Как найти высоту через угол альфа

Формулы для нахождения высоты треугольника

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

1. Через площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты h_a, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

2. Через стороны треугольника

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c – стороны произвольного треугольника

α , β , γ – противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b – катеты

c – гипотенуза

α , β – острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b – сторона (основание)

a – равные стороны

α – углы при основании

β – угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота– перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется – ортоцентр.

H – высота треугольника

a – сторона, основание

b, c – стороны

β , γ – углы при основании

p – полупериметр, p=(a+b+c)/2

R – радиус описанной окружности

S – площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Способы нахождения высоты треугольника: теорема и формула

Определение высоты треугольника

Геометрия, являющаяся разделом математики, изучает структуры в пространстве и на плоскости. Одним из типов таких фигур являются геометрические фигуры. К ним можно отнести квадрат, прямоугольник, круг, пятиугольник, треугольник и другие. Из них можно делать более сложные фигуры или оставлять в первоначальном виде.

Треугольником является фигура, относящаяся к классу простых фигур, которая образована тремя точками, находящимися не на одной прямой, и соединенными между собой тремя отрезками.

Треугольники могут быть:

• разными по величине углов: прямоугольными, тупоугольными и остроугольными;
• разными по числу равных сторон: равносторонними, равнобедренными и разносторонними.

Помимо трех сторон, важными элементами треугольников являются медианы, высоты и биссектрисы.

Высотой треугольника является перпендикуляр, опущенный из угла треугольника вниз, на противоположную сторону.

В геометрии высота треугольника обозначается буквой h.

В зависимости от типа треугольника высота может:

• падать на противоположную сторону — у остроугольного треугольника;
• находиться вне треугольника — у тупоугольного треугольника;
• совпадать с одной из сторон — у прямоугольного треугольника.

Чтобы сделать высоту графически явной и понятной на рисунке, ее нередко выделяют красной линией.

Для того чтобы определить графическое начертание высоты треугольника, необходимо:

1. Найти вершину фигуры.
2. Опустить вниз перпендикулярную линию к противоположной стороне.
3. Продлить противоположную сторону до пересечения с высотой, если требуется.

Любой треугольник имеет 3 высоты — по числу углов. Их пересечение находится в точке ортоцентра, которая, в зависимости от типа треугольника, может находиться внутри треугольника, снаружи на пересечении продолжений высот или совпадать с вершиной прямого угла.

Все три высоты треугольника обратно пропорциональны сторонам, к которым опущены. Доказательством будет соотношение:

A × H A ÷ B × H B ÷ C × H C = 1 B C ÷ 1 A C ÷ 1 A B

Выглядеть графически это будет так:

Существует множество способов нахождения высоты треугольника в зависимости от имеющихся данных.

Через площадь и длину стороны, к которой опущена высота:

где S — уже известная площадь треугольника,

Через длины всех сторон:

h = 2 p p × a p × b p × c a

где a, b и c — стороны треугольника,

p — его полупериметр.

Данная формула подходит только для нахождения высоты разностороннего треугольника.

Через длину прилежащей стороны и синус угла:

s i n a — синус угла прилежащей стороны.

Данная формула подходит только для нахождения высоты разностороннего треугольника.

Через стороны и радиус описанной окружности.

Решать задачи с треугольником и описанной окружностью для нахождения высоты можно следующим образом:

где b, c — стороны разностороннего треугольника, к которым не опущена высота,

R — радиус описанной окружности.

Данная формула подходит только для нахождения высоты разностороннего треугольника.

Через длины отрезков, образованных на гипотенузе при проведении к ней высоты треугольника:

где C 1 и С 2 — длины отрезков, образованных на гипотенузе, проведенной к ней высотой.

Данная формула подходит только для нахождения высоты прямоугольного треугольника.

Нахождение высоты равнобедренного треугольника через основание и боковые стороны

Равнобедренным треугольником называют треугольник, имеющий одинаковые по длине катеты, которые образуют равные углы с основанием. В таком треугольнике высота будет опускаться ровно в середину основания, образуя с ним прямой угол.

Помимо высоты, проведенная линия будет являться также осью симметрии, биссектрисой вершинного угла и медианой.

Формула для нахождения высоты в этом случае:

где a — основание,

b — равные боковые стороны.

Свойства высоты в равностороннем треугольнике

Равносторонний треугольник — это треугольник, стороны которого, углы, высоты, медианы, оси симметрии и биссектрисы будут равны.

Такой треугольник является частным примером равнобедренного треугольника, но не наоборот.

Высоту в таком треугольнике можно найти с помощью следующей формулы:

где а — сторона равностороннего треугольника.

Главным свойством, которым обладает высота равностороннего треугольника, является тот факт, что она равна медиане и биссектрисе:

а — сторона правильного равностороннего треугольника.

Нахождение высоты прямоугольного треугольника через его катеты

Прямоугольным считается треугольник, у которого один из углов является прямым, то есть равным 90°. Высота, опущенная из такого угла, падает на гипотенузу треугольника и делит его на два прямоугольных треугольника, которые пропорциональны по отношению к большому треугольнику и друг к другу.

Важно отметить, что две другие высоты будут совпадать с катетами треугольника.

Найти высоту в прямоугольном треугольнике, можно через два его катета (a и b) и гипотенузу (c).

Причем гипотенуза также легко находится через катеты по теореме Пифагора:

Расчет высоты идет следующим образом:

где a, b и c — вышеупомянутые стороны треугольника.

[spoiler title=”источники:”]

http://www-formula.ru/2011-10-09-11-08-41

http://wika.tutoronline.ru/geometriya/class/7/sposoby-nahozhdeniya-vysoty-treugolnika-teorema-i-formula

[/spoiler]

Как посчитать высоту равнобедренного треугольника

Чтобы посчитать чему равна высота равнобедренного треугольника просто воспользуйтесь нашим удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Если известны длина стороны а и основания b

Если известны длина стороны а и угол α

Если известны длина стороны а и угол β

Если известны длина стороны b и угол α

Если известны длина стороны b и угол β

См. также

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

1. Через площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты h_a, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

2. Через стороны треугольника

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Высота равнобедренного треугольника, которая лежит под прямым углом к основанию, создает внутри еще два одинаковых прямоугольных треугольника, являясь катетом в каждом из них. Второй катет такого треугольника представляет собой половину основания, так как эта высота является одновременно медианой и биссектрисой, а гипотенузой будет боковая сторона равнобедренного треугольника. Соответственно, зная высоту и угол α при основании, через прямоугольный треугольник можно узнать стороны равнобедренного треугольника. (рис.88.2)
a=h/sin⁡α
b=2h/tan⁡α

Поскольку сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам, следовательно, угол при вершине будет равен разности 180 градусов и двух углов при основании.
β=180°-2α

Периметр равнобедренного треугольника через высоту и угол α равен сумме двух отношений высоты к синусу угла и двух отношений высоты к тангенсу. Площадь, в свою очередь, преобразовывается в квадрат высоты, деленный на тангенс.
P=2a+b=2h/sin⁡α +2h/tan⁡α
S=hb/2=h^2/tan⁡α

Чтобы найти высоту, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника (любую, так как они одинаковы), можно воспользоваться готовой формулой через стороны треугольника, заменив их на тригонометрические отношения и упростив выражение. Аналогично вычисляются медианы и биссектрисы через высоту.
m_a=√(a^2+2b^2 )/2=√((h/sin⁡α )^2+2(2h/tan⁡α )^2 )/2=(h√(1/cos⁡α +8))/(2 tan⁡α )
h_a=(b√((4a^2-b^2)))/2a=(b√((4(h/sin⁡α )^2-(2h/tan⁡α )^2)))/(2 h/sin⁡α )=b sin^2⁡α
l_a=(b√(a(2a+b) ))/(a+b)=(2h/tan⁡α √(h/sin⁡α (2 h/sin⁡α +2h/tan⁡α )))/(h/sin⁡α +2h/tan⁡α )=(2h√(2+2/cos⁡α ))/(tan⁡α+2 sin⁡α )

Чтобы вычислить среднюю линию, необходимо разделить на два ту сторону треугольника, которая ей параллельна. Поскольку ни одна из сторон не известна, то средняя линия, параллельная основанию, равна высоте, деленной на тангенс угла α, а средняя линия, параллельная боковой стороне равна высоте, деленной на два синуса угла α. (рис.88.5)
M_b=b/2=h/tan⁡α
M_a=a/2=h/(2 sin⁡α )

Чтобы вычислить радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, нужно подставить вместо сторон a и b в формулу отношения высоты и тангенса или синуса соответственно, а затем упростить выражение (рис.88.6)
r=b/2 √((a-2b)/(a+2b))=h/tan⁡α √((h/sin⁡α -2 2h/tan⁡α )/(h/sin⁡α +2 2h/tan⁡α ))=h/tan⁡α √((1-4 cos⁡α)/(1+4 cos⁡α ))

Радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника также зависит от обеих сторон – основания и боковой стороны, поэтому его формула видоизменяется аналогично радиусу вписанной окружности. (рис.88.7)
R=a^2/√(4a^2-b^2 )=(h/sin⁡α )^2/√(4(h/sin⁡α )^2-(2h/tan⁡α )^2 )=h/(2 sin^2⁡α )