Чтобы понять частные производные, сначала нужно разобраться с обычными. И не нужно ничего искать: в нашей отдельной статье мы уже подготовили все для того, чтобы у вас это получилось. А сейчас речь пойдет о частных производных.
Добро пожаловать на наш телеграм-канал за полезной рассылкой и актуальными студенческими новостями.
Функция двух и более переменных
Прежде чем говорить о частных производных, нужно затронуть понятие функции нескольких переменных, без которого нет смысла в частной производной. В школе мы привыкли иметь дело с функциями одной переменной:
Производными таких функций мы и считали раньше. График функции одной переменной представляет собой линию на плоскости: прямую, параболу, гиперболу и т.д.
А что, если добавить еще одну переменную? Получится такая функция:
Это – функция двух независимых переменных x и y. График такой функции представляет собой поверхность в трехмерном пространстве: шар, гиперболоид, параболоид или еще какой-нибудь сферический конь в вакууме. Частные производные функции z по иксу и игреку соответственно записываются так:
Существуют также функции трех и более переменных. Правда, график такой функции нарисовать невозможно: для этого понадобилось бы как минимум четырехмерное пространство, которое невозможно изобразить.
Частная производная первого порядка
Запоминаем главное правило:
При вычислении частной производной по одной из переменных, вторая переменная принимается за константу. В остальном правила вычисления производной не меняются.
То есть, частная производная по сути ничем не отличается от обычной. Так что, держите перед глазами таблицу производных элементарных функций и правила вычисления обычных производных. Рассмотрим пример, чтобы стало совсем понятно. Допустим, нужно вычислить частные производные первого порядка следующей функции:
Сначала возьмем частную производную по иксу, считая игрек обычным числом:
Теперь считаем частную производную по игреку, принимая икс за константу:
Как видите, ничего сложного в этом нет, а успех с более сложными примерами – лишь дело практики.
Частная производная второго порядка
Как находится частная производная второго порядка? Так же, как и первого. Чтобы найти частные производные второго порядка, нужно просто взять производную от производной первого порядка. Вернемся к примеру выше и посчитаем частные производные второго порядка.
По иксу:
По игреку:
Частные производные третьего и высших порядков не отличаются по принципу вычисления. Систематизируем правила:
- При дифференцировании по одной независимой переменной, вторая принимается за константу.
- Производная второго порядка – это производная от производной первого порядка. Третьего порядка – производная от производной второго порядка и т.д.
Частные производные и полный дифференциал функции
Частый вопрос в практических заданиях – нахождение полного дифференциала функции. Для функции нескольких переменных полный дифференциал определяется, как главная линейная часть малого полного приращения функции относительно приращений аргументов.
Определение звучит громоздко, но с буквами все проще. Полный дифференциал первого порядка функции нескольких переменных выглядит так:
Зная, как считаются частные производные, нет никакой проблемы вычислить и полный дифференциал.
Частные производные – не такая уж и бесполезная тема. Например, дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка широко используются для математического описания реальных физических процессов.
Здесь мы дали лишь общее, поверхностное представление о частных производных первого и второго порядка. Вас интересует эта тема или остались конкретные вопросы? Задавайте их в комментариях и обращайтесь к экспертам профессионального студенческого сервиса за квалифицированной и скорой помощью в учебе. С нами вы не останетесь один на один с проблемой!
Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.
Частные производные для функции от нескольких переменных
21 сентября 2015
Рассмотрим функцию от двух переменных:
[f=fleft( x,y right)]
Поскольку переменные $x$ и $y$ являются независимыми, для такой функции можно ввести понятие частной производной:
Частная производная функции $f$ в точке $M=left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ по переменной $x$ — это предел
[{{{f}’}_{x}}=underset{Delta xto 0}{mathop{lim }},frac{fleft( {{x}_{0}}+Delta x;{{y}_{0}} right)}{Delta x}]
Аналогично можно определить частную производную по переменной $y$ :
[{{{f}’}_{y}}=underset{Delta yto 0}{mathop{lim }},frac{fleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}}+Delta y right)}{Delta y}]
Другими словами, чтобы найти частную производную функции нескольких переменных, нужно зафиксировать все остальные переменные, кроме искомой, а затем найти обычную производную по этой искомой переменной.
Отсюда вытекает основной приём для вычисления таких производных: просто считайте, что все переменные, кроме данной, являются константой, после чего дифференцируйте функцию так, как дифференцировали бы «обычную» — с одной переменной. Например:
$begin{align}& {{left( {{x}^{2}}+10xy right)}_{x}}^{prime }={{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}_{x}+10ycdot {{left( x right)}^{prime }}_{x}=2x+10y, \& {{left( {{x}^{2}}+10xy right)}_{y}}^{prime }={{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}_{y}+10xcdot {{left( y right)}^{prime }}_{y}=0+10x=10x. \end{align}$
Очевидно, что частные производные по разным переменным дают разные ответы — это нормально. Куда важнее понимать, почему, скажем, в первом случае мы спокойно вынесли $10y$ из-под знака производной, а во втором — вовсе обнулили первое слагаемое. Всё это происходит из-за того, что все буквы, кроме переменной, по которой идёт дифференцирование, считаются константами: их можно выносить, «сжигать» и т.д.
Что такое «частная производная»?
Сегодня мы поговорим о функциях нескольких переменных и о частных производных от них. Во-первых, что такое функция нескольких переменных? До сих пор мы привыкли считать функцию как $yleft( x right)$ или $tleft( x right)$, или любую переменную и одну-единственную функцию от нее. Теперь же функция у нас будет одна, а переменных несколько. При изменении $y$ и $x$ значение функции будет меняться. Например, если $x$ увеличится в два раза, значение функции поменяется, при этом если $x$ поменяется, а $y$ не изменится, значение функции точно так же изменится.
Разумеется, функцию от нескольких переменных, точно так же как и от одной переменной, можно дифференцировать. Однако поскольку переменных несколько, то и дифференцировать можно по разным переменным. При этом возникают специфические правила, которых не было при дифференцировании одной переменной.
Прежде всего, когда мы считаем производную функции от какой-либо переменной, то обязаны указывать, по какой именно переменной мы считаем производную — это и называется частной производной. Например, у нас функция от двух переменных, и мы можем посчитать ее как по $x$, так и по $y$ — две частных производных у каждой из переменных.
Во-вторых, как только мы зафиксировали одну из переменных и начинаем считать частную производную именно по ней, то все остальные, входящие в эту функцию, считаются константами. Например, в $zleft( xy right)$, если мы считаем частную производную по $x$, то везде, где мы встречаем $y$, мы считаем ее константой и обращаемся с ней именно как с константой. В частности при вычислении производной произведения мы можем выносить $y$ за скобку (у нас же константа), а при вычислении производной суммы, если у нас где-то получается производная от выражения, содержащего $y$ и не содержащего $x$, то производная этого выражения будет равна «нулю» как производная константы.
На первый взгляд может показаться, что я рассказываю о чем-то сложном, и многие ученики по началу путаются. Однако ничего сверхъестественного в частных производных нет, и сейчас мы убедимся в этом на примере конкретных задач.
Задачи с радикалами и многочленами
Задача № 1
Чтобы не терять время зря, с самого начала начнем с серьезных примеров.
[zleft( x,y right)=sqrt{frac{y}{x}}]
Для начала напомню такую формулу:
[{{left( sqrt{x} right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{2sqrt{x}}]
Это стандартное табличное значение, которое мы знаем из стандартного курса.
В этом случае производная $z$ считается следующим образом:
[{{{z}’}_{x}}={{left( sqrt{frac{y}{x}} right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{2sqrt{frac{y}{x}}}{{left( frac{y}{x} right)}^{prime }}_{x}]
Давайте еще раз, поскольку под корнем стоит не $x$, а некое другое выражение, в данном случае $frac{y}{x}$, то сначала мы воспользуемся стандартным табличным значением, а затем, поскольку под корнем стоит не $x$, а другое выражение, нам необходимо домножить нашу производную на еще одну из этого выражения по той же самой переменной. Давайте для начала посчитаем следующее:
[{{left( frac{y}{x} right)}^{prime }}_{x}=frac{{{{{y}’}}_{x}}cdot x-ycdot {{{{x}’}}_{x}}}{{{x}^{2}}}=frac{0cdot x-ycdot 1}{{{x}^{2}}}=-frac{y}{{{x}^{2}}}]
Возвращаемся к нашему выражению и записываем:
[{{{z}’}_{x}}={{left( sqrt{frac{y}{x}} right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{2sqrt{frac{y}{x}}}{{left( frac{y}{x} right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{2sqrt{frac{y}{x}}}cdot left( -frac{y}{{{x}^{2}}} right)]
В принципе, это все. Однако оставлять ее в таком виде неправильно: такую конструкцию неудобно использовать для дальнейших вычислений, поэтому давайте ее немного преобразуем:
[frac{1}{2sqrt{frac{y}{x}}}cdot left( -frac{y}{{{x}^{2}}} right)=frac{1}{2}cdot sqrt{frac{x}{y}}cdot frac{y}{{{x}^{2}}}=]
[=-frac{1}{2}cdot sqrt{frac{x}{y}}cdot sqrt{frac{{{y}^{2}}}{{{x}^{4}}}}=-frac{1}{2}sqrt{frac{xcdot {{y}^{2}}}{ycdot {{x}^{4}}}}=-frac{1}{2}sqrt{frac{y}{{{x}^{3}}}}]
Ответ найден. Теперь займемся $y$:
[{{{z}’}_{y}}={{left( sqrt{frac{y}{x}} right)}^{prime }}_{y}=frac{1}{2sqrt{frac{y}{x}}}cdot {{left( frac{y}{x} right)}^{prime }}_{y}]
Выпишем отдельно:
[{{left( frac{y}{x} right)}^{prime }}_{y}=frac{{{{{y}’}}_{y}}cdot x-ycdot {{{{x}’}}_{y}}}{{{x}^{2}}}=frac{1cdot x-ycdot 0}{{{x}^{2}}}=frac{1}{x}]
Теперь записываем:
[{{{z}’}_{y}}={{left( sqrt{frac{y}{x}} right)}^{prime }}_{y}=frac{1}{2sqrt{frac{y}{x}}}cdot {{left( frac{y}{x} right)}^{prime }}_{y}=frac{1}{2sqrt{frac{y}{x}}}cdot frac{1}{x}=]
[=frac{1}{2}cdot sqrt{frac{x}{y}}cdot sqrt{frac{1}{{{x}^{2}}}}=frac{1}{2}sqrt{frac{x}{ycdot {{x}^{2}}}}=frac{1}{2sqrt{xy}}]
Все сделано.
Задача № 2
[zleft( x,y right)=frac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}]
Этот пример одновременно и проще, и сложней, чем предыдущий. Сложнее, потому что здесь больше действий, а проще, потому что здесь нет корня и, кроме того, функция симметрична относительно $x$ и $y$, т.е. если мы поменяем $x$ и $y$ местами, формула от этого не изменится. Это замечание в дальнейшем упростит нам вычисление частной производной, т.е. достаточно посчитать одну из них, а во второй просто поменять местами $x$ и $y$.
Приступаем к делу:
[{{{z}’}_{x}}={{left( frac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1} right)}^{prime }}_{x}=frac{{{left( xy right)}^{prime }}_{x}left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)-xy{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{prime }}_{x}}{{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{2}}}]
Давайте посчитаем:
[{{left( xy right)}^{prime }}_{x}=ycdot {{left( x right)}^{prime }}=ycdot 1=y]
Однако многим ученикам такая запись непонятна, поэтому запишем вот так:
[{{left( xy right)}^{prime }}_{x}={{left( x right)}^{prime }}_{x}cdot y+xcdot {{left( y right)}^{prime }}_{x}=1cdot y+xcdot 0=y]
Таким образом, мы еще раз убеждаемся в универсальности алгоритма частных производных: каким бы мы образом их не считали, если все правила применяются верно, ответ будет один и тот же.
Теперь давайте разберемся еще с одной частной производной из нашей большой формулы:
[{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{prime }}_{x}={{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}_{x}+{{left( {{y}^{2}} right)}^{prime }}_{x}+{{{1}’}_{x}}=2x+0+0]
Подставим полученные выражения в нашу формулу и получим:
[frac{{{left( xy right)}^{prime }}_{x}left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)-xy{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{prime }}_{x}}{{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{2}}}=]
[=frac{ycdot left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)-xycdot 2x}{{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{2}}}=]
[=frac{yleft( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1-2{{x}^{2}} right)}{{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{2}}}=frac{yleft( {{y}^{2}}-{{x}^{2}}+1 right)}{{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{2}}}]
По $x$ посчитано. А чтобы посчитать $y$ от того же самого выражения, давайте не будем выполнять всю ту же последовательность действий, а воспользуемся симметрией нашего исходного выражения — мы просто заменим в нашем исходном выражении все $y$ на $x$ и наоборот:
[{{{z}’}_{y}}=frac{xleft( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+1 right)}{{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{2}}}]
За счет симметрии мы посчитали это выражение гораздо быстрее.
Нюансы решения
Для частных производных работают все стандартные формулы, которые мы используем для обычных, а именно, производная частного. При этом, однако, возникают свои специфические особенности: если мы считаем частную производную $x$, то когда мы получаем ее по $x$, то рассматриваем ее как константу, и поэтому ее производная будет равна «нулю».
Как и в случае с обычными производными, частную (одну и ту же) можно посчитать несколькими различными способами. Например, ту же конструкцию, которую мы только что посчитали, можно переписать следующим образом:
[{{left( frac{y}{x} right)}^{prime }}_{x}=ycdot {{left( frac{1}{x} right)}^{prime }}_{x}=-yfrac{1}{{{x}^{2}}}]
Далее мы точно таким же образом считаем еще две конструкции, а именно:
[{{left( xy right)}^{prime }}_{x}=ycdot {{{x}’}_{x}}=ycdot 1=y]
Вместе с тем, с другой стороны, можно использовать формулу от производной суммы. Как мы знаем, она равна сумме производных. Например, запишем следующее:
[{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{prime }}_{x}=2x+0+0=2x]
Теперь, зная все это, давайте попробуем поработать с более серьезными выражениями, поскольку настоящие частные производные не ограничиваются одними лишь многочленами и корнями: там встречаются и тригонометрия, и логарифмы, и показательная функция. Сейчас этим и займемся.
Задачи с тригонометрическими функциями и логарифмами
Задача № 1
[zleft( x,y right)=sqrt{x}cos frac{x}{y}]
Запишем следующие стандартные формулы:
[{{left( sqrt{x} right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{2sqrt{x}}]
[{{left( cos x right)}^{prime }}_{x}=-sin x]
Вооружившись этими знаниями, попробуем решить:
[{{{z}’}_{x}}={{left( sqrt{x}cdot cos frac{x}{y} right)}^{prime }}_{x}={{left( sqrt{x} right)}^{prime }}_{x}cdot cos frac{x}{y}+sqrt{x}cdot {{left( cos frac{x}{y} right)}^{prime }}_{x}=]
Отдельно выпишем одну переменную:
[{{left( cos frac{x}{y} right)}^{prime }}_{x}=-sin frac{x}{y}cdot {{left( frac{x}{y} right)}^{prime }}_{x}=-frac{1}{y}cdot sin frac{x}{y}]
Возвращаемся к нашей конструкции:
[=frac{1}{2sqrt{x}}cdot cos frac{x}{y}+sqrt{x}cdot left( -frac{1}{y}cdot sin frac{x}{y} right)=frac{1}{2sqrt{x}}cdot cos frac{x}{y}-frac{sqrt{x}}{y}cdot sin frac{x}{y}]
Все, по $x$ мы нашли, теперь давайте займемся вычислениями по $y$:
[{{{z}’}_{y}}={{left( sqrt{x}cdot cos frac{x}{y} right)}^{prime }}_{y}={{left( sqrt{x} right)}^{prime }}_{y}cdot cos frac{x}{y}+sqrt{x}cdot {{left( cos frac{x}{y} right)}^{prime }}_{y}=]
Опять же посчитаем одно выражение:
[{{left( cos frac{x}{y} right)}^{prime }}_{y}=-sin frac{x}{y}cdot {{left( frac{x}{y} right)}^{prime }}_{y}=-sin frac{x}{y}cdot xcdot left( -frac{1}{{{y}^{2}}} right)]
Возвращаемся к исходному выражению и продолжаем решение:
[=0cdot cos frac{x}{y}+sqrt{x}cdot frac{x}{{{y}^{2}}}sin frac{x}{y}=frac{xsqrt{x}}{{{y}^{2}}}cdot sin frac{x}{y}]
Все сделано.
Задача № 2
[zleft( x,y right)=ln left( x+ln y right)]
Запишем необходимую нам формулу:
[{{left( ln x right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{x}]
Теперь посчитаем по $x$:
[{{{z}’}_{x}}={{left( ln left( x+ln y right) right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{x+ln y}.{{left( x+ln y right)}^{prime }}_{x}=]
[=frac{1}{x+ln y}cdot left( 1+0 right)=frac{1}{x+ln y}]
По $x$ найдено. Считаем по $y$:
[{{{z}’}_{y}}={{left( ln left( x+ln y right) right)}^{prime }}_{y}=frac{1}{x+ln y}.{{left( x+ln y right)}^{prime }}_{y}=]
[=frac{1}{x+ln y}left( 0+frac{1}{y} right)=frac{1}{yleft( x+ln y right)}]
Задача решена.
Нюансы решения
Итак, от какой бы функции мы не брали частную производную, правила остаются одними и теми же, независимо от того, работаем ли мы с тригонометрией, с корнями или с логарифмами.
Неизменными остаются классические правила работы со стандартными производными, а именно, производная суммы и разности, частного и сложной функции.
Последняя формула чаще всего и встречается при решении задач с частными производными. Мы встречаемся с ними практически везде. Ни одной задачи еще не было, чтобы там нам она не попадалась. Но какой бы мы формулой не воспользовались, нам все равно добавляется еще одно требование, а именно, особенность работы с частными производными. Как только мы фиксируем одну переменную, все остальные оказываются константами. В частности, если мы считаем частную производную выражения $cos frac{x}{y}$ по $y$, то именно $y$ и является переменной, а $x$ везде остается константой. То же самое работает и наоборот. Ее можно выносить за знак производной, а производная от самой константы будет равна «нулю».
Все это приводит к тому, что частные производные от одного и того же выражения, но по разным переменным могут выглядеть совершенно по-разному. Например, посмотрим такие выражения:
[{{left( x+ln y right)}^{prime }}_{x}=1+0=1]
[{{left( x+ln y right)}^{prime }}_{y}=0+frac{1}{y}=frac{1}{y}]
Задачи с показательными функциями и логарифмами
Задача № 1
[zleft( x,y right)={{e}^{x}}{{e}^{frac{x}{y}}}]
Для начала запишем такую формулу:
[{{left( {{e}^{x}} right)}^{prime }}_{x}={{e}^{x}}]
Зная этот факт, а также производную сложной функции, давайте попробуем посчитать. Я сейчас решу двумя различными способами. Первый и самый очевидный — это производная произведения:
[{{{z}’}_{x}}={{left( {{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}} right)}^{prime }}_{x}={{left( {{e}^{x}} right)}^{prime }}_{x}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}cdot {{left( {{e}^{frac{x}{y}}} right)}^{prime }}_{x}=]
[={{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}cdot {{left( frac{x}{y} right)}^{prime }}_{x}=]
Давайте решим отдельно следующее выражение:
[{{left( frac{x}{y} right)}^{prime }}_{x}=frac{{{{{x}’}}_{x}}cdot y-x.{{{{y}’}}_{x}}}{{{y}^{2}}}=frac{1cdot y-xcdot 0}{{{y}^{2}}}=frac{y}{{{y}^{2}}}=frac{1}{y}]
Возвращаемся к нашей исходной конструкции и продолжаем решение:
[={{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}cdot frac{1}{y}={{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}left( 1+frac{1}{y} right)]
Все, по $x$ посчитано.
Однако как я и обещал, сейчас постараемся посчитать эту же частную производную другим способом. Для этого заметим следующее:
[{{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}={{e}^{x+frac{x}{y}}}]
В этом запишем так:
[{{left( {{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}} right)}^{prime }}_{x}={{left( {{e}^{x+frac{x}{y}}} right)}^{prime }}_{x}={{e}^{x+frac{x}{y}}}cdot {{left( x+frac{x}{y} right)}^{prime }}_{x}={{e}^{x+frac{x}{y}}}cdot left( 1+frac{1}{y} right)]
В результате мы получили точно такой же ответ, однако объем вычислений оказался меньшим. Для этого достаточно было заметить, что при произведении показатели можно складывать.
Теперь посчитаем по $y$:
[{{{z}’}_{y}}={{left( {{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}} right)}^{prime }}_{y}={{left( {{e}^{x}} right)}^{prime }}_{y}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}cdot {{left( {{e}^{frac{x}{y}}} right)}^{prime }}_{y}=]
[=0cdot {{e}^{frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}cdot {{left( frac{x}{y} right)}^{prime }}_{y}=]
Давайте решим одно выражение отдельно:
[{{left( frac{x}{y} right)}^{prime }}_{y}=frac{{{{{x}’}}_{y}}cdot y-xcdot {{{{y}’}}_{y}}}{{{y}^{2}}}=frac{0-xcdot 1}{{{y}^{2}}}=-frac{1}{{{y}^{2}}}=-frac{x}{{{y}^{2}}}]
Продолжим решение нашей исходной конструкции:
[={{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}cdot left( -frac{x}{{{y}^{2}}} right)=-frac{x}{{{y}^{2}}}cdot {{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}]
Разумеется, эту же производную можно было бы посчитать вторым способом, ответ получился бы таким же.
Задача № 2
[zleft( x,y right)=xln left( {{x}^{2}}+y right)]
Посчитаем по $x$:
[{{{z}’}_{x}}={{left( x right)}_{x}}cdot ln left( {{x}^{2}}+y right)+xcdot {{left( ln left( {{x}^{2}}+y right) right)}^{prime }}_{x}=]
Давайте посчитаем одно выражение отдельно:
[{{left( ln left( {{x}^{2}}+y right) right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{{{x}^{2}}+y}cdot {{left( {{x}^{2}}+y right)}^{prime }}_{x}=frac{2x}{{{x}^{2}}+y}]
Продолжим решение исходной конструкции: $$
[1cdot ln left( {{x}^{2}}+y right)+xcdot frac{2x}{{{x}^{2}}+y}=ln left( {{x}^{2}}+y right)+frac{2{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+y}]
Вот такой ответ.
Осталось по аналогии найти по $y$:
[{{{z}’}_{y}}={{left( x right)}^{prime }}_{y}.ln left( {{x}^{2}}+y right)+xcdot {{left( ln left( {{x}^{2}}+y right) right)}^{prime }}_{y}=]
Одно выражение посчитаем как всегда отдельно:
[{{left( {{x}^{2}}+y right)}^{prime }}_{y}={{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}_{y}+{{{y}’}_{y}}=0+1=1]
Продолжаем решение основной конструкции:
[xcdot frac{1}{{{x}^{2}}+y}cdot 1=frac{x}{{{x}^{2}}+y}]
Все посчитано. Как видите, в зависимости от того, какая переменная берется для дифференцирования, ответы получаются совершенно разные.
Нюансы решения
Вот яркий пример того, как производную одной и той же функции можно посчитать двумя различными способами. Вот смотрите:
[{{{z}’}_{x}}=left( {{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}} right)={{left( {{e}^{x}} right)}^{prime }}_{x}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}cdot {{left( {{e}^{frac{x}{y}}} right)}^{prime }}_{x}=]
[={{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}cdot frac{1}{y}={{e}^{x}}cdot {{e}^{^{frac{x}{y}}}}left( 1+frac{1}{y} right)]
[{{{z}’}_{x}}={{left( {{e}^{x}}.{{e}^{frac{x}{y}}} right)}^{prime }}_{x}={{left( {{e}^{x+frac{x}{y}}} right)}^{prime }}_{x}={{e}^{x+frac{x}{y}}}.{{left( x+frac{x}{y} right)}^{prime }}_{x}=]
[={{e}^{x}}cdot {{e}^{^{frac{x}{y}}}}left( 1+frac{1}{y} right)]
При выборе разных путей, объем вычислений может быть разный, но ответ, если все выполнено верно, получится одним и тем же. Это касается как классических, так и частных производных. При этом еще раз напоминаю: в зависимости от того, по какой переменной идет взятие производной, т.е. дифференцирование, ответ может получиться совершенно разный. Посмотрите:
[{{left( ln left( {{x}^{2}}+y right) right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{{{x}^{2}}+y}cdot {{left( {{x}^{2}}+y right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{{{x}^{2}}+y}cdot 2x]
[{{left( ln left( {{x}^{2}}+y right) right)}^{prime }}_{y}=frac{1}{{{x}^{2}}+y}cdot {{left( {{x}^{2}}+y right)}^{prime }}_{y}=frac{1}{{{x}^{2}}+y}cdot 1]
В заключение для закрепления всего этого материала давайте попробуем посчитать еще два примера.
Задачи с тригонометрической функция и функцией с тремя переменными
Задача № 1
[zleft( x,y right)={{3}^{xsin y}}]
Давайте запишем такие формулы:
[{{left( {{a}^{x}} right)}^{prime }}={{a}^{x}}cdot ln a]
[{{left( {{e}^{x}} right)}^{prime }}={{e}^{x}}]
Давайте теперь решать наше выражение:
[{{{z}’}_{x}}={{left( {{3}^{xsin y}} right)}^{prime }}_{x}={{3}^{x.sin y}}cdot ln 3cdot {{left( xcdot sin y right)}^{prime }}_{x}=]
Отдельно посчитаем такую конструкцию:
[{{left( xcdot sin y right)}^{prime }}_{x}={{{x}’}_{x}}cdot sin y+x{{left( sin y right)}^{prime }}_{x}=1cdot sin y+xcdot 0=sin y]
Продолжаем решать исходное выражение:
[={{3}^{xsin y}}cdot ln 3cdot sin y]
Это окончательный ответ частной переменной по $x$. Теперь посчитаем по $y$:
[{{{z}’}_{y}}={{left( {{3}^{xsin y}} right)}^{prime }}_{y}={{3}^{xsin y}}cdot ln 3cdot {{left( xsin y right)}^{prime }}_{y}=]
Решим одно выражение отдельно:
[{{left( xcdot sin y right)}^{prime }}_{y}={{{x}’}_{y}}cdot sin y+x{{left( sin y right)}^{prime }}_{y}=0cdot sin y+xcdot cos y=xcdot cos y]
Решаем до конца нашу конструкцию:
[={{3}^{xcdot sin y}}cdot ln 3cdot xcos y]
Задача № 2
[tleft( x,y,z right)=x{{e}^{y}}+y{{e}^{z}}]
На первый взгляд этот пример может показаться достаточно сложным, потому что здесь три переменных. На самом деле, это одна из самых простых задач в сегодняшнем видеоуроке.
Находим по $x$:
[{{{t}’}_{x}}={{left( x{{e}^{y}}+y{{e}^{z}} right)}^{prime }}_{x}={{left( xcdot {{e}^{y}} right)}^{prime }}_{x}+{{left( ycdot {{e}^{z}} right)}^{prime }}_{x}=]
[={{left( x right)}^{prime }}_{x}cdot {{e}^{y}}+xcdot {{left( {{e}^{y}} right)}^{prime }}_{x}=1cdot {{e}^{y}}+xcdot o={{e}^{y}}]
Теперь разберемся с $y$:
[{{{t}’}_{y}}={{left( xcdot {{e}^{y}}+ycdot {{e}^{z}} right)}^{prime }}_{y}={{left( xcdot {{e}^{y}} right)}^{prime }}_{y}+{{left( ycdot {{e}^{z}} right)}^{prime }}_{y}=]
[=xcdot {{left( {{e}^{y}} right)}^{prime }}_{y}+{{e}^{z}}cdot {{left( y right)}^{prime }}_{y}=xcdot {{e}^{y}}+{{e}^{z}}]
Мы нашли ответ.
Теперь остается найти по $z$:
[{{{t}’}_{z}}={{left( xcdot {{e}^{y}}+{{y}^{z}} right)}^{prime }}_{z}={{left( xcdot {{e}^{y}} right)}^{prime }}_{z}+{{left( ycdot {{e}^{z}} right)}^{prime }}_{z}=0+ycdot {{left( {{e}^{z}} right)}^{prime }}_{z}=ycdot {{e}^{z}}]
Мы посчитали третью производную, на чем решение второй задачи полностью завершено.
Нюансы решения
Как видите, ничего сложного в этих двух примерах нет. Единственное, в чем мы убедились, так это в том, что производная сложной функции применяется часто и в зависимости от того, какую частную производную мы считаем, мы получаем разные ответы.
В последней задаче нам было предложено разобраться с функцией сразу от трех переменных. Ничего страшного в этом нет, однако в самом конце мы убедились, что все они друг от друга существенно отличаются.
Ключевые моменты
Окончательные выводы из сегодняшнего видеоурока следующие:
- Частные производные считаются так же, как и обычные, при этом, чтобы считать частную производную по одной переменной, все остальные переменные, входящие в данную функцию, мы принимаем за константы.
- При работе с частными производными мы используем все те же стандартные формулы, что и с обычными производными: сумму, разность, производную произведения и частного и, разумеется, производную сложной функции.
Конечно, просмотра одного этого видеоурока недостаточно, чтобы полностью разобраться в этой теме, поэтому прямо сейчас на моем сайте именно к этому видео есть комплект задач, посвященных именно сегодняшней теме — заходите, скачивайте, решайте эти задачи и сверяйтесь с ответом. И после этого никаких проблем с частными производными ни на экзаменах, ни на самостоятельных работах у вас не будет. Конечно, это далеко не последний урок по высшей математике, поэтому заходите на наш сайт, добавляйтесь ВКонтакте, подписывайтесь на YouTube, ставьте лайки и оставайтесь с нами!
Смотрите также:
- Производная параметрической функции
- Системы линейных уравнений: основные понятия
- Сравнение дробей
- Четырехугольная пирамида в задаче C2
- Задача B5: вычисление площади методом обводки
- Задача B4: вклад в банке и проценты
Частные производные
Частной производной по x функции z = f(x,y) в точке A(x0,y0) называется предел отношения частного приращения по x функции в точке A к приращению ∆x при стремлении ∆x к нулю.
Частные производные функции z(x,y) находятся по следующим формулам: 
Вторые частные производные функции z(x,y) находятся по формулам:
Смешанные частные производные функции z(x,y) находятся по формулам: 
Назначение сервиса. Сервис используется для нахождения частных производных функции (см. пример). Решение производится в онлайн режиме и оформляется в формате Word.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
- Также решают
Правила ввода функции, заданной в явном виде
Примеры
x2+xy ≡ x^2+x*y.
cos2(2x+y) ≡ (cos(2*x+y))^2
≡ (x-y)^(2/3)
Правила ввода функции, заданной в неявном виде
- Все переменные выражаются через x,y,z
Примеры
≡ x^2/(z+y)
cos2(2x+zy) ≡ (cos(2*x+z*y))^2
≡ z+(x-y)^(2/3)
Частные производные используются, например, при нахождении полного дифференциала и экстремумов функции.
Частные производные функции нескольких переменных
Ели одному из аргументов функции z = f(x,y) придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит частное приращение по одному из аргументов: Δxz=f(x+Δx,y)-f(x,y) – это частное приращение функции z по аргументу x; Δyz=f(x,y+Δy)-f(x,y) – это частное приращение функции z по аргументу у.
Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:
– это частная производная функции z по аргументу x;
– это частная производная функции z по аргументу у.
Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента.
Пример 1. z=2x5+3x2y+y2–4x+5y-1
Пример 2. Найти частные производные функции z = f(x;y) в точке A(x0;y0).
Находим частные производные:
Найдем частные производные в точке А(1;1)
Находим вторые частные производные:
Найдем смешанные частные производные:
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).
Частные производные второго порядка
Содержание:
- Примеры с решением
Предположим, что функция 
определена в области D и имеет в этой области частные производные 
и 
. Эти частные производные являются функциями двух переменных, определенными в области D.
Частными производными второго порядка функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.
Частных производных второго порядка четыре. Они обозначаются следующим образом: 
Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего, четвертого и более высоких порядков. Например, для функции имеем: 
и т.д. А запись 
означает, что функция продифференцирована 
раз по переменной 
, а затем 
раз по переменной 
.
Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. Для функции таковыми, например, являются производные 
, и 
.
Аналогично определяются частные производные высших порядков и для функции большего числа переменных.
Если первая производная переменной найдена, получите вторую производную функции, взятую дважды для переменной.
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
Примеры с решением
Пример 1.
Найти частные производные второго порядка функции 
Решение:
Частные производные первого порядка для данной функции имеют вид:
Тогда
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Пример 2.
Найти 
функции 
.
Решение:
Имеем
, тогда 
.
Дифференцируя в обратном порядке, приходим к такому же результату:
В этих двух примерах смешанные частные производные 
, и 
равны.
Но, вообще говоря, значения смешанных производных зависят от того, в каком порядке производится дифференцирование. Ответ на вопрос, при каких условиях смешанные производные не зависят от того, в каком порядке производится дифференцирование, дает следующая теорема.
Теорема 1. Если производные и 
определены в некоторой окрестности точки 
и непрерывны в самой точке 
, то они равны в этой точке: 
.
Следствие. Если производные и . определены и непрерывны в некоторой области, то они равны в этой области.
Аналогичное утверждение справедливо и для частных производных более высокого порядка.
Теорема 2 (Шварц). Если частные производные любого порядка непрерывны в некоторой области, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны в этой области.
Доказательство. Пусть функция 
определена в области D и имеет в этой области непрерывные частные производные 
и 
Возьмем любые точки 
и 
из этой области. Рассмотрим выражение
. Введем вспомогательную функцию
.
Тогда А запишется в виде
. Применив к этой разности теорему Лагранжа, получим
, где 
. Разность в скобке можно рассматривать как приращение функции 
одной переменной 
на отрезке с концами в точках ,
. Применив еще раз теорему Лагранжа (уже по переменной ), получим
С другой стороны, А можно переписать в виде
. Введя вспомогательную функцию 
и рассуждая аналогично, получим
Сравнив выражения для А, получим
или 
Переходя в этом равенстве к пределу при 
и учитывая непрерывность производных второго порядка в области D (в частности, в точке 
), получим
,
то есть 
Методом математической индукции доказанное утверждение можно распространить на частные производные любого порядка.
Лекции:
- Тройной интеграл
- Равномерное распределение
- Признак Даламбера: пример решения
- Производящие функции
- Сложение и вычитание пределов
- Векторы и операции с ними
- Таблица истинности логических выражений
- Элементы векторной алгебры
- Асимптоты графика функции
- Разложение в ряд маклорена
Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут
Частные производные
Частные производные применяются в заданиях с функциями нескольких переменных. Правила нахождения точно такие же как и для функций одной переменной, с разницей лишь в том, что одну из переменных нужно считать в момент дифференцирования константой (постоянным числом).
Формула
Частные производные для функции двух переменных $ z(x,y) $ записываются в следующем виде $ z’_x, z’_y $ и находятся по формулам:
Частные производные первого порядка
$$ z’_x = frac{partial z}{partial x} $$
$$ z’_y = frac{partial z}{partial y} $$
Частные производные второго порядка
$$ z”_{xx} = frac{partial^2 z}{partial x partial x} $$
$$ z”_{yy} = frac{partial^2 z}{partial y partial y} $$
Смешанная производная
$$ z”_{xy} = frac{partial^2 z}{partial x partial y} $$
$$ z”_{yx} = frac{partial^2 z}{partial y partial x} $$
Частная производная сложной функции
а) Пусть $ z (t) = f( x(t), y(t) ) $, тогда производная сложной функции определяется по формуле:
$$ frac{dz}{dt} = frac{partial z}{partial x} cdot frac{dx}{dt} + frac{partial z}{partial y} cdot frac{dy}{dt} $$
б) Пусть $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, тогда частные производные функции находится по формуле:
$$ frac{partial z}{partial u} = frac{partial z}{partial x} cdot frac{partial x}{partial u} + frac{partial z}{partial y} cdot frac{partial y}{partial u} $$
$$ frac{partial z}{partial v} = frac{partial z}{partial x} cdot frac{partial x}{partial v} + frac{partial z}{partial y} cdot frac{partial y}{partial v} $$
Частные производные неявно заданной функции
а) Пусть $ F(x,y(x)) = 0 $, тогда $$ frac{dy}{dx} = -frac{f’_x}{f’_y} $$
б) Пусть $ F(x,y,z)=0 $, тогда $$ z’_x = – frac{F’_x}{F’_z}; z’_y = – frac{F’_y}{F’_z} $$
Примеры решений
| Пример 1 |
| Найти частные производные первого порядка $ z (x,y) = x^2 – y^2 + 4xy + 10 $ |
| Решение |
|
Для нахождения частной производной по $ x $ будем считать $ y $ постоянной величиной (числом): $$ z’_x = (x^2-y^2+4xy+10)’_x = 2x – 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Для нахождения частной производной функции по $ y $ определим $ y $ константой: $$ z’_y = (x^2-y^2+4xy+10)’_y = -2y+4x $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ z’_x = 2x+4y; z’_y = -2y+4x $$ |
| Пример 2 |
| Найти частные производные функции второго порядка $ z = e^{xy} $ |
| Решение |
|
Сперва нужно найти первый производные, а затем зная их можно найти производные второго порядка. Полагаем $ y $ константой: $$ z’_x = (e^{xy})’_x = e^{xy} cdot (xy)’_x = ye^{xy} $$ Положим теперь $ x $ постоянной величиной: $$ z’_y = (e^{xy})’_y = e^{xy} cdot (xy)’_y = xe^{xy} $$ Зная первые производные аналогично находим вторые. Устанавливаем $ y $ постоянной: $$ z”_{xx} = (z’_x)’_x = (ye^{xy})’_x = (y)’_x e^{xy} + y(e^{xy})’_x = 0 + ye^{xy}cdot (xy)’_x = y^2e^{xy} $$ Задаем $ x $ постоянной: $$ z”_{yy} = (z’_y)’_y = (xe^{xy})’_y = (x)’_y e^{xy} + x(e^{xy})’_y = 0 + x^2e^{xy} = x^2e^{xy} $$ Теперь осталось найти смешанную производную. Можно продифференцировать $ z’_x $ по $ y $, а можно $ z’_y $ по $ x $, так как по теореме $ z”_{xy} = z”_{yx} $ $$ z”_{xy} = (z’_x)’_y = (ye^{xy})’_y = (y)’_y e^{xy} + y (e^{xy})’_y = ye^{xy}cdot (xy)’_y = yxe^{xy} $$ |
| Ответ |
| $$ z’_x = ye^{xy}; z’_y = xe^{xy}; z”_{xy} = yxe^{xy} $$ |
| Пример 3 |
| Найти частную производную сложной функции $ z = x^2 + y^2, x = sin t, y = t^3 $ |
| Решение |
|
Находим $ frac{partial z}{partial x} $: $$ frac{partial z}{partial x} = (x^2+y^2)’_x = 2x $$ Находим $ frac{partial z}{partial y} $: $$ frac{partial z}{partial y} = (x^2+y^2)’_y = 2y $$ Теперь ищем $ frac{dx}{dt} $ и $ frac{dy}{dt} $: $$ frac{dx}{dt} = frac{d(sin t)}{dt} = cos t $$ $$ frac{dy}{dt} = frac{d(t^3)}{dt} = 3t^2 $$ Подставляем всё это в формулу и записываем ответ: $$ frac{dz}{dt} = frac{partial z}{partial x} cdot frac{dx}{dt} + frac{partial z}{partial y} cdot frac{dy}{dt} $$ $$ frac{dz}{dt} = 2x cdot cos t + 2y cdot 3t^2 $$ |
| Ответ |
| $$ frac{dz}{dt} = 2x cdot cos t + 2y cdot 3t^2 $$ |
| Пример 4 |
| Пусть $ 3x^3z – 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ задаёт неявную функцию $ F(x,y,z) = 0 $. Найти частные производные первого порядка. |
| Решение |
|
Записываем функцию в формате: $ F(x,y,z) = 3x^3z – 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ и находим производные: $$ z’_x (y,z – const) = (x^3 z – 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)’_x = 3 x^2 z – 4 $$ $$ z’_y (x,y – const) = (x^3 z – 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)’_y = 3z^2 $$ |
| Ответ |
| $$ z’_x = 3x^2 z – 4; z’_y = 3z^2; $$ |
