Как найти вторую частную производную пример

Как найти вторую частную производную пример

Чтобы понять частные производные, сначала нужно разобраться с обычными. И не нужно ничего искать: в нашей отдельной статье мы уже подготовили все для того, чтобы у вас это получилось. А сейчас речь пойдет о частных производных.

Добро пожаловать на наш телеграм-канал за полезной рассылкой и актуальными студенческими новостями.

Функция двух и более переменных

Прежде чем говорить о частных производных, нужно затронуть понятие функции нескольких переменных, без которого нет смысла в частной производной. В школе мы привыкли иметь дело с функциями одной переменной: 

Функция двух и более переменных

Производными таких функций мы и считали раньше. График функции одной переменной представляет собой линию на плоскости: прямую, параболу, гиперболу и т.д.

А что, если добавить еще одну переменную? Получится такая функция:

Функция двух и более переменных

Это – функция двух независимых переменных x и y. График такой функции представляет собой поверхность в трехмерном пространстве: шар, гиперболоид, параболоид или еще какой-нибудь сферический конь в вакууме. Частные производные функции z по иксу и игреку соответственно записываются так:

Функция двух и более переменных

Существуют также функции трех и более переменных. Правда, график такой функции нарисовать невозможно: для этого понадобилось бы как минимум четырехмерное пространство, которое невозможно изобразить.

Частная производная первого порядка

Запоминаем главное правило:

При вычислении частной производной по одной из переменных, вторая переменная принимается за константу. В остальном правила вычисления производной не меняются.

То есть, частная производная по сути ничем не отличается от обычной. Так что, держите перед глазами таблицу производных элементарных функций и правила вычисления обычных производных. Рассмотрим пример, чтобы стало совсем понятно. Допустим, нужно вычислить частные производные первого порядка следующей функции:

Частная производная первого порядка

Сначала возьмем частную производную по иксу, считая игрек обычным числом:

Частная производная первого порядка

Теперь считаем частную производную по игреку, принимая икс за константу:

Частная производная первого порядка

Как видите, ничего сложного в этом нет, а успех с более сложными примерами – лишь дело практики.

Частная производная второго порядка

Как находится частная производная второго порядка? Так же, как и первого. Чтобы найти частные производные второго порядка, нужно просто взять производную от производной первого порядка. Вернемся к примеру выше и посчитаем частные производные второго порядка.

По иксу:

Частная производная второго порядка

По игреку:

Частная производная второго порядка

Частные производные третьего и высших порядков не отличаются по принципу вычисления. Систематизируем правила:

  1. При дифференцировании по одной независимой переменной, вторая принимается за константу.
  2. Производная второго порядка – это производная от производной первого порядка. Третьего порядка – производная от производной второго порядка и т.д.

Частные производные и полный дифференциал функции

Частый вопрос в практических заданиях – нахождение полного дифференциала функции. Для функции нескольких переменных полный дифференциал определяется, как главная линейная часть малого полного приращения функции относительно приращений аргументов.

Определение звучит громоздко, но с буквами все проще. Полный дифференциал первого порядка функции нескольких переменных выглядит так:

Частные производные и полный дифференциал функции

Зная, как считаются частные производные, нет никакой проблемы вычислить и полный дифференциал.

Частные производные – не такая уж и бесполезная тема. Например, дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка широко используются для математического описания реальных физических процессов.

Здесь мы дали лишь общее, поверхностное представление о частных производных первого и второго порядка. Вас интересует эта тема или остались конкретные вопросы? Задавайте их в комментариях и обращайтесь к экспертам профессионального студенческого сервиса за квалифицированной и скорой помощью в учебе. С нами вы не останетесь один на один с проблемой!

Иван

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

Простое объяснение принципов решения частных производных и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения частных производных

Вычисление частной производной функции из нескольких переменных осуществляется по тем же правилам, что и функций с одной переменной. Разница лишь той, что другие переменные не участвуют дифференцировании (вычислении производной).

Проще говоря, чтобы найти частную производную функции z = x^{8} + 32y^{4} по переменной x,переменную y будем считать константой (производная константы равна нулю), после чего находим производную функции по x с помощью таблицы производных элементарных функций – {z_{x}}' = 8x^{7}. Готово!

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Подробнее

Примеры решения частных производных

Задача

Найти частные производные функции u = x^{2} + 3xy + 4y^{2}.

Решение

Частная производная функции по независимой переменной x:

Производная суммы равна сумме производных. Производная от x^{2} вычисляется по правилам вычислений производных функций одного аргумента, производная от слагаемого 3xy вычисляется как производная от функции двух аргументов. При этом аргумент y считается константой. Производная от слагаемого 4y^{2} вычисляется как производная от константы.

frac{partial{u}}{partial{x}} = (x^{2})' + (3xy)' + (4y^{2})' = 2x + 3y + 0 = 2x + 3y.

Частная производная функции по независимой переменной y:

Здесь вычисления также происходят по правилам вычисления производной суммы. Производная от x^{2} вычисляется как производная от константы (независимым аргументом при этом считается y). Производная от слагаемого 3xy вычисляется как производная от функции двух аргументов. При этом аргумент x считается константой, а y – независимым аргументом. Вычисление производной от слагаемого 4y^{2} осуществляется по правилам вычисления производных функций с одним аргументом.

frac{partial{u}}{partial{y}} = (x^{2})' + (3xy)' + (4y^{2})' = 0 + 3x + 8y = 3x + 8y.

Ответ

frac{partial{u}}{partial{x}} = 2x + 3y, frac{partial{u}}{partial{y}} = 3x + 8y.

Задача

Найти частные производные функции u = e^{frac{x}{y}}.

Решение

Найдём частную производную функции по независимой переменной x:

Функция e^{frac{x}{y}} является сложной. Производной показательной функции с основанием e является сама функция. Производная показателя степени вычисляется в при условии, что y является константой и равна u = frac{1}{y}. Производная функции u равна произведению e^{frac{x}{y}} и frac{1}{y}. В результате получаем:

{u_{x}}' = frac{1}{y}e^{frac{x}{y}}.

Найдём частную производную функции по независимой переменной y:

По аналогии с предыдущим случаем производная функции будет равна произведению производных от функции e^{frac{x}{y}} и показателя её степени frac{x}{y}:

Считая x постоянной величиной, находим производную по независимому аргументу y:

(e^{frac{x}{y}})' = e^{frac{x}{y}}

(frac{x}{y})' = -frac{x}{y^{2}}

{u_{y}}' = -frac{x}{y^{2}}e^{frac{x}{y}}.

Ответ

{u_{x}}' = frac{1}{y}e^{frac{x}{y}}, {u_{y}}' = -frac{x}{y^{2}}e^{frac{x}{y}}.

Задача

Найти частные производные функции z = x^{n} + y^{n}, n - натуральное число.

Решение

Частная производная функции по независимой переменной x будет равна производной от x^{n}. Производная от слагаемого y^{n} при этом будет равна нулю как производная от константы.

frac{partial{z}}{partial{x}} = nx^{n-1}

Частная производная функции по независимой переменной y находится аналогичным образом, при этом предполагается, что x является константой.

frac{partial{z}}{partial{y}} = ny^{n-1}

Ответ

frac{partial{z}}{partial{x}} = nx^{n-1}, frac{partial{z}}{partial{y}} = ny^{n-1}

Задача

Найти частные производные функции u = ysin{x} + sin{y}.

Решение

Частная производная функции u по независимой переменной x определяется слагаемым u = ysin{x}. Производная второго слагаемого – sin{y} равна нулю, как производная от константы.

frac{partial{u}}{partial{x}} = ycos{x}

В свою очередь, частная производная функции u по независимой переменной y будет определяться обоими слагаемым:

{(ysin{x})_y}' = sin{x}

{(sin{y})_y}' = cos{y}

Таким образом, окончательно получаем:

frac{partial{u}}{partial{y}} = sin{x} + cos{y}

Ответ

frac{partial{u}}{partial{x}} = ycos{x}, frac{partial{u}}{partial{y}} = sin{x} + cos{y}

Задача

Найти частные производные функции u = x^{sin{y}}, x > 0.

Решение

При нахождении производной по независимой переменной x, функцию u = x^{sin{y}} следует рассматривать как степенную. По правилу нахождения производной степенной функции получаем:

frac{partial{u}}{partial{x}} = sin{y}cdot{x^{sin{y} - 1}}

Производная по независимой переменной y находится по правилу вычисления производной показательной функции, которая, в свою очередь, определяется по правилам нахождения производных сложных функций, т.к. переменная y входит в показатель степени виде функции sin{x}.

Производная показательной функции равна:

{(x^{sin{y}})_{y}}' = x^{sin{y}}cdot{ln{x}}

Производная показателя степени равна:

{(sin{y})}' = cos{y}

В результате получаем:

frac{partial{u}}{partial{y}} = x^{sin{y}}cdot{ln{x}}cdot{cos{y}}

Ответ

frac{partial{u}}{partial{x}} = sin{y}cdot{x^{sin{y} - 1}}, frac{partial{u}}{partial{y}} = x^{sin{y}}cdot{ln{x}}cdot{cos{y}}

Задача

Найти частные производные функции z = e^{x}cos{y} - e^{y}sin{x}.

Решение

Частная производная по независимой переменной x находится как сумма слагаемых:

{(e^{x}cos{y})_{x}}' = e^{x}cos{y}

{(- e^{y}sin{x})_{x}}' = - e^{y}cos{x}

Частная производная по независимой переменной y находится как сумма слагаемых:

{(e^{x}cos{y})_{y}}' = -e^{x}sin{y}

{(- e^{y}sin{x})_{y}}' = - e^{y}sin{x}

Ответ

frac{partial{z}}{partial{x}} = e^{x}cos{y} - e^{y}cos{x}, frac{partial{z}}{partial{y}} = -e^{x}sin{y} - e^{y}sin{x}

Задача

Найти частные производные функции z = sqrt{x^{2} + y^{2}}.

Решение

По правилу нахождения производной квадратного корня получаем, рассматривая x как независимый аргумент:

{(sqrt{x^{2} + y^{2}})_{x}}' = frac{x}{sqrt{x^{2} + y^{2}}}

Т.к. функция является сложной, то результат вычисления производной от квадратного корня – frac{1}{2sqrt{x^{2} + y^{2}}} следует домножить на производную подкоренного выражения: {({x^{2} + y^{2}})_{x}}' = 2x.

Рассматривая y в качестве независимого аргумента, получаем:

{(sqrt{x^{2} + y^{2}})_{y}}' = frac{y}{sqrt{x^{2} + y^{2}}}

По аналогии с предыдущим случаем, результат вычисления производной от квадратного корня – frac{1}{2sqrt{x^{2} + y^{2}}} следует домножить на производную подкоренного выражения: {({x^{2} + y^{2}})_{y}}' = 2y.

Ответ

frac{partial{z}}{partial{x}} = frac{x}{sqrt{x^{2} + y^{2}}}, frac{partial{z}}{partial{y}} = frac{y}{sqrt{x^{2} + y^{2}}}

Задача

Найти частные производные функции z = e^{arctg {frac{y}{x}}}.

Решение

Данная функция является сложной, поэтому процесс нахождения производной данной функции целесообразно производить в несколько этапов.

Производная показательной функции с основанием e равна самой себе. Далее необходимо найти производную показателя степени: arctg {frac{y}{x}}. В свою очередь аргумент функции арктангенс в данном случае также представляет собой сложную функцию: frac{y}{x}. Результирующая производная будет равна произведению производных трёх функций: e^{arctg {frac{y}{x}}}, arctg {frac{y}{x}} и frac{y}{x}.

Нахождение частной производной функции по аргументу x:

frac{partial{z}}{partial{x}} = e^{arctg {frac{y}{x}}}cdot{(arctg {frac{y}{x}})_{x}}'cdot{({frac{y}{x}})_{x}}' = e^{arctg {frac{y}{x}}}cdot{frac{1}{1+({frac{y}{x}})^2}}cdot{frac{-y}{x^{2}}} = e^{arctg {frac{y}{x}}}cdot{frac{1}{frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}}}cdot{frac{-y}{x^{2}}} = e^{arctg {frac{y}{x}}}cdot{frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}cdot{frac{-y}{x^{2}}} = - e^{arctg {frac{y}{x}}}cdot{frac{y}{x^{2} + y^{2}}}

Нахождение частной производной функции по аргументу y:

frac{partial{z}}{partial{y}} = e^{arctg {frac{y}{x}}}cdot{(arctg {frac{y}{x}})_{y}}'cdot{({frac{y}{x}})_{y}}' = e^{arctg {frac{y}{x}}}cdot{frac{1}{1+({frac{y}{x}})^2}}cdot{frac{1}{x}} = e^{arctg {frac{y}{x}}}cdot{frac{1}{frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}}}cdot{frac{1}{x}} = e^{arctg {frac{y}{x}}}cdot{frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}cdot{frac{1}{x}} = e^{arctg {frac{y}{x}}}cdot{frac{x}{x^{2} + y^{2}}}

Ответ

frac{partial{z}}{partial{x}} = - e^{arctg {frac{y}{x}}}cdot{frac{y}{x^{2} + y^{2}}}, frac{partial{z}}{partial{y}} = e^{arctg {frac{y}{x}}}cdot{frac{x}{x^{2} + y^{2}}}

Задача

Найти частные производные первого и второго порядков функции z = xsin(x +y).

Решение

Найдём частную производную первого порядка по аргументу x:

frac{partial{z}}{partial{x}} = sin(x + y) + xcos(x + y)

Найдём частную производную второго порядка по аргументу x:

frac{partial^{2}{z}}{partial{x}^{2}} = cos(x + y) + cos(x + y) - xsin(x +y)

Найдём частную производную первого порядка по аргументу y:

frac{partial{z}}{partial{y}} = xcos(x + y)

Найдём частную производную второго порядка по аргументу y:

frac{partial^{2}{z}}{partial{y}^{2}} = -xsin(x +y)

Ответ

frac{partial{z}}{partial{x}} = sin(x + y) + xcos(x + y), frac{partial^{2}{z}}{partial{x}^{2}} = 2cos(x + y) - xsin(x +y), frac{partial{z}}{partial{y}} = xcos(x + y), frac{partial^{2}{z}}{partial{y}^{2}} = -xsin(x +y)

Задача

Найти частные производные первого и второго порядков функции z = (frac{x}{y})^{2}.

Решение

Найдём частную производную первого порядка по аргументу x:

frac{partial{z}}{partial{x}} = 2cdot{frac{x}{y}}cdot{frac{1}{y}}

Найдём частную производную второго порядка по аргументу x:

frac{partial^{2}{z}}{partial{x}^{2}} = frac{2}{y^{2}}

Найдём частную производную первого порядка по аргументу y:

frac{partial{z}}{partial{y}} = 2cdot{frac{x}{y}}cdot{frac{-x}{y^{2}}} = -frac{2x^{2}}{y^{3}}

Найдём частную производную второго порядка по аргументу y:

frac{partial^{2}{z}}{partial{y}^{2}} = frac{6x^{2}y^{2}}{y^{6}} = frac{6x^{2}}{y^{4}}

Ответ

frac{partial{z}}{partial{x}} = frac{2x}{y^{2}}, frac{partial^{2}{z}}{partial{x}^{2}} = frac{2}{y^{2}}, frac{partial{z}}{partial{y}} = -frac{2x^{2}}{y^{3}}, frac{partial^{2}{z}}{partial{y}^{2}} = frac{6x^{2}}{y^{4}}

Источник

Уважаемые студенты!
Заказать задачи по физике, информатике, экономике, праву, химии, теормеху, сопромату и другим предметам можно здесь всего за 10 минут.

Частные производные

Частные производные применяются в заданиях с функциями нескольких переменных. Правила нахождения точно такие же как и для функций одной переменной, с разницей лишь в том, что одну из переменных нужно считать в момент дифференцирования константой (постоянным числом).

Формула

Частные производные для функции двух переменных $ z(x,y) $ записываются в следующем виде $ z’_x, z’_y $ и находятся по формулам:

Частные производные первого порядка

$$ z’_x = frac{partial z}{partial x} $$

$$ z’_y = frac{partial z}{partial y} $$

Частные производные второго порядка

$$ z”_{xx} = frac{partial^2 z}{partial x partial x} $$

$$ z”_{yy} = frac{partial^2 z}{partial y partial y} $$

Смешанная производная

$$ z”_{xy} = frac{partial^2 z}{partial x partial y} $$

$$ z”_{yx} = frac{partial^2 z}{partial y partial x} $$

Частная производная сложной функции

а) Пусть $ z (t) = f( x(t), y(t) ) $, тогда производная сложной функции определяется по формуле:

$$ frac{dz}{dt} = frac{partial z}{partial x} cdot frac{dx}{dt} + frac{partial z}{partial y} cdot frac{dy}{dt} $$

б) Пусть $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, тогда частные производные функции находится по формуле: 

$$ frac{partial z}{partial u} = frac{partial z}{partial x} cdot frac{partial x}{partial u} + frac{partial z}{partial y} cdot frac{partial y}{partial u} $$

$$ frac{partial z}{partial v} = frac{partial z}{partial x} cdot frac{partial x}{partial v} + frac{partial z}{partial y} cdot frac{partial y}{partial v} $$

Частные производные неявно заданной функции

а) Пусть $ F(x,y(x)) = 0 $, тогда $$ frac{dy}{dx} = -frac{f’_x}{f’_y} $$

б) Пусть $ F(x,y,z)=0 $, тогда $$ z’_x = – frac{F’_x}{F’_z}; z’_y = – frac{F’_y}{F’_z} $$

Примеры решений

Пример 1
Найти частные производные первого порядка $ z (x,y) = x^2 – y^2 + 4xy + 10 $
Решение

Для нахождения частной производной по $ x $ будем считать $ y $ постоянной величиной (числом):

$$ z’_x = (x^2-y^2+4xy+10)’_x = 2x – 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$

Для нахождения частной производной функции по $ y $ определим $ y $ константой:

$$ z’_y = (x^2-y^2+4xy+10)’_y = -2y+4x $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ z’_x = 2x+4y; z’_y = -2y+4x $$
Пример 2
Найти частные производные функции второго порядка $ z = e^{xy} $
Решение

Сперва нужно найти первый производные, а затем зная их можно найти производные второго порядка.

Полагаем $ y $ константой:

$$ z’_x = (e^{xy})’_x = e^{xy} cdot (xy)’_x = ye^{xy} $$

Положим теперь $ x $ постоянной величиной:

$$ z’_y = (e^{xy})’_y = e^{xy} cdot (xy)’_y = xe^{xy} $$

Зная первые производные аналогично находим вторые.

Устанавливаем $ y $ постоянной:

$$ z”_{xx} = (z’_x)’_x = (ye^{xy})’_x = (y)’_x e^{xy} + y(e^{xy})’_x = 0 + ye^{xy}cdot (xy)’_x = y^2e^{xy} $$

Задаем $ x $ постоянной:

$$ z”_{yy} = (z’_y)’_y = (xe^{xy})’_y = (x)’_y e^{xy} + x(e^{xy})’_y = 0 + x^2e^{xy} = x^2e^{xy} $$

Теперь осталось найти смешанную производную. Можно продифференцировать $ z’_x $ по $ y $, а можно $ z’_y $ по $ x $, так как по теореме $ z”_{xy} = z”_{yx} $

$$ z”_{xy} = (z’_x)’_y = (ye^{xy})’_y = (y)’_y e^{xy} + y (e^{xy})’_y = ye^{xy}cdot (xy)’_y = yxe^{xy} $$
Ответ
$$ z’_x = ye^{xy}; z’_y = xe^{xy}; z”_{xy} = yxe^{xy} $$
Пример 3
Найти частную производную сложной функции $ z = x^2 + y^2, x = sin t, y = t^3 $
Решение

Находим $ frac{partial z}{partial x} $:

$$ frac{partial z}{partial x} = (x^2+y^2)’_x = 2x $$

Находим $ frac{partial z}{partial y} $:

$$ frac{partial z}{partial y} = (x^2+y^2)’_y = 2y $$

Теперь ищем $ frac{dx}{dt} $ и $ frac{dy}{dt} $:

$$ frac{dx}{dt} = frac{d(sin t)}{dt} = cos t $$

$$ frac{dy}{dt} = frac{d(t^3)}{dt} = 3t^2 $$

Подставляем всё это в формулу и записываем ответ:

$$ frac{dz}{dt} = frac{partial z}{partial x} cdot frac{dx}{dt} + frac{partial z}{partial y} cdot frac{dy}{dt} $$

$$ frac{dz}{dt} = 2x cdot cos t + 2y cdot 3t^2 $$
Ответ
$$ frac{dz}{dt} = 2x cdot cos t + 2y cdot 3t^2 $$
Пример 4
Пусть $ 3x^3z – 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ задаёт неявную функцию $ F(x,y,z) = 0 $. Найти частные производные первого порядка.
Решение

Записываем функцию в формате: $ F(x,y,z) = 3x^3z – 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ и находим производные:

$$ z’_x (y,z – const) = (x^3 z – 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)’_x = 3 x^2 z – 4 $$

$$ z’_y (x,y – const) = (x^3 z – 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)’_y = 3z^2 $$
Ответ
$$ z’_x = 3x^2 z – 4; z’_y = 3z^2; $$
Источник

Частные производные второго порядка

Содержание:

  1. Примеры с решением

Предположим, что функция Частные производные второго порядка определена в области D и имеет в этой области частные производные Частные производные второго порядка и Частные производные второго порядка. Эти частные производные являются функциями двух переменных, определенными в области D.

Частными производными второго порядка функции Частные производные второго порядка называются частные производные от ее частных производных первого порядка.

Частных производных второго порядка четыре. Они обозначаются следующим образом: Частные производные второго порядка

Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего, четвертого и более высоких порядков. Например, для функции Частные производные второго порядка имеем: Частные производные второго порядка и т.д. А запись Частные производные второго порядка означает, что функция продифференцирована Частные производные второго порядка раз по переменной Частные производные второго порядка, а затем Частные производные второго порядка раз по переменной Частные производные второго порядка.

Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. Для функции Частные производные второго порядкатаковыми, например, являются производные Частные производные второго порядка, и Частные производные второго порядка.

Аналогично определяются частные производные высших порядков и для функции большего числа переменных.

Если первая производная переменной найдена, получите вторую производную функции, взятую дважды для переменной.

Частные производные второго порядка

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Примеры с решением

Пример 1.

Найти частные производные второго порядка функции Частные производные второго порядка

Решение:

Частные производные первого порядка для данной функции имеют вид:

Частные производные второго порядка

Тогда

Частные производные второго порядка

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 2.

Найти Частные производные второго порядка функции Частные производные второго порядка.

Решение:

ИмеемЧастные производные второго порядка, тогда Частные производные второго порядка.

Дифференцируя в обратном порядке, приходим к такому же результату:

Частные производные второго порядка

В этих двух примерах смешанные частные производные Частные производные второго порядка, и Частные производные второго порядка равны.

Но, вообще говоря, значения смешанных производных зависят от того, в каком порядке производится дифференцирование. Ответ на вопрос, при каких условиях смешанные производные не зависят от того, в каком порядке производится дифференцирование, дает следующая теорема.

Теорема 1. Если производные Частные производные второго порядка и Частные производные второго порядка определены в некоторой окрестности точки Частные производные второго порядка и непрерывны в самой точке Частные производные второго порядка, то они равны в этой точке: Частные производные второго порядка.

Следствие. Если производныеЧастные производные второго порядка и Частные производные второго порядка. определены и непрерывны в некоторой области, то они равны в этой области.

Аналогичное утверждение справедливо и для частных производных более высокого порядка.

Теорема 2 (Шварц). Если частные производные любого порядка непрерывны в некоторой области, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны в этой области.

Доказательство. Пусть функция Частные производные второго порядка определена в области D и имеет в этой области непрерывные частные производные Частные производные второго порядка и Частные производные второго порядка

Возьмем любые точки Частные производные второго порядка и Частные производные второго порядка из этой области. Рассмотрим выражение

Частные производные второго порядка. Введем вспомогательную функциюЧастные производные второго порядка.

Тогда А запишется в видеЧастные производные второго порядка. Применив к этой разности теорему Лагранжа, получим

Частные производные второго порядка, где Частные производные второго порядка. Разность в скобке можно рассматривать как приращение функции Частные производные второго порядка одной переменной Частные производные второго порядка на отрезке с концами в точках Частные производные второго порядка,Частные производные второго порядка. Применив еще раз теорему Лагранжа (уже по переменной Частные производные второго порядка), получим

Частные производные второго порядка

С другой стороны, А можно переписать в виде

Частные производные второго порядка. Введя вспомогательную функцию Частные производные второго порядка и рассуждая аналогично, получим

Частные производные второго порядка

Сравнив выражения для А, получим

Частные производные второго порядка

или Частные производные второго порядка

Переходя в этом равенстве к пределу при Частные производные второго порядка и учитывая непрерывность производных второго порядка в области D (в частности, в точке Частные производные второго порядка), получим

Частные производные второго порядка,

то есть Частные производные второго порядка

Методом математической индукции доказанное утверждение можно распространить на частные производные любого порядка.

Частные производные второго порядка

Частные производные второго порядка

Лекции:

  • Тройной интеграл
  • Равномерное распределение
  • Признак Даламбера: пример решения
  • Производящие функции
  • Сложение и вычитание пределов
  • Векторы и операции с ними
  • Таблица истинности логических выражений
  • Элементы векторной алгебры
  • Асимптоты графика функции
  • Разложение в ряд маклорена

Источник

Вторая производная

Всё
очень просто. Вторая производная –
это производная
от первой производной: 

Стандартные
обозначения второй производной: 
, 
 или 
 (дробь
читается так: «дэ два игрек по дэ икс
квадрат»). Чаще всего вторую производную
обозначают первыми двумя вариантами.
Но третий вариант тоже встречается,
причем, его очень любят включать в
условия контрольных заданий, например:
«Найдите 
 функции…».
А студент сидит и битый час чешет репу,
что это вообще такое.

Рассмотрим
простейший пример. Найдем вторую
производную от функции 
.

Для того чтобы
найти вторую производную, как многие
догадались, нужно сначала найти первую
производную:

Теперь находим
вторую производную:

Готово.

Рассмотрим более
содержательные примеры.

Пример 11

Найти
вторую производную функции 

Найдем
первую производную:

На
каждом шаге всегда смотрим, нельзя ли
что-нибудь упростить? Сейчас нам предстоит
дифференцировать произведение двух
функций, и мы избавимся от этой
неприятности, применив
известную тригонометрическую
формулу 
.
Точнее говоря, использовать формулу
будем в обратном направлении: 
:

Находим
вторую производную:

Готово.

Можно
было пойти другим путём – понизить
степень функции еще перед дифференцированием,
используя формулу 
:

Если интересно,
возьмите первую и вторую производные
снова. Результаты, естественно, совпадут.

Отмечу,
что понижение степени бывает очень
выгодно при нахождении частных
производных функции.
Здесь же оба способа решения будут
примерно одинаковой длины и сложности.

Как и
для первой производной, можно
рассмотреть задачу
нахождения второй производной в точке.

Например:
Вычислим значение найденной второй
производной в точке 
:

Необходимость
находить вторую производную и вторую
производную в точке возникает при
исследовании графика функции на
выпуклость/вогнутость и перегибы.

Пример 12

Найти
вторую производную функции 
.
Найти 

Это пример для
самостоятельного решения.

Аналогично можно
найти третью производную, а также
производные более высоких порядков.
Такие задания встречаются, но встречаются
значительно реже.

Решения
и ответы:

Пример
2: Найдем производную:


Вычислим
значение функции в точке 
:


Пример
4: Найдем производную:


Вычислим
производную в заданной точке:


Пример
6: Уравнение касательной составим по
формуле 

1)
Вычислим значение функции в точке 
:


2)
Найдем производную. Перед дифференцированием
функцию выгодно упростить:


3)
Вычислим значение производной в
точке 
:


4)
Подставим значения 
, 
 и 
 в
формулу 
:



Пример
8: Преобразуем функцию:


Найдем
производную:


Запишем
дифференциал:


Пример
10: Найдем производную:


Запишем
дифференциал:


Вычислим
дифференциал в точке 
:


Пример
12: Найдем первую производную:


Найдем
вторую производную:


Вычислим: 

4. 2.Частные производные. Примеры решений

На
данном уроке мы познакомимся с понятием
функции двух переменных, а также подробно
рассмотрим наиболее распространенное
задание – нахождение частных
производныхпервого
и второго порядка, полного дифференциала
функции. Студенты-заочники, как правило,
сталкиваются с частными производными
на 1 курсе во 2 семестре. Причем, по моим
наблюдениям, задание на нахождение
частных производных практически всегда
встречается на экзамене.

Для
эффективного изучения нижеизложенного
материала Вам необходимо уметь
более или менее уверенно находить
«обычные» производные функции одной
переменной. Научиться правильно
обращаться с производными можно на
уроках Как
найти производную? иПроизводная
сложной функции.
Также нам потребуется таблица производных
элементарных функций и правил
дифференцирования, удобнее всего, если
она будет под рукой в распечатанном
виде. Раздобыть справочный материал
можно на страницеМатематические
формулы и таблицы.

Начнем
с самого понятия функции двух переменных,
я постараюсь ограничиться минимумом
теории, так как сайт имеет практическую
направленность. Функция двух переменных
обычно записывается как 
,
при этом переменные 
, 
 называются независимыми
переменными или аргументами.

Пример: 
 –
функция двух переменных.

Иногда
используют запись 
.
Также встречаются задания, где вместо
буквы 
 используется
буква 
.

Полезно
знать геометрический смысл функций.
Функции одной переменной 
 соответствует
определенная линия на плоскости,
например, 
  –
всем знакомая школьная парабола. Любая
функция двух переменных 
 с
геометрической точки зрения представляет
собой поверхность в трехмерном
пространстве (плоскости, цилиндры, шары,
параболоиды и т.д.). Но, собственно, это
уже аналитическая геометрия, а у нас на
повестке дня математический анализ.

Переходим
к вопросу нахождения частных производных
первого и второго порядков. Должен
сообщить хорошую новость для тех, кто
выпил несколько чашек кофе и настроился
на невообразимо трудный материал: частные
производные – это почти то же самое,
что и «обычные» производные функции
одной переменной. 

Для
частных производных справедливы все
правила дифференцирования и таблица
производных элементарных функций. Есть
только пара небольших отличий, с которыми
мы познакомимся прямо сейчас.

Пример 1

Найти
частные производные первого и второго
порядка функции 

Сначала найдем
частные производные первого порядка.
Их две.

Обозначения:


 или 
 –
частная производная по «икс»


 или 
 –
частная производная по «игрек»

Начнем
с 
. Когда
мы находим частную производную по «икс»,
то переменная 
 считается
константой (постоянным числом).

Решаем. На данном
уроке я буду приводить полное решение
сразу, а комментарии давать ниже.

Комментарии к
выполненным действиям:

(1)
Первое, что мы делаем при нахождении
частной производной – заключаем всю функцию
в скобки под штрих с
подстрочным индексом.

Внимание,
важно! Подстрочные
индексы НЕ ТЕРЯЕМ по ходу решения. В
данном случае, если Вы где-нибудь
нарисуете «штрих» без 
,
то преподаватель, как минимум, может
поставить рядом с заданием 
 (сразу
откусить часть балла за невнимательность).

Далее данный шаг
комментироваться не будет, все сделанные
замечания справедливы для любого примера
по рассматриваемой теме.

(2)
Используем правила дифференцирования 
, 
.
Для простого примера, как этот, оба
правила вполне можно применить на одном
шаге. Обратите внимание на первое
слагаемое: так как 
 считается
константой, а любую константу можно
вынести за знак производной,
то 
 мы
выносим за скобки. То есть в данной
ситуации
 ничем
не лучше обычного числа. Теперь посмотрим
на третье слагаемое 
:
здесь, наоборот, выносить нечего. Так
как 
 константа,
то 
 –
тоже константа, и в этом смысле она ничем
не лучше последнего слагаемого –
«семерки».

(3)
Используем табличные производные 
 и 
.

(4) Упрощаем, или,
как я люблю говорить, «причесываем»
ответ.

Теперь 
. Когда
мы находим частную производную по
«игрек», то переменная 
 считается
константой (постоянным числом).

(1)
Используем те же правила дифференцирования 
, 
.
В первом слагаемом выносим константу 
 за
знак производной, во втором слагаемом
ничего вынести нельзя поскольку 
 –
уже константа.

(2)
Используем таблицу производным
элементарных функций. Мысленно
поменяем в таблице все «иксы» на «игреки».
То есть данная таблица рАвно справедлива
и для
 (да
и вообще почти для любой буквы). В
частности, используемые нами формулы
выглядят так: 
 и 
.

Итак, частные
производные первого порядка найдены

Подведем итог, чем
же отличается нахождение частных
производных от нахождения «обычных»
производных функции одной переменной:

1)
Когда мы находим частную
производную 
, переменная 
 считается
константой.

2)
Когда мы находим частную
производную 
, переменная 
 считается
константой.

3)
Правила и таблица производных элементарных
функций справедливы и применимы для
любой переменной (
, 
 либо
какой-нибудь другой), по которой ведется
дифференцирование.

Шаг второй. Находим
частные производные второго порядка.
Их четыре.

Обозначения:


 или 
 –
вторая производная по «икс»


 или 
 –
вторая производная по
«игрек»


 или 
 – смешанная производная
«икс по игрек»


 или 
 – смешанная производная
«игрек по икс»

В
понятии второй производной нет ничего
сложного. Говоря простым языком, вторая
производная – это производная от первой
производной.

Для
наглядности я перепишу уже найденные
частные производные первого порядка:

Сначала
найдем смешанные производные:

Как
видите, всё просто: берем частную
производную 
 и
дифференцируем ее еще раз, но в данном
случае – уже по «игрек».

Аналогично:

Для
практических примеров справедливо
следующее равенство: 


Таким образом,
через смешанные производные второго
порядка очень удобно проверить, а
правильно ли мы нашли частные производные
первого порядка.

Находим
вторую производную по «икс».

Никаких
изобретений, берем 
 и
дифференцируем её по «икс» еще раз:

Аналогично:

Следует
отметить, что при нахождении 
, 
 нужно
проявить повышенное
внимание, так как
никаких чудесных равенств для проверки
не существует.

Пример 2

Найти
частные производные первого и второго
порядка функции 

Это
пример для самостоятельного решения
(ответ в конце урока). Если возникли
трудности с дифференцированием корней,
рекомендую ознакомиться уроком Как
найти производную?

При определенном
опыте частные производные из примеров
№№1,2 будут решаться Вами устно.

Переходим к более
сложным примерам.

Пример 3

Найти
частные производные первого порядка
функции 
.
Проверить, что 
.
Записать полный дифференциал первого
порядка 
.

Решение:
Находим частные производные первого
порядка:

Обратите
внимание на подстрочный индекс: 
,
рядом с «иксом» не возбраняется в скобках
записывать, что 
 –
константа. Данная пометка может быть
очень полезна для начинающих, чтобы
легче было ориентироваться в решении.

Дальнейшие
комментарии:

(1)
Выносим все константы за знак производной.
В данном случае 
 и 
,
а, значит, и их произведение 
 считается
постоянным числом.

(2) Не забываем, как
правильно дифференцировать корни.

(1)
Выносим все константы за знак производной,
в данной случае константой является


.

(2) Под
штрихом у нас осталось произведение
двух функций, следовательно, нужно
использовать правило дифференцирования
произведения 
.

(3) Не
забываем, что

– это сложная функция (хотя и простейшая
из сложных). Используем соответствующее
правило:

.

Теперь находим
смешанные производные второго порядка:

,
значит, все вычисления выполнены верно.

Запишем
полный дифференциал 
.
В контексте рассматриваемого задания
не имеет смысла рассказывать, что такое
полный дифференциал функции двух
переменных. Важно, что этот самый
дифференциал очень часто требуется
записать в практических задачах.

Полный
дифференциал первого порядка функции
двух переменных имеет вид:

В данном случае:

То
есть, в формулу нужно просто подставить
уже найденные частные производные
первого порядка. Значки дифференциалов 
 и 
 в
этой и похожих ситуациях по возможности
лучше записывать в числителях:

Пример 4

Найти
частные производные первого порядка
функции 
.
Проверить, что 
.
Записать полный дифференциал первого
порядка 
.

Это пример для
самостоятельного решения. Полное решение
и образец оформления задачи – в конце
урока.

Рассмотрим серию
примеров, включающих в себя сложные
функции.

Пример 5

Найти
частные производные первого порядка
функции

.

Записать
полный дифференциал 
.

Решение:

(1)
Применяем правило дифференцирования
сложной функции 
.
С урока Производная
сложной функции
следует помнить
очень важный момент: когда мы по таблице
превращаем синус (внешнюю функцию) в
косинус, то вложение

 (внутренняя
функция) у нас не
меняется.

(2)
Здесь используем свойство корней:

,
выносим константу

за знак производной, а корень

представляем в нужном для дифференцирования
виде.

Аналогично:

Запишем
полный дифференциал первого порядка:

Пример 6

Найти
частные производные первого порядка
функции 
.

Записать
полный дифференциал 
.

Это пример для
самостоятельного решения (ответ в конце
урока). Полное решение не привожу, так
как оно достаточно простое

Довольно часто
все вышерассмотренные правила применяются
в комбинации.

Пример 7

Найти
частные производные первого порядка
функции 
.

(1) Используем
правило дифференцирования суммы

(2)
Первое слагаемое  в данном случае
считается константой, поскольку в
выражении

нет ничего, зависящего от «икс» – только
«игреки».

(Знаете,
всегда приятно, когда дробь удается
превратить в ноль).

Для
второго слагаемого применяем правило
дифференцирования произведения. Кстати,
в этом смысле ничего бы не изменилось,
если бы вместо

была дана функция

– важно, что здесь произведение
двух функций, КАЖДАЯ
из которых зависит от
«икс»,
а поэтому, нужно использовать правило
дифференцирования произведения. Для
третьего слагаемого применяем правило
дифференцирования сложной функции.

(1) В
первом слагаемом и в числителе и в
знаменателе содержится «игрек»,
следовательно, нужно использовать
правило дифференцирования частного: 
. 
Второе слагаемое зависит ТОЛЬКО от
«икс», значит, 
 считается
константой и превращается в ноль. Для
третьего слагаемого используем правило
дифференцирования сложной функции.

Для тех читателей,
которые мужественно добрались почти
до конца урока, расскажу старый
мехматовский анекдот для разрядки:

Однажды
в пространстве функций появилась злобная
производная и как пошла всех
дифференцировать. Все функции разбегаются
кто куда, никому не хочется превращаться!
И только одна функция никуда не убегает.
Подходит к ней производная и спрашивает:

– А
почему это ты от меня никуда не убегаешь?

– Ха.
А мне всё равно, ведь я «е в степени икс»,
и ты со мной ничего не сделаешь!

На
что злобная производная с коварной
улыбкой отвечает:

– Вот
здесь ты ошибаешься, я тебя продифференцирую
по «игрек», так что быть тебе нулем.

(Кто
понял анекдот, тот освоил производные,
минимум, на «тройку»).

Пример 8

Найти
частные производные первого порядка
функции

.

Это пример для
самостоятельного решения. Полное решение
и образец оформления задачи – в конце
урока.

Ну вот почти и всё.
Напоследок не могу не обрадовать
любителей математики еще одним примером.
Дело даже не в любителях, у всех разный
уровень математической подготовки –
встречаются люди (и не так уж редко),
которые любят потягаться с заданиями
посложнее. Хотя, последний на данном
уроке пример не столько сложный, сколько
громоздкий с точки зрения вычислений.

Пример 9

Дана
функция двух переменных 
.
Найти все частные производные первого
и второго порядков.

Это пример для
самостоятельного решения. Полное решение
и образец оформления где-то рядом.

Ответы:

Пример
2:


,


,

,




Пример
4: Ссылка для просмотра ниже.

Пример
6:


,


,

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #

    08.02.20157.31 Mб91.rtf

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Добавить комментарий