Как найти второй синус в прямоугольном треугольнике

Определение синуса угла

Синусом угла в прямоугольном треугольнике называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Катетами являются стороны, которые образуют прямой угол в треугольнике, соответственно, гипотенузой является третья (самая длинная) сторона.

Для простоты запоминания можно дать такое определение: синус угла — это отношение дальнего от рассматриваемого угла катета к гипотенузе.

В случае с рисунком, описанным выше: sin⁡α=acsinalpha=frac{a}{c}

Задача 1

В треугольнике, один из углов которого равен 90 градусам, известен катет при угле αalpha и равен он 3 см3text{ см}. Также дано произведение длин катетов и равно 12 см212text{ см}^2. Найдите синус угла αalpha.

Решение

Сначала нужно найти длину неизвестного нам катета. Для этого воспользуемся данным нам произведением. Обозначим неизвестный катет за xx. Тогда, по условию задачи:

3⋅x=123cdot x=12

x=123=4x=frac{12}{3}=4

a=x=4a=x=4

По теореме Пифагора найдем гипотенузу:

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2

42+32=c24^2+3^2=c^2

25=c225=c^2

c=5c=5

sin⁡α=ac=45=0.8sinalpha=frac{a}{c}=frac{4}{5}=0.8

Ответ

0.80.8

Задача 2

Вычислите синус 45 градусов.

Решение

Для этого воспользуемся тригонометрической таблицей углов. Находим, что:

sin⁡45∘=π4=0.785sin 45^circ=frac{pi}{4}=0.785

Ответ

0.7850.785

Если в задаче известен косинус угла и нужно найти его синус, то наличие известных длин катетов и гипотенузы не обязательны. Достаточно просто воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, которое имеет следующий вид:

Основное тригонометрическое тождество

sin⁡2α+cos⁡2α=1sin^2alpha+cos^2alpha=1

αalpha — любой угол.

Задача 3

Квадрат косинуса угла в треугольнике равен 0.8. Найдите синус данного угла.

Решение

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

sin⁡2α+cos⁡2α=1sin^2alpha+cos^2alpha=1

sin⁡2α+0.8=1sin^2alpha+0.8=1

sin⁡2α=0.2sin^2alpha=0.2

sin⁡α=0.2sinalpha=sqrt{0.2}

sin⁡α≈0.447sinalphaapprox0.447

Ответ

0.4470.447

Испытываете проблемы с вычислением синуса? Оформите задачу по математике на заказ у наших экспертов!

Тест по теме «Вычисление синуса»

Синус в треугольнике

Что такое синус в треугольнике? Как найти синус острого угла в прямоугольном треугольнике?

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

для угла A треугольника ABC

противолежащий катет — это BC.

Соответственно, синус угла A в треугольнике ABC — это

Для угла B треугольника ABC

противолежащим является катет AC.

Соответственно, синус угла B в треугольнике ABC

равен отношению AC к AB:

Таким образом, синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это некоторое число, получаемое в результате деления длины противолежащего катета на длину гипотенузы. Длины отрезков выражаются положительными числами, поэтому синус угла треугольника также является положительным числом.

Поскольку длина катета всегда меньше длины гипотенузы, то синус острого угла прямоугольного треугольника — число, меньшее единицы.

Синус любого острого угла прямоугольного треугольника больше нуля, но меньше единицы:

Синус угла треугольника зависит не от длин сторон треугольника, а от отношения этих длин.

1) В треугольнике ABC катет BC=3 см, а гипотенуза AB=5 см.

2) В треугольнике ABC катет BC=21 дм, гипотенуза AB=35 дм.

Длины сторон треугольника изменилось, но отношения длин остались прежними, поэтому и значение синуса угла A не изменилось.

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

Угол обозначается соответствующей греческой буквой .

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

Давайте докажем некоторые из них.

1. Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
2. С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла катет а будет прилежащим.Получаем, что . Иными словами, .
3. Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на : Мы получили основное тригонометрическое тождество.
4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .

Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

1. В треугольнике угол равен , . Найдите .

Задача решается за четыре секунды.

2 . В треугольнике угол равен , , . Найдите .

Найдем по теореме Пифагора.

Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы

Тригонометрия – раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Синус угла ( sin α ) – отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла ( cos α ) – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла ( t g α ) – отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла ( c t g α ) – отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса – вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от – ∞ до + ∞ .

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Начальная точка A с координатами ( 1 , 0 ) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A 1 . Определение дается через координаты точки A 1 ( x , y ).

Синус (sin) угла поворота

Синус угла поворота α – это ордината точки A 1 ( x , y ). sin α = y

Косинус угла поворота α – это абсцисса точки A 1 ( x , y ). cos α = х

Тангенс угла поворота α – это отношение ординаты точки A 1 ( x , y ) к ее абсциссе. t g α = y x

Котангенс угла поворота α – это отношение абсциссы точки A 1 ( x , y ) к ее ординате. c t g α = x y

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой ( 0 , 1 ) и ( 0 , – 1 ). В таких случаях выражение для тангенса t g α = y x просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Синус и косинус определены для любых углов α .

Тангенс определен для всех углов, кроме α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z )

Котангенс определен для всех углов, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z )

При решении практических примеров не говорят “синус угла поворота α “. Слова “угол поворота” просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности – точка A c координатами ( 1 , 0 ).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус (sin) числа t

Синус числа t – ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t = y

Косинус числа t – абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t = x

Тангенс числа t – отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. t g t = y x = sin t cos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).

Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α – это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс – основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A ( 1 , 0 ) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A 1 ( x , y ) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A 1 O H равен углу поворота α , длина катета O H равна абсциссе точки A 1 ( x , y ) . Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A 1 ( x , y ) , а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α , при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

[spoiler title=”источники:”]

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/sinus/

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/trigonometrija/sinus-kosinus-tangens-i-kotangens/

[/spoiler]

Содержание:

Пусть в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, один из острых углов равен

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла

Определение. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Определение. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему:

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему:

Пример:

Угол К в равен 90° (рис. 7).
Тогда:

Для угла N катет МК — противолежащий, а катет NK — прилежащий (см. рис. 7, с. 11). Поэтому согласно определениям получаем:

Можно заметить, что синус острого угла а прямоугольного треугольника и косинус другого острого угла этого треугольника, содержащего  равны, т. е. . Так же  Например,
А теперь выполните Тест 1 и Тест 2.

 

Значение синуса острого угла, а также косинуса, тангенса и котангенса зависит только от величины угла и не зависит от размеров и расположения прямоугольного треугольника с указанным острым углом.
Это следует из того, что прямоугольные треугольники с равным острым углом подобны, а у подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны. Так, в  (рис. 8)

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30°, 45°, 60°

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, у которого  (рис. 9). Так как катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, то АВ = 2. По теореме Пифагора 

 Тогда:

 

Так как  (см. рис. 9), то

 

 

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, у которого  (рис. 10). По теореме Пифагора 

Тогда:

 

 

Составим таблицу значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 30°, 45° и 60°.

Нахождение значений тригонометрических функций

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла можно приближенно находить при помощи специальных тригонометрических таблиц* либо калькулятора.

Например, с помощью калькулятора, компьютера или мобильного телефона (смартфона) находим: sin45° = 0,707106… . Приближенное значение тригонометрических функций при решении задач будем брать с округлением до четырех знаков после запятой: sin45° = 0,7071.
Итак, точное значение sin 45° равно  . а приближенное — 0,7071.
Таблицы и калькулятор также позволяют находить величину острого угла по значению синуса, косинуса или тангенса. Например, найдем острый угол, синус которого равен 0,4175. Выбрав на компьютере вид калькулятора «инженерный», далее «градусы», нужно ввести последовательно . На экране появится ответ: 24,676… . Округлим его до десятых долей градуса и получим 24,7°. Учитывая, что 1° содержит 60 угловых минут, получим: 0,7° = 0,7 • 60′ = 42′. Искомый угол, синус которого 0,4175, приближенно равен 24°42′.
А теперь выполните Тест 3.

Тригонометрические функции острого угла

Синус, косинус, тангенс и котангенс являются функциями угла, так как каждому острому углу  соответствует единственное значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Они называются тригонометрическими функциями и записываются так:
Поскольку в прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы, то для острого угла  справедливо:  следовательно синус и косинус острого угла положительны и меньше 1.
Тангенс и котангенс острого угла могут принимать любое положительное значение. Например, tg85° ~ 11,4.

С увеличением острого угла синус и тангенс возрастают, а косинус и котангенс убывают (рис. 11), то есть если  то

 но  (cm. c. 28, задачу 2*). Это гарантирует, что синус (косинус, тангенс и котангенс) острого угла определяют этот угол однозначно.

Пример №1

В прямоугольном треугольнике АВС, где , катет ВС равен 8 см, гипотенуза АВ равна 17 см. Найти косинус угла А (рис. 12).

Решение:

По теореме Пифагора найдем катет  (см). Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен от ношению прилежащего катета к гипотенузе. Тогда 

Ответ: 

Пример №2

Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС равна 20 см,  (рис. 13). Найти площадь треугольника.

Решение:

Так как  Обозначим По теореме Пифагора  Тогда  ВС = 4 • 4 = 16(см),

Ответ: 96

Пример №3

При помощи циркуля и линейки построить угол, синус которого равен 

Решение:

Идея решения. Построим прямоугольный треугольник с катетом, равным 4 единицы, и ги­потенузой, равной 5 единиц. Синус угла, противолежащего указанному катету, будет равен

Построение. 1) Строим прямой угол С (рис. 14), для чего проводим произвольную прямую  отмечаем на ней точку С и строим прямую  проходящую через точку С перпендикулярно прямой  (вспомните по рисунку алгоритм построения). 2) На прямой  от точки С откладываем последова­тельно четыре равных отрезка. Получаем отрезок ВС, который содержит 4 единицы. 3) Строим окружность с центром в точке В радиусом, равным пяти единицам. В пересечении этой окружности и прямой получаем точку А.
Угол ВАС — искомый.

Доказательство:

Из  находим

Алгоритм решения прямоугольного треугольника

Под решением прямоугольного треугольника понимают нахождение его неизвестных сторон и углов по некоторым элементам, определяющим этот треугольник. Рассмотрим три задачи:

1. нахождение катета по гипотенузе и острому углу;
2. нахождение катета по другому катету и острому углу;
3. нахождение гипотенузы по катету и острому углу.

Пример №4

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 6, острый угол равен 32° (рис. 23). Найти катет, прилежащий к данному углу. Ответ округлить до 0,1.

Решение:

Примем длину искомого катета за

  

Ответ: 5,1.

Пример №5

Катет прямоугольного треугольника равен 2,5, а прилежащий к нему угол равен 68° (рис. 24). Найти другой катет. Ответ округлить до 0,1.
 

Решение:

Примем длину неизвестного катета за

  

Ответ: 6,2.

Пример №6

Катет прямоугольного треугольника равен 4,2, противолежа­щий ему угол равен 29° (рис. 25). Найти гипотенузу треугольника. Ответ округлить до 0,1.

Решение:

Примем длину гипотенузы за

Ответ: 8,7.

Правила решения прямоугольного треугольника

Преобразуем формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса и запишем результаты для треугольника на рисунке 26:

Удобно пользоваться следующими правилами:

• Катет равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего или на косинус прилежащего угла (рис. 27, а).
• Гипотенуза равна катету, деленному на синус противолежащего или на косинус прилежащего угла (рис. 27, б).
• Катет равен другому катету, умноженному на тангенс противолежащего или на котангенс прилежащего к первому катету угла (рис. 27, в).

Пример №7

В  известно: (рис. 28).

Полезно запомнить!
Если в прямоугольном треугольнике с углом 30° (или 60°) дан меньший катет а, то больший
катет  (рис. 29, а). А если дан больший катет  то меньший катет  (рис. 29, б).
Если в прямоугольном треугольнике с углом 45° дан катет а,

то гипотенуза  (рис. 30, а), а если дана гипотенуза с, то ка­тет (рис. 30, б).

Пример №8

В прямоугольном треугольнике АВС известно:  — высота, проведенная к гипотенузе (рис. 31). Найти проекцию НВ катета ВС на гипотенузу.

Решение:

Заметим, что  так как эти углы дополняют Из   Из  

Ответ:

Пример №9

В равнобедренной трапеции ABCD меньшее основание ВС равно 7, боковая сторона АВ равна 10, sinA = 0,8. Найти площадь трапеции.

Решение:

Площадь трапеции находится по формуле Найдем большее основание и высоту трапеции. Проведем в трапеции высоты ВН и СК (рис. 32). Так как НВСК — прямоугольник (все углы — прямые), то НК = ВС = 7. Из равенства прямоугольных треугольников АНВ и DKC (по катету и гипотенузе) АН = KD. Из прямоугольного треугольника АНВ находим:  откуда АН = 6 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Тогда

Ответ: 104.

Тригонометрические формулы

Используя формулы где  и  — катеты, с — гипотенуза прямоугольного треугольника, можно по­лучить формулы, связывающие значения тригонометрических функций острого угла.

1. Основное тригонометрическое тождество

Доказательство:

По теореме Пифагора 

Тогда

Следствие:

Так как синус и косинус острого угла а положительны, то

2. Выражение тангенса и котангенса через синус и косинус

 

Доказательство:

a) б)

Следствие:

 

Проверим справедливость основного тригонометрического тождества.
Верно ли, например, что  Да, это верно, так как 

3. Основная задача

Дано: — острый угол.

Найти: 

Решение:

Способ 1. Используем основное тригонометрическое тождество:  Так как косинус острого угла больше нуля, то откуда 

Способ 2. Изобразим прямоугольный треугольник с катетом 5 и гипотенузой 13 (рис. 41). Синус угла, противолежащего данному катету, равен  Поэтому этот угол равен По теореме Пифагора другой катет равен  Тогда

Способ 3. Пусть катет, противолежащий углу  равен 5х, тогда гипотенуза равна  По теореме Пифагора прилежащий катет равен Отсюда 

Ответ:

Пример №10

В параллелограмме ABCD (рис. 42) сторона ВС = 50 см, высота ВК = 30 см, . Найти периметр параллелограмма.

Решение:

Из треугольника АВК находим: Из основного тригонометрического тождества следует:  (так как угол А — острый, то sinA > 0). Тогда (см )
Ответ: 168 см.

Пример №11

Доказать, что при увеличении угла от 0° до 90°:

а) синус угла увеличивается от 0 до 1, а косинус — уменьшается от 1 до 0;

б) тангенс угла увеличивается от О до бесконечности.

Решение:

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники с гипотенузой, равной 1. Для этого опишем радиусом ОМ, равным 1, четверть окружности — ду­гу МК (рис. 43). Пусть  Опустим из точки А перпендикуляр АВ на ОМ. Тогда  При повороте радиуса ОМ вокруг центра О против часовой стрелки, начиная от ОМ и заканчивая ОК, угол  будет увеличиваться от 0° до 90° (образуя указанные на чертеже углы:  и т. д.). Величина катета АВ, противолежащего углу  будет увеличиваться от 0 до 1. А величина катета ОВ, наоборот, будет уменьшаться от 1 до 0. Таким образом, при увеличении угла от 0° до 90° его синус увеличивается от 0 до 1, а косинус уменьшается от 1 до 0.
Из формулы  также следует (учитывая положительность синуса и косинуса острого угла), что с увеличением синуса от 0 до 1 косинус уменьшается от 1 до 0. 

 

б) Для определения изменения тангенса угла удобно рассматривать треугольники, у которых при­лежащий катет не изменяется и остается равным 1, а противолежащий катет изменяется. Рассмотрим прямоугольный треугольник АОМ, у которого отре­зок ОМ = 1,  (рис. 44). По определению  Угол  станем изменять, перемещая точку А по прямой MN, начиная от точки М и проходя через точки  и т. д. При этом угол  и его тангенс начнут возрастать. Таким образом, когда угол  при движении точки А вверх будет стремиться к углу КОМ, равному 90°, то тангенс этого угла будет неограниченно возрастать.
К такому же выводу можно прийти, рассматривая формулу  При увеличении угла  от 0° до 90° числитель дроби будет увеличиваться от 0 до 1, а знаменатель — уменьшаться от 1 до 0, значит, вся дробь будет увеличиваться от 0 до бесконечности. Таким образом, при увеличении угла от 0° до 90° его тангенс увеличивается от 0 до бес­конечности.

Пример №12

В основании прямоугольного параллелепипеда  лежит квадрат, диагональ которого  см. Диагональ  боковой грани составляет с ребром основания  угол  (рис. 46). Найдите объем параллелепипеда.

Решение:

Объем прямоугольного параллелепипеда находится по формуле , где а, b и с — его измерения. Так как ABCD — квадрат, то . Из прямоугольного треугольника  находим . Искомый объем .
Ответ: 576 см³.

Синус, косинус, тангенс и котангенс тупого угла

1. Определение значений  для любого угла а от 0° до 180°

Ранее мы дали определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла через отношение сторон прямоугольного треугольника. Сделаем теперь это для углов от 0° до 180°.

Рассмотрим полуокружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1 (рис. 48). От положительной полуоси  против часовой стрелки отложим острый угол  сторона которого пересекает полуокружность в точке . Из прямоугольного треугольника OMN, где ОМ = 1, ON = х, MN = у, получаем:  то есть синус, косинус,

тангенс и котангенс острого угла а выражаются через координаты  точки  Точно так же определяются значения  и  для любого угла а из промежутка  Таким образом, синусом угла а называется ордината  косинусом — абсцисса  тангенсом — отношение ординаты к абсциссе   а котангенсом — отношение абсциссы к ординате  точки М единичной полуокружности.

Например, для тупого  (рис. 48), где  получим: 

Для любого положения точки  на единичной полуокружности верно равенство  (докажите самостоятельно). Поэтому для углов  где  верно основное тригонометрическое тождество
Также верны тождества:

Нахождение синуса, косинуса, тангенса и котангенса тупых углов

Пусть  откуда  (рис. 49). Так как  по гипотенузе и острому углу, то Точки  имеют координаты:  и  Тогда то есть для углов от 0° до 180° справедливы равенства: 

Можно пользоваться следующим правилом:
 

Синус тупого угла равен синусу смежного с ним острого угла.
Косинус тупого угла равен косинусу смежного с ним острого угла, взятому со знаком «минус».
 

Пример 1.

 Разделив почленно равенство на равенство  а затем наоборот, получим равенства:

Можно пользоваться следующим правилом:
Тангенс (котангенс) тупого угла равен тангенсу (котангенсу) смежного с ним острого угла, взятому со знаком «минус».

Пример 2.
Указанные формулы и правила позволяют находить значения триго­нометрических функций тупого угла через значения тригонометрических функций острого угла, который дополняет данный тупой угол до 180°: синусы углов, дополняющих друг друга до 180°, равны между собой, а косинусы, тангенсы и котангенсы — противоположны. Так как синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла по­ложительные, то синус тупого угла положительный, а косинус, тангенс и котангенс — отрицательные.

Значения тригонометрических функций для углов 0°, 90°, 180°

Если луч ОМ совпадет с лучом (рис. 50), то будем считать, что  Тогда:

а)  значение не определено, так как деление на нуль невозможно; 

б) значение  не определено, так как деление на нуль невозможно; в)  значе­ние  не определено, так как деление на нуль невозможно.
Поскольку проекции радиуса, равного 1, на оси координат меньше либо равны 1, то для углов  справедливы неравенства:

Пример №13

Найти  если  – тупой угол.

Решение:

Способ 1. Так как  то  Поскольку угол  — тупой, то его косинус отрицательный. Поэтому Тогда

Способ 2. Синус острого угла  смежного с данным тупым углом  равен также  Построим прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 (рис. 52). В нем Так как косинусы смежных углов противоположны, то . Аналогично,

Ответ:

Формулы площади треугольника и площади параллелограмма

Тригонометрические функции позволяют получить формулы для вычисления площади треугольника и площади параллелограмма. Сформулируем их в виде двух теорем.

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними, т. е.

Доказательство:

Пусть в треугольнике — острый,  — высота (рис. 56, а).

Из  прямоугольного треугольника  Тогда
Если угол  тупой (рис. 56,  то — острый. Из прямоугольно­го треугольника АКС следует, что  Так как то
Если  то  — прямоугольный с катетами  Учитывая, что  получим:
Теорема доказана.

Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению двух его соседних сторон на синус угла между ними, т. е.

Используя рисунок 57, докажите эту теорему самостоятельно.

Замечание. Если  то параллелограмм является прямоугольником. Его площадь  так как  Таким образом, формула площади прямоугольника  — частный случай формулы площади параллелограмма

Известно, что слово «синус» в переводе с латинского имеет множество значений: изгиб, дуга, пазуха, бухта, впадина, залив, хорда, забота и нежная любовь. При помощи Интернета выясните:

а) какое из значений подходит к математическому понятию «синуса»;

б) какие из значений относятся к медицине и почему насморк врачи иногда называют синуситом.

Пример №14

Дан параллелограмм ABCD, площадь которого 40 см², а периметр 36 см. Найти стороны параллелограмма, если его угол D равен 150° (рис. 58).

Решение:

Полупериметр параллелограмма ра­вен 18 см. Если см, то  см.
Тогда

Так как  то
По условию  Составим и решим уравнение:  По теореме Виета (обратной) — корни.
Если CD = 8 см, то AD = 10 см, если CD = 10 см, то AD = 8 см.
Ответ: 8 см, 10 см.

Пример №15

Доказать, что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, т.е. 

Доказательство:

Пусть диагонали  и  четырехугольника ABCD (рис. 59) пересекаются в точке О,  Докажем, что
Обозначим  Заме­тим, что как вертикальные,  по свойству смежных углов. Поэтому  По фор­муле площади треугольника  у получим:

Утверждение доказано

Среднее пропорциональное (среднее геометрическое) в прямоугольном треугольнике

Если для положительных чисел  выполняется пропорция то число  называется средним пропорциональным чисел а и с (между чис­лами а и с). Из указанной пропорции  откуда  В такой форме записи число  еще называют средним геометрическим чисел а и с.
 

Пример №16

Число 4 является средним пропорциональным, или средним геометрическим чисел 2 и 8, так как =  или

В прямоугольном треугольнике АВС, где , проведем высоту СК (рис. 61). Отрезок АК является проекцией катета АС на гипотенузу, а отрезок ВК — проекцией катета ВС на гипотенузу. Катеты, гипотенуза, высота и проекции катетов на гипотенузу связаны отношениями, которые мы сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема (о среднем пропорциональном в прямоугольном треугольнике).

а) Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, т. е.  (см. рис. 61).

б) Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проек­цией этого катета на гипотенузу, т. е.

Доказательство:

а)3аметим, что если  то (эти углы дополняют  до 90°) (рис. 62). Из  из   Отсюда

б) Из , из  откуда 
Аналогично доказывается, что  Теорема доказана.

Обозначив катеты  гипотенузу с, высо­ту  проекции катетов на гипотенузу (рис. 63), получим следующие формулы: 

Пример №17

Найти площадь прямоугольного треугольника, если проекции катетов на гипотенузу равны 2 см и 8 см.

Решение:

Пусть СН — высота прямоугольного треугольника АВС   АН = 2 см — проекция катета АС на гипотенузу, НВ = 8 см —

проекция катета СВ на гипотенузу (рис. 64). Так как высота СН есть среднее геометрическое между проекциями катетов на гипотенузу, то

Ответ: 20 см².

Пример №18

В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведена высота  см, АК = 12 см (рис. 65). Найти гипотенузу АВ.

Решение:

Пусть  см, тогда  см.
Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу. Поэтому  т. е.  По теореме Виета (обратной) По смыслу задачи  Значит, КВ = 3 см, АВ = 15 см.
Ответ: 15 см.

Пример №19

При помощи циркуля и линейки построить отрезок, равный среднему геометрическому отрезков т и п .

Решение:

Пусть даны отрезки т и п . Необходимо построить отрезок 

Построение.
1) На произвольной прямой откладываем данные отрезки:

2) На отрезке АВ как на диаметре строим полуокружность, для чего находим середину О отрезка АВ, откуда ОА — радиус данной окружности.

3) Из точки К восстанавливаем перпендикуляр к прямой АВ до пересечения с полуокружностью в точке М (рис. 66).
Отрезок — среднее пропорциональное отрезков

Доказательство:

— прямой как вписанный угол, опирающийся на диаметр. В прямоугольном треугольнике АМВ высота МК является средним пропорциональным проекций катетов AM и МВ на гипотенузу

Повторение*
В 8-м классе мы доказали следующую теорему:

Теорема (о касательной и секущей). Если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной, соединяющего данную точку и точку касания, равен произведению отрезков се­ кущей, соединяющих данную точку и точки пересечения секущей с окружностью, т. е.  (рис. 70).

Как видим, отрезок  является средним пропорциональным между отрезками  секущей. Глядя на рисунок 70, вспомните идею доказательства теоремы.

Теорема о площадях треугольников с общим (равным) углом

Площади треугольников, имеющих общий угол (или равный угол), относятся как произведения сторон, заключающих этот угол (рис. 75),
т.е.

Доказательство:

Следствие: Верно:

Пример №20

Площадь треугольника АВС равна 16, АК : КС = 3 :1 , AM : МВ = 1 :2 (рис. 76). Найти

Решение:

Способ 1. По следствию из теоремы о площадях треугольников с общим углом получаем:

Способ 2.  

Ответ: 4.

Теорема Менелая

Если дан треугольник АВС и прямая  пересекает стороны ВС, АВ и продолжение стороны АС в точках  соответственно (рис. 79), то

Доказательство:

Проведем отрезок  Так как и (по двум углам), то  и  Перемножив почленно указанные пропорции, получим

откуда
Замечание. При составлении произведения трех отношений теоремы Менелая можно начинать с любой из шести точек (трех вершин треугольника и трех точек пересечения прямой с прямыми, содержащими стороны треугольника) и двигаться по контуру либо по часовой, либо против часовой стрелки. При этом вершины треугольника и точки пересечения должны чередоваться.

Пример №21

В треугольнике АВС на сторонах АВ и АС взяты соответственно точки М и К, такие, что AM : МВ = 2 :1 , АК : КС = 3 :2 . Отрезки СМ и ВК пересекаются в точке О. Найти ВО : ОК.

Решение:

Способ 1 (теорема Менелая). Рассмотрим  (рис. 80). Прямая  пересекает две его стороны АВ и ВК соответственно в точках М и О и продолжение тре­тьей стороны АК в точке С. По теореме Менелая  откуда

Способ 2 (теорема Фалеса обобщенная). Проведем  (рис. 81). По теореме Фалеса  Тогда АЕ — три части, ЕМ — две части, AM — пять частей, откуда
Но  Отсюда  Для
по теореме Фалеса

Ответ:

 

Пример №22

Дан равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС), площадь которого равна 80. Точка К делит высоту ВН в отношении 1 : 3, считая от основания. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке М. Найти площадь четырехугольника НКМС (рис. 82).

Решение:

1)  (ВН — высота и медиана треугольника АВС).

2) Применим теорему Менелая к треугольнику НВС.
Прямая AM пересекает его стороны ВН и ВС соответственно в точках К и М и продолжение стороны НС в точке  Тогда  Откуда

3)

4)

Ответ: 22.

Неравенство Коши

Среднее арифметическое двух неотрицательных чисел больше либо равно их среднему геометрическому, т. е.

Например,  Действительно,

Алгебраическое доказательство указанного неравенства таково. Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства  Получим:  Так как при всех допустимых , то  Следовательно, неравенство  верно.
Неравенство  где  называется неравенством Коши по имени известного французского математика и часто используется при решении олимпиадных задач.

Приведем геометрическое доказательство указанного неравенства. Изобразим окружность с диаметром АВ и центром в точке О (рис. 87). На диаметре возьмем точку К (для определенности левее центра О). Пусть  Из точки К вос­становим перпендикуляр КС, где точка С принад­лежит окружности. Проведем радиус ОС. Так как вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, то  прямоугольный, СК — его высота, проведенная к гипотенузе. По теореме о среднем пропорциональном в прямоугольном треугольнике . Но радиус ОС равен половине диаметра АВ, т. е. . В  катет меньше гипотенузы, т. е.  так как катет меньше гипотенузы. Отсюда 
Равенство левой и правой частей неравенства достигается, когда точ­ка К совпадает с точкой О и  становится равнобедренным и прямоугольным. Поэтому справедливо неравенство т. е 

ЗАПОМИНАЕМ

2. Значения тригонометрических функций углов 30 45°, 60°: 

3. Тригонометрические формулы (тождества): 

Примеры:  

4. Формулы площади треугольника и параллелограмма: 

5. Среднее пропорциональное в прямоугольном треугольнике: 

• Прямоугольный треугольник заключает в себе великое множество различных отношений между всеми своими составляющими. Один из углов в таком треугольнике имеет величину 90°, за счет чего и появляются его особенные свойства. Стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами прямоугольного треугольника, а сторона, лежащая напротив него – гипотенузой. Прямой угол в основе треугольника регулирует отношение сторон таким образом, что зная их можно рассчитать любой острый угол. Отношение противолежащего углу α катета a к гипотенузе c называется синусом угла α и записывается следующим образом:
  

  Разделив катет на гипотенузу, мы получим значение синуса, соответствующее определенной градусной мере, найти которую можно в таблице синусов. Таблица основных значений синусов приведена ниже, а полную версию можно найти по ссылке.

  

  Свойства

  Синус угла sin(α) — есть отношение противолежащего катета a к гипотенузе c.

  

  Таблица синусов

  Синус угла 0° градусов	0	0.000
  Синус угла 30° градусов	1/2	0.500
  Синус угла 45° градусов	√2/2	0.707
  Синус угла 60° градусов	√3/2	0.866
  Синус угла 90° градусов	1	1

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Подобные треугольники
5. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Советуем посмотреть:

Пропорциональные отрезки

Определение подобных треугольников

Отношение площадей подобных треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Средняя линия треугольника

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Практические приложения подобия треугольников

О подобии произвольных фигур

Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60

Подобные треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 591,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 621,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 623,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 647,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1033,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 2,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 5,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1243,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1251,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1310,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---