Как найти выражение плотность распределения

Как найти выражение плотность распределения

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 24 августа 2021 года; проверки требуют 7 правок.

Пло́тность вероя́тности — один из способов задания распределения случайной величины. Во многих практических приложениях понятия «плотность вероятности» и «плотность (распределения) случайной величины» или «функция распределения вероятностей» фактически синонимизируются[источник не указан 1062 дня] и под ними подразумевается вещественная функция, характеризующая сравнительную вероятность реализации тех или иных значений случайной переменной (переменных).

Прикладное описание понятия[править | править код]

Плотность распределения одномерной непрерывной случайной величины xi — это числовая функция f(x), отношение {displaystyle f(x_{1})/f(x_{2})} значений которой в точках x_{1} и x_{2} задаёт отношение вероятностей попаданий величины xi в узкие интервалы равной ширины {displaystyle [x_{1},x_{1}+Delta x]} и {displaystyle [x_{2},x_{2}+Delta x]} вблизи данных точек.

Плотность распределения неотрицательна при любом x и нормирована, то есть

{displaystyle int _{-infty }^{+infty }f(x),{mbox{d}}x=1}

При стремлении x к {displaystyle ,pm infty } функция f(x) стремится к нулю. Размерность плотности распределения всегда обратная к размерности случайной величины — если xi исчисляется в метрах, то размерностью f будет м-1.

Если в конкретной ситуации известно выражение для f(x), с его помощью можно вычислить вероятность попадания величины xi в интервал [a,b] как

{displaystyle P(xi in [a,b])=int _{a}^{b}f(x),{mbox{d}}x}.

Зная плотность вероятности, можно также определить наиболее вероятное значение (моду) случайной величины как максимум f(x).
Также с помощью плотности вероятности находится среднее значение случайной величины:

{displaystyle Exi =int _{-infty }^{+infty }xf(x),{mbox{d}}x}

и среднее значение измеримой функции {displaystyle g(xi )} случайной величины:

{displaystyle langle g(xi )rangle =int _{-infty }^{+infty }g(x)f(x),{mbox{d}}x}.

Чтобы перейти к плотности распределения {displaystyle {f}_{chi }(y)} другой случайной величины {displaystyle chi =z(xi )}, нужно взять

{displaystyle {f}_{chi }(y)=f(z^{-1}(y))cdot left|{frac {{mbox{d}}z^{-1}(y)}{{mbox{d}}y}}right|},

где {displaystyle z^{-1}(y)} — обратная функция по отношению к {displaystyle y=z(x)} (предполагается, что z — взаимно однозначное отображение).

Значение плотности распределения f(x_{1}) не является вероятностью принять случайной величиной значение x_{1}. Так, вероятность принятия непрерывной случайной величиной xi значения x_{1} равна нулю. При непрерывном распределении случайной величины xi вопрос может ставиться о вероятности её попадания в некий диапазон, а не о вероятности реализации её конкретного значения.

Интеграл

{displaystyle int _{-infty }^{x}f(t),{mbox{d}}t=F(x)}

называют функцией распределения (соответственно, плотность распределения вероятности — это производная функции распределения). Функция F является неубывающей и изменяется от 0 при {displaystyle xto -infty } до 1 при xto +infty .

Самым простым распределением является равномерное распределение на отрезке [a,b]. Для него плотность вероятности равна:

{displaystyle f(x)=left{{begin{matrix}{1 over b-a},&xin [a,b]\0,&xnot in [a,b]end{matrix}}right..}

Широко известным распределением является «нормальное», оно же гауссово, плотность которого записывается как

{displaystyle f(x)={frac {1}{{sqrt {2pi }}sigma }}exp left[-{frac {(x-mu )^{2}}{2sigma ^{2}}}right]},

где mu и sigma — параметры: математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение. Другие примеры плотностей распределения — одностороннее лапласовское (lambda >0):

{displaystyle f(x)=Aexp left[-lambda ,xright],,(xgeq 0)} и {displaystyle f(x)=0,,(x<0)},

и максвелловское ({displaystyle alpha >0}):

{displaystyle f(x)=Ax^{2}exp left[-alpha x^{2}right],,(xgeq 0)} и {displaystyle f(x)=0,,(x<0)}.

В двух последних примерах множитель A подбирается в зависимости от параметра lambda или alpha так, чтобы обеспечить нормировку интеграла от плотности вероятности. В случае распределения Лапласа оказывается, что {displaystyle A=lambda }.

Как названные, так и другие распределения широко применяются в физике. Например, в случае распределения Максвелла роль случайной величины обычно играет абсолютная величина скорости молекулы в идеальном газе. При этом для аргумента функции f нередко используют тот же символ, что и для рассматриваемой в физической задаче случайной величины (как если бы выше на месте xi всюду стояло x). Так, в выражении максвелловской плотности распределения пишут не формальную переменную x, а символ скорости v. В простейших ситуациях такая вольность с обозначениями не приводит к недоразумениям.

Спадающий при стремлении аргумента к +infty или -infty участок графика плотности вероятности f(x) в областях, где {displaystyle fll f_{max}}, называется хвостом. Из упомянутых распределений, нормальное и лапласовское имеют по два хвоста (слева и справа), а максвелловское в выписанном виде — один (справа).

Выше была изложена суть понятия «плотность вероятности». Однако, такое изложение не является строгим — плотность f нередко является функцией нескольких величин, в рассуждениях неявно предполагались не всегда гарантируемые непрерывность и дифференцируемость функций и так далее.

Определение плотности вероятности в теории меры[править | править код]

Плотность вероятности можно рассматривать как один из способов задания вероятностной меры на евклидовом пространстве mathbb {R} ^{n}.
Пусть mathbb {P} является вероятностной мерой на mathbb {R} ^{n}, то есть определено вероятностное пространство left(mathbb{R}^n,mathcal{B}(mathbb{R}^n),mathbb{P}right), где mathcal{B}(mathbb{R}^n) обозначает борелевскую σ-алгебру на mathbb {R} ^{n}. Пусть m обозначает меру Лебега на mathbb {R} ^{n}.
Вероятность mathbb {P} называется абсолютно непрерывной (относительно меры Лебега) (mathbb{P} ll m), если любое борелевское множество нулевой меры Лебега также имеет вероятность ноль:

forall B in mathcal{B}(mathbb{R}^n),; ( m(B) = 0 ) Rightarrow ( mathbb{P}(B) = 0 ) .

Если вероятность mathbb {P} абсолютно непрерывна, то согласно теореме Радона-Никодима существует неотрицательная борелевская функция fcolonmathbb{R}^n to [0,infty) такая, что

mathbb{P}(B) = intlimits_{B} f(x), dx,

где использовано общепринятое сокращение m(dx) equiv dx, и интеграл понимается в смысле Лебега.

В более общем виде, пусть (X, mathcal F) — произвольное измеримое пространство, а mu и nu  — две меры на этом пространстве. Если найдется неотрицательная f, позволяющая выразить меру nu через меру mu в виде

nu(A) = int_A f dmu,

то такую функцию называют плотностью меры nu по мере mu , или производной Радона-Никодима меры nu относительно меры mu , и обозначают

f=frac{dnu}{dmu}.

Плотность случайной величины[править | править код]

Пусть определено произвольное вероятностное пространство (Omega ,{mathcal {F}},mathbb {P} ), и Xcolon Omega to mathbb {R} ^{n} случайная величина (или случайный вектор). X индуцирует вероятностную меру mathbb {P} ^{X} на left(mathbb{R}^n,mathcal{B}(mathbb{R}^n)right), называемую распределением случайной величины X.

Если распределение mathbb {P} ^{X} абсолютно непрерывно относительно меры Лебега, то его плотность f_X = frac{dmathbb{P}^X}{dx} называется плотностью случайной величины X. Сама случайная величина X называется абсолютно непрерывной.

Таким образом для абсолютно непрерывной случайной величины имеем:

mathbb{P}(X in B) = intlimits_{B} f_X(x), dx.

Замечания[править | править код]

  • Не всякая случайная величина абсолютно непрерывна. Любое дискретное распределение, например, не является абсолютно непрерывным относительно меры Лебега, а потому дискретные случайные величины не имеют плотности.
  • Функция распределения абсолютно непрерывной случайной величины X непрерывна и может быть выражена через плотность следующим образом:
F_X(x_1,ldots, x_n) = mathbb{P}left(X in prodlimits_{i=1}^n (-infty,x_i]right) = intlimits_{-infty}^{x_n} !! ldots !! intlimits_{-infty}^{x_1} f_X(x'_1,ldots, x'_n), dx'_1ldots dx'_n.

В одномерном случае:

F_X(x) = intlimits_{-infty}^x f_X(x'), dx'.

Если f_X in C(mathbb{R}^n), то F_X in mathcal{D}(mathbb{R}^n), и

frac{partial^n}{partial x_1 ldots partial x_n} F_X(x_1,ldots, x_n) = f_X(x_1,ldots, x_n).

В одномерном случае:

frac{d}{dx} F_X(x) = f_X(x).
  • Математическое ожидание функции от абсолютно непрерывной случайной величины может быть записано в виде:
mathbb{E}[g(X)] = intlimits_{mathbb{R}^n} g(x) , mathbb{P}^X(dx) = intlimits_{mathbb{R}^n} g(x), f_X(x), dx,

где gcolon mathbb{R}^n to mathbb{R} — борелевская функция, так что mathbb{E}[g(X)] определено и конечно.

Плотность преобразования случайной величины[править | править код]

Пусть Xcolon Omega to mathbb {R} ^{n} — абсолютно непрерывная случайная величина, и gcolonmathbb{R}^n to mathbb{R}^n — инъективная непрерывно дифференцируемая функция такая, что J_g(x) not=0,; forall xin mathbb{R}^n, где J_g(x) — якобиан функции g в точке x. Тогда случайная величина Y = g(X) также абсолютно непрерывна, и её плотность имеет вид:

f_Y(y) = f_Xleft(g^{-1}(y)right) vert J_{g^{-1}}(y) vert.

В одномерном случае:

f_Y(y) = f_Xleft(g^{-1}(y)right) leftvert frac{dg^{-1}}{dy}(y)rightvert.

Свойства плотности вероятности[править | править код]

  • Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:
mathbb{P}left(mathbb{R}^nright) = intlimits_{mathbb{R}^n} f(x), dx = 1.

Обратно, если f(x) — неотрицательная почти всюду функция, такая что intlimits_{mathbb{R}^n}f(x), dx = 1, то существует абсолютно непрерывная вероятностная мера mathbb {P} на mathbb {R} ^{n} такая, что f(x) является её плотностью.

  • Замена меры в интеграле Лебега:
intlimits_{mathbb{R}^n} varphi(x), mathbb{P}(dx) = intlimits_{mathbb{R}^n}varphi(x), f(x), dx,

где {displaystyle varphi ::mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} } любая борелевская функция, интегрируемая относительно вероятностной меры {displaystyle {}mathbb {P} }.

Примеры абсолютно непрерывных распределений[править | править код]

  • Бета-распределение
  • Гамма-распределение
  • Гиперэкспоненциальное распределение
  • Двумерное нормальное распределение
  • Логнормальное распределение
  • Многомерное нормальное распределение
  • Непрерывное равномерное распределение
  • Нормальное распределение
  • Обобщённое гиперболическое распределение
  • Полукруговой закон Вигнера
  • Распределение variance-gamma
  • Распределение Вейбулла
  • Распределение Гомпертца
  • Распределение Колмогорова
  • Распределение копулы
  • Распределение Коши
  • Распределение Лапласа
  • Распределение Накагами
  • Распределение Парето
  • Распределение Пирсона
  • Распределение Райса
  • Распределение Рэлея
  • Распределение Стьюдента
  • Распределение Трейси — Видома
  • Распределение Фишера
  • Распределение хи-квадрат
  • Частотное распределение
  • Экспоненциальное распределение

См. также[править | править код]

  • Распределение вероятностей
  • Сингулярное распределение
  • Функция вероятности

Литература[править | править код]

  • Плотность вероятности // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
Источник

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

  • Краткая теория
  • Примеры решения задач
  • Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

Ранее
непрерывная случайная величина задавалась с помощью функции распределения. Этот
способ задания не является единственным. Непрерывную случайную величину можно
также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью
распределения или плотностью вероятности (иногда ее называют дифференциальной
функцией).

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины

 называют функцию

 – первую производную от функции распределения

:

Из этого определения следует, что
функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Заметим, что для описания
распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность
распределения неприменима.

Зная плотность распределения, можно
вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение,
принадлежащее заданному интервалу.

Вероятность того, что непрерывная
случайная величина

 примет
значение, принадлежащее интервалу

 равна
определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от

 до

:

Геометрически полученный результат
можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина
примет значение, принадлежащее интервалу

, равна площади криволинейной трапеции, ограниченной
осью

, кривой распределения

 и прямыми

 и

.

В частности, если

 – четная
функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то:

Зная плотность распределения

 можно найти
функцию распределения

 по формуле:

Свойства плотности распределения

Свойство 1.

Плотность
распределения – неотрицательная функция:

Свойство 2.

Несобственный
интеграл от плотности распределения в пределах от

 до

 равен единице:

Смежные темы решебника:

  • Дискретная случайная величина
  • Непрерывная случайная величина
  • Интегральная функция распределения вероятностей

Примеры решения задач

Пример 1

Задана
плотность распределения вероятностей f(x) непрерывной случайной
величины X. Требуется:

1)
определить коэффициент A;

2) найти
функцию распределения F(x);

3)
схематично построить графики F(x) и f(x);

4) найти
математическое ожидание и дисперсию X;

5) найти
вероятность того, что X примет значение из
интервала (α,β):

α=1;  β=1.7

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

1)
Постоянный параметр

 найдем из
свойства плотности вероятности:

В
нашем случае эта формула имеет вид:

Получаем:

2)
Функцию распределения

 найдем из
формулы:

Учитывая
свойства

,  сразу можем
отметить, что:

Остается
найти выражение для

, когда

 принадлежит
интервалу

.

Получаем:

3) Построим графики

 и

:

График плотности распределения

График функции распределения

4)
Математическое ожидание находим по формуле:

Для
нашего примера:

Дисперсию
можно найти по формуле:

5)
Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала

:

Пример 2

Плотность
распределения вероятности непрерывной случайной величины равна

, x∈(0,∞). Найти нормировочный множитель C,
математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).

Решение

Нормировочный множитель

 найдем из
свойства плотности вероятности:

В
нашем случае эта формула имеет вид:

Плотность
вероятности:

Математическое
ожидание находим по формуле:

Для
нашего примера:

Дисперсию
можно найти по формуле: 

Пример 3

Непрерывная
случайная величина

 имеет плотность распределения:

Найти
величину a, вероятность P(X<0) и математическое
ожидание X.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Постоянный
параметр

 найдем из
свойства плотности вероятности:

В
нашем случае эта формула имеет вид:

Плотность
вероятности имеет вид:

Вероятность:

Математическое
ожидание находим по формуле:

Для
нашего примера:

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Задача 1

Плотность
распределения непрерывной случайной величины X имеет вид:

Найти:

а)
параметр a;

б)
функцию распределения F(x);

в)
вероятность попадания случайной величины X в интервал (6.5;  11);

г)
математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X);

Построить
график функций f(x) и F(x).

Задача 2

Задана
функция распределения непрерывной случайной величины:

Найти и
построить график функции плотности распределения вероятностей.

Задача 3

Случайная
величина X задана функцией распределения F(x).
Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию
случайной величины. Построить график функции
F(x).

Задача 4

Задана
плотность вероятности f(x) или функции распределения
непрерывной случайной величины X. Найти a, M[X], D[X], P(α<x<β).

α=1,β=2

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 5

Непрерывная
случайная величина

 задана плотностью распределения вероятностей.

Требуется
найти:

– функцию
распределения вероятностей;

–
математическое ожидание;

–
дисперсию;

– среднее
квадратическое отклонение;

– вероятность
того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не
более, чем на одну четвертую длины всего интервала возможных значений этой
величины;

–
построить графики функции распределения и плотности распределения вероятностей.

Задача 6

Случайная
величина X равномерно распределена на интервале (2;7).
Составить f(x),F(x), построить графики. Найти
M(X),D(X).

Задача 7

Случайная
величина X~N(a,σ)

a=25;
σ=4; α=13; β=30; δ=0.1.

Требуется:

–
составить функцию плотности распределения и построить ее график;

– найти
вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет
значение, принадлежащее интервалу (α; β);

– найти
вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений случайной
величины от ее математического ожидания не превысит δ.

Задача 8

Плотность
вероятности непрерывной случайной величины ξ задана следующим выражением:

Найти
постоянную C, функцию распределения Fξ (x), математическое
ожидание и дисперсию Dξ случайной величины ξ.

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 9

Случайная
величина X задана функцией распределения вероятностей F(x).

Требуется:

1. Найти
функцию плотности распределения f(x).

2. Найти M(X).

3. Найти
вероятность P(α<X<β)

4.
Построить графики f(x) и F(x).

α=2, β=4.5

Задача 10

Найти
функцию плотности нормально распределенной случайной величины X и
постройте ее график, зная M(X) и D(X).

M(X)=-1; D(X)=8

Задача 11

Случайная
величина X задана интегральной F(x) или дифференциальной f(x)
функцией. Требуется:

а) найти
параметр C;

б) при
заданной интегральной функции F(x) найти дифференциальную функцию f(x), а при
заданной дифференциальной функции f(x) найти интегральную функцию F(x);

в)
построить графики функций F(x) и f(x);

г) найти
математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и
среднее квадратическое отклонение σ(x);

д)
вычислить вероятность попадания в интервал P(a≤x≤b)

е)
определить, квантилем какого порядка является точка xp;

ж)
вычислить квантиль порядка p

a=π/4; b=π/3; xp=π/2; p=0.75

 

  • Краткая теория
  • Примеры решения задач
  • Задачи контрольных и самостоятельных работ
Источник


2.4.3. Функция ПЛОТНОСТИ распределения вероятностей

или дифференциальная функция распределения. Она представляет собой производную функции распределения: .

Примечание: для дискретной случайной величины такой функции не существует

В нашем примере:

то есть, всё очень просто – берём производную от каждого куска, и порядок.

Но настоящий порядок состоит в том, что несобственный интеграл от с пределами интегрирования от «минус» до «плюс» бесконечности:

 – равен единице, и строго единице. В противном случае перед нами не функция плотности, и если эта функция была найдена как производная, то  – не является функцией распределения (несмотря на какие бы то ни было другие признаки).

Проверим «подлинность» наших функций. Если случайная величина  принимает значения из конечного промежутка, то всё дело сводится к вычислению определённого интеграла. В силу свойства аддитивности, делим интеграл на 3 части:

Совершенно понятно, что левый и правый интегралы равны нулю и нам осталось вычислить средний интеграл:
, что и требовалось проверить.

С вероятностной точки зрения это означает, что случайная величина  достоверно примет одно из значений отрезка . Геометрически же это значит, что площадь между осью  и графиком  равна единице, и в данном случае речь идёт о площади треугольника .  Сторона  является фрагментом прямой  и для её построения достаточно найти точку :

Ну вот, теперь всё наглядно – где бОльшая площадь, там и сконцентрированы более вероятные значения.

Так как функция плотности «собирает под собой» вероятности, то она неотрицательна  и её график не может располагаться ниже оси . В общем случае функция разрывна (смотрим, где «жирные» оранжевые точки!).

Теперь разберём весьма любопытный факт: поскольку действительных чисел несчётно много, то вероятность того, что случайная величина  примет какое-то конкретное значение стремится к нулю. И поэтому вероятности рассчитывают не для отдельно взятых точек, а для целых промежутков (пусть даже очень малых). Как вы правильно догадываетесь:
 (синяя площадь на чертеже)  – вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка ;
 (красная площадь) – вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка .

По той причине, что отдельно взятые значения можно не принимать во внимание, с помощью этих же интегралов рассчитываются и вероятности по интервалам и полуинтервалам, в частности:

Этим же объяснятся аналогичная «вольность» с функцией .
Возможно, кто-то спросит: а зачем считать интегралы, если есть функция ?

А дело в том, что во многих задачах непрерывная случайная величина ИЗНАЧАЛЬНО задана функцией  плотности распределения, которая ТОЖЕ однозначно определяет случайную величину. Но, как вариант, можно сначала найти функцию  (с помощью тех же интегралов), после чего использовать «лёгкий способ» бросить курить отыскания вероятностей. Впрочем, об этом чуть позже:

Задача 105
Непрерывная случайная величина  задана своей функцией распределения:

Найти значения  и функцию . Проверить, что  действительно является функцией плотности  распределения. Вычислить вероятности . Построить графики .

Тренируемся самостоятельно! Если возникнут затруднения, то внимательно перечитайте вышеизложенный материал. Краткое решение и ответ в конце книги.

Вообще, типовые задачи на непрерывную случайную величину можно разделить на 2 большие группы:

1) когда дана функция , 2) когда дана функция .

В первом случае не составляет особых трудностей отыскать функцию плотности распределения  – почти всегда производные не то что простЫ, а примитивны (в чём мы только что убедились). Но вот когда НСВ задана функцией , то нахождение функции распределения – есть более кропотливый процесс:
Задача 106
Непрерывная случайная величина  задана функцией плотности распределения:

Найти значение  и составить функцию распределения вероятностей . Вычислить .
Построить графики .

Решение: найдём константу . Это классика (в подавляющем большинстве задач вам не предложат готовую функцию плотности). Используем свойство .
В данном случае:

На практике нулевые интегралы можно опускать, а константу сразу выносить за знак интеграла:
            (*)
Пользуясь чётностью подынтегральной функции, вычислим интеграл:
 и подставим результат в уравнение (*):
, откуда выразим

Таким образом, функция плотности распределения:

Выполним проверку, а именно, вычислим тот же самый интеграл, но уже с известной константой. Для разнообразия я не буду пользоваться чётностью:
, отлично.

Обратите внимание, что только при  и только при этом значении предложенная в условии функция является функцией плотности распределения. Ну и тут не лишним будет проконтролировать, что на интервале , т.е. условие неотрицательности действительно выполнено. Доверяй условию, да проверяй 😉 Не раз и не два мне встречались функции, которые в принципе не могли быть плотностью, что говорило об опечатках или о невнимательности авторов задач.

Теперь начинается самое интересное. Функции распределения вероятностей – есть интеграл:

Так как  состоит из трёх кусков, то решение разобьётся на 3 шага:

1) На промежутке , поэтому:

2) На интервале , и мы прицепляем следующий вагончик:

При подстановке верхнего предела интегрирования можно считать, что вместо «икс» мы подставляем «икс». Если же возник вопрос с пределом нижним, то вспоминаем график синуса либо его нечётность: .

3) И, наконец, на , и детский паровозик отправляется в путь:

Внимание! А вот в этом задании нулевые интегралы пропускать НЕ НАДО. Чтобы показать своё понимание функции распределения 😉 К тому же, они могут оказаться вовсе не нулевыми, и тогда придётся иметь дело с интегралами несобственными. И такой пример я обязательно разберу ниже.

Записываем наши достижения под единую скобку:

С высокой вероятностью всё правильно, но, тем не менее, устно возьмём производную: , а также «прозвоним» точки «стыка»:

Правильность решения можно проконтролировать и в ходе построения графика, но, во-первых, он не всегда требуется, а во-вторых, до сего момента можно успеть «наломать дров». Ибо вероятности попадания чаще находят с помощью функции распределения:

 – вероятность того, что случайная величина  примет значение из промежутка

Второй способ состоит в вычислении интеграла:
что, кстати, не труднее. И проверочка заодно получилась.

Выполним чертежи. График  представляет собой косинусоиду, сжатую вдоль ординат в 2 раза. Тот редкий случай, когда функция плотности непрерывна:

Значение  численно равно заштрихованной площади – это я специально нарисовал, чтобы напомнить вероятностный смысл плотности функции распределения. И вся площадь под «дугой» равна единице, то есть, достоверным является тот факт, что случайная величина примет значение из интервала . Заметьте, что значения  по условию, невозможны.
Осталось изобразить функцию распределения. График  представляет собой синусоиду, сжатую в 2 раза вдоль оси ординат и сдвинутую на  вверх:

В принципе, тут можно было не заморачиваться преобразованием графиков, а найти несколько опорных точек и догадаться, как выглядит кривая (тригонометрическая таблица в помощь). Но «любительский» подход чреват тем, что график получится принципиально не точным. Так, в нашем примере в точке  существует перегиб графика функции , и велик риск неверно отобразить его выпуклость / вогнутость.

Чертежи желательно расположить так, чтобы оси ординат (вертикальные оси) лежали ровненько одна под другой. Это будет хорошим тоном.

И я так чувствую, вам уже не терпится проверить свои силы. Как водится, пример попроще:

Задача 107
Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины :

Требуется:

1) определить коэффициент ;
2) найти функцию распределения ;
3) построить графики ;
4) найти вероятность того, что  примет значение из промежутка

и задачка поинтереснее:

Задача 108
Непрерывная случайная величина  задана плотностью распределения вероятностей:

Найти значение  и построить график плотности распределения. Найти функцию распределения вероятностей  и построить её график. Вычислить вероятность .

Дерзайте! Свериться с решением можно внизу книги.

Следует отметить, что все эти задачи реально предлагают студентам-заочникам, и поэтому я не предлагаю вам ничего необычного.

И в заключение параграфа обещанные случаи с несобственными интегралами:

Задача 109
Непрерывная случайная величина  задана своей плотностью распределения:

Найти коэффициент  и функцию распределения . Построить графики.

Решение: по свойству функции плотности распределения:

В данной задаче  состоит из 2 частей, поэтому:

Правый интеграл равен нулю, а вот левый – есть «живой» несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом:

Таким образом, наше уравнение превратилось в готовый результат:

и функция плотности:

Функция , как нетрудно понять, отыскивается в 2 шага:

1) На промежутке , следовательно:
 – вот такая вот у нас замечательная экспонента. Как птица Феникс.

2) На интервале   и:
, что и должно получиться.

Для построения графиков найдём пару опорных точек:  и аккуратно прочертим кусочки экспонент с причитающимися дополнениями:

Заметьте, что теоретически случайная величина  может принять сколь угодно большое по модулю отрицательное значение, и ось абсцисс является горизонтальной асимптотой для обоих графиков при .

В соответствующей статье сайта я рассмотрел ещё более интересный пример с функцией , где случайная величина теоретически принимает вообще ВСЕ действительные значения. Но это уже несколько повышенный уровень сложности.

2.4.4. Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ?

2.4.2. Вероятность попадания в промежуток

| Оглавление |



Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Источник

Определение плотности распределения

Автор статьи

Сергей Евгеньевич Грамотинский

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Как нам уже известно, случайную величину можно задавать с помощью таблицы или с помощью функции распределения вероятности. Предположим теперь, что случайная величина $X$ является непрерывной, а функция распределения вероятности $F(x)$ непрерывна и дифференцируема в своей области определения. Тогда для такой случайной величины существует еще один способ её задания — задания с помощью плотности распределения.

Определение 1

Плотностью распределения $varphi (x)$ непрерыной случайной величины называется первая производная от функции распределения вероятности $F(x)$.

Примечание 1

!!! Подчеркнем, что данное понятие не применимо к дискретной случайной величине.

Логотип baranka

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Геометрически, плотность распределения связана с функцией распределения вероятностей следующим образом: площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком плотности распределения и находящейся по левую сторону от величины $x$ и есть функция распределения вероятности (рис. 1).

Связь функций $varphi (x)$ и $F(x)$.

Рисунок 1. Связь функций $varphi (x)$ и $F(x)$.

То есть:

Геометрический смысл: вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал $(alpha ,beta )$ равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции распределения $varphi left(xright)$ и прямыми $x=alpha ,$ $x=beta $ и $y=0$ (рис. 2).

Геометрическое изображение вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал $(alpha ,beta )$.

Рисунок 2. Геометрическое изображение вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал $(alpha ,beta )$.

«Определение плотности распределения» 👇

Примеры задач на понятие плотности распределения

Пример 1

Пусть функция распределения $F(x)$ случайной величины $X$ имеет следующий вид:

Рисунок 3.

а) Найти значение $alpha $.

б) Найти плотность распределения $varphi left(xright)$.

в) Построить график плотности распределения.

г) Найти вероятность попадания случайной величины в интервал $left(1,2right)$

Решение:

а) Так как необходимо найти плотность распределения, то случайная величина $X$ является непрерывной.

Тогда, при $x=3$, получим, что $(alpha +1)x^2=1$, то есть

[9alpha +9=1,] [9alpha =-8,] [alpha =-frac{8}{9}.]

То есть:

Рисунок 4.

б) Так как $varphi (x)$ = $F'(x)$, то получим:

Рисунок 5.

в) Построим график функции $varphi left(xright)$.

Рисунок 6.

г) Воспользовавшись геометрическим смыслом функции плотности распределения получим, что нам нужно найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной функцией $y=frac{2}{9}x$ и прямыми $x=1,$ $x=2$ и $y=0$.

Таким образом, получим:

[Pleft(1

Пример 2

Найти функцию распределения непрерывной случайной величины и построить её график, если плотность распределения имеет вид:

Рисунок 7.

Решение.

При решении будем использовать следующую формулу: $Fleft(xright)=intlimits^x_{-infty }{varphi (x)dx}$

begin{enumerate}
item При $xle 0$, по формуле, получим:

[Fleft(xright)=intlimits^x_{-infty }{varphi (x)dx}=intlimits^x_{-infty }{0dx}=0]

item При $0
[Fleft(xright)=intlimits^x_{-infty }{varphi (x)}=intlimits^0_{-infty }{0dx}+intlimits^x_0{frac{dx}{4}}=0+frac{x}{4}-0=frac{x}{4}]

item При $x>2$, по формуле, получим:

[Fleft(xright)=intlimits^x_{-infty }{varphi (x)}=intlimits^0_{-infty }{0dx}+intlimits^2_0{frac{dx}{4}}+intlimits^x_2{0dx}=0+frac{1}{2}-0+0=frac{1}{2}]

end{enumerate}

Таким образом, функция распределения имеет вид:

Рисунок 8.

Построим её график.

Рисунок 9.

Примечание 2

!!! Заметим, что, так как дана плотность распределения, то случайная величина является непрерывной. Следовательно, функция $F(x)$ также должна быть непрерывной (как и получилось в нашем примере). Это может служить косвенной проверкой правильности решения такого рода задач.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 20.02.2023

Источник

Для непрерывных случайных величин наряду с законом распределения вероятностей рассматривают плотность вероятностей, которую обозначают так .

Плотностью вероятностей случайной величины называют первую производную от интегральной функции распределения вероятностей

откуда дифференциал

Поскольку прирост определяют зависимости

куплена плотности вероятностей на прирост случайной величины соответствует вероятность того, что случайная величина содержаться в промежутке где .

Геометрически на графике плотности вероятностей соответствует площадь прямоугольника с основанием и высотой

Свойства плотности вероятностей

1. Плотность вероятностей принимает положительные значения . Это свойство следует из определения первой производной от функции распределения , которая в свою очередь является неубывающей функцией.

2. Условие нормирования случайной величины

3.Вероятность попадания случайной величины в промежуток определяется зависимостью

4. Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины определяется через плотность распределения вероятностей интегрированием

—————————————

Рассмотрим задачи для закрепления материала на практике.

Пример 1. Закон распределения случайной величины заданы функцией

Найти плотность распределения вероятностей и построить графики обеих функций . Вычислить вероятность того, что случайная величина принадлежит промежутку

Решение. Вычисляем функцию плотности вероятностей

Графики функций изображены на рисунках

Вероятность события вычислим по формуле

Согласно приведенной выше формулы получим

На этом задача решена.

——————————————–

Пример 2. По заданной функцией плотности распределения вероятностей

установить параметры и функцию распределения вероятностей . Построить графики функций.

Решение. Значение постоянной определяем из условия нормировки

При найденном значении плотность вероятностей будет иметь вид

Функция распределения вероятностей определяется интегрированием:

Записываем общий вид функции ,

Графики функций распределения вероятностей и ее плотности показаны на рисунках ниже

—————————————

Пример 3. Случайная величина имеет закон распределения вероятностей в виде треугольника

Записать выражения для плотности вероятностей и функции распределения вероятностей, построить график и вычислить .

Решение. На промежутках и плотность вероятностей меняется по линейному закону вида

для первого и второго участки соответственно. Для нахождения неизвестных констант установим ординаты вершины треугольника . Используем условие нормирования, согласно которому площадь треугольника равна единице:

При известных координатах всех вершин находим уравнение прямых

Есть другой способ нахождения уравнения прямых, предусматривающий отыскания по одной константе на уравнение. Если известна точка пересечения прямой с осью ординат , то уравнение прямой которая через эту точку проходит следующее

где – ордината пересечения с осью . Подстановкой второй точки прямой находят неизвестную константу . Для заданных точек получим

Со временем второй метод для Вас станет проще и практичнее в использовании. Плотность вероятностей примет значение

а ее функция примет вид

Функцию распределения вероятностей находим интегрированием:

а) на промежутке :

2) на промежутке

Следовательно, функция распределения вероятностей такая

Ее график приведен ниже

Вычисляем вероятность события согласно формуле

или

Следовательно, вероятность равна

————————-

Хорошо проанализируйте приведенные примеры – это поможет научиться быстро находить плотность распределения вероятностей и выполнять построение графика. Будьте внимательны при интегрировании и выбирайте удобную для вычислений методику.

Источник

Добавить комментарий