Как найти вторую боковую сторону трапеции

Здравствуйте, уважаемые читатели. В этой статье продолжим разбор задач из 23 задания ОГЭ по математике. Задача, которую будем решать может встретиться для параллелограмма и прямоугольника. Для ромба и квадрата смысла иметь не будет, поскольку диагонали квадрата и ромба взаимно перпендикулярны.

Задача

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 10

Построим чертеж и напишем условие для задачи

Решение

1) Докажем, что треугольник ABF – прямоугольный с прямым углом BFA. Обозначим углы цифрами, как это на рисунке ниже.

2) Воспользуемся теоремой Пифагора, и найдем сторону АВ, которая является гипотенузой.

Ответ 26.

P.S. При проверке такой задачи на экзамене, многие учащиеся выполняют сразу же второй пункт, без доказательства, что треугольник прямоугольный. Но в таком случае возникает спор, какой балл ставить на экзамене. Некоторые ставят 2 балла, аргументируя это тем, что задача №23 не на доказательство, а на вычисление. Но есть те, кто ставит 1 или 0 баллов. А как считаете Вы, какой балл стоит выставлять без первого пункта решения?

Вам понравился материал? Поблагодарить легко! Будем весьма признательны, если поделитесь этой статьей в социальных сетях, поставите лайк и подпишитесь на мой блог

Трапеция — это выпуклый четырехугольник с двумя параллельными основами и двумя непараллельными
боковыми сторонами.

Иногда фигура определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна,
поэтому параллелограмм и прямоугольник являются частными случаями трапеции. Также это
четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, а остальные стороны не
равны между собой.
Параллельные стороны называются основами, а остальные боковыми.

Вычисление стороны необходимо для нахождения периметра, площади трапеции, ее диагоналей и других
значимых параметров.

Длина основания через среднюю линию и известное основание

Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон фигуры. Через её значение
вычисляется одна из основ. Нужно умножить ее на два и вычесть известную:

a = 2m – b

Например, средняя линия MN равна 6, а основание а – 9. Соответственно, значения, подставленные в
формулу, показывают, что b = 2*6 – 9 = 3.

Нижнее основание через верхнее основание, высоту и углы при нижнем основании

Высота h или BK – перпендикуляр, проведенный от одной основы к другой. Высота проводится в любой их
точке, но удобнее всего это делать из вершины углов при меньшей основе. Чтобы найти нижнее
основание, надо к верхнему прибавить произведение высоты на сумму котангенсов углов при нижнем:

a = b + h*(ctga + ctgb)

Дано верхнее основание 10, высота 6 и углы 30 и 45. По формуле а = 10 + 6*(3+1) = 10 + 63 + 6 = 16+63.
Для равнобедренного четырёхугольника выведены две формулы. В первой (a = 2S/h – b) основа выражена с
помощью формулы площади. Пример: Площадь равнобедренной трапеции ABCD = 18, высота = 6, а AD = 5.
Найти BC. BC = 2*18/6 – 5 = 6 – 5 = 1

Второе выражение сформулировано следующим образом: (a = b + 2h*ctga). Высота АН в трапеции ADEF =
10, DE = 4, а DAF = 45 градусам. Найти AF: AF = 4 + 10*2*1 = 24

Верхнее основание через нижнее основание, высоту и углы при нижнем основании

Чтобы найти верхнюю основу, надо из нижней вычесть произведение высоты на сумму котангенсов углов при
ней:

b = a – h*(ctg α + ctg β)

Дана трапеция с нижним основанием 15, высотой 8 и углами в 45 градусов. По формуле а = 15 + 8*(1+1) =
15 + 16 = 31

Формулы для равнобедренного четырёхугольника: b = 2S/h – a и b = a – 2h*ctga.

• Площадь трапеции KLMN = 44, KL=MN, высота равна 8, KN = 5. Найти LM: LM = 44*2/8 – 5 = 6
• Высота трапеции DEFG = 15, DG= 5, а EDG = 45 градусам. Найти EF: EF = 5 + 15*2*1 = 35

Нижнее основание через боковые стороны, верхнее основание и углы при нижнем основании

Для нахождения основы а нужно к основе b прибавить произведение одной и другой стороны и косинусов
углов при них

a = b + c * cos α + d * cos β

Дана равнобокая трапеция с верхним основанием 6, боковыми сторонами 5 и 11 и углами в 45 градусов.
Найти нижнее основание: а = 6 + 5*2/2 + 11*2/2 = 6 + 162/2 = 6 + 82

Отдельно для подобного типа фигур было выведено два выражения: a = (d1^2 – c^2)/b и a = b +
2c*cosa.

• трапеции ABCD AB = CD = 8, диагональ AC = 12, а BC = 4. Вычислить AD: AD = (12*12 – 8*8)/4
  = (144 – 64)/4 = 20
• В трапеции KLMN KL = MN = 4, LM = 7, а LKN равен 30 градусам. Вычислить KN: KN = 7 +
  4*2*3/2 = 7 + 43

Верхнее основание через боковые стороны, нижнее основание и углы при нем

Для нахождения основы b нужно из основы а вычесть произведение одной и другой боковой стороны и углов
при них

b = a – c * cos α – d * cos β

Дана трапеция с нижним основанием 27, боковыми сторонами 20 и 14 и углами в 30 и 60 градусов. Найти
верхнее основание: b = 27 — 20*3/2 — 14*1/2 = 27 — 103 — 7 = 20 —
103. Формулы для равнобедренного типа: b = (d1^2 — c^2)/a и b = a — 2c*cosa.

• В трапеции DEFG DE и FG = 11, диагональ АС = 13, а EF = 12. Вычислить DG: DG = (13*13 –
  11*11)/12= (169 – 121)/12 = 4
• Боковые стороны трапеции BCDE BC и DE = 25, BE = 10, а CBE равен 60 градусам. Вычислить CD:
  CD = 25 – 10*2*1/2 = 15

Боковая сторона через высоту и угол при нижнем основании

Чтобы найти боковую сторону, надо разделить высоту на синус угла при ней

d = h / sin α

Дана трапеция с высотой 12 и углами в 30 и 60 градусов. Найти боковые стороны: c = 12/0,5 =
24, d = 12/3/2 = 243

Для прямоугольного типа формулы несколько отличаются. Самая простая из них связывает высоту и меньшую
боковую сторону: c = h.
Для нее существует еще несколько формул: с = d*sina; c = (a – b)*tga; c
= (d^2 – (a – b)^2)

• В прямоугольной трапеции CDEF сторона EF равна 22, а прилежащий угол = 45. Найти CD. CD =
  22*2/2 = 112
• Прямоугольная трапеция MNOP имеет основания MP и NO, равные 32 и 19 соответственно. NMP равен 60
  градусам. Найти MP: MP = (32 – 19)*3 = 133
• В прямоугольной трапеции ABCD AD и BC равны 35 и 15 соответственно. Диагональ АС = 26. Найти AB.
  AB = (26^2 – (35 – 15)^2) = 676 – 400 = 276 = 269

Первая вытекает из прямоугольного треугольника и свидетельствует о том, что отношение катета к
гипотенузе равно синусу противолежащего угла. В этом треугольнике второй катет равен разности двух
оснований. Отсюда возникает утверждение, приравнивающее тангенс угла к отношению катетов. Третья
формула выведена на основании теоремы Пифагора.

Для второй боковой стороны выведено и записано три выражения: d = (a — b)/cosa; d = c/sina; d =
(c^2 — (a — b)^2). Первое и второе получаются из соотношения сторон в прямоугольном
треугольнике, а третье выводится из теоремы Пифагора.

• В прямоугольной трапеции KLMN KN = 28, LM = 13 а прилежащий угол = 30. Найти KL: KL = (28 –
  13)/3/2 = 103
• В прямоугольной трапеции EFGH EF равна 45. FEH равен 30 градусам. Найти GH: GH = 45/0,5 =
  90
• В прямоугольной трапеции NOPQ NQ и OP =.36 и 17. Диагональ равна 29. Найти NO: NO = (29^2 –
  (36 – 17)^2) = 841 – 361= 480 = 430

Для равнобокой трапеции существуют формулы c = d1^2 – ab; c = (a – b)/2cosa; c = S/m*sina; c =
2S/(a+b)*sina.

• В трапеции LMNO LM = NO. LO = 16, MN = 6, диагональ равна 10. Найти LM: LM = 10^2 – 16*6 =
  100 – 96 = 4
• Трапеция ABCD – равнобокая, AB = CD. AD = 18, BC = 4, а прилежащий угол равен 45 градусам. Найти
  AB: AB = (18 – 4)/2/2 = 14/2/2 = 14/2
• В трапеции BCDE BC=DE. Площадь фигуры равна 48, BE = 17, CD = 7, а CBE равен 30 градусам.
  Вычислить BC: m = (17 – 7)/2 = 5, BC = 48/5*1/2 = 96/5 = 19,2
• Площадь равнобедренной трапеции KLMN = 90, основания KN и LM = 32 и 18 соответственно, а LKN =
  60 градусов. Вычислить KL: KL = 2*90/(32 + 18)*3/2 = 360/503 = 129600/7500 = 17,28

Виды трапеций

Существуют следующие виды трапеций:

• Равнобедренная трапеция — фигура, у которой боковые стороны и углы при основании равны.
  Диагонали также равны. Треугольники, образованные диагоналями и основой, являются
  равнобедренными. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь равна квадрату высоты. Если
  разделить обе основы пополам и повести через эти точки линию, то она будет осью геометрической
  фигуры. Отрезки, последовательно соединяющие середины смежных сторон, образуют ромб.
• Прямоугольная трапеция — фигура, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
  и равна высоте. Два угла будут равны 90 градусам, и они всегда принадлежат смежным вершинам, а
  другие всегда острый и тупой, их сумма всегда будет равна 180 градусам. Каждая диагональ
  образует с ее меньшей боковой стороной прямоугольный треугольник. А высота, которая проведена из
  вершины с тупым углом, делит фигуру на две. Одна из них прямоугольник, другая прямоугольный
  треугольник.
• Разносторонняя трапеция — фигура, боковые стороны которой не равны и углы при основании не
  являются прямыми. Ее диагонали делят фигуру на четыре треугольника, два из которых подобны, а
  остальные — равновелики, то есть имеют одинаковые площади. Сумма углов при боковой стороне 180
  градусов.

Свойства трапеции

1. Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.
2. Любая биссектриса, выведенная из угла четырёхугольника, отсекает на основании (продолжении)
   отрезок с длиной боковой стороны.
3. Треугольники AOD и COD, образованные отрезками диагоналей и основами, подобны.
   Коэффициент
   подобия – k = AD/BC.
   Отношение площадей треугольников — k^2.
4. Треугольники ABO и DCO, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами, имеют одинаковую
   площадь.
5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований равняется сумме её боковых сторон.
6. Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений
   боковых сторон лежат на одной прямой.
7. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равняется половине разности основ и лежит на средней
   линии.

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

• Основы трапеции – параллельные стороны
• Боковые стороны – две другие стороны
• Средняя линия – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

• Равнобедренная трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны
• Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам

Основные свойства трапеции

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

BC : AD = OC : AO = OB : DO

d ₁ 2 + d ₂ 2 = 2 a b + c 2 + d 2

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

a = b + h · ( ctg α + ctg β )

b = a – h · ( ctg α + ctg β )

a = b + c· cos α + d· cos β

b = a – c· cos α – d· cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

Средняя линия трапеции

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

h = c· sin α = d· sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =	sin γ ·	d 1 d 2	=	sin δ ·	d 1 d 2
a + b	a + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =	sin γ ·	d 1 d 2	=	sin δ ·	d 1 d 2
2 m	2 m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

d ₁ = √ a 2 + d 2 – 2 ad· cos β

d ₂ = √ a 2 + c 2 – 2 ac· cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d 1 =	√	d 2 + ab –	a ( d 2 – c 2 )
a – b

d 2 =	√	c 2 + ab –	a ( c 2 – d 2 )
a – b

d ₁ = √ h 2 + ( a – h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2

d ₂ = √ h 2 + ( a – h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2

d ₁ = √ c 2 + d 2 + 2 ab – d ₂ 2

d ₂ = √ c 2 + d 2 + 2 ab – d ₁ 2

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =	d 1 d 2	· sin γ	=	d 1 d 2	· sin δ
2	2

4. Формула площади через четыре стороны:

S =	a + b	√	c 2 –	(	( a – b ) 2 + c 2 – d 2	)	2
2	2( a – b )

5. Формула Герона для трапеции

S =	a + b	√ ( p – a )( p – b )( p – a – c )( p – a – d )
| a – b |

где

p =	a + b + c + d	– полупериметр трапеции.
2

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =	a·c·d 1
4√ p ( p – a )( p – c )( p – d 1)

где

a – большее основание

Окружность вписанная в трапецию

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =	b	KN = ML =	a	TO = OQ =	a · b
2	2	a + b

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и , то

Площадь

или где – средняя линия

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Как найти боковые стороны трапеции вписанную окружность

Формулы трапеции

Для расчёта всех основных параметров трапеции воспользуйтесь калькулятором.

Виды трапеции

1. Произвольная трапеция – это четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна)
2. Равнобедренная трапеция – это такая трапеция, у которой боковые стороны равны
3. Прямоугольная трапеция – это такая трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне

Свойства трапеции

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны (∠ADC = ∠DCB и ∠DAB = ∠ABC)
2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны (AC = BD)
3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная
4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность
5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований

Формулы площади произвольной трапеции

Площадь трапеции через основания и высоту

Площадь трапеции через среднюю линию и высоту

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

Площадь трапеции через четыре стороны

Формулы площади равнобедренной трапеции

Площадь трапеции через стороны

Площадь трапеции через стороны и угол

$$ S = AD * sin(∠ADC) * (DC — AD * cos(∠ADC)) $$ $$ S = AD * sin(∠ADC) * (AB + AD * cos(∠ADC)) $$

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

Площадь трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

$$ S = FE * AD * sin(∠ADC) = FE * AD * sin(∠DAB) $$

Площадь трапеции если в нее вписана окружность

Формулы сторон произвольной трапеции

Основание через другое основание и среднюю линию

$$ AB = 2 * FE — DC $$ $$ DC = 2 * FE — AB $$

Основание через другое основание, диагонали и угол между ними

$$ DC = AB + AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD)) $$ $$ AB = DC — AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD)) $$ $$ DC = AB + AD * cos(∠ADC) + BC * cos(∠BCD) $$ $$ AB = DC — AD * cos(∠ADC) — BC * cos(∠BCD) $$ $$ AD = $$ $$ BC = $$

Формулы сторон равнобедренной трапеции

Длина основания через диагональ, боковую сторону и другое основание

Длина боковой стороны через диагональ и основания

Длина основания через высоту, другое основание, диагонали и угол между ними

Длина основания через высоту, другое основание и площадь трапеции

Длина боковой стороны через площадь трапеции, среднюю линию и угол при основании

Длина боковой стороны через площадь трапеции, основания и угол при основании

Формулы сторон прямоугольной трапеции

$$ DC = AB + BC * cos(∠BCD) = AB + AD * ctg(∠BCD) $$ $$ AB = DC — BC * cos(∠BCD) = DC — AD * ctg(∠BCD) $$ $$ DC = AB + sqrt $$ $$ AB = DC — sqrt $$

Длина основания через боковую сторону, другое основание, диагонали и угол между ними

Длина основания через площадь трапеции, другое основание и высоту

Высота в прямоугольной трапеции равна стороне, которая перпендикулярна основаниям (AD = AG) $$ DC = — AB $$ $$ AB = — DC $$

Формулы диагоналей произвольной трапеции

Длина диагоналей через четыре стороны

Длина диагоналей по теореме косинусов

Длина диагоналей через высоту

Длина диагоналей через стороны и другую диагональ

Длина диагоналей через высоту, основания, другую диагональ и угол между диагоналей

Длина диагоналей через площадь трапеции, другую диагональ и угол между диагоналей

Длина диагоналей через среднюю линию, высоту, другую диагональ и угол между диагоналей

Формулы диагоналей равнобедренной трапеции

Длина диагоналей через стороны

Длина диагоналей по теореме косинусов

Длина диагоналей через высоту основание и угол при основании

Длина диагоналей через сторону и высоту

Формулы диагоналей прямоугольной трапеции

Формулы средней линии произвольной трапеции

Длина средней линии через основания

Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями

Длина средней линии через площадь и высоту

Формулы средней линии равнобедренной трапеции

Длина средней линии через основания

Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

$$ FE = DC — AG * ctg(∠ADC) = AB + AG * ctg(∠ADC) $$

Длина средней линии через основания, боковую сторону и высоту

Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями

Длина средней линии через площадь и боковую сторону

Формулы средней линии прямоугольной трапеции

Длина средней линии через основания, высоту и угол при нижнем основании

Длина средней линии через основания, боковую сторону и угол при нижнем основании

Длина средней линии через основания и боковые стороны

Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями

Формулы высоты произвольной трапеции

Длина высоты через четыре стороны

Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию

$$ AG = AD * sin(∠ADC) = BC * sin(∠BCD) $$

Длина высоты через диагонали и углы между ними

Длина высоты через среднюю линию, диагонали и углы между ними

Длина высоты через площадь и основания

Длина высоты через площадь и среднюю линию

Формулы высоты равнобедренной трапеции

Длина высоты через по сторонам

Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию

Длина высоты через основания и прилегающий угол к основанию

Длина высоты через диагонали и углы между ними

Длина высоты через площадь и основания

Длина высоты через площадь и среднюю линию

Формулы боковых сторон прямоугольной трапеции

Сторона AD в прямоугольной трапеции равна высоте, поэтому все формулы высоты произвольной трапеции актуальны для стороны AD прямоугольной трапеции.

Сторона BC по трём сторонам

Сторона BC через основания и угол ∠BCD

Сторона BC через Сторону AD

Сторона BC через площадь, среднюю линию и угол ∠BCD

Сторона BC через площадь, основания и угол ∠BCD

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

• Основы трапеции — параллельные стороны
• Боковые стороны — две другие стороны
• Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

• Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
• Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам

Основные свойства трапеции

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

BC : AD = OC : AO = OB : DO

d ₁ 2 + d ₂ 2 = 2 a b + c 2 + d 2

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

a = b + h · ( ctg α + ctg β )

b = a — h · ( ctg α + ctg β )

a = b + c· cos α + d· cos β

b = a — c· cos α — d· cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

Средняя линия трапеции

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

h = c· sin α = d· sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =	sin γ ·	d 1 d 2	=	sin δ ·	d 1 d 2
a + b	a + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =	sin γ ·	d 1 d 2	=	sin δ ·	d 1 d 2
2 m	2 m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

d ₁ = √ a 2 + d 2 — 2 ad· cos β

d ₂ = √ a 2 + c 2 — 2 ac· cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d 1 =	√	d 2 + ab —	a ( d 2 — c 2 )
a — b

d 2 =	√	c 2 + ab —	a ( c 2 — d 2 )
a — b

d ₁ = √ h 2 + ( a — h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2

d ₂ = √ h 2 + ( a — h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2

d ₁ = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d ₂ 2

d ₂ = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d ₁ 2

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =	d 1 d 2	· sin γ	=	d 1 d 2	· sin δ
2	2

4. Формула площади через четыре стороны:

S =	a + b	√	c 2 —	(	( a — b ) 2 + c 2 — d 2	)	2
2	2( a — b )

5. Формула Герона для трапеции

S =	a + b	√ ( p — a )( p — b )( p — a — c )( p — a — d )
| a — b |

p =	a + b + c + d	— полупериметр трапеции.
2

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =	a·c·d 1
4√ p ( p — a )( p — c )( p — d 1)

a — большее основание

Окружность вписанная в трапецию

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =	b	KN = ML =	a	TO = OQ =	a · b
2	2	a + b

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и , то

Площадь

или где – средняя линия

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

[spoiler title=”источники:”]

http://b4.cooksy.ru/articles/kak-nayti-bokovye-storony-trapetsii-vpisannuyu-okruzhnost

[/spoiler]