Как найти все время движения

Средняя скорость считается так: весь путь поделить на всё время движения. Формула одна и очень простая, но почему-то школьники часто путаются в задачах на среднюю скорость. Разберу три характерные задачи и основные ошибки. Возможно, статья будет полезна учителям и репетиторам, а также школьникам.

1. Половина пути

Первую половину пути поезд ехал со скоростью 60 км/ч, а вторую – 90 км/ч. С какой средней скоростью ехал поезд на всём пути?

Первым делом школьник захочет сложить эти две скорости и поделить пополам. Логично? Да. Но, к сожалению, неправильно.

Объясняю, почему. Поскольку первую половину пути поезд ехал с меньшей скоростью, то времени было затрачено больше, чем на вторую. А значит, вклад отдельных скоростей неравнозначен, и нельзя так просто делить пополам.

Тут школьник может впасть в панику. Что делать? Умножать? Делить? Непонятно. Воспользоваться напрямую формулой “расстояние поделить на время” не получится – ни расстояние, ни время нам неизвестно.

Для школьников, только начинающих изучать основы физики, бывает трудно оперировать с неизвестными величинами. Нам не дано ничего, кроме скоростей, как же быть? В качестве маленькой ступеньки к освоению неизвестности могу предложить следующий ход – сначала додумать неизвестные данные. Возьмём и сами решим, пусть поезд пройдет 180 километров, цифру возьмем так, чтобы легко делилась.

Тогда половина пути будет 90 километров. Поезд пройдет её за 1,5 часа. Вторую половину пути – за 1 час. Это легко посчитает любой школьник. Значит, общее время в пути будет 2,5 часа. Делим общее расстояние 180 километров на 2,5 часа, и получаем 72 км/ч.

Это просто и понятно, но учитель такую задачу не примет. Откуда мы взяли 180 километров, когда это неизвестно? Тем не менее, дав себе эти неизвестные данные, мы продумали алгоритм и довели задачу до ответа. Осталось формализовать это решение, так чтобы не использовать то, что не дано. Обозначим наши 180 километров за S, и опишем всё, что мы делали раньше, только вместо цифр используем буквы.

Получается, что зная ход решения “в цифрах”, мы переводим его в буквенные обозначения. И тут главное не остановиться на полдороги, не смущаться, что нам неизвестно расстояние. Ведь оно в конце сократилось, и средняя скорость оказалась независящей от расстояния (что вполне логично). И от школьника здесь требуются уже алгебраические умения – складывать дроби, переворачивать их.

Если подобная задача встретилась в тесте, где требуется только ответ, можно вообще не заморачиваться – так как средняя скорость в данной задаче не зависит от расстояния, можно посчитать при любом удобном расстоянии. По крайней мере, это лучше, чем сидеть и ломать голову, не зная, как подступиться к решению. Если же требуется оформление – тут числовое решение может помочь как переходный этап, чтобы понять, что именно делать с формулами, как их крутить-вертеть.

Школьникам часто бывает трудно переходить на новый уровень абстракции – от чисел к переменным, которые могут принимать разные числовые значения. В алгебре это тренируют, но там одна переменная икс, и иногда игреки встречаются. А в физике этих переменных пруд пруди, в каждой задаче они разные, и если ученик не освоил этот уровень, то физика кажется ему супер-трудной. Кроме того, в школе переход от чисел к переменным часто упускают, в программе отдельных навыков работы с формулами нет.

2. Средняя скорость по графику пути

Пусть нам дан график зависимости координаты от времени. Требуется определить среднюю скорость.

По графику видно, что движение состоит из четырех этапов:

1. Тело стартует в нуле и через 2 секунды оказывается на координате 2 м.
2. Тело останавливается, и в течение 4 секунд покоится в точке с координатой 2 м.
3. Тело начинает движение, и через 2 секунды оказывается в точке 6 м.
4. Тело движется в обратном направлении, и через 2 секунды оказывается в точке 5 м.

Проговорить, понять все эти этапы – важная часть решения. А дальше многие школьники начинают вычислять скорости движения на каждом этапе: На первом – 1 м/с, на втором – 0, на третьем – 2 м/с, на четвертом – 0,5 м/с. Вот это действие как раз лишнее. Для того, чтобы вычислить среднюю скорость, вовсе не обязательно знать скорости на каждом этапе!

Вспомним определение средней скорости – это весь путь, поделить на всё время. Поэтому просто по графику считаем весь путь – 6 метров “туда” и 1 метр “обратно”, в сумме 7 метров. Общее время движения – 10 секунд. Делим 7 метров на 10 секунд, получаем 0,7 м/с.

3. Средняя скорость по графику скорости

Бывает так, что нам дан график зависимости скорости от времени, и требуется определить среднюю скорость. Вот, к примеру, такой график.

Читаем график. Движение состоит из трёх этапов

1. С начала движения до момента времени 2 с тело движется с постоянной скоростью 2 м/с
2. От 2 до 6 с тело движется со скоростью 6 м/с
3. В последние 4 секунды от 6 до 10 с тело замедляется, снижая свою скорость до нуля.

Попытки что-то сделать со значениями скорости самими по себе здесь обречены на провал. Опять надо найти весь путь и всё время движения. Путь по графику скорости определяется как площадь под графиком, причем если график идет ниже нуля, то соответствующие участки складываются.

Считаем площадь фигуры – два прямоугольника на первых двух этапах и треугольник на третьем. Первый этап – 4 м, второй этап – 24 м, третий этап – 12 м. Значит, весь путь будет 40 метров. Всё время 10 секунд, значит, средняя скорость 4 м/с.

Общие рекомендации для решения задач на среднюю скорость

1. Средняя скорость – это всегда весь путь делить на всё время. Данные об отдельных скоростях сами по себе не дадут полной информации о средней скорости. Используем только эту формулу.

2. Следует проанализировать конкретную ситуацию и понять, как можно применить формулу. Если кажется, что не хватает данных – не смущаться.

3. Данные по скоростям на отдельных этапах могут быть полезны для проверки готового ответа: средняя скорость должна лежать между минимальной и максимальной.

Спасибо, что прочитали до конца! Желаю школьникам хорошей учёбы, учителям – понятливых и любопытных учеников, родителям – чтобы дети радовали. Буду рада лайкам и новым подписчикам!

На прошлых уроках мы познакомились с определением механического движения, узнали, каким бывает движение, изучили его свойства и характеристики. Теперь нам известны формулы для расчета скорости при равномерном движении ($upsilon = frac{S}{t}$) и средней скорости при неравномерном ($upsilon_{ср} = frac{S}{t}$).

На данном уроке мы посмотрим на эти формулы с другой стороны — научимся использовать их для расчета пути и времени движения, а также рассмотрим графики скорости и пути для равномерного движения.

Формулы для расчета пути и времени движения при равномерном движении тела

Скорость тела при равномерном движении вычисляется по формуле $upsilon = frac{S}{t}$. Отсюда, если мы знаем скорость и время, то можем найти пройденный путь:

$S = upsilon t$.

Чтобы определить путь, пройденный телом при равномерном движении, нужно скорость тела умножить на время его движения.

Выразим время:

$t = frac{S}{upsilon}$.

Чтобы рассчитать время при равномерном движении, нужно путь, пройденный телом, разделить на скорость его движения.

Формулы для расчета пути и времени движения при неравномерном движении тела

При неравномерном движении мы используем определение средней скорости, которую можем найти по формуле:
$upsilon_{ср} = frac{S}{t}$.

Чтобы определить путь при неравномерном движении, нужно среднюю скорость движения умножить на время:

$large S = upsilon_{ср} t$.

Также мы можем рассчитать время, разделив путь, пройденный телом, на среднюю скорость его движения:

$t = frac{s}{upsilon_{ср}}$.

График скорости равномерного движения

Так как скорость – это векторная величина, она характеризуется и модулем, и направлением. В зависимости от выбранного направления скорость по знаку может быть как положительной, так и отрицательной.

На рисунке 1 изображен динозавр, автомобиль и дом. Зададим ось координат $x$.

Если динозавр начнет двигаться к дому, то его скорость будет положительной, так как направление движения совпадает с направлением оси $x$. Если же динозавр направится к автомобилю, то его скорость будет отрицательной, так как направление движения противоположно направлению оси $x$.

Итак, график скорости равномерного движения имеет вид, представленный на рисунке 2.

Из графика видно, что скорости с течением времени не изменяется – они постоянны в любой выбранный момент времени. Если мы посмотрим на график положительной скорости, то увидим, что $upsilon = 6 frac{м}{с}$, на график отрицательной — $upsilon = -4 frac{м}{с}$.

Зная скорость и время, мы можем рассчитать пройденный путь за определенный промежуток времени. Рассчитаем какой путь пройдет тело с положительной скоростью за $4 space с$.

$S = upsilon t = 6 frac{м}{с} cdot space 4 c = 24 space м$.

График пути равномерного движения

Пример графика зависимости пути равномерного движения представлен на рисунке 3.

Здесь $S$ — ось пройденных путей, $t$ — ось времени. По этому графику мы можем найти путь, пройденный телом за определенный промежуток времени. Например, за 1 с тело проходит путь длиной 2 м, за 2 с – 4 м, за 3 с – 6 м.

Зная путь и время, мы можем рассчитать скорость. Для удобства расчета возьмем самый первый отрезок пути: $t = 1 space с$, $S = 2 space м$. Тогда,

$upsilon = frac{S}{t} = frac{2 space м}{1 space с} = 2 frac{м}{с}$.

Задачи

Переведем единицы измерения скорость в СИ и решим задачу.

$120 frac{км}{ч} = 120 cdot frac{1000 space м}{3600 space с} approx 33 frac{м}{с}$.

$S — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Переведем единицы измерения скорость в СИ и решим задачу.

$40 frac{км}{ч} = 40 cdot frac{1000 м}{3600 с} approx 11 frac{м}{с}$,
$900 space км = 900 space 000 м$.

$t-?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Больше задач на расчет пути и времени движения с подробными решениями смотрите в отдельном уроке.

Упражнения

Дано:
$upsilon_1 = 22 frac{м}{с}$
$upsilon_2 = 20 frac{м}{с}$
$upsilon_3 = 8000 frac{м}{с}$
$t = 5 space с$

$S_1 — ?$
$S_2 — ?$
$S_3 — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

$S — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Определим из графика путь, пройденный телом за $2 space ч$. Этому времени на графике соответствует значение пути, равное $200 space км$. Запишем условие задачи и решим ее.

Дано:
$S = 200 space км$
$t = 2 space ч$

$upsilon — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Из графика видно, что скорость тела равна $8 frac{м}{с}$. Этот график представляет собой прямую, параллельную оси времени, потому что движение равномерное, и скорость тела не изменяется с течением времени. Запишем условие задачи и решим ее.

$S_1 — ?$
$S_2 — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Для того, чтобы рассчитать скорость тела, нам нужно знать путь и время, за которое этот путь был пройден. Возьмем эти значения для двух тел из их графиков. Первое тело (I) проходит путь, равный $4 space м$, за $2 space с$. Второе тело (II) проходит путь, равный $4 space м$, за $4 space с$. Запишем условие задачи и решим ее.

Дано:
$S = 4 space м$
$t_1 = 2 space с$
$t_2 = 4 space с$

$upsilon_1 — ?$
$upsilon_2 — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Для решения задач на движение по прямой используется одна основная формула:

где:

• Скорость (V) — расстояние, пройденное за единицу времени.
• Время (t) — время в пути.
• Расстояние (S) — пройденный путь, или расстояние.

Зная эту формулу (для расстояния), вы можете легко  вывести из неё формулу для скорости, или времени.

Если вы запомните эту формулу, то сможете решить любую задачу на движение, так как все задачи на движение по прямой — это применение данной формулы к одному или нескольким взаимосвязанным объектам.

Рассмотрим, как решать разные задачи на движение в зависимости от условий и уровня сложности.

Все задачи на движение делятся на следующие типы:

• простые задачи на скорость, время и расстояние;
• задачи на движение в разных направлениях: сближение и удаление;
• задачи на движение в одном направлении: сближение и удаление;
• решение задач на движение по реке.

Решение простых задач на движение: скорость, время и расстояние

В простых задачах на движение, как правило, есть один движущийся объект, для которого нужно найти неизвестную величину: скорость, время или расстояние. В данном случае применяется формула в ее первоначальном виде:

Задача 1. Автомобиль ехал 2ч со скоростью 85 км/ч. Определите расстояние. 
Решение: Вычислим путь по формуле: S=V × t= 2 ч * 85 км/ч = 170 км.

Задача 2. Велосипедист проехал 60 км за 5ч. Определите скорость.
Решение: Вычислим скорость велосипедиста по формуле: V = S:t = 60 км : 5 ч = 12 км/ч.

Задача 3. Мотоциклист проехал 30 км со скоростью 15км/ч. Сколько времени он затратил на этот путь? 
Решение: Вычислим время движения мотоциклиста по формуле: t = S:V = 30 км : 15 км/ч = 2 ч.

В таких задачах нужно также следить, чтобы были одинаковыми единицы измерения. Например, если расстояние измеряется в километрах, а время — в часах,  то скорость буде измеряться в км/час. Но если единицы измерения скорости — метр/час, а время дано в минутах, то в этом случае скорость и время нужно привести к одинаковым единица измерения, иначе ответ будет неверным.

Задача 4. Мотоциклист ехал 30 минут со скоростью 60 км/ч. Какое расстояние он проехал?
Решение: для того, чтобы вычислить расстояние, нужно время и скорость привести к одинаковым единицам измерения. При этом есть 2 способа:
1) Переведем время: 30 минут = 30/60 = 0,5 часа.
Найдем расстояние: 60 км/ч * 0,5 ч = 30 км.
2) Переведем скорость: 60 км/ч = 60км / 1час = 60км / 60 мин = 1км/мин.
Найдем расстояние: 1км/мин*30минут = 30 км.

Решение задач на движение в разных направлениях: сближение (встречное движение) и удаление (противоположное движение)

При встречном движении расстояние между объектами уменьшается. Объекты приближаются друг к другу со скоростью сближения.
Скорость сближения находится по формуле:

При движении в противоположных направлениях скорости объектов направлены в разные стороны. Объекты удаляются друг от друга со скоростью удаления.
Скорость удаления находится по формуле: 

При решении подобных задач лучше нарисовать схему движения, чтобы было легче решать.

Задача 5. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого велосипедиста 10 км/ч, второго — 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся? 
Решение: 1) Найдем скорость сближения: V=10+8 = 18 км/ч.
2) Найдем время: t = S:V = 36 : 18 = 2 ч.

Задача 6. Два пешехода вышли одновременно из одного и того же пункта в противоположных направлениях. Скорость первого пешехода 3км/ч, второго — 4км/ч. Какое расстояние между ними будет через 30 минут?
Решение: 1) Найдем скорость удаления пешеходов: V = 3+4=7 км/час.
2) Переведем в соответствие единицы измерения: t=30 мин = 0,5 ч.
3) Найдем расстояние: S=V × t = 7 × 0,5 = 3,5 км.

Задача 7. Два автобуса выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 300 км. Через 2 часа они встретились. Найдите второго второго автобуса, если первый ехал со скоростью 70 км/ч.
Решение. 1) Нам известно расстояние и скорость, поэтому найдем скорость по формуле: V = S:t = 300:2=150км/ч. Это скорость сближения.
2) Найдем скорость второго автобуса: 150-70 = 80км/ч.

Решение задач на движение в одном направлении: сближение и удаление

Если два объекта движутся в одном направлении и один объект “догоняет” второй, то расстояние между объектами уменьшается.
Скорость сближения при таком движении определяют по формуле:

Если два объекта движутся в одном направлении и один объект “отстает” от второго, то расстояние между объектами увеличивается.
Скорость удаления при таком движении определяют по формуле:

Если объект движется в стоячей воде (озере), то его скорость называют собственной скоростью объекта. То есть, скорость объекта равная собственной скорости объекта.

Заметим, что плот — это тело, у которого собственная скорость равна нулю (V=0). Значит, плот может плыть только по течению и со скоростью течения.

Задача 8. Расстояние между двумя автомобилями, движущимися в одном направлении, составляет 20 км. Первый автомобиль едет со скоростью 40км/ч, второй — со скоростью 30км/ч. Через сколько часов первый автомобиль догонит второй?
Решение. 1) Найдем скорость сближения автомобилей: V=40-30=10км/ч.

2) Зная расстояние (20км) и скорость сближения (10км/ч) найдем время: 20:10=2 часа.

Задача 9. Из одного населенного пункта выехали автомобиль и автобус. скорость автомобиля 70 км/ч, скорость автобуса — 50 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?
Решение. 1) Найдем скорость удаления : V=70-50=20км/ч.
2) Зная скорость удаления и время, найдем расстояние: S = 20*3 =60 км.

Решение задач на движение по реке

Особенностью задач на движение реке является то, что у объекта появляется дополнительная скорость — скорость течения реки. При этом возможно два варианта:

• по течению реки → скорость увеличивается;
• против течения реки → скорость уменьшается.

Таким образом, в задачах рассматривают 2 скорости: 

• Скорость собственная — Vs;
• Скорость течения реки — Vt.

Задача 9. Собственная скорость лодки составляет 12 км/ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Какое расстояние проплывёт лодка через 3 часа, если она плывёт по течению реки?
Решение. 1) Найдем скорость лодки. Так как она плывет по течению реки, ее скорость увеличивается. 
V = Vs+ Vt = 12+3 =15км/ч.
2) Найдем расстояние: S=V×t = 15×3=45км.

Задача 10. Собственная скорость катера составляет 30 км/ч. Скорость течения реки равна 4 км/ч. Какое расстояние преодолеет катер через 4 часа, если он плывёт против течения реки?
Решение. 1) Найдем скорость. Так как катер плывет против течения реки, его скорость уменьшится. 
V = Vs- Vt = 30-4 =26 км/ч.
2) Найдем расстояние: S=V×t = 26 * 4 = 104 км.

Задача 10. Скорость лодки равна 10 км/ч. При этом надо успеть проплыть 25 км за 2 часа по течению реки. Какой должна быть скорость течения реки, чтобы успеть в срок? 
Решение. 1) Найдем нужную скорость: V=S:t = 25:2=12,5 км/ч.
2) Найдем скорость, которую нужно прибавить до нужно (скорость течения реки): 12,5-10=2,5км/ч.

Задача 11. Уровень ЕГЭ.
Катер прошёл по течению реки 120 км и вернулся обратно. Известно, что обратный путь занял на 1 час больше времени, а скорость катера в неподвижной воде равна 27 км/ч. Найдите скорость течения.
Решение: Пусть Vt — cкорость течения реки, тогда:
1) В одну сторону: 27+Vt  – скорость перемещения катера по течению, S=120км.
2) В обратную сторону: 27-Vt  – скорость перемещения катера против течения, S=120км.
Выразим время:
1) В одну сторону:  t=S:V = 120:(27+Vt) – время, затраченное катером на перемещение по течению,
2) В обратную сторону:  t=S:V = 120:(27-Vt) – время, затраченное катером на перемещение против течения.
Так как время перемещения против течения на час больше, чем время по течению, то:
120:(27+Vt) +1 = 120:(27-Vt).
Далее решаем уравнение и получаем ответ 3 км/ч.

Больше задач на движение Ваш ребёнок может решить, скачав программы:

Правильность решения задач вы можете проверить на сайте intmag24.ru с помощью калькулятора решения задач на движение.

Полезные советы для решения задач на движения

• В процессе решения задач на движение может быть составлена формула квадратного уравнения, которое будет иметь два корня. В этом случае нужно взять тот ответ, который  будет логичен для задачи (положительный). Отрицательный корень не берется во внимание.
• Внимательно следите, чтобы в задаче все данные измерялись одними величинами. Если это не так, нужно се привести к единым единицам измерения.
• При решении задач на движение рисуйте картинки. Особенно, когда текст задачи большой и сразу в голове не укладывается. Чаще всего это нужно делать в задачах, где кто-то кого-то догоняет, встречается, или перемещается между пунктами А и В туда и обратно. На картинке сразу видно, какие отрезки пути можно просчитать. Картинка облегчает составление математической модели.

Для решения более сложных задач на движение посмотрите, как составлять схемы и таблицы данных для наглядного представления и структурирования данных.