Данная статья посвящена числам с разными знаками. Мы будем разбирать материал и пытаться выполнять вычитание между этими числами. В параграфе мы познакомимся с основными понятиями и правилами, которые пригодятся во время решения упражнений и задач. Также в статье представлены подробно разобранные примеры, которые помогут лучше понять материал.
Как правильно выполнять вычитание
Для того, чтобы лучше понять процесс вычитания, следует начать с основных определений.
Если вычесть из числа a число b, то это можно преобразовать как сложение числа a и -b, где b и −b – числа с противоположными знаками.
Если выразить данное правило буквами, то оно выглядит так a−b=a+(−b), где a и b – любые действительные числа.
Данное правило вычитания чисел с разными знаками работает для действительных, рациональных и целых чисел. Его можно доказать на основании свойств действий с действительными числами. Благодаря им мы может представить числа как несколько равенства (a+(−b))+b=a+((−b)+b)=a+0=a. Так как сложение и вычитание тесно связаны, то равным также будет выражение a−b=a+(−b). Это значит, что рассматриваемое правило вычитания также верно.
Данное правило, которое применяется для вычитания чисел с разными знаками, позволяет работать как с положительными, так и с отрицательными числами. Также можно производить процесс вычитания из отрицательного числа из положительного, которое переходит в сложение.
Для того, чтобы закрепить полученную информацию, мы рассмотрим типичные примеры и на практике рассмотрим правило вычитания для чисел с разными знаками.
Примеры упражнений на вычитание
Закрепим материал, рассмотрев типичные примеры.
Необходимо выполнить вычитание 4 из −16.
Для того, чтобы выполнить вычитание, следует взять число, противоположное вычитаемому 4, есть −4. Согласно рассмотренному выше правилу вычитания (−16) −4=(−16) +(−4). Далее мы должны сложить получившиеся отрицательные числа. Получаем: (−16) +(−4) =−(16+4) =−20. (−16)−4=−20.
Для того, чтобы выполнять вычитание дробей, необходимо представлять числа в виде обыкновенных или десятичных дробей. Это зависит от того, с числами какого вида будет удобнее проводить вычисления.
Необходимо выполнить вычитание −0,7 от 37.
Прибегаем к правилу вычитания чисел. Заменяем вычитание на сложение: 37-(-0,7)=37+0,7.
Мы складываем дроби и получаем ответ в виде дробного числа. 37-(-0,7)=1970.
Когда какое-либо число представлено в виде квадратного корня, логарифма, основной и тригонометрических функций, то зачастую результат вычитания может быть записан в виде числового выражения. Чтобы пояснить данное правило, рассмотрим следующий пример.
Необходимо выполнить вычитание числа 5 из числа -2.
Воспользуемся описанным выше правилом вычитания. Возьмем противоположное число вычитаемому 5 – это −5. Согласно работы с числами с разными знаками -2-5=-2+(-5).
Теперь выполним сложение: получаем -2+(-5)=2+5.
Полученное выражение и является результатом вычитания исходных чисел с разными знаками: -2+5.
Значение полученного выражения может быть вычислено максимально точно только в том случае, если это необходимо. Для подробной информации можно изучить другие разделы, связанные с данной темой.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
План урока:
Сложение отрицательных чисел
Сложение чисел с разными знаками
Вычитание отрицательных чисел и чисел с разными знаками
В субботу, ученики 6 класса договорились встретиться и погулять в парке. Утром Юля выглянула в окошко, ярко светит солнышко, но при этом морозно. Девочка взглянула на термометр. Он показывал -10˚C. Мама попросила Юлю пойти на улицу немного позже, когда на улице потеплеет. Юля расстроилась и стала ждать. Через два часа девочка снова взглянула на термометр. Он показал -3. Ого! Всего два часа, а так потеплело – обрадовалась девочка и стала одеваться, чтобы идти гулять. В это время в комнату вошла мама и удивленно спросила «Уже потеплело? На сколько градусов?» Дочь не знала, что сказать и как правильно узнать, на сколько градусов стало теплее. Мама пришла на помощь и сообщила, что достаточно от -10 отнять -3, и мы узнаем, на сколько градусов изменилась температура воздуха за окном. Иначе, можно сказать, что шкала термометра поднялась вверх на 7 делений, значит, на улице стало теплее на 7 градусов. Запомнив все, что рассказала мама, Юля побежала в парк делиться новыми знаниями с друзьями.
Сложение и вычитание отрицательных чисел
Давайте вспомним любимую многими сказку «Буратино» и разберем задачу с участием любимых персонажей.
В театре Карабаса-Барабаса актерам жилось очень сложно, все куклы мечтали жить на свободе. Актеры тяжело работали, но долги перед хозяином росли с каждым днем. Злой владелец пообещал отпустить Буратино и Мальвину из своего театра только тогда, когда кукольные герои вернут ему долг. Сколько монет нужно собрать героям, чтобы оказаться на свободе, если у Буратино было -15 монет, а у Мальвины -6?
Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нам нужно понимать, о чем идет речь. Изучив условие, возникает вопрос «Как может быть -15 и -6 монет?». В данном случае выходит, что Буратино и Мальвина должны вернуть Карабасу-Барабасу 15 и 6 монет, поэтому перед данными числами и стоит знак «минус». Получается, кукольные персонажи смогут покинуть театр, когда полностью вернут долг. Для этого необходимо узнать общий размер долга Буратино и Мальвины. Чтобы узнать размер долга, суммируем монеты персонажей -15 и -6. Но как их сложить, когда перед слагаемыми стоит «минус»? В подобных ситуациях применяют правило сложения отрицательных чисел.
Возвращаемся к решению задачи.
Теперь, правильно запишем и суммируем известные данные.
Получается, что герои имеют -21 монету, следовательно, они должны собрать 21 монету и вернуть долг, только тогда появится возможность покинуть театр Карабаса-Барабаса.
Источник
Рассмотрим еще одно задание.
Найдите результат сложения -24 и -16.
Чтобы вычислить сумму двух значений со знаком «минус», достаточно суммировать их модули, и перед полученной цифрой записать «-».
-24+(-16)=-(24+16)=-40.
Запомни! Если складываем два отрицательных числа, то суммируем их модули, а перед результатом сложения записываем «-».
Сложение чисел с разными знаками
Рассмотрим ситуацию.
Мишин папа навещал бабушку в деревне, обещал привезти гостинец сыну – яблоки. Во дворе Миша рассказал мальчишкам про папино обещание, и решил угостить яблоком, каждого из трех друзей, то есть, у него уже стало -3 яблока. Папа привез сыну 10 яблок и мальчик с радостью поделился фруктами с друзьями. Сколько яблок осталось у мальчика?
Чтобы найти количество яблок у мальчика, нам нужно узнать, чему равна сумма яблок –тех которые были у мальчика(-3), и тех, которые дал папа(10). То есть, чтобы ответить на главный вопрос задачи, достаточно сложить -3 и 10. Но слагаемые имеют разные знаки «+» и «-». Как же выполнить сложение положительного и отрицательного чисел? Запомнив алгоритм сложения положительных и отрицательных чисел сделать это, будет очень просто.
Используем рассмотренный алгоритм при выполнении действий.
Суммируем-3 и 10. Для этого:
- определяем модули: -3=|3|, 10=|10|;
- сравниваем модули, определяя больший: |3|<|10|;
- от большего отнимаем меньший: 10 – 3=7;
- так как по условию 10 – число положительное, то и результат будет числом положительным.
Записывается в таком виде:
-3+10=10 – 3=7.
Выходит, у мальчика стало 7 яблок.
Рассмотрим еще один пример сложения чисел с разными знаками.
Вычислите сумму -28 и 11.
Известные слагаемые имеют разные знаки, то есть -28 является значением отрицательным, а 11–положительным. Чтобы суммировать слагаемые, необходимо воспользоваться ранее рассмотренным алгоритмом. Вначале, определяем модули и сравниваем их.
-28=|28|;
11=|11|;
28>11.
Помним, что большее значение модуля имеет отрицательное слагаемое (-28), поэтому перед результатом нужно будет поставить знак «минус». Теперь, находим разность большего и меньшего значения модуля (28-17) и записываем математическое выражение:
-28+11=-(28-11)=-17.
Учитывая рассмотренные примеры, можно сказать, что:
любое числовое значение от прибавления к нему положительного числа, всегда становится больше, а от прибавления отрицательного числа только меньше.
Докажем справедливость данного правила, вычислив выражение и сравнив уменьшаемое с полученной суммой:-150+50.
Чтобы найти значение выражения нужно определить модули (150 и 50), оставив знак«-» модуля большего слагаемого, от большего значения отнимаем меньшее:
-150+50=-(150-50)=-100.
Сравним найденное значение выражения (-100) с уменьшаемым (-150), используя правило сравнения чисел с отрицательным знаком:
При сравнении цифровых значений со знаком «минус», меньшим будет то, чей модуль больше.
-150=|150|;
-100=|100|.
150>100;
-150<-100.
Действительно, при сложении с отрицательным числом уменьшаемое стало только меньше.
Вычитание отрицательных чисел и чисел с разными знаками
Мы уже знаем, как выполнять сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел, но хочется сказать, что именно в этом разделе математики, большую роль играют противоположные числа. Для тех, кто забыл, напоминаем, какие числовые значения называются противоположными:
Если два числа отличаются только знаком, то они являются противоположными:-13 и 13, 141 и -141, 1000 и -1000.
Чтобы понять, какие правила необходимо соблюдать при выполнении вычитания чисел с разными знаками, давайте разберем задание.
Определите, чему будет равно значение выражения: от -510 отнять +210.
На первый взгляд задание очень простое и не вызывает никаких проблем. Но стоит записать разность в виде выражения:
-510-(+210)
Сразу возникает вопрос «Как вычитать, если уменьшаемое со знаком «минус», а вычитаемое со знаком «плюс»?».Чтобы решение подобных выражений не вызывало у вас трудностей, возьмите на заметку правило:
Чтобы выполнить вычитание чисел с разными знаками, нужно уменьшаемое оставить без изменений и прибавить к нему число, противоположное вычитаемому.
Например: -5-(+2).
Минус пять оставляем без изменений. Вычитаемое +2, а противоположное ему -2. Складываем уменьшаемое(-5) и число противоположное вычитаемому(-2): -5+(-2).
По правилу сложения отрицательных чисел, складываем модули(5+2) и ставим знак «-»:
-5+(-2)=-(5+2)=-7
Учитывая данное правило, получается, что к уменьшаемому(-510) необходимо прибавить значение,противоположное вычитаемому(210), таким числом будет -210:
Запишем выражение:
-510-(+210)=-510+(-210). Чтобы вычислить полученное выражение нужно сложить отрицательные значения, согласно правилу сложения отрицательных чисел:
-510-(+210)=-510+(-210)=-(510+210)=-720.
Вычисления окончены.
Источник
Рассмотрим следующее задание.
Найдите значение выражения: -248+248.
Используем правило сложения значений с разными знаками.
-248=|248|;
248=|248|;
248 – 248=0.
Следовательно, при сложении противоположных числовых значений в результате всегда будет 0.
Зная правило вычитания отрицательных чисел, можем сделать вывод, что знаки, стоящие перед скобками, могут менять знак числа, находящегося в скобках.
К примеру, в выражении 19-(-4), при вычислении используем правило, согласно которого, к уменьшаемому прибавляем, число противоположное вычитаемому, то есть знак вычитаемого «-» меняем на противоположный «+». Получим:
Запомни! Если перед скобкой в математическом выражении стоит знак «минус», то знак числа в скобках меняется на противоположный.
Ну а сейчас, разберем задание, в котором перед скобкой стоит знак «плюс».
Вычисли: -36+(-7).
В этом задании воспользуемся правилом сложения отрицательных чисел– сложим модули числовых значений, а перед суммой поставим знак «минус»:
Мы видим, что «плюс» перед скобкой никак не повлиял на знак числа, стоящего в скобках. Запомни! Если перед скобками стоит «плюс», то знак числового значения, стоящего в скобках никак не меняется.
В выполнении рассматриваемых действий нет ничего сложного. Главное запомнить основные требования и придерживаться их в процессе любых вычислений! Если сразу запомнить все правила не получается, заходи на сайт 100уроков.ru и мы всегда с удовольствием напомним нужное правило или алгоритм.
Минутка истории
История математики утверждает, что человечество длительное время не принимало ряд отрицательных числовых значений. Данный вид чисел, казался непонятным и ненужным. Привычных нам знаков «плюс» и «минус» просто не существовало. Если возникала необходимость в записи отрицательно числа, то его записывали следующим образом «долг в 30 монет». И лишь математики Древней Индии и Китая, выполняли записи отрицательных чисел без употребления слова «долг», а просто использовали черные чернила, вместо синих.
Только в 3 веке греческий ученый Диофант, стал обозначать знак «минус» вот таким символом .
Привычные нам знаки «+» и «-» появились в Германии в конце 15 века. Чешский ученый Ян Видман, отразил данные знаки в своей книге-пособии, помогающей подсчитывать прибыль и убытки чешским купцам. Стоит заметить, что данная книга была написана от руки и имела огромную популярность среди богатых людей того времени.
Евгений Николаевич Беляев
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Правило сложения отрицательных чисел
Если вспомнить урок математики и тему «Сложение и вычитание чисел с разными знаками», то для сложения двух отрицательных чисел необходимо:
- выполнить сложение их модулей;
- дописать к полученной сумме знак «–».
Согласно правилу сложения можно записать:
$(−a)+(−b)=−(a+b)$.
Правило сложения отрицательных чисел применяется к отрицательным целым, рациональным и действительным числам.
Пример 1
Сложить отрицательные числа $−185$ и $−23 789.$
Решение.
Воспользуемся правилом сложения отрицательных чисел.
Найдем модули данных чисел:
$|-185|=185$;
$|-23 789|=23 789$.
Выполним сложение полученных чисел:
$185+23 789=23 974$.
Поставим знак $«–»$ перед найденным числом и получим $−23 974$.
Краткая запись решения: $(−185)+(−23 789)=−(185+23 789)=−23 974$.
Ответ: $−23 974$.
При сложении отрицательных рациональных чисел их необходимо преобразовать к виду натуральных чисел, обыкновенных или десятичных дробей.
Пример 2
Сложить отрицательные числа $-frac{1}{4}$ и $−7,15$.
Решение.
Согласно правилу сложения отрицательных чисел, сначала необходимо найти сумму модулей:
$|-frac{1}{4}|=frac{1}{4}$;
$|-7,15|=7,15$.
Полученные значения удобно свести к десятичным дробям и выполнить их сложение:
$frac{1}{4}=0,25$;
$0,25+7,15=7,40$.
Поставим перед полученным значением знак $«–»$ и получим $–7,4$.
Краткая запись решения:
$(-frac{1}{4})+(−7,15)=−( frac{1}{4}+7,15)=–(0,25+7,15)=−7,4$.
Ответ: $–7,4$.
Как вычитать числа с разными знаками
Правило сложения чисел с противоположными знаками:
Для сложения положительного и отрицательного числа необходимо:
- вычислить модули чисел;
-
выполнить сравнение полученных чисел:
- если они равны, то исходные числа являются противоположными и их сумма равна нулю;
- если они не равны, то нужно запомнить знак числа, у которого модуль больше;
-
из большего модуля вычесть меньший;
- перед полученным значением поставить знак того числа, у которого модуль больше.
«Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел» 👇
Сложение чисел с противоположными знаками сводится к вычитанию из большего положительного числа меньшего отрицательного числа.
Правило сложения чисел с противоположными знаками выполняется для целых, рациональных и действительных чисел.
Пример 3
Сложить числа $4$ и $−8$.
Решение.
Требуется выполнить сложение чисел с противоположными знаками. Воспользуемся соответствующим правилом сложения.
Найдем модули данных чисел:
$|4|=4$;
$|-8|=8$.
Модуль числа $−8$ больше модуля числа $4$, т.е. запомним знак $«–»$.
Далее от большего модуля отнимем меньший модуль, получим:
$8−4=4$.
Поставим знак $«–»$, который запоминали, перед полученным числом, и получим $−4.$
Краткая запись решения:
$4+(–8) = –(8–4) = –4$.
Ответ: $4+(−8)=−4$.
Для сложения рациональных чисел с противоположными знаками их удобно представить в виде обыкновенных или десятичных дробей.
Вычитание чисел с разными и отрицательными знаками
Правило вычитания отрицательных чисел:
Для вычитания из числа $a$ отрицательного числа $b$ необходимо к уменьшаемому $a$ добавить число $−b$, которое является противоположным вычитаемому $b$.
Согласно правилу вычитания можно записать:
$a−b=a+(−b)$.
Данное правило справедливо для целых, рациональных и действительных чисел. Правило можно использовать при вычитании отрицательного числа из положительного числа, из отрицательного числа и из нуля.
Пример 4
Вычесть из отрицательного числа $−28$ отрицательное число $−5$.
Решение.
Противоположное число для числа $–5$ – это число $5$.
Согласно правилу вычитания отрицательных чисел получим:
$(−28)−(−5)=(−28)+5$.
Выполним сложение чисел с противоположными знаками:
$(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Краткая запись решения: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Ответ: $(−28)−(−5)=−23$.
При вычитании отрицательных дробных чисел необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных дробей, смешанных чисел или десятичных дробей.
Сложение и вычитание чисел с разными знаками
Правило вычитания чисел с противоположными знаками совпадает с правилом вычитания отрицательных чисел.
Пример 5
Вычесть положительное число $7$ из отрицательного числа $−11$.
Решение.
Противоположное число для числа $7$ – это число $–7$.
Согласно правилу вычитания чисел с противоположными знаками получим:
$(−11)−7=(–11)+(−7)$.
Выполним сложение отрицательных чисел:
$(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.
Краткая запись решения: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Ответ: $(−11)−7=−18$.
При вычитании дробных чисел с разными знаками необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных или десятичных дробей.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Сложение и вычитание целых чисел
- Сложение
- Вычитание
Сложение
При сложении двух целых чисел с одинаковым знаком складываются их абсолютные величины и перед суммой ставится их общий знак.
Примеры:
(+3) + (+7) = 10,
(-3) + (-7) = -10.
Из данных примеров следует, что в результате сложения двух положительных чисел получится положительное число, а в результате сложения двух отрицательных чисел – отрицательное число.
При сложении двух целых чисел с разными знаками нужно взять их абсолютные величины и из большей вычесть меньшую, в результате ставится знак того числа, у которого абсолютная величина больше.
Другими словами, можно просто, не обращая внимания на знаки, вычесть из большего числа меньшее и у получившегося результата поставить знак большего числа:
Примеры:
(-4) + (+11) = 7, так как 11 – 4 = 7;
(-5) + (+2) = -3, так как 5 – 2 = 3.
Из данных примеров следует, что в результате сложения двух чисел с разными знаками может получится как положительное, так и отрицательное число.
Сумма двух противоположных чисел равна нулю.
Примеры:
(-7) + 7 = 0,
(+12) + (-12) = 0.
Вычитание
Вычитание одного целого числа из другого можно заменить сложением, при этом уменьшаемое берётся со своим знаком, а вычитаемое с противоположным.
Примеры:
(+6) – (+5) = (+6) + (-5) = 1,
(+6) – (-5) = (+6) + (+5) = 11,
(-6) – (-5) = (-6) + (+5) = -1,
(-6) – (+5) = (-6) + (-5) = -11.
Из данных примеров следует, что, чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.
При решении выражений, содержащих и сложение, и вычитание, можно сначала заменить вычитание сложением, затем отдельно сложить положительные и отрицательные слагаемые, а потом найти сумму получившихся чисел.
Пример.
12 – 18 + 41 – 9.
Решение: Заменим вычитание на сложение:
12 + (-18) + 41 + (-9),
сгруппируем слагаемые по их знакам и сложим отдельно положительные и отрицательные числа:
(12 + 41) + ((-18) + (-9)) = 53 + (-27).
Теперь осталось только найти сумму двух получившихся результатов:
53 + (-27) = 26, значит 12 – 18 + 41 – 9 = 26.
Основные правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел
В зависимости от знака различают положительные и отрицательные числа. Их можно расположить на координатной прямой, где началом отсчета будет ноль, который не относится ни к положительным, ни к отрицательным значениям.
Определение
Положительные числа — это числа со знаком «+», который обычно не пишется. Положительные значения располагаются на числовой линии справа от нуля.
Определение
Отрицательные числа — это числа со знаком «−», расположенные слева от нуля на координатной прямой.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Основные правила сложения и вычитания отрицательных чисел:
- При сложении двух отрицательных чисел, необходимо суммировать их модули, затем перед полученным результатом приписать знак минус.
(-a;+;(-b);=;-;(vert-avert;+;vert-bvert);=;-;(a;+;b))
- Разность двух отрицательных чисел находится по правилу «минус на минус дает плюс».
((-a);-;(-b);=;(-a);+;b;=;b;-;a)
Сложение чисел с разными знаками
При складывании двух слагаемых, одно из которых с плюсом, а другое — с минусом, необходимо сравнить их модульные значения. От слагаемого с большим модулем нужно отнять слагаемое с меньшим модулем, далее перед полученным результатом поставить знак слагаемого, большего по модульному значению.
Примечание:
Каждая положительная величина имеет противоположный элемент с отрицательным символом. В сумме эти пары образуют 0:
(a;+;(-a);=;a;-;a;=;0)
Вычитание чисел с разными знаками
Вычитание положительных и отрицательных элементов обладает свойством, которое позволяет свести данное действие к сложению:
(а;–;b;=;a;+;(–b))
Расшифровка этой формулы дает следующее правило:
Вычитание одного числа из другого равно сумме уменьшаемого и числа, противоположного вычитаемому.
Для того, чтобы найти разность двух чисел с разными знаками, необходимо следовать алгоритму суммирования положительной и отрицательной величины: сравнить модули уменьшаемого и вычитаемого, из числа с большим модулем нужно вычесть меньшее модульное значение, затем перед полученным результатом поставить знак большего по значения.
Примеры упражнений
Пример 1.
Сложение двух отрицательных элементов:
− 89 + (− 125) = − (89 + 125) = − 214
Пример 2.
Вычитание двух отрицательных чисел:
− 134 − (− 357) = − 134 + 357 = 357 − 134 = 223
Пример 3.
Сложение двух чисел с разными знаками:
− 876 + 543
|− 876| > |543|
− 876 + 543 = − (|− 876| − |543|) = − (876 − 543) = − 333
Пример 4.
Вычитание двух элементов с разными знаками:
678 − 943
|678| < |− 943|
678 − 943 = − (|− 943| − |678|) = − (943 − 678) = − 265
