol, then you can keep going until you’ve found the positive and negative results for x.^[11] Now that you have (5 +/- 11)/6, you can write two options:
- (5 + 11)/6
- (5 – 11)/6
8
Solve for the positive and negative answers. Just do the math:^[12]
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
9
Simplify. To simplify each answer, just divide them by the largest number that is evenly divisible into both numbers. Divide the first fraction by 2, and divide the second by 6, and you have solved for x.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)

1
Move all of the terms to one side of the equation. Make sure that the a or x² term is positive. Here’s how you do it:^[13]
- 2x² – 9 = 12x =
- 2x² – 12x – 9 = 0
  - In this equation, the a term is 2, the b term is -12, and the c term is -9.
2
Move the c term or constant to the other side. The constant term is the numerical term without a variable. Move it to the right side of the equation:
- 2x² – 12x – 9 = 0
- 2x² – 12x = 9
3
Divide both sides by the coefficient of the a or x² term. If x² has no term in front of it, and just has a coefficient of 1, then you can skip this step. In this case, you’ll have to divide all of the terms by 2, like so:
- 2x²/2 – 12x/2 = 9/2 =
- x² – 6x = 9/2
4
Divide b by two, square it, and add the result to both sides. The b term in this example is -6. Here’s how you do it:
- -6/2 = -3 =
- (-3)² = 9 =
- x² – 6x + 9 = 9/2 + 9
5

Simplify both sides. Factor the terms on the left side to get (x-3)(x-3), or (x-3)². Add the terms on the right side to get 9/2 + 9, or 9/2 + 18/2, which adds up to 27/2.
6

Find the square root of both sides. The square root of (x-3)² is simply (x-3). You can write the square root of 27/2 as ±√(27/2). Therefore, x – 3 = ±√(27/2).
7
Simplify the radical and solve for x. To simplify ±√(27/2), look for a perfect square within the numbers 27 or 2 or in their factors. The perfect square 9 can be found in 27, because 9 x 3 = 27. To take 9 out of the radical sign, pull out the number 9 from the radical, and write the number 3, its square root, outside the radical sign. Leave 3 in the numerator of the fraction under the radical sign, since that factor of 27 cannot be taken out, and leave 2 on the bottom. Then, move the constant 3 on the left side of the equation to the right, and write down your two solutions for x:
- x = 3 + 3(√6)/2
- x = 3 – 3(√6)/2)

Practice Problems and Answers

Add New Question

Question

What is the fastest way to solve a simple quadratic equation?

David Jia is an Academic Tutor and the Founder of LA Math Tutoring, a private tutoring company based in Los Angeles, California. With over 10 years of teaching experience, David works with students of all ages and grades in various subjects, as well as college admissions counseling and test preparation for the SAT, ACT, ISEE, and more. After attaining a perfect 800 math score and a 690 English score on the SAT, David was awarded the Dickinson Scholarship from the University of Miami, where he graduated with a Bachelor’s degree in Business Administration. Additionally, David has worked as an instructor for online videos for textbook companies such as Larson Texts, Big Ideas Learning, and Big Ideas Math.

Academic Tutor

Expert Answer

Use the square root method! If the only variable in your equation is x², move all of the other numbers to the other side of the equation. Then, find the square root of both sides of the equation.
Question

I am totally lost. Are than any really simple shortcuts for one to use?

Sorry, no. Factoring quadratics is definitely a challenge for many people. Console yourself with the knowledge that you’re not likely ever to need this skill in real life. Passing your next math test is another matter.
Question

How do I solve the following equation: Find the values of k for which the roots of the equation (k+4)x^2+(k+1)x+1=0 are real and equal?

Having a double root means that your espression is a perfect square. It also means that the discriminate is zero. Using either of these will give an equation in k that you can solve for the answer.

A square takes the form (ax+b)^2= a^2 x^2 + 2abx + b^2. Obviously, then b = +1 or -1, leaving a=+/- (k+1)/2 = sqrt(k+4).

Setting the discriminant of the original quadratic to zero gives (k+1)^2 – 4 (k+4) = 0.

Whichever way you prefer you should get k=-3 (x^2 -2x +1 = (x-1)^2) and k=5 (9x^2 + 6x +1 = (3x+1)^2).

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

If the number under the square root is not a perfect square, then the last few steps run a little differently. Here is an example:^[14]
As you can see, the radical sign did not disappear completely. Therefore, the terms in the numerator cannot be combined (because they are not like terms). There is no purpose, then, to splitting up the plus-or-minus. Instead, we divide out any common factors — but ONLY if the factor is common to both of the constants AND the radical’s coefficient.
If the “b” is an even number, the formula is : {-(b/2) +/- √(b/2)-ac}/a.

About This Article

Article SummaryX

To solve quadratic equations, start by combining all of the like terms and moving them to one side of the equation. Then, factor the expression, and set each set of parentheses equal to 0 as separate equations. Finally, solve each equation separately to find the 2 possible values for x. To learn how to solve quadratic equations using the quadratic formula, scroll down!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 1,315,591 times.

Did this article help you?

Источник

Исторические сведения о квадратных уравнениях[править | править код]

Древний Вавилон[править | править код]

Индия[править | править код]

Корни квадратного уравнения на множестве действительных чисел[править | править код]

I способ. Общая формула для вычисления корней с помощью дискриминанта[править | править код]

II способ. Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b[править | править код]

III способ. Решение неполных квадратных уравнений[править | править код]

IV способ. Использование частных соотношений коэффициентов[править | править код]

Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту[править | править код]

Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю[править | править код]

V способ. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители[править | править код]

Использование формулы квадрата суммы (разности)[править | править код]

Выделение полного квадрата суммы (разности)[править | править код]

VI способ. Использование прямой и обратной теоремы Виета[править | править код]

VII способ. Метод «переброски»[править | править код]

Графическое решение квадратного уравнения[править | править код]

Графический способ решения квадратных уравнений[править | править код]

Приём I[править | править код]

Приём II[править | править код]

Приём III[править | править код]

Приём IV[править | править код]

Приём V[править | править код]

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки[править | править код]

Корни квадратного уравнения на множестве комплексных чисел[править | править код]

Уравнение с действительными коэффициентами[править | править код]

Уравнение с комплексными коэффициентами[править | править код]

Корни приведённого квадратного уравнения[править | править код]

Теорема Виета [3][править | править код]

Формулировка для приведённого квадратного уравнения[править | править код]

Для неприведённого квадратного уравнения[править | править код]

Разложение квадратного трёхчлена на множители и теоремы, следующие из этого[править | править код]

Доказательство[править | править код]

Следствие 1[править | править код]

Доказательство[править | править код]

Следствие 2[править | править код]

Доказательство[править | править код]

Уравнения, сводящиеся к квадратным[править | править код]

Алгебраические[править | править код]

Дифференциальные[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Решение квадратных уравнений

Дискриминант

Корни квадратного уравнения

Неполные квадратные уравнения

Квадратное уравнение, его виды

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Полные и неполные квадратные уравнения

Решение неполных квадратных уравнений

Решение уравнения a·x2=0

Решение уравнения a·x2+c=0

Решение уравнения a·x2+b·x=0

Дискриминант, формула корней квадратного уравнения

Вывод формулы корней квадратного уравнения

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Примеры решения квадратных уравнений

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Упрощение вида квадратных уравнений

Связь между корнями и коэффициентами

Что такое квадратные уравнения?

Неполные квадратные уравнения

Как решать квадратное уравнение (ax^2+bx=0)?

Как решать квадратное уравнение (ax^2+с=0)?

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Примеры квадратных уравнений

Дискриминант деленный на 4

Теорема Виета для решения квадратных уравнений

Приведенное квадратное уравнение

Формулы Виета

Теорема Виета, если (aneq1)

Practice Problems and Answers

About This Article

Did this article help you?

Вам также может понравиться

Как найти высокооплачиваемую работу без знакомства

Как найти своего врача стоматолога

Как найти что лайкал человек

Добавить комментарий Отменить ответ

Теорема Виета ^[3][править | править код]

Решение уравнения a·x²=0

Решение уравнения a·x²+b·x=0