Как найти выпуклый угол в окружности - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

В этом случае справедливы равенства

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

В этом случае справедливы равенства

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Центральные и вписанные углы

О чем эта статья:

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Геометрия

Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов

Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы

План урока:

Центральный угол и градусная мера дуги

Любые две точки на окружности разбивают ее на две дуги. Чтобы отличать эти дуги, на каждой из них ставят точку, которую и указывают в обозначении дуги:

Здесь красным цветом показана⋃АСВ, а синим – ⋃ADB. Однако иногда для простоты указывают только концы дуги, то есть используют обозначение ⋃AВ. Это делается тогда, когда ясно, о какой дуге окружности идет речь. Обычно всегда подразумевается та дуга, которая меньше.

Можно заметить, что дуги отличаются по размеру, поэтому возникает потребность их измерения. Для этого используют такое понятие, как градусная мера дуги.

Для ее определения необходимо соединить концы дуги с центром окруж-ти. В результате получаются радиусы, которые пересекаются в центре окружности. Угол между ними именуется центральным углом окруж-ти.

Для каждой дуги можно построить единственный центральный угол, поэтому логично измерять дугу с помощью такого угла. Правда, обратное неверно. На рисунке видно, что центральному углу ∠АОВ соответствует сразу две дуги: ⋃АСВ и ⋃АDB:

Поэтому условно считают, градусная мера той из двух дуг, которая меньше, как раз и равна центральному углу:

Дуги, также как отрезки или углы, можно складывать или вычитать. Например, пусть есть две дуги, ⋃AВ и ⋃ВС, чьи градусные меры составляют 40° и 30°.

Как найти ⋃АС? Ей соответствует центральный угол ∠АОС, который в свою очередь равен сумме ∠АОВ и ∠ВОС:

Диаметр делит окруж-ть на две равные друг другу дуги, которые называются полуокружностями. При этом диаметр окружности можно рассматривать как угол между двумя радиусами, равный 180°. Получается, что градусная мера полуокружности составляет 180°:

Вместе две полуокружности образуют полную окруж-ть. Получается, что градусная мера всей окруж-ти составляет 180° + 180° = 360°.

Этот факт известен и из жизни – когда кто-то делает полный оборот вокруг своей оси, говорят, что он повернулся на 360°. Теперь мы можем вернуться к случаю, когда две точки делят окруж-ть на две неравные друг другу дуги. Градусная мера меньшей из них будет равна величине соответствующего центрального угла (обозначим его как α). В сумме две дуги должны дать 360°. Значит, градусная мера большей дуги будет составлять 360° – α:

Задание. Точки А, В, С и D лежат на одной окруж-ти. Известно, что ⋃АСВ составляет 107°. Какова величина ⋃ADB?

Решение. Вместе дуги ⋃АСВ и ⋃АDВ образуют полную окруж-ть, поэтому их сумма равна 360°. Это позволяет составить уравнение и найти из него ⋃АDB:

Задание. Найдите величину ∠АОС на рисунке, если известны ⋃AВ и ⋃ВС:

Решение. Сначала найдем ⋃АС, учтя, что все три дуги, показанные на рисунке, в сумме составляют 360°:

Для доказательства построим две одинаковые хорды AВ и СD в окруж-ти и соединим их концы с центром:

В результате получились ∆АОВ и ∆ОСD. У них равны все три стороны, значит, сами эти треугольники равны. Тогда

∠COD = ∠AOB

Но эти углы – центральные для дуг ⋃AВ и ⋃CD. Получается, что у этих дуг одинаковы их градусные меры, поэтому они также равны, ч. т. д.

Примечание. Всякая хорда окружности разбивает ее на две дуги – большую и меньшую. В данном правиле говорится именно равенстве меньших дуг.

Задание. На окруж-ти отмечены точки А, В и С так, что хорды AВ, ВС и АС равны. Найдите угол между радиусами окружности АО и ВО.

Дуги ⋃AВ, ⋃ВС и ⋃АС стянуты равными хордами AВ, ВС и АС. Значит, они одинаковы. Но в сумме эти три дуги образуют окруж-ть величиной в 360°. Значит, каждая из этих дуг втрое меньше:

⋃AВ = ⋃BC = ⋃AC = 360°:3 = 120°

∠АОВ – центральный для ⋃AВ, значит, он равен ее градусной мере, то есть он составляет 120°.

Вписанный угол

В окруж-ти можно построить ещё один угол, который именуют вписанным углом. Его отличие от центрального заключается в том, что его вершина лежит на окруж-ти, а не в ее центре. Сторонами же вписанного угла являются хорды окруж-ти.

Здесь дуга ⋃ВС находится внутри угла, а ее концы лежат на его сторонах. В таких случаях говорят, что ∠ВАС опирается на дугу ВС. Оказывается, что между величиной вписанного угла и дугой, на которую он опирается, есть взаимосвязь.

Обозначим вписанный угол ∠СAВ буквой α. Так как радиусы АО и ОС одинаковы, то ∆АОС – равнобедренный, и тогда углы при его основании будут одинаковы:

∠СОВ – внешний для ∆АОС. Напомним, что такой угол равен сумме тех 2 углов треуг-ка, которые с ним не смежны. В частности, в данном случае можно записать

∠СОВ = ∠OCA = ∠OAC = α + α = 2α

Но этот же угол – центральный, и его величина равна ⋃ВС:

Получается, что дуга вдвое больше вписанного угла.

Далее рассмотрим случай, когда диаметр, проведенный из вершины вписанного угла, делит его на две части:

В этом случае вписанный угол ∠СAВ можно представить как сумму углов ∠САD (обозначен как α)и ∠ВАD (обозначен как β). Мы уже доказали, что дуги, на которые опираются эти углы, вдвое больше самих углов:

Осталось рассмотреть третий случай, при котором обе стороны вписанного угла ∠ВАС лежат по одну сторону от диаметра:

Если здесь обозначить ∠САD как α, а ∠ВАD как β, то интересующий нас ∠СAВ можно представить как их разность:

Итак, во всех трех возможных случаях вписанный угол оказывается вдвое меньше дуги, на которую он опирается.

Задание. Найдите ∠ВАС на рисунке:

Задание. Найдите вписанный ∠AВС, сели прилегающие к нему дуги ⋃AВ и ⋃ВС равны 100° и 128°.

Решение. В сумме дуги ⋃АС, ⋃ВС и ⋃AВ образуют окруж-ть, поэтому их сумма составляет 360°. Тогда можно найти ⋃АС:

Задание. Найдите дугу ⋃SM на рисунке:

Решение. Сначала найдем дугу ⋃MN, она вдвое больше соответствующего ей вписанного угла:

⋃NM = 2*∠NSM = 2*35° = 70°

Заметим, что ⋃SN– это полуокружность, то есть она составляет 180°. При этом ⋃SM и ⋃MN вместе как раз образуют эту полуокружность, то есть их сумма также составляет 180°. Значит, ⋃МS можно найти, вычтя из полуокружности ⋃MN:

⋃MS = ⋃SN – ⋃MN = 180° – 70° = 110°

Заметим, что для одной дуги можно построить несколько вписанных углов. Каждый из них будет равен половине дуги, то есть все эти углы окажутся одинаковыми.

Задание. Найдите ∠АСD на рисунке:

Решение. Так как ∠ACD и ∠ABD опираются на одну дугу ⋃AD, то они должны быть одинаковыми:

∠ACD = ∠ABD = 63°

Задание. Докажите, что две дуги, находящиеся между двумя параллельными секущими окруж-ти, равны друг другу.

Нам надо доказать, что ⋃AВ и ⋃CD равны, если АС||BD. Проведем секущую ВС:

∠СВD и ∠АСВ равны, ведь они накрест лежащие. Получается, что ⋃AВ и ⋃CD являются основаниями равных вписанных углов. Отсюда вытекает, что эти дуги должны быть равными.

Напомним, что диаметр разбивает окруж-ть на две дуги по 180°. Отсюда можно сделать вывод – любой угол, опирающийся на полуокружность, должен составлять 180°:2 = 90°:

Задание. Диаметр окруж-ти AВ равен 17. Хорда ВС имеет длину 8. Какова длина хорды АС?

Так как ∠АСВ опирается на диаметр AВ, то он прямой. Значит, и ∆АСВ – прямоугольный, причем диаметр AВ в нем – гипотенуза. Неизвестный катет можно найти по теореме Пифагора:

Задание. Окруж-ть разбита на две дуги, ⋃AВС и ⋃СDA. Известно, что ∠AВС = 72°. Найдите ∠ADC.

Зная ∠AВС, мы легко найдем дугу ⋃ADC, она вдвое больше опирающегося на нее вписанного угла:

Углы между хордами и секущими

До этого мы рассматривали простые углы в окруж-ти, вершины которых лежали либо на самой окруж-ти, либо в ее центре. Однако иногда хорды и секущие пересекаются в другой точке, либо внутри, либо вне окруж-ти. Рассмотрим подобные задачи.

Более прост случай, когда необходимо найти угол между двумя пересекающимися хордами. Пусть хорды при пересечении образовали дуги ⋃AВ и ⋃СD величиной α и β. Каков угол между ними?

Проведем ещё одну хорду АD. В результате получим вписанные ∠САD и ∠ADB, которые будут равны половинам от соответствующих дуг, то есть α/2 и β/2. Интересующий нас ∠СPD оказывается внешним для ∆APD, и потому равен сумме двух углов в ∆APD (тех, которые с ним не смежны), то есть он составляет величину α/2 + β/2:

Величину α/2 + β/2 можно записать и иначе, вынеся множитель 1/2 за скобки:

Эту величину можно назвать полусуммой дуг, на которые опирается интересующий нас угол.

Задание. Найдите ∠МКВ на рисунке:

Решение. Интересующий нас угол опирается на хорды величиной 38° и 42°. Значит, он равен половине от их суммы:

∠MKB = (42° + 38°)/2 = 80°/2 = 40°

В более сложном случае необходимо найти угол между секущими, которые пересекаются вне окруж-ти. При этом известны дуги, образованные этими секущими:

Снова проведем хорду АD, чтобы у нас получились два вписанных угла, ∠ADB и ∠СAD, которые соответственно будут иметь величину β/2 и α/2:

Теперь уже ∠САD оказывается внешним для ∆ADK, а потому он является суммой двух других углов:

В итоге получили, что угол между секущими составляет половину от разности дуг, которые они отсекают от окруж-ти.

Задание. Найдите на рисунке величину∠К, если ⋃AВ и ⋃СD соответственно равны 42° и 130°:

Решение. В этой задаче просто используем доказанную теорему об углах между секущими. Искомый угол составляет половину от разности дуг, заключенных между секущими:

∠K = (130° – 42°):2 = 88°/2 = 44°

Теорема о произведении отрезков хорд

Можно заметить, что при пересечении двух хорд образуется пара подобных треугольников. Пусть хорды ADи ВС пересекаются в точке K. Добавим хорды AВ и СD и получим ∆AВК и ∆КСD:

На дугу ⋃BD опираются вписанные углы∠А и ∠С, значит, они одинаковы. Также на одну дугу АС опираются ∠D и∠В, поэтому и они одинаково. Равенство двух углов уже означает, что треугольники подобны по первому признаку подобия (дополнительно можно заметить, что ∠АКВ и ∠СКD равны как вертикальные углы).

Из подобия ∆AВК и ∆СКD вытекает пропорция между их сторонами:

Перемножив члены пропорции крест накрест, получим соотношение:

В результате нам удалось доказать следующее утверждение:

Задание. Хорды AВ и CD пересекаются в точке М. Известны, что АМ = 9, МВ = 3, МС = 2. Какова длина отрезка МD?

Хорда AВ разбивается на отрезки АМ и МВ, а хорда CD – на отрезки СМ и МD. Произведения этих отрезков одинаковы:

Подставим в это равенство известные величины

Рассмотрим ещё одну геометрическую конструкцию. Пусть из некоторой точки А к окруж-ти проведена как касательная к окружности АК, так и секущая, пересекающая окруж-ть в точках В и С:

Какие здесь есть взаимосвязи между углами и длинами отрезков? Для начала проведем хорды ВК и СК, а также радиусы ОК и ОВ. Обозначим буквой α угол ∠ВСК. Он вписанный, поэтому дуга, на которую он опирается (это ⋃ВК), вдвое больше и равна 2α. Тогда и центральный угол ∠ВОК также составляет 2α:

Теперь исследуем ∆ВОК. Он равнобедренный (ВО и ОК – одинаковые радиусы), поэтому углы при его основании совпадают:

Итак, углы при основании ∆ОВК, в частности ∠ОКВ, равны 90° – α. Заметим, что ∠ОКА – прямой, так как образован радиусом ОК и касательной АК, при этом он состоит из двух углов, ∠АКВ и ∠ВКО. Это позволяет найти ∠АКВ:

В результате мы получили важный промежуточный результат – угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, вдвое меньше образующейся при этом дуги.

Вернемся к картинке с секущей. Изначально как α мы обозначили ∠ВСК, но в результате получили, что и ∠АКВ = α.

Рассмотрим ∆AВК и ∆САК. У них есть общий∠А, а также одинаковые ∠AКВ и ∠ВСК, которые отмечены буквой α. Значит, ∆AВК и ∆САК подобны, поэтому мы имеем право записать пропорцию между его сторонами:

Здесь отрезок АС можно назвать секущей, а AВ – ее внешней частью. Тогда выведенное отношение можно сформулировать так:

Решение. Сначала находим длину всей секущей, пользуясь доказанной теоремой:

Решение. Проведем из точки А ещё и касательную АК к окруж-ти:

Величину квадрата касательной АК можно найти, используя секущую АС. Сначала вычислим длину АС:

Задачи на квадратной решетке

Рассмотрим несколько несложных задач, часто встречающихся на экзаменах.

Задание. Найдите ∠AВС на рисунке:

Решение. Здесь следует заметить, что расстояние между А и С составляет 8 клеток, при этом в окруж-ть как раз можно вписать квадрат со стороной 8.

Такой квадрат разобьет окруж-ть на 4 дуги, причем так как эти дуги опираются на хорды одинаковой длины, то они и сами равны. Вся окруж-ть составляет 360°, значит, каждая из этих дуг составляет 360°:4 = 90°. ∠AВС – вписанный, то есть он составляет половину дуги, на которую он опирается, а это⋃АС, равная 90°. Тогда

Задание. Найдите ∠AВС, используя рисунок:

Решение. Используя рассуждения из предыдущей задачи, легко определить, что∠А составляет 45°.При этом ∆AВС – равнобедренный, и ВС – его основание. Это следует хотя бы из того факта, что высота АН делит сторону ВН пополам.

Углы∠В и ∠С одинаковы, так как лежат при основании равнобедренного треуг-ка. Найдем их, используя тот факт, что все 3 угла в ∆AВС составляют в сумме 180°:

Задание. Вычислите ∠AВС:

Решение. Снова в окруж-ть можно вписать квадрат со стороной 8 клеток. Из этого следует что ⋃АВС составляет 90° (показана фиолетовым цветом):

Но ∠АВС опирается на синюю дугу. Так как вместе фиолетовая и синяя дуга составляют окружность, равную 360°, то синяя дуга должна быть равна 360° – 90° = 270°. ∠АВС как вписанный будет вдвое меньше, то есть он равен 270°:2 = 135°.

Задание. Чему равен ∠AВС на рисунке?

Если вписать в окруж-ть квадрат то он разобьет окруж-ти на дуги по 90°. В свою очередь точка А является серединой такой дуги, то есть она разбивает ее на две дуги по 45°.

∠AВС как вписанный будет вдвое меньше, то есть он равен 22,5°.

[spoiler title=”источники:”]

http://skysmart.ru/articles/mathematic/centralnye-i-vpisannye-ugly

http://100urokov.ru/predmety/urok-10-ugly-v-okruzhnosti

[/spoiler]

Источник

Видео: 5 класс. Углы

Содержание

Свойства
– Центральный угол
Свойство
– вписанный угол
Свойства
– Внешний угол
Свойство
– Внутренний угол
Свойство
Решенные упражнения
– Упражнение 1
Решение
– Упражнение 2.
Решение
Ссылки

Называется углы окружности к тем, в которых некоторые из его элементов пересекаются или пересекаются по заданной окружности. Среди них следующие:

1.- центральный угол, вершина которого находится в центре окружности, а его стороны секущие к ней, как мы видим на следующем изображении:

2.- вписанный угол, вершина которого находится на окружности, а стороны секущие или касательные к окружности.

3.- Внешний угол, вершина которого находится вне окружности, но его стороны секущие или касательные к окружности.

4.- внутренний угол, с вершиной внутри окружности и секущими к ней сторонами.

Все эти углы имеют определенные отношения друг с другом, и это приводит нас к важным свойствам между углами, принадлежащими данной окружности.

Свойства

– Центральный угол

Центральный угол определяется как угол, вершина которого находится в центре окружности, а его стороны пересекают окружность.

Мера центрального угла в радианах представляет собой частное между исходящей дугой, то есть дугой окружности между сторонами угла, и радиусом окружности.

Если окружность унитарна, то есть с радиусом 1, то мерой центрального угла является длина дуги, которая соответствует количеству радианов.

Если вы хотите измерить центральный угол в градусах, умножьте размер в радианах на коэффициент 180º / π.

В приборах для измерения угла, таких как транспортир и гониометр, всегда используется центральный угол и длина вытянутой дуги.

Они откалиброваны в шестидесятеричных градусах, что означает, что всякий раз, когда с ними измеряется угол, в конечном итоге измеряется длина дуги, образуемой центральным углом.

Свойство

Мера центрального угла в радианах равна длине дуги, которую он пересекает или пересекает, деленной на длину радиуса.

– вписанный угол

Вписанный угол круга – это угол, вершина которого находится на окружности, а его лучи секущие или касательные к нему.

Его свойства:

Свойства

-Вписанный угол выпуклый или плоский.

–Когда вписанный угол пересекает ту же дугу, что и центральный угол, размер первого угла будет вдвое меньше, чем второй.

На рисунке 3 показаны два угла ABC и ∠AOC, которые пересекают одну и ту же дугу окружности A⌒C.

Если мера вписанного угла равна α, то мера β центрального угла в два раза больше меры вписанного угла (β = 2 α), потому что оба они образуют одну и ту же дугу меры d.

– Внешний угол

Это угол, вершина которого находится за пределами окружности, и каждая из его сторон пересекает окружность в одной или нескольких точках.

Свойство

-Его мера равна полуразности (или разности, деленной на 2) центральных углов, которые пересекают те же дуги.

Чтобы гарантировать положительный результат измерения, полуразница всегда должна составлять наибольший центральный угол минус размер наименьшего центрального угла, как показано на следующем рисунке.

– Внутренний угол

Внутренний угол – это угол, вершина которого находится внутри окружности, а его стороны пересекают окружность.

Свойство

Его размер равен полусумме центрального угла, который образует ту же дугу, плюс центральный угол, который образует ту же дугу, что и его угол продолжения (это внутренний угол, образованный лучами, дополнительными к лучам исходного внутреннего угла).

Следующий рисунок иллюстрирует и поясняет свойство внутреннего угла.

Решенные упражнения

– Упражнение 1

Предположим, что вписанный угол, в котором одна из его сторон проходит через центр окружности, как показано на рисунке 6. Радиус окружности OA = 3 см, а длина дуги d равна π / 2 см. Определите величину углов α и β.

Решение

В этом случае образуется равнобедренный треугольник COB, поскольку [OC] = [OB]. В равнобедренном треугольнике углы, прилегающие к основанию, равны, поэтому ∠BCO = ∠ABC = α. С другой стороны ∠COB = 180º – β. Рассматривая сумму внутренних углов треугольника COB, имеем:

α + α + (180º – β) = 180º

Отсюда следует, что 2 α = β, или что эквивалентно α = β / 2, с чем подтверждается свойство (3) предыдущего раздела, что мера вписанного угла равна половине центрального угла, когда оба угла образуют одну и ту же хорду [AC].

Теперь мы переходим к определению числовых значений: угол β является центральным, а его мера в радианах – это отношение дуги d к радиусу r = OA, поэтому его мера равна:

β = d / r = (π / 2 см) / (3 см) = π / 6 рад = 30º.

С другой стороны, уже было сказано, что α = β / 2 = (π / 6 рад) / 2 = π / 12 рад = 15º.

– Упражнение 2.

На рисунке 7 углы α₁ и β₂ у них такая же мера. Кроме того, угол β₁ измеряет 60º. Определите углы β и α.

Решение

В этом случае у нас есть вписанный угол ∠ABC, в котором центр O окружности находится внутри угла.

В силу свойства (3) имеем α₂ = β₂ / 2 и α₁ = β₁ / 2. Как:

α = α₁ + α₂ и β = β₁ + β₂

Отсюда следует, что:

α = α₁ + α₂ = β₁ /2 + β₂ /2 = (β₁ + β₂) / 2 = β / 2.

То есть по свойствам:

α = β / 2

Как нам говорят, β₁ = 60º, тогда:

α₁ = β₁ /2 = 60º / 2 = 30º.

Они также говорят нам, что α₁ = β₂ из этого следует, что:

β₂ = 30º.

Угол β дает:

β₁ + β₂ = 60º + 30º = 90º.

А поскольку α = β / 2, то:

α= 90º / 2 = 45º.

В заключении:

β = 90º и α = 45º.

Ссылки

Балдор А. 1973. Геометрия и тригонометрия. Центральноамериканский культурный издательский дом.
Е. А. 2003. Элементы геометрии: с упражнениями и компасной геометрией. Медельинский университет.
Геометрия 1-й ESO. Углы по окружности. Получено с: edu.xunta.es.
Вся наука. Решены проблемы углов в окружности. Получено с: francesphysics.blogspot.com
Википедия. Вписанный угол. Получено с: es.wikipedia.com

Источник

132. Мы уже знакомы с центральными углами. Построим теперь угол, вершина которого лежит на окружности и сторонами служат хорды. Такой угол называется вписанным в круг. Пусть построен ∠ABC (чер. 135, I или II), вписанный в круг O. Он опирается на дугу AC. Построим еще центральный ∠AOC, опирающийся на ту же дугу. Тогда между ∠ABC и ∠AOC существует простая зависимость. Для ее выяснения построим диаметр DB — мы будем сначала рассматривать случай, когда этот диаметр идет внутри ∠ABC, – получим два равнобедренных треугольника — ∆AOB и ∆BOC, у которых углы при основании равны: на чертеже равные углы обозначены одним и тем же нумером, – ∠A = ∠ABO = ∠1 и ∠C = ∠CBO = ∠2.

Тогда ∠AOD является внешним для ∆AOB, и он равен сумме внутренних с ним несмежных, т. е.

∠AOD = ∠1 + ∠1 = 2∠1.

Также ∠DOC есть внешний для ∆BOC и, следовательно,

∠DOC = ∠2 + ∠2 = 2∠2.

Отсюда сложением находим:

∠AOC = ∠AOD + ∠DOC = 2∠1 + 2∠2 = 2(∠1 + ∠2) = 2∠B, где под обозначением ∠B понимаем ∠ABC.

Итак,

∠AOC = 2∠ABC
или ∠ABC = ½ ∠AOC = ∠AOC / 2.

Если одна из сторон вписанного угла проходила бы чрез центр, то дело упрощалось бы и еще скорее получилась бы та же зависимость. Например, для вписанного угла ABD:

∠AOD = 2∠1 = 2∠ABD или ∠ABD = ½ ∠AOD = ∠AOD / 2.

Рассмотрим теперь случай, когда диаметр BD проходит вне угла ABC (чер. 136). Тогда, согласно предыдущему, имеем:

∠ABD = ½ ∠AOD,
∠CBD = ½ ∠COD,

так как одна сторона углов ABD и CBD служит диаметром.

Вычитанием находим:

∠ABC = ∠ABD – ∠CBD = ½ ∠AOD – ½ ∠COD =
= ½ (∠AOD – ∠COD) = (∠AOD – ∠COD) / 2.

Но разность ∠AOD – ∠COD равна ∠AOC, следовательно, ∠ABC = ∠AOC / 2.

Итак, найденная зависимость справедлива для всех возможных случаев. Поэтому имеем:

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

133. Если хорду AB (чер. 136) вращать по направлению от BC вокруг точки B, то вписанный угол ABC станет увеличиваться, но все время будет сохраняться найденная выше зависимость между вписанным и центральным углом. Наконец, прямая AB может сделаться касательною к кругу (чер. 137) и тогда получим ∠ABC, составленный хордою и касательною; если касательную продолжить, то получим другой такой же ∠DBC. Уже из того процесса вращения, которым мы перешли от вписанного угла к этому новому углу, видно, что угол, составленных хордою и касательною, являясь предельным случаем вписанного угла, должен подчиниться той же зависимости, которая была найдена в предыдущем п. для вписанного угла. Но возможно то же самое увидать иначе. Рассмотрим, например, ∠CBD (чер. 137). Построим диаметр MN ⊥ BC и соединим точку касания B с O; тогда BO ⊥ AD. Так как ∆KBO прямоугольный, то ∠KBO + ∠KOB = d, но ∠ABO = d или ∠ABK + ∠KBO = d. Отсюда заключаем, что ∠KOB = ∠ABK, так как каждый из этих углов дополняет один и тот же ∠KBO до прямого.

Но ∠CBD = выпрямленному углу – ∠ABK и ∠BON = выпрямленному углу – ∠KOB. Следовательно, ∠CBD = ∠BON = ∠COB / 2, где под именем ∠COB надо понимать угол, больший выпрямленного и который опирается на дугу CNB, то и ∠CMB равен половине того же центрального угла COB. Отсюда заключаем, что ∠CBD = ∠CMB. Также (еще проще) можно получить, что ∠ABC = ∠CNB (углы CMB и CNB на чертеже не даны). Этот результат можно выразить в следующей форме:

Угол, составленный хордой и касательной, равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, заключенную внутри первого угла.

134. Построим в круге O (чер. 138) диаметр AC и какой-либо вписанный ∠ABC, опирающийся на полуокружность ADC или, как часто говорят, опирающийся на диаметр AC.

Тогда ∠ABC = ½ ∠AOC, но ∠AOC выпрямленный; следовательно, ∠ABC = d, т. е.:

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, – прямой.

135. Построим в круге какую-либо хорду AB (чер. 139) и ряд вписанных углов, опирающихся на ◡AB: ∠C, ∠C1 и т. д.

Тогда каждый из этих углов равен половине центрального угла, опирающегося на дугу AB, и следовательно ∠C = ∠C1 = …

Этот результат можно истолковать в следующей форме. Пусть в точке C помещен наш глаз, тогда лучи зрения, идущие из глаза к концам отрезка AB, составляют ∠ACB, – говорят, что из точки C отрезок AB виден под углом ACB. Переместим наш глаз в точку C1; тогда отрезок AB будет виден под углом AC1B, который равен прежнему. Вообще, в какую бы точку дуги ACDB мы ни поместили наш глаз, отрезок AB будет виден все под таким же углом.

Поместим теперь наш глаз в какую-либо точку M, находящуюся внутри круга; тогда из этой точки отрезок AB будет виден под углом AMB, который уже неравен прежнему; продолжив AM до пересечения с окружностью в точке D и соединив D с B, получим ∆MBD, для которого ∠AMB есть внешний, и, следовательно, ∠AMB > ∠ADB или ∠AMB > ∠C (ибо ∠ADB = ∠C).

Поместим теперь наш глаз в какую-либо точку N вне круга. Чтобы упростить чертеж, возьмем точку N на продолжении прямой AD; тогда из точки N отрезок AB виден под углом ANB. Рассматривая ∆BDN, найдем ∠ADB > ∠N (ибо ∠ADB внешний для ∆BDN) или ∠N < ∠ADB или ∠N < ∠C, т. е. из внешней точки отрезок AB виден под меньшим углом, чем из точек дуги ACDB.

Заметим, что мы здесь должны брать точки C, M и N только по одну сторону от прямой AB.

Общим результатом предыдущих изысканий является заключение:

Геометрическим местом точек, из которых какой-либо отрезок виден под одним и тем же углом, есть дуга круга, проходящего чрез концы этого отрезка.

Если бы мы захотели рассмотреть точки и по другую сторону прямой AB, то нашли бы и с другой ее стороны такую же дугу, так что полное геометрическое место указанных точек состоит из двух дуг (см. чер. 140).

136. Построить геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом.

Пусть дан отрезок AB и угол m (чер. 141). Построим геометрическое место точек, из которых AB виден под углом m. Постараемся сначала найти одну точку этого места. Чрез точку A построим произвольный луч AN и на нем выберем произвольную точку M, при которой построим ∠AMC = ∠m. Тогда замечаем, что из нашей точки M виден под углом m не весь отрезок AB, а лишь его часть AC. Но теперь не трудно на луче AM найти такую точку, из которой весь отрезок AB виден под углом m, для чего следует построить чрез точку B прямую BN || CM, – точка N пересечения луча AN и BN и явится искомою точкою. Чтобы получить искомое геометрическое место, остается построить круг чрез точки A, N и B, что мы умеем делать (п. 113).

Вот другой способ построения того же геометрического места. При точке A (чер. 142) отрезка AB построим ∠BAD = m, затем построим чрез середину отрезка AB перпендикуляр CO к этому отрезку AO ⊥ AD; точка пересечения O этих двух перпендикуляров служит центром искомого круга; так как O лежит на CO, то круг, описанный радиусом OA, принимая O за центр, пройдет и чрез точку B; ∠AOC = ∠BAD = ∠m, ибо ∠AOC И ∠BAD каждый в отдельности дополняет ∠OAB до прямого, но ∠AOC есть половина центрального угла AOB; поэтому всякий вписанный ∠AMB должен равняться ∠AOC и, следовательно, = ∠m.

137. Упражнения. 1. Найти точки, из которых два данных отрезка видны под прямыми углами.
2. Найти точки, из которых два данных отрезка видны каждый под данным углом.
3. Построить треугольник по основанию, противолежащему углу и по высоте.
Треугольников, имеющих данное основание и данный противолежащий угол, можно построить бесчисленное множество: их вершины расположены на том же геометрическом месте точек, из которых данное основание видно под данным углом. Остается среди этих вершин выбрать те, которые удалены от основания на расстояние, равное данной высоте, для чего строим прямую, параллельную основанию и отстоящую от него на расстояние, равное данной высоте.
4. Построить треугольник по основанию, медиане и углу при вершине.

138. В круг O (чер. 143) впишем какой-либо четырехугольник (выпуклый), для чего возьмем 4 точки A, B, C и D круга и соединим их по порядку прямыми. Рассмотрим полученные вписанные углы. Построив радиусы OA и OC и называя 2 полученных центральных угла m и n, а именно ∠AOC, опирающийся на дугу ABC, обозначим m (он меньше выпрямленного) и ∠AOC, опирающийся на дугу ADC, обозначим n (он больше выпрямленного), найдем:

∠D = m/2 и ∠B = n/2.

Сложением отсюда получим:

∠D + ∠B = (m + n) / 2,

но углы m и n в сумме составляют два выпрямленных угла (что легко увидеть, продолжив, напр. сторону OC) или 4 прямых угла; поэтому (m + n) / 2 = выпрямленному углу = 2d и, следовательно, ∠D + ∠B = 2d.

То же можно получить и для суммы углов A и C. Поэтому имеем:

Во всяком вписанном в круг выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 2d.

Найденное свойство является необходимым признаком вписанного в круг четырехугольника, т. е., если 4-угольник вписан в круг, то необходимо, чтобы сумма двух противоположных углов = 2d. Посмотрим, достаточен ли этот признак для того, чтобы четырехугольник мог быть вписанным, или, другими словами, чтобы около него можно было бы описать круг (ведь, вообще говоря, через 4 произвольно взятых точки нельзя построить окружность, так как она определяется вполне тремя точками и может, следовательно, не пройти чрез четвертую точку).

Пусть имеем 4-угольник ABCD такой, что ∠B + ∠D = 2d (чер. 144). Прежде всего заметим, что тогда непременно сумма двух других углов, т. е. ∠A + ∠C, тоже равна 2d: в самом деле, мы имели (п. 81), что сумма всех четырех углов четырехугольника = 4d; так как ∠B + ∠D = 2d, то, следовательно, ∠A + ∠C = 2d.

Построим чрез три точки A, B и C круг, что делать умеем; возникает вопрос: пройдет ли он чрез точку D или нет? Допустим сначала, что точка D окажется вне круга и последний пересечет сторону AD в точке E. Соединив C и E, получим 4-угольник ABCE, вписанный в этот круг, и тогда имеем:

∠B +∠E = 2d.

Сравнивая это равенство с данным, что ∠B + ∠D = 2d, придем к заключению, что ∠E = ∠D (суммы равны и одно слагаемое одинаковое, следовательно, и другие слагаемые равны), но этого быть не может, так как ∠E (точнее ∠AEC) есть внешний для ∆ECD, а ∠D внутренний.

Допустим, что точка D окажется внутри круга и последний пересечет продолжение стороны AD в точке F. Тогда ∠B + ∠F = 2d, так как 4-угольник ABCF вписанный. Сравнивая с данным равенством ∠B + ∠D = 2d, получим, что ∠D = ∠F, чего быть не может, так как ∠D есть внешний, а ∠F внутренний угол для ∆DCF.

Остается, следовательно, принять, что круг пройдет чрез точку D и что, следовательно, около данного четырехугольника можно описать круг. Итак:

Если в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 2d, то около него можно описать круг.

Четырехугольник, около которого можно описать круг, называют часто вписываемым.

Прямое и обратное заключение этого п. можно выразить в иной форме:

Для того, чтобы выпуклый четырехугольник был вписываемым, необходимо и достаточно, чтобы сумма его двух противоположных углов равнялась 2d.

Упражнения. 1. В каком случае около параллелограмма можно описать круг?
2. В каком случае можно описать круг около трапеции?

139. Задача. Построить касательную к данному кругу чрез точку, данную вне круга.
Пусть дан круг O и точка A вне его (чер. 145). Требуется чрез A построить касательную к кругу.

Соединив центр круга O с данною точкою A, примем отрезок OA за диаметр нового круга. Построив этот второй круг (его центр есть середина отрезка OA), найдем его точки пересечения B и C с первым. Тогда прямые AB и AC служат касательными из точки A к кругу O.

В самом деле, соединив B с O, получим ∠OBA, вписанный во второй круг и опирающийся на его диаметр OA; такой угол прямой (п. 134), следовательно, AB ⊥ OB, а этого достаточно для того, чтобы прямая AB была касательной к кругу (п. 118). Также выясним, что AC есть касательная к кругу O.

OA есть линия центров наших кругов, поэтому она является осью симметрии всей фигуры: перегибая фигуру по оси OA, найдем, что B совместится с C и AB с AC, т. е. AB = AC. Итак, имеем:

Чрез точку, взятую вне круга, можно построить две касательных к этому кругу, и отрезки их от данной точки до точек касания равны между собою.

140. Построим треугольник, описанный около круга; для этого возьмем 4 точки A, B, C и D данного круга (чер. 146) и построим чрез эти точки касательные к кругу, точки пересечения M, N, P и Q последовательных касательных служат вершинами этого четырехугольника.

Выбор 4 точек A, B, C и D несколько ограничен: две соседних точки не должны лежать на одном диаметре круга; напр., если бы точки B и C были концами одного диаметра, то касательные в них были бы параллельны и вершины N нельзя было бы найти.

Применяя к полученному описанному 4-угольнику MNPQ свойство касательных предыдущего п., найдем:

MA = MB = a; NB = NC = b; PC = PD = C; QD = QA = d,

где мы ввели обозначения a, b, c и d для четырех пар отрезков, равных между собой.

Мы можем скомбинировать 8 полученных отрезков в две группы, по 4 в каждой, равных попарно отрезков. Такая комбинация напрашивается сама собою. Возьмем сумму двух противоположных сторон четырехугольника:

MN + PQ = MB + BN + PD + DQ = a + b + c + d.

Также для двух других сторон найдем:

QM + PN = QA + AM + NC + CP = d + a + b + c.

Отсюда заключаем:

MN + PQ = QM + PN

т. е. сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна сумме двух других сторон.

Найденное свойство является необходимым признаком описанного 4-угольника, т. е., если 4-угольник описан около круга, то необходимо должно иметь место найденное свойство.

Посмотрим, является ли это свойство достаточным признаком для того, чтобы при его наличности этот четырехугольник мог бы быть рассматриваем, как описанный около круга, т. е. достаточно ли этого свойства для того, чтобы в четырехугольник можно было вписать круг (вписать круг в 4-угольник значит построить такой круг, который касался бы всех четырех его сторон).

Пусть имеем 4-угольник MNPQ (чер. 147), у которого

MN + QP = MQ + NP.

Построим круг, касающийся прямых MQ, MN и NP, чтобы его центр лежал внутри полосы QMNP (п. 125 задача 4). Возникает вопрос, коснется ли этот круг стороны QP?

Допустим, что круг не коснется стороны QP и расположится внутри 4-угольника QMNP. Тогда, построив чрез Q вторую касательную QR к кругу, которая пересечет сторону NP в точке R, получим описанный 4-угольник QMNR, для которого имеем:

MN + QR = MQ + NR.

Вычитая это равенство по частям из данного, найдем:

QP – QR = NP – NR или QP – QR = RP.

Но это равенство противоречит свойству треугольника RPQ (п. 91), согласно которому должны иметь

RP > QP – QR.

Допустим затем, что круг пересекает сторону QP. Тогда касательная к этому кругу чрез точку Q займет положение QS и пересечет сторону NP в точке S. Из описанного 4-угольника QMNS имеем:

MN + QS = MQ + NS.

Вычитая отсюда данное равенство MN + QP = MQ + NP по частям, получим:

QS – QP = NS – NP или QS – QP = PS,

что опять-таки невозможно, так как из треугольника SQP имеем:

PS > QS – QP.

Поэтому остается принять, что построенный нами круг касается и стороны QP, т. е. в наш 4-угольник удалось вписать круг. Итак:
Если сумма двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна сумме двух других его противоположных сторон, то в такой четырехугольник можно вписать круг.

Четырехугольник, в который можно вписать круг, называют описываемым. Прямое и обратное заключение этого пункта можно выразить в такой форме:

Для того, чтобы четырехугольник был описываемым, необходимо и достаточно, чтобы сумма одной пары его противоположных сторон равнялась сумме другой пары.

Упражнения. 1. Найти необходимый и достаточный признак того, чтобы параллелограмм был описываемым.

2. Пусть около данной трапеции можно описать круг и в нее можно вписать круг. Показать, что каждая из непараллельных сторон этой трапеции равна ее средней линии.

141. Упражнения на всю главу.

Свойство углов вписанного в круг 4-угольника, найденное в п. 138, можно выяснить иным способом. Построим диагональ BD (чер. 143) четырехугольника и касательную MN к кругу в точке B. Тогда ∠ADC = ∠MBA + ∠NBC (на осн. п. 133). Отсюда можно увидать, что ∠B + ∠D = выпрямленному углу (на чер. 143 BD и MN не даны).
Геометрическим местом середин хорд, проходящих чрез данную точку внутри данного круга, служит другой круг, диаметр которого есть прямолинейный отрезок между центром данного круга и данною точкою.
Отрезки прямых, проходящих чрез точку пересечения двух кругов, ограниченные двумя другими точками пересечения с этими кругами, видны из другой точки пересечения кругов под одним и тем же углом.
Следует построить 2 таких отрезка и углы, под которыми они видны из другой точки; тогда можно заметить, что каждый из углов слагается из двух других углов: одно слагаемое общее и другие слагаемые равны между собою.
Найти точку, из которой стороны треугольника видны под равными углами.
(Надо суметь построить угол = 1(1/3)d.)
Около треугольника описан круг; из какой-либо точки этого круга опущены перпендикуляры на его стороны. Основания всех трех перпендикуляров расположены на одной прямой (прямая Симсона).
Надо найти четырехугольник, около которых можно описать круги, и рассмотреть полученные вписанные углы.
Биссекторы внутренних углов какого-либо четырехугольника образуют, пересекаясь, вписываемый 4-угольник.

Источник

План урока:

Центральный угол и градусная мера дуги

Вписанный угол

Углы между хордами и секущими

Теорема о произведении отрезков хорд

Задачи на квадратной решетке

Центральный угол и градусная мера дуги

Поэтому условно считают, градусная мера той из двух дуг, которая меньше, как раз и равна центральному углу:

Как найти ⋃АС? Ей соответствует центральный угол ∠АОС, который в свою очередь равен сумме ∠АОВ и ∠ВОС:

Задание. Найдите величину ∠АОС на рисунке, если известны ⋃AВ и ⋃ВС:

Решение. Сначала найдем ⋃АС, учтя, что все три дуги, показанные на рисунке, в сумме составляют 360°:

Для доказательства построим две одинаковые хорды AВ и СD в окруж-ти и соединим их концы с центром:

В результате получились ∆АОВ и ∆ОСD. У них равны все три стороны, значит, сами эти треугольники равны. Тогда

∠COD = ∠AOB

Решение.

⋃AВ = ⋃BC = ⋃AC = 360°:3 = 120°

∠АОВ – центральный для ⋃AВ, значит, он равен ее градусной мере, то есть он составляет 120°.

Ответ: 120°.

Вписанный угол

∠OCA = ∠OAC = α

∠СОВ = ∠OCA = ∠OAC = α + α = 2α

Но этот же угол – центральный, и его величина равна ⋃ВС:

⋃BC = 2α

Получается, что дуга вдвое больше вписанного угла.

Далее рассмотрим случай, когда диаметр, проведенный из вершины вписанного угла, делит его на две части:

Если здесь обозначить ∠САD как α, а ∠ВАD как β, то интересующий нас ∠СAВ можно представить как их разность:

Итак, во всех трех возможных случаях вписанный угол оказывается вдвое меньше дуги, на которую он опирается.

Задание. Найдите ∠ВАС на рисунке:

Задание. Найдите вписанный ∠AВС, сели прилегающие к нему дуги ⋃AВ и ⋃ВС равны 100° и 128°.

Решение. В сумме дуги ⋃АС, ⋃ВС и ⋃AВ образуют окруж-ть, поэтому их сумма составляет 360°. Тогда можно найти ⋃АС:

Задание. Найдите дугу ⋃SM на рисунке:

Решение. Сначала найдем дугу ⋃MN, она вдвое больше соответствующего ей вписанного угла:

⋃NM = 2*∠NSM = 2*35° = 70°

⋃MS = ⋃SN – ⋃MN = 180° – 70° = 110°

Ответ: 110°.

Задание. Найдите ∠АСD на рисунке:

Решение. Так как ∠ACD и ∠ABD опираются на одну дугу ⋃AD, то они должны быть одинаковыми:

∠ACD = ∠ABD = 63°

Ответ: 63°.

Задание. Докажите, что две дуги, находящиеся между двумя параллельными секущими окруж-ти, равны друг другу.

Решение.

Нам надо доказать, что ⋃AВ и ⋃CD равны, если АС||BD. Проведем секущую ВС:

Задание. Диаметр окруж-ти AВ равен 17. Хорда ВС имеет длину 8. Какова длина хорды АС?

Решение.

Задание. Окруж-ть разбита на две дуги, ⋃AВС и ⋃СDA. Известно, что ∠AВС = 72°. Найдите ∠ADC.

Решение.

Зная ∠AВС, мы легко найдем дугу ⋃ADC, она вдвое больше опирающегося на нее вписанного угла:

Углы между хордами и секущими

Величину α/2 + β/2 можно записать и иначе, вынеся множитель 1/2 за скобки:

α/2 + β/2 = (α + β)/2

Эту величину можно назвать полусуммой дуг, на которые опирается интересующий нас угол.

Задание. Найдите ∠МКВ на рисунке:

Решение. Интересующий нас угол опирается на хорды величиной 38° и 42°. Значит, он равен половине от их суммы:

∠MKB = (42° + 38°)/2 = 80°/2 = 40°

Ответ: 40°.

Теперь уже ∠САD оказывается внешним для ∆ADK, а потому он является суммой двух других углов:

Задание. Найдите на рисунке величину∠К, если ⋃AВ и ⋃СD соответственно равны 42° и 130°:

∠K = (130° – 42°):2 = 88°/2 = 44°

Ответ: 44°.

Теорема о произведении отрезков хорд

Из подобия ∆AВК и ∆СКD вытекает пропорция между их сторонами:

Перемножив члены пропорции крест накрест, получим соотношение:

AK*KD = CK*BK

В результате нам удалось доказать следующее утверждение:

Задание. Хорды AВ и CD пересекаются в точке М. Известны, что АМ = 9, МВ = 3, МС = 2. Какова длина отрезка МD?

Решение.

Хорда AВ разбивается на отрезки АМ и МВ, а хорда CD – на отрезки СМ и МD. Произведения этих отрезков одинаковы:

AM*MB = CM*MD

Подставим в это равенство известные величины

Вернемся к картинке с секущей. Изначально как α мы обозначили ∠ВСК, но в результате получили, что и ∠АКВ = α.

Решение. Сначала находим длину всей секущей, пользуясь доказанной теоремой:

Решение. Проведем из точки А ещё и касательную АК к окруж-ти:

Величину квадрата касательной АК можно найти, используя секущую АС. Сначала вычислим длину АС:

Ответ: 3,8.

Задачи на квадратной решетке

Рассмотрим несколько несложных задач, часто встречающихся на экзаменах.

Задание. Найдите ∠AВС на рисунке:

∠ABC = 90°:2 = 45°

Ответ: 45°.

Задание. Найдите ∠AВС, используя рисунок:

Задание. Вычислите ∠AВС:

Ответ: 135°.

Задание. Чему равен ∠AВС на рисунке?

Решение.

∠AВС как вписанный будет вдвое меньше, то есть он равен 22,5°.

Источник

Решаем задачи по геометрии: углы в окружностях

Основные теоремы

Определение 1. Угловой величиной дуги называется отношение длины этой дуги к длине окружности, умноженное на 2π.

Теорема 1. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается.

Теорема 2. Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается.
Следствие. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу или на равные дуги одной окружности, равны.

Теорема 3. Угол между касательной и хордой, выходящими из одной точки окружности, измеряется половиной угловой величины дуги, заключенной внутри этого угла (рис. 1).

Теорема 4. Угол, вершина которого расположена вне круга, измеряется полуразностью угловых величин дуг окружности этого круга, заключенных внутри угла (рис. 2).

Теорема 5. Угол, вершина которого расположена внутри круга, измеряется полусуммой угловых величин дуг, которые высекают из окружности круга стороны угла и их продолжения (рис. 3).

Теорема 6. Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна π, и наоборот, если сумма противоположных углов выпуклого четырехугольника равна π, то вокруг этого четырехугольника можно описать окружность.

Теорема 7. Произведения длин отрезков двух пересекающихся хорд равны (см. рис. 3).

Теорема 8. Произведение длины отрезка секущей на длину ее внешней части есть величина постоянная, и она равна квадрату длины касательной, проведенной к окружности из той же точки (рис. 4).

Доказательства некоторых теорем

Доказательство теоремы 4. Рассмотрим сначала случай, когда лучи, образующие данный угол, пересекают окружность каждый в двух различных точках (рис. 5).

Обозначим через O вершину угла, а точки пересечения лучей и окружности через A, B, C и D (A между O и B, C между O и D). Тогда

Первое равенство верно, так как в треугольнике OBC внешний угол BCD равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных.
Пусть теперь один из лучей (например, OA) касается окружности в точке A, а другой пересекает ее в точках B и C; B между O и C (рис. 6).

Тогда

И наконец, пусть оба луча OA и OB касаются окружности в точках A и B (рис. 7).

Тогда треугольник OAB является равнобедренным, и

где дуга ACB — большая из дуг окружности, заключенных между точками A и B.

Доказательство теоремы 5. Пусть хорды AB и CD окружности пересекаются в точке O (рис. 8). Так как в треугольнике OBD внешний угол AOD равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных, то

Доказательство теоремы 8. Докажем сначала первую часть теоремы. Пусть OB и OD — две секущие к окружности, а OA и OC — соответственно их внешние части. Так как углы ABC и ADC равны (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу), то треугольники AOD и BOC подобны (по двум углам). Следовательно,

Пусть теперь OK — касательная к окружности, а OB — секущая (OA ее внешняя часть) (рис. 9).

Так как угол OKA равен половине угловой величины дуги KA (как угол между касательной и хордой), а угол KBA равен половине угловой величины дуги KA (как вписанный, опирающийся на эту дугу), то ∠OKA = ∠KBA, и треугольник OKA подобен треугольнику KOB (по двум углам). Имеем:

Решения задач

Задача 1. Правильный треугольник ABC со стороной, равной 3, вписан в окружность. Точка D лежит на окружности, причем длина хорды AD равна (рис. 10). Найти длины хорд BD и CD.

Решение.

Легко видеть, что радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной a, равен
начит, радиус данной окружности равен . Пусть O — центр данной окружности. В треугольнике AOD все стороны равны. Поэтому ∠DAO = 60°. Кроме того, так как треугольник ABC — правильный, то ∠OAC = 30°.
Значит, ∠DAC = 90°, и треугольник DAC — прямоугольный. Следовательно, CD — диаметр окружности, и Значит, и треугольник BCD прямоугольный, откуда по теореме Пифагора находим, что Ясно, что при переобозначении точек B и C получим, что

Ответ: и

Задача 2. Окружность радиуса R проходит через вершины A и B треугольника ABC и касается прямой AC в точке A (рис. 11). Найти площадь треугольника ABC, зная, что ∠ABC = β, ∠CAB = α.

Решение. Угол α между касательной AC и хордой AB, выходящими из точки A окружности, равен половине угловой величины дуги AB и, значит, равен любому вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу. Поэтому мы можем применить теорему синусов: AB = 2Rsin α.
Рассмотрим треугольник ABC, к которому также применим теорему синусов:

Следовательно,

Ответ:

Задача 3. Вокруг треугольника ABC описана окружность. Медиана AD продолжена до пересечения с этой окружностью в точке E (рис. 12). Известно, что AB + AD = DE, угол BAD равен 60° и AE = 6. Найти площадь треугольника ABC.

Решение. Пусть AB = x, AD = y, тогда, согласно условию задачи, DE = x + y. Так как в окружности произведения отрезков двух пересекающихся хорд равны, имеем:
AD∙DE = BD∙DC ⇔
Применим к треугольнику ABD теорему косинусов:
BD2 = AB2 + AD2 – 2AB∙AD∙cos ∠BAD ⇔
⇔ ⇔ x2 = 2xy ⇔ x = 2y.
Условие AE = 6 дает равенство x + 2y = 6. Подставляя в него x = 2y, находим: x = 3. Искомая площадь равна

Ответ:

Задача 4. На стороне AC остроугольного треугольника ABC взята точка D так, что AD = 1,
DC = 2 и BD является высотой треугольника ABC. Окружность радиуса 2, проходящая через точки A и D, касается в точке D окружности, описанной около треугольника BDC (рис. 13). Найти площадь треугольника ABC.

Решение. Треугольник BCD — прямоугольный, поэтому центр описанной около него окружности есть середина M стороны BC. Пусть O — центр окружности радиуса 2, проходящей через A и D. Так как данные окружности касаются, то точки O, D, M лежат на одной прямой. А из равенства углов ADO и CDM, в силу равнобедренности треугольников ADO и CDM, следует подобие этих треугольников. Значит, DM = 4 и BC = 2 DM = 8.Применив теорему Пифагора к треугольнику BCD, получим, что Следовательно,

Ответ:

Задача 5. Дан треугольник ABC, в котором
BC = 5. Окружность проходит через вершины B и C и пересекает сторону AC в точке K так, что
CK = 3, KA = 1. Известно, что косинус угла ACB равен (рис. 14). Найти отношение радиуса данной окружности к радиусу окружности, вписанной в треугольник ABK.

Решение. Применим к треугольнику ABC теорему косинусов:
AB2 = BC2 + AC2 – 2BC∙AC∙cos ∠ACB = 9 ⇒
⇒ AB = 3.
Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный (так как его стороны равны 3, 4, 5). Треугольник ABK также прямоугольный, применив к нему теорему Пифагора, получим, что Значит, радиус вписанной в треугольник ABK окружности равен

Статья опубликована при
поддержке учебного центра “НП МАЭБ” в Санкт-Петербурге. Организация работы службы охраны труда и производственной безопасности, обучение профессионалов в этой области. Программы пожарно-технического минимума для руководителей и специалистов, стропальщики, лифтеры, машинисты подъемника, рабочие по работе с баллонами со сжиженными углеводородными газами и др. Узнать подробнее о центре, цены, контакты и оставить заявку Вы сможете на сайте, который располагается по адресу: http://www.maeb.ru/.

Окружность, данная в условии задачи, описана около треугольника BCK. По теореме синусов ее радиус равен

Тогда искомое отношение равно

Ответ:

Задача 6. В треугольнике ABC известны стороны AB = 6, BC = 4, AC = 8. Биссектриса угла C
пересекает сторону AB в точке D. Через точки A, D, C проведена окружность, пересекающая сторону BC в точке E (рис. 15). Найти площадь треугольника ADE.

Решение. Биссектриса CD угла ACB делит сторону AB на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, поэтому AD = 4 и BD = 2. Далее, углы DAE и DCE равны, как опирающиеся на одну и ту же дугу, и аналогично равны углы AED и ACD. Но ∠ACD = ∠DCE, поэтому все четыре названных угла равны. Следовательно, треугольник ADE — равнобедренный и DE = 4.
Найдем синус угла ADE. Так как четырехугольник ADEC вписан в окружность, то
∠ADE + ∠ACE = 180°, sin ∠ADE = sin ∠ACE.
Применим к треугольнику ABC теорему косинусов:

Значит,

Ответ:

Задача 7. Вокруг треугольника ABC со сторонами AC = 20 и углом B, равным 45°, описана окружность. Через точку C проведена касательная к окружности, пересекающая продолжение стороны AB за точку A в точке D (рис. 16). Найти площадь треугольника BCD.

Решение. Угол ABC равен половине угловой величины дуги AC, как вписанный угол, опирающийся на эту дугу. Угол ACD также равен половине угловой величины дуги AC, как угол между касательной и хордой. Следовательно, эти углы равны, и треугольники DBC и DCA подобны по двум углам. Площади этих треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. Найдем этот коэффициент, он равен BC : AC. Пусть BC = 10x, тогда, применив к треугольнику ABC теорему косинусов, получим:

Значит,

Поэтому

С другой стороны, легко вычислить

Значит,

Ответ:

Задача 8. В окружность радиуса 17 вписан четырехугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны и находятся на расстоянии 8 и 9 от центра окружности (рис. 17). Найти длины сторон четырехугольника.

Решение. Обозначим исходный четырехугольник через ABCD таким образом, чтобы точка B лежала на меньшей дуге AC, а точка A лежала на меньшей дуге BD. Пусть O — центр окружности, OQ и OP — перпендикуляры, опущенные из центра окружности на хорды AC и BD соответственно, M — точка пересечения
AC и BD. Тогда AQ = QC, BP = PD, OQMP — прямоугольник со сторонами OQ = PM = 8 и
OP = QM = 9. Применим к треугольнику COQ теорему Пифагора:

Аналогично из треугольника ODP получим, что

Значит,

Находим стороны четырехугольника ABCD, пользуясь теоремой Пифагора:

Ответ:

Задача 9. Пятиугольник ABCDE вписан в окружность единичного радиуса (рис. 18).
Известно, что и BC = CD. Чему равна площадь пятиугольника?

Решение. Пусть O — центр данной окружности. Так как стороны треугольника AOB равны 1, 1 и то этот треугольник прямоугольный, и угол AOB равен . Поскольку угол ABE равен , то угол AOE также равен , и BE — диаметр окружности. Угол EBD равен следовательно, угол EOD равен а так как BC = CD, то
Итак, пятиугольник ABCDE состоит из двух прямоугольных и трех равносторонних треугольников. Его площадь равна

Ответ:

Задача 10. Выпуклый четырехугольник ABCD вписан в окружность. Диагональ AC является биссектрисой угла BAD и пересекается с диагональю BD в точке K (рис. 19). Найти длину отрезка KC, если BC = 4, а AK = 6.

Решение. Так как AC — биссектриса угла BAD, то угол BAC равен углу CAD. С другой стороны, углы CAD и CBD равны (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу). Значит, угол BAC равен углу CBK. Следовательно, треугольник ABC подобен треугольнику BCK (по двум углам). Имеем:

Ответ: 2.

Задачи для самостоятельного решения

С-1. В треугольнике ABC имеем: AB = 20,
AC = 24. Известно, что вершина C, центр вписанного в треугольник ABC круга и точка пересечения биссектрисы угла A со стороной BC лежат на окружности, центр которой находится на стороне AC. Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности.
С-2. Дан прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине C. Угол CAB равен α.
Биссектриса угла ABC пересекает катет AC в точке K. На стороне BC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу AB в точке M. Найдите угол AMK.
С-3. На плоскости даны две пересекающиеся окружности. Первая имеет центр в точке O1 и радиус, равный 4, вторая — центр в точке O2 и радиус, равный Отрезок O1O2 пересекает обе окружности, а угол KO1O2 равен 30° (где K — одна из точек пересечения окружностей). Вершина A равностороннего треугольника ABC является точкой пересечения второй окружности и отрезка O1O2, а сторона BC — хордой первой окружности, перпендикулярной к прямой O1O2. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что AB < 4.
С-4. В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к AB, пересекает сторону CD в точке M. Докажите, что EM — медиана треугольника CED, и найдите ее длину, если AD = 8, AB = 4 и ∠CDB = α.
С-5. Трапеция ABCD вписана в окружность (BC C AD). На дуге CD взята точка E и соединена со всеми вершинами трапеции. Кроме того, известно, что ∠CED = 120° и ∠ABE – ∠BAE = α. Для треугольника ABE найдите отношение периметра к радиусу вписанной окружности.
С-6. В треугольнике ABC известно, что BC = 4. Кроме того центр окружности, проведенной через середины сторон треугольника, лежит на биссектрисе угла C. Найдите AC.
С-7. В треугольнике ABC на сторонах AB и AC выбраны соответственно точки B1 и C1 таким образом, что AB1 : AB = 1 : 3 и AC1 : AC = 1 : 2. Через точки A, B1 и C1 проведена окружность. Через точку B1 проведена прямая, пересекающая отрезок AC1 в точке D, а окружность — в точке E.
Найдите площадь треугольника B1C1E, если
AC1 = 4, AD = 1, DE = 2, а площадь треугольника ABC равна 12.
С-8. Диагонали четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке E. На прямой AC взята точка M, причем ∠DME = 80°, ∠ABD = 60°, ∠CBD = 70°. Где находится точка M: на диагонали или на ее продолжении? Ответ обоснуйте.
С-9. Через центр окружности, описанной около треугольника ABC, проведены прямые, перпендикулярные сторонам AC и BC. Эти прямые пересекают высоту CH треугольника или ее продолжение в точках P и Q. Известно, что CP = p, CQ = q. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
С-10. На стороне AB треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны AC и BC в точках D и E соответственно. Прямая DE делит площадь треугольника ABC пополам и образует с прямой AB угол 15°. Найдите углы треугольника ABC.
С-11. Окружность касается сторон угла с вершиной O в точках A и B. На этой окружности внутри треугольника AOB взята точка C. Расстояния от точки C до прямых OA и OB равны соответственно a и b. Найдите расстояние от точки C до хорды AB.
С-12. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали AC и BD пересекаются в точке E. Вокруг треугольника ECB описана окружность, а касательная к этой окружности, проведенная в точке E, пересекает прямую AD в точке F таким образом, что точки A, D и F лежат последовательно на этой прямой. Известно, что AF = a,
AD = b. Найдите EF.
С-13. В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны и пересекаются в точке P. Длина отрезка, соединяющего вершину C с точкой M, являющейся серединой отрезка AD, равна Расстояние от точки P до отрезка BC равно и AP = 1. Найдите длину отрезка AD, если известно, что вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.
С-14. В окружности проведены диаметр MN и хорда AB, параллельная диаметру MN. Касательная к окружности в точке M пересекает прямые NA и NB соответственно в точках P и Q. Известно, что MP = p, MQ = q. Найдите MN.
С-15. Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность, пересекающая стороны BC и AC в точках D и E соответственно. Площадь треугольника CDE в 7 раз меньше площади четырехугольника ABDE. Найдите DE и радиус окружности, если AB = 4 и ∠C = 45°.
С-16. Через точку L окружности проведена касательная и хорда LM длины 5. Хорда MN параллельна касательной и равна 6. Найдите радиус окружности.
С-17. Диагонали вписанного в окружность четырехугольника ABCD пересекаются в точке E, причем BD = 6 и AD∙CE = DC∙AE. Найдите площадь четырехугольника ABCD.
С-18. В треугольнике ABC известно, что длина AB равна 3, Хорда KN окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает отрезки AC и BC в точках M и L соответственно. При этом ∠ABC = ∠CML, площадь четырехугольника ABLM равна 2, а длина LM равна 1. Найдите высоту треугольника KNC, опущенную из вершины C, и его площадь.
С-19. В треугольнике ABC точка D лежит на стороне BC, прямая AD пересекается с биссектрисой угла ACB в точке O. Известно, что точки C, D и O лежат на окружности, центр которой находится на стороне AC, AC : AB = 3 : 2, а величина угла DAC в три раза больше величины угла DAB. Найдите косинус угла ACB.
С-20. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC, касается основания AC в точке D и боковой стороны AB в точке E. Точка F — середина стороны AB, а точка G — точка пересечения окружности и отрезка FD, отличная от D. Касательная к данной окружности, проходящая через точку G, пересекает сторону AB в точке H. Найдите угол BCA, если известно, что FH : HE = 2 : 3.
С-21. На отрезке AB взята точка C и на отрезках AB и CB как на диаметрах построены окружности. Хорда AM большей окружности касается меньшей окружности в точке D. Прямая BD пересекает большую окружность в точке N. Известно, что ∠DAB = a, AB = 2R. Найдите площадь четырехугольника ABMN.
С-22. В треугольнике ABC биссектрисы AD и BL пересекаются в точке F. Величина угла LFA равна 60°.
1) Найдите величину угла ACB.
2) Вычислите площадь треугольника ABC, если ∠CLD = 45° и AB = 2.
С-23. Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, пересекающая окружности в точках C и D, лежащих по разные стороны от прямой AB. Касательные к этим окружностям в точках C и D пересекаются в точке E. Найдите AD, если AB = 15, AC = 20 и AE = 24.
С-24. В трапеции ABCD с боковыми сторонами AB = 9 и CD = 5 биссектриса угла D пересекает биссектрисы углов A и C в точках M и N соответственно, а биссектриса угла B пересекает те же две биссектрисы в точках L и K, причем точка K
лежит на основании AD. В каком отношении прямая LN делит сторону AB, а прямая MK — сторону BC? Найдите отношение MN : KL, если LM : KN = 3 : 7.

Ответы:

Садовничий Ю.

Источник

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Центральные и вписанные углы

Центральный угол и вписанный угол

Свойства центральных и вписанных углов

Примеры решения задач

Геометрия

Центральный угол и градусная мера дуги

Вписанный угол

Углы между хордами и секущими

Теорема о произведении отрезков хорд

Задачи на квадратной решетке

Содержание

Свойства

– Центральный угол

Свойство

– вписанный угол

Свойства

– Внешний угол

Свойство

– Внутренний угол

Свойство

Решенные упражнения

– Упражнение 1

Решение

– Упражнение 2.

Решение

Ссылки

Центральный угол и градусная мера дуги

Вписанный угол

Углы между хордами и секущими

Теорема о произведении отрезков хорд

Задачи на квадратной решетке

Решаем задачи по геометрии: углы в окружностях

Садовничий Ю.

Вам также может понравиться

Как найти историю своих родственников

Как найти измену жены онлайн

Как найти матрицу фундаментальных циклов

Добавить комментарий Отменить ответ