Чтобы научиться быстро и успешно решать уравнения, нужно начать с самых простых правил и примеров. В первую очередь надо научиться решать уравнения, слева у которых стоит разность, сумма, частное или произведение некоторых чисел с одним неизвестным, а справа другое число. Иными словами, в этих уравнениях есть одно неизвестное слагаемое и либо уменьшаемое с вычитаемым, либо делимое с делителем и т.д. Именно об уравнениях такого типа мы с вами поговорим.
Эта статья посвящена основным правилам, позволяющим найти множители, неизвестные слагаемые и др. Все теоретические положения будем сразу пояснять на конкретных примерах.
Нахождение неизвестного слагаемого
Допустим, у нас есть некоторое количество шариков в двух вазах, например, 9. Мы знаем, что во второй вазе 4 шарика. Как найти количество во второй? Запишем эту задачу в математическом виде, обозначив число, которое нужно найти, как x. Согласно первоначальному условию, это число вместе с 4 образуют 9, значит, можно записать уравнение 4+x=9. Слева у нас получилась сумма с одним неизвестным слагаемым, справа – значение этой суммы. Как найти x? Для этого надо использовать правило:
Для нахождения неизвестного слагаемого надо вычесть известное из суммы.
В данном случае мы придаем вычитанию смысл, который является обратным смыслу сложения. Иначе говоря, есть определенная связь между действиями сложения и вычитания, которую можно в буквенном виде выразить так: если a+b=c, то c−a=b и c−b=a, и наоборот, из выражений c−a=b и c−b=a можно вывести, что a+b=c.
Зная это правило, мы можем найти одно неизвестное слагаемое, используя известное и сумму. Какое именно слагаемое мы знаем, первое или второе, в данном случае неважно. Посмотрим, как применить данное правило на практике.
Возьмем то уравнение, что у нас получилось выше: 4+x=9. Согласно правилу, нам нужно вычесть из известной суммы, равной 9, известное слагаемое, равное 4. Вычтем одно натуральное число из другого: 9-4=5. Мы получили нужное нам слагаемое, равное 5.
Обычно решения подобных уравнений записывают следующим образом:
- Первым пишется исходное уравнение.
- Далее мы записываем уравнение, которое получилось после того, как мы применили правило вычисления неизвестного слагаемого.
- После этого пишем уравнение, которое получилось после всех действий с числами.
Такая форма записи нужна для того, чтобы проиллюстрировать последовательную замену исходного уравнения равносильными и отобразить процесс нахождения корня. Решение нашего простого уравнения, приведенного выше, правильно будет записать так:
4+x=9,x=9−4,x=5.
Мы можем проверить правильность полученного ответа. Подставим то, что у нас получилось, в исходное уравнение и посмотрим, выйдет ли из него верное числовое равенство. Подставим 5 в 4+x=9 и получим: 4+5=9. Равенство 9=9 верное, значит, неизвестное слагаемое было найдено правильно. Если бы равенство оказалось неверным, то нам следовало бы вернуться к решению и перепроверить его, поскольку это знак допущенной ошибки. Как правило, чаще всего это бывает вычислительная ошибка или применение неверного правила.
Нахождение неизвестного вычитаемого или уменьшаемого
Как мы уже упоминали в первом пункте, между процессами сложения и вычитания существует определенная связь. С ее помощью можно сформулировать правило, которое поможет найти неизвестное уменьшаемое, когда мы знаем разность и вычитаемое, или же неизвестное вычитаемое через уменьшаемое или разность. Запишем эти два правила по очереди и покажем, как применять их при решении задач.
Для нахождения неизвестного уменьшаемого надо прибавить вычитаемое к разности.
Например, у нас есть уравнение x-6=10. Неизвестно уменьшаемое. Согласно правилу, нам надо прибавить к разности 10 вычитаемое 6, получим 16. То есть исходное уменьшаемое равно шестнадцати. Запишем все решение целиком:
x−6=10,x=10+6,x=16.
Проверим получившийся результат, добавив получившееся число в исходное уравнение: 16-6=10. Равенство 16-16 будет верным, значит, мы все подсчитали правильно.
Переходим к следующему правилу.
Для нахождения неизвестного вычитаемого надо вычесть разность из уменьшаемого.
Воспользуемся правилом для решения уравнения 10-x=8. Мы не знаем вычитаемого, поэтому нам надо из 10 вычесть разность, т.е. 10-8=2. Значит, искомое вычитаемое равно двум. Вот вся запись решения:
10-x=8,x=10-8,x=2.
Сделаем проверку на правильность, подставив двойку в исходное уравнение. Получим верное равенство 10-2=8 и убедимся, что найденное нами значение будет правильным.
Перед тем, как перейти к другим правилам, отметим, что существует правило переноса любых слагаемых из одной части уравнения в другую с заменой знака на противоположный. Все приведенные выше правила ему полностью соответствуют.
Нахождение неизвестного множителя
Посмотрим на два уравнения: x·2=20 и 3·x=12. В обоих нам известно значение произведения и один из множителей, необходимо найти второй. Для этого нам надо воспользоваться другим правилом.
Для нахождения неизвестного множителя нужно выполнить деление произведения на известный множитель.
Данное правило базируется на смысле, который является обратным смыслу умножения. Между умножением и делением есть следующая связь: a·b=c при a и b, не равных 0, c: a=b, c: b=c и наоборот.
Вычислим неизвестный множитель в первом уравнении, разделив известное частное 20 на известный множитель 2. Проводим деление натуральных чисел и получаем 10. Запишем последовательность равенств:
x·2=20x=20:2x=10.
Подставляем десятку в исходное равенство и получаем, что 2·10=20. Значение неизвестного множителя было выполнено правильно.
Уточним, что в случае, если один из множителей нулевой, данное правило применять нельзя. Так, уравнение x·0=11 с его помощью решить мы не можем. Эта запись не имеет смысла, поскольку для решения надо разделить 11 на 0, а деление на нуль не определено. Подробнее о подобных случаях мы рассказали в статье, посвященной линейным уравнениям.
Когда мы применяем это правило, мы, по сути, делим обе части уравнения на другой множитель, отличный от 0. Существует отдельное правило, согласно которому можно проводить такое деление, и оно не повлияет на корни уравнения, и то, о чем мы писали в этом пункте, с ним полностью согласовано.
Нахождение неизвестного делимого или делителя
Еще один случай, который нам нужно рассмотреть, – это нахождение неизвестного делимого, если мы знаем делитель и частное, а также нахождение делителя при известном частном и делимом. Сформулировать это правило мы можем с помощью уже упомянутой здесь связи между умножением и делением.
Для нахождения неизвестного делимого нужно умножить делитель на частное.
Посмотрим, как применяется данное правило.
Решим с его помощью уравнение x:3=5. Перемножаем между собой известное частное и известный делитель и получаем 15, которое и будет нужным нам делимым.
Вот краткая запись всего решения:
x:3=5,x=3·5,x=15.
Проверка показывает, что мы все подсчитали верно, ведь при делении 15 на 3 действительно получается 5. Верное числовое равенство – свидетельство правильного решения.
Указанное правило можно интерпретировать как умножение правой и левой части уравнения на одинаковое отличное от 0 число. Это преобразование никак не влияет на корни уравнения.
Переходим к следующему правилу.
Для нахождения неизвестного делителя нужно разделить делимое на частное.
Возьмем простой пример – уравнение 21:x=3. Для его решения разделим известное делимое 21 на частное 3 и получим 7. Это и будет искомый делитель. Теперь оформляем решение правильно:
21:x=3,x=21:3,x=7.
Удостоверимся в верности результата, подставив семерку в исходное уравнение. 21:7=3, так что корень уравнения был вычислен верно.
Важно отметить, что это правило применимо только для случаев, когда частное не равно нулю, ведь в противном случае нам опять же придется делить на 0. Если же частным будет нуль, возможны два варианта. Если делимое также равно нулю и уравнение выглядит как 0:x=0, то значение переменной будет любым, то есть данное уравнение имеет бесконечное число корней. А вот уравнение с частным, равным 0, с делимым, отличным от 0, решений иметь не будет, поскольку таких значений делителя не существует. Примером может быть уравнение 5:x=0, которое не имеет ни одного корня.
Последовательное применение правил
Зачастую на практике встречаются более сложные задачи, в которых правила нахождения слагаемых, уменьшаемых, вычитаемых, множителей, делимых и частных нужно применять последовательно. Приведем пример.
У нас есть уравнение вида 3·x+1=7. Вычисляем неизвестное слагаемое 3·x, отняв от 7 единицу. Получим в итоге 3·x=7−1, потом 3·x=6. Это уравнение решить очень просто: делим 6 на 3 и получаем корень исходного уравнения.
Вот краткая запись решения еще одного уравнения (2·x−7):3−5=2:
(2·x−7):3−5=2,(2·x−7):3=2+5,(2·x−7):3=7,2·x−7=7·3,2·x−7=21,2·x=21+7,2·x=28,x=28:2,x=14.
Способ найти 1 слагаемое
Разберём в качестве примера решение одного элементарного уравнения. Из чего оно состоит? Как правило, это сумма и два слагаемых, одно из которых известно, другое — нет. Преимущественно неизвестное слагаемое обозначается буквой «икс», прописью x.
Например, уравнение выглядит следующим образом: 3+x=8. Как его решить? Воспользуемся законами элементарной логики. У нас есть сумма двух чисел. Одно из них известно, а второе — нет. То есть для того, чтобы узнать неизвестное, необходимо из суммы вычесть известное слагаемое. Получаем результат: 8−3=5.
Конечно, взрослому человеку с рациональным и логическим мышлением это кажется простым и понятным. А как быть, если необходимо научить ребёнка нахождению слагаемого? Можно объяснить на простых и понятных примерах. Например, задать вопрос: У Димы было 3 рубля, и после того как Петя дал ему денег, у Димы стало 8 рублей. Сколько рублей ему дал Петя?
Самый простой пример — счёты на пальцах. Сначала можно показать ребёнку 3 пальца, а потом 8. После чего попросить его посчитать, сколько пальцев вы добавили. Главное — не пытаться всё объяснить сложными словами. Предложенные примеры буду более эффективными. Однако повторить правило нахождения неизвестного слагаемого не будет лишним. Оно формулируется следующим образом: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо известное слагаемое вычесть из суммы.
После того как вы решили уравнение, рекомендуется сделать проверку, чтобы убедиться, что всё сделано правильно. Сложите получившийся результат неизвестного слагаемого с известным слагаемым. Если сумма совпадает с суммой, то решение правильное. В нашем случае проверка: 3+5=8.
Другие методы
Правило, которое позволяет быстро найти неизвестное слагаемое, довольно простое. Однако для того, чтобы облегчить его понимание, из него можно вывести правила, связанные с вычитанием.
Так, в примерах со сложением мы имеем два слагаемых и сумму: 3+5=8. Здесь 3 и 5 — слагаемые, а 8 — сумма. А в примерах с вычитанием мы имеем:
- Уменьшаемое.
- Вычитаемое.
- Разность.
Например, 7 — 4=3. В этом случае уменьшаемое — 7, вычитаемое — 3, а разность — 4. Уменьшаемое и вычитаемое также могут быть неизвестными. И крайне важно знать, как их вычислять.
Правила нахождения уменьшаемого
При поиске уменьшаемого уравнение может выглядеть следующим образом: x-2=4. Мы имеем разность — результат вычитания и число, которое вычитаем. Необходимо найти уменьшаемое — самое большое число в примере. Формулировка правила: чтобы найти неизвестное уменьшаемое, необходимо к разности прибавить вычитаемое.
Так, если мы вычитаем из неизвестного числа другое число и получаем результат, известный нам, то для поиска уменьшаемого необходимо сложить разность и вычитаемое. Простейший пример: дома были конфеты. Их количество мы не знаем. После того как Дима съел 2 конфеты, их осталось 4. Вопрос: сколько их всего было изначально? Для того чтобы узнать, прибавим 2 к 4 и получим результат — было 6 конфет. Для проверки вычтем 2 из 6. Получим результат 4 — решение верное.
Поиск вычитаемого
Нахождение вычитаемого — это такой же простой процесс, как и поиск уменьшаемого. Уравнение может иметь следующий вид: 7-x=3. Мы имеем разность — результат вычитания, и уменьшаемое число. Формулировка правила: чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
Так, если мы вычитаем из одного числа неизвестное число и получаем определённый результат (разность), значит, для поиска неизвестного вычитаемого вычтем из известного числа разность. В нашем примере x=7−3, результат равен 4. Для проверки вычтем 4 из 7, и получим 3 — решение верное. Ещё один вариант проверки — сложить 3 и 4. Так как сумма равна 7, решение правильное.
Общие правила
Для того чтобы гораздо быстрее решать элементарные уравнения, необходимо знать некоторые правила математики и логики. Здесь даже навыки арифметики не имеют такого решающего значения, как понимание того, что именно необходимо находить.
В случае с неизвестным слагаемым оно находится очень просто. От перестановки слагаемых сумма не меняется. То есть совершенно неважно, какой вид имеет уравнение x+2=6, или 2+x=6. В любом случае компонент x будет равен 4.
Дело в том, что уравнения с одним неизвестным предусмотрены школьной программой третьего класса. А ученики могут путаться и испытывать трудности в их решении, не зная этого правила.
Первое, с чего стоит начинать развитие навыка решения — это многократное повторение. Достаточно решать 5—10 уравнений в день с одним неизвестным компонентом, и уже через несколько дней ученик будет справляться с подобными заданиями гораздо быстрее. И только потом можно переходить к более сложным заданиям.
А также для улучшения понимания необходимо решать обратные уравнения. Что это значит? Вычитание — процесс, обратный сложению. То есть при сложении 3 и 4 сумма равна 7. А при вычитании 4 из 7 разность равна 3. В первом уравнении можно искать неизвестные слагаемые. При этом решать его с теми же числами, но на поиск уменьшаемого или вычитаемого.
Решение подобных уравнений точно не навредит ученику, это лишь ускорит процесс формирования навыка. При проверке и решении обратных уравнений в голове откладывается взаимосвязь между всеми компонентами примеров, а их решение практически доводит до автоматизма. Главное — постоянно тренировать этот навык.
Уравнения с умножением и делением
После освоения уравнений на сложение и вычитание можно будет переходить к следующему уровню сложности. Это уравнения с умножением и делением.
Компоненты уравнения с умножением:
- Два множителя.
- Произведение.
Например, 3*x=6. Здесь 3 и x — множители, а 6 — произведение. Так, умножая одно число на другое, в результате получается произведение. То есть, если одно из этих чисел неизвестно, необходимо разделить произведение на известный множитель. В этом случае действует такое же правило, как и при сложении. При перестановке мест множителей произведение не меняется.
Компоненты уравнения с делением:
- Делимое.
- Делитель.
- Частное.
Возьмём простейший пример 8: x=4. Здесь делимое 8, делитель x, а частное — 4. Для поиска неизвестного делителя необходимо разделить делимое на частное. Для упрощения понимания можно представить это уравнение в виде элементарной задачи. В классе 8 учеников, которые разделились на группы по 4 человека. Вопрос: сколько получилось групп?
Есть ещё один вариант — с поиском делимого. Например, уравнение x:2=5. Для поиска делимого необходимо частное умножить на делитель. Пример задачи: 2 мальчика заработали по 5 долларов каждый, какова общая сумма их заработка?
Между делением и умножением похожая взаимосвязь, как между сложением и вычитанием. То есть для того, чтобы лучше решать уравнения с умножением, необходимо также решать их с делением и наоборот. Этот подход в тренировке навыка решения уравнений ускоряет мыслительный процесс.
Поиск неизвестных компонентов уравнения не такой уж и сложный. Главное — начинать с простого и регулярно решать уравнения с одним неизвестным. И тогда для вас будут открыты более сложные задачи — с двумя и более неизвестными.
Как найти слагаемое при решении уравнения? Это можно сделать одним из двух способов.
1) Воспользоваться правилом:
Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
2) Если забыли правило, можно придумать простой пример на сложение.
Например, 2+5=7. Как найти первое слагаемое — 2? Надо из 7 вычесть 5. Отсюда выводим правило: чтобы найти неизвестное первое слагаемое, надо из суммы вычесть второе слагаемое.
Как найти второе слагаемое — 5? Нужно из 7 вычесть 2. Отсюда получаем: чтобы найти второе слагаемое, надо из суммы вычесть первое слагаемое.
А так как от перестановки мест слагаемых сумма не меняется, можно не уточнять, какое по счету слагаемое мы ищем.
Рассмотрим, как найти неизвестное слагаемое, на конкретных примерах.
1)
| x | + | 27 | = | 92 |
| сл. | сл. | сум. |
Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое:
x=92-27
x=65
Ответ: 65.
2)
| 43 | + | y | = | 70 |
| сл. | сл. | сум. |
Чтобы найти неизвестное слагаемое, из суммы вычитаем известное слагаемое:
y=70-43
y=27
Ответ: 27.
Решение более сложных уравнений, содержащих несколько действий, обсудим позднее.
1. Как
найти неизвестное слагаемое?
– Чтобы
найти первое слагаемое, надо из суммы вычесть второе слагаемое.
– Чтобы
найти второе слагаемое, надо из суммы вычесть первое слагаемое.
2. Как
найти неизвестное уменьшаемое?
Чтобы
найти уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
3. Как
найти неизвестное вычитаемое?
Чтобы
найти вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
1. Как
найти неизвестное слагаемое?
– Чтобы
найти первое слагаемое, надо из суммы вычесть второе слагаемое.
– Чтобы
найти второе слагаемое, надо из суммы вычесть первое слагаемое.
2. Как
найти неизвестное уменьшаемое?
Чтобы
найти уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
3. Как
найти неизвестное вычитаемое?
Чтобы
найти вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
1. Как
найти неизвестное слагаемое?
– Чтобы
найти первое слагаемое, надо из суммы вычесть второе слагаемое.
– Чтобы
найти второе слагаемое, надо из суммы вычесть первое слагаемое.
2. Как
найти неизвестное уменьшаемое?
Чтобы
найти уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
3. Как
найти неизвестное вычитаемое?
Чтобы
найти вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
1. Как
найти неизвестное слагаемое?
– Чтобы
найти первое слагаемое, надо из суммы вычесть второе слагаемое.
– Чтобы
найти второе слагаемое, надо из суммы вычесть первое слагаемое.
2. Как
найти неизвестное уменьшаемое?
Чтобы
найти уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
3. Как
найти неизвестное вычитаемое?
Чтобы
найти вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
1. Как
найти неизвестное слагаемое?
– Чтобы
найти первое слагаемое, надо из суммы вычесть второе слагаемое.
– Чтобы
найти второе слагаемое, надо из суммы вычесть первое слагаемое.
2. Как
найти неизвестное уменьшаемое?
Чтобы
найти уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
3. Как
найти неизвестное вычитаемое?
Чтобы
найти вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
1. Как
найти неизвестное слагаемое?
– Чтобы
найти первое слагаемое, надо из суммы вычесть второе слагаемое.
– Чтобы
найти второе слагаемое, надо из суммы вычесть первое слагаемое.
2. Как
найти неизвестное уменьшаемое?
Чтобы
найти уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
3. Как
найти неизвестное вычитаемое?
Чтобы
найти вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
1. Как
найти неизвестное слагаемое?
– Чтобы
найти первое слагаемое, надо из суммы вычесть второе слагаемое.
– Чтобы
найти второе слагаемое, надо из суммы вычесть первое слагаемое.
2. Как
найти неизвестное уменьшаемое?
Чтобы найти
уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
3. Как
найти неизвестное вычитаемое?
Чтобы
найти вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
1. Как
найти неизвестное слагаемое?
– Чтобы
найти первое слагаемое, надо из суммы вычесть второе слагаемое.
– Чтобы
найти второе слагаемое, надо из суммы вычесть первое слагаемое.
2. Как
найти неизвестное уменьшаемое?
Чтобы
найти уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
3. Как
найти неизвестное вычитаемое?
Чтобы
найти вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
Вот заданье, вот мученье! Я решаю уравненье!
Привет, ребята! Сегодня мы с вами поговорим об
уравнениях. О тех уравнениях, в которых надо найти неизвестное
слагаемое. Давайте прежде всего вспомним, как надо находить неизвестное
слагаемое. Вот перед вами формула действия сложения, где, как вы видите, сумма
является целым, а слагаемые – частями.
Ну
а если нам известны одно из
слагаемых и сумма, то как найти неизвестное слагаемое?
Чтобы
найти неизвестное слагаемое надо из суммы вычесть
известное слагаемое.
Поэтому
неизвестное слагаемое в уравнениях мы находим вычитанием.
Вот
перед вами уравнение:
х
+ 29 = 11 · 4
Ух
ты! Это что-то новенькое! Вы привыкли к уравнениям, в которых обычно есть три
числа – два известных и одно неизвестное. Например, вот такое уравнение:
А
в этом после знака равно стоит не одно число, а числовое выражение. Какое-то усложнённое
уравнение получилось.
С
чего же начать? Пожалуй, прежде всего надо наше уравнение сделать обычным,
простым. А для этого надо что сделать? Правильно, выполнить то действие,
которое стоит справа от знака равно. Перемножаем числа одиннадцать и четыре и
получаем число сорок четыре. А теперь переписываем уравнение в уже привычном
для нас виде: икс плюс двадцать девять равно сорок четыре. Вот теперь решаем
его.
Надо
найти неизвестное слагаемое. Находим его
вычитанием. Из сорока четырёх вычитаем двадцать девять. Икс равен пятнадцати.
Под чертой выполняем проверку – переписываем наше уравнение, заменяя букву икс
на число, которое у нас получилось. Выполняем действия слева и справа от знака
равно.
х
+ 29 = 44
х
= 44 – 29
х
= 15
15
+ 29 = 11 · 4
44
= 44
В
обеих частях получится сорок четыре. Значит, уравнение решено верно.
А
теперь решим вот такое уравнение:
17
+ у = 96 : 4
Вы
обратили внимание на то, что и здесь, прежде чем найти неизвестное, уравнение нужно
упростить. Надо выполнить действие, которое находится справа от знака
равно. Частное чисел девяносто шесть и четыре равно двадцати четырём.
Записываем
уравнение, заменив числовое выражение в правой его части значением этого
выражения. В уравнении надо найти неизвестное второе слагаемое. Находим его
вычитанием. Игрек равен семи.
17
+
у
=
24
у
= 24 – 17
у
= 7
17
+ 7 = 96 : 4
24
= 24
Проверяем.
Переносим уравнение под черту. Не забудьте! Не упрощённое, а именно то, которое
было дано первоначально. Находим значения его левой и правой частей. Они между
собой равны. Значит, корень уравнения найден верно.
А
теперь я предлагаю вам решить и проверить самостоятельно два уравнения.
х
+ 43 = 24 + 76 28 + у = 96 : 3
Не
забывайте: Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы
вычесть известное слагаемое.
И
при проверке не ленитесь – обязательно выполняйте действия в левой и правой
части уравнения. Это поможет вам вовремя обнаружить ошибку, если вы случайно её
допустите.
Ну
а теперь проверим, так ли вы решили уравнения.
х
+ 43 = 100 28 + у = 32
х
= 100 – 43 у = 32 – 28
х
= 57 у = 4
57
+ 43 = 24 + 76 28 + 4 = 96 : 3
100
= 100 32 = 32
Я
надеюсь, вы не забыли, что при проверке записывается данное в начале уравнение,
но вместо буквы подставляется корень уравнения, который мы нашли. Обязательно
пересчитайте левую и правую части уравнения. Если их значения равны, то
уравнение решено верно. Ну и, конечно, вы знаете:
Чтобы
найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть
известное слагаемое.
А
я сегодня прощаюсь с вами, ребята! До новых встреч!
