Как найти высоту четырехугольника по сторонами - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Четырехугольники

теория по математике 📈 планиметрия

Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.

Выпуклый четырехугольник

Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости (то есть все его стороны расположены только с одной стороны прямой, прямая НЕ разбивает фигуру) относительно прямой, содержащей любую его сторону. На рисунке показан выпуклый четырехугольник АВСD.

Определение

Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины. На рисунке 2 диагоналями являются отрезки АС и BD.

Виды и свойства выпуклых четырехугольников

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

Прямоугольник

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.

На рисунке видно, что углы А, В, C и D прямые, то есть равны 90 градусов. Свойства прямоугольника, его периметр и площадь

Противоположные стороны прямоугольника равны (АВ=CD, ВС=АD).
Диагонали прямоугольника равны (АС=ВD).
Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Периметр прямоугольника – это сумма длин всех сторон: Р=(а + b) × 2, где а и b соседние (смежные) стороны прямоугольника
Площадь прямоугольника – это произведение длин соседних (смежных) сторон, формула для нахождения площади прямоугольника:

S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника.

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

Диагонали квадрата равны (BD=AC).
Диагонали квадрата пересекаются под углом 90 градусов.
Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам (BO=OD, AO=OC).
Периметр квадрата – это сумма длин всех сторон. Так как все стороны квадрата равны, то его можно найти по формуле Р=4×а, где а — длина стороны квадрата.
Площадь квадрата – это произведение длин соседних сторон, формула для нахождения площади прямоугольника S=a 2 , где a — длина стороны квадрата.

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.

Виды трапеций

Трапеция называется прямоугольной, если у нее боковая сторона перпендикулярна основаниям. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.

углы А и С равны по 90 градусов

Средняя линия трапеции

Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.

Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.

Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.

По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30 0 и 135 0 , а СD =17

Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.

Рассмотрим треугольник CНD, где CD=17, угол Н=90 0 , следовательно, треугольник прямоугольный. Найдем величину угла DCН, 135 0 – 90 0 =45 0 (так как провели высоту CН). Отсюда следует, что угол D=45 0 , так как треугольник прямоугольный. Значит, треугольник является равнобедренным (углы D и DCН равны по 45 градусов).

Найдем катеты CН и DН по теореме Пифагора, как катет равнобедренного треугольника по формуле с=а √ 2 , где с=17. Следовательно, CН = 17 √ 2 . . = 17 √ 2 2 . . .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ, где угол В равен 30 градусов, а катет АМ= CН= 17 √ 2 2 . . . Зная, что катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, найдем АВ (она будет в два раза больше катета). АВ=2 × 17 √ 2 2 . . =17 √ 2

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции.

Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула

S = a + b 2 . . h , для которой у нас известны и основания, и высота. Подставим в неё эти значения и вычислим: S = 7 + 11 2 . . ∙ 7 = 18 2 . . ∙ 7 = 9 ∙ 7 = 63

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 22 √ 2 . Найти диагональ этого квадрата.

Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.

Обозначим диагональ АВ, точкой О – центр окружности, С – один из углов квадрата. Покажем расстояние от центра окружности до стороны квадрата – радиус r. Если радиус равен 22 √ 2 , то сторона квадрата будет в два раза больше, т.е. 44 √ 2 .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, который является равнобедренным (так как по условию дан квадрат) и боковые стороны равны по 44 √ 2 . Нам надо найти диагональ, т.е. гипотенузу данного треугольника. Вспомним, что для нахождения гипотенузы равнобедренного треугольника есть формула с=а √ 2 , где с – гипотенуза, а – катет. Подставим в неё наши данные:

с=44 √ 2 × √ 2 =44 √ 4 =44 × 2=88

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле S= d 1 d 2 s i n a 2 . . , где d 1 и d 2 длины диагоналей четырехугольника, а – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d 1 , если d 2 =16, sin a= 2 5 . . , a S=12,8

Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу:

12,8= d 1 × 16 × 2 5 . . 2 . .

В правой части можно сократить 16 и 2 на 2: 12,8= d 1 × 8 × 2 5 . . 1 . .

Теперь умножим 8 на дробь 2 5 . . , получим 3,2: 12,8= d 1 × 3 , 2

Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d 1 =12,8:3,2=4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.

При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

Задание №1

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.

Объекты	яблони	теплица	сарай	жилой дом
Цифры

Решение

Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:

при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж — 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.

Итак, получили следующее:

1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.

Заполняем нашу таблицу:

Объекты	яблони	теплица	сарай	жилой дом
Цифры	3	5	1	7

Записываем ответ: 3517

Задание №2

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).

Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».

Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок.

Задание №3

Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.

Задание №4

Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина — 6 м (3 клетки).

Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м

Задание №5

Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.

Номер магазина	Расход краски	Масса краски в одной банке	Стоимость одной банки краски	Стоимость доставки заказа
1	0,25 кг/кв.м	6 кг	3000 руб.	500 руб.
2	0,4 кг/кв.м	5 кг	1900 руб.	800 руб.

Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

Решение

Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:

1 магазин: 232х0,25=58 кг

2 магазин: 232х0,4=92,8 кг

Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:

1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)

2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.

Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:

1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.

2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.

Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Геометрия. Урок 4. Четырехугольники

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Определение четырехугольника

Выпуклые четырехугольники

Параллелограмм

Определение четырехугольника

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырехугольники бывают выпуклые ( A B C D ) и невыпуклые ( A 1 B 1 C 1 D 1 ) .

Выпуклые четырехугольники

В задачах ОГЭ встречаются выпуклые четырехугольники, поэтому подробно изучим их.

Смежные стороны – соседние стороны, которые выходят из одной вершины. Пары смежных сторон: A B и A D , A B и B C , B C и C D , C D и A D .

Противолежащие стороны – несмежные стороны (соединяют разные вершины). Пары противолежащих сторон: A B и C D , B C и A D .

Противолежащие вершины – вершины, не являющиеся соседними (лежат друг напротив друга). Пары противолежащих вершин: A и C , B и D .

Диагонали четырехугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины. A C и B D – диагонали четырехугольника A B C D .

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке.

Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле:

S = 1 2 d 1 d 2 ⋅ sin φ

где d 1 и d 2 – диагонали четырехугольника, φ – угол между диагоналями (острый или тупой – не важно).

Рассмотрим более подробно некоторые виды выпуклых четырехугольников.

Класс параллелограммов : параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат.

Класс трапеций : произвольная трапеция, прямоугольная трапеция, равнобокая (равнобедренная) трапеция.

Параллелограмм

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

Противолежащие стороны равны.
Противоположные углы равны.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 ° .
Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон. d 1 2 + d 2 2 = 2 ( a 2 + b 2 )

Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны и высоты, проведенной к ней.

Поскольку стороны имеют разные длины, то высоты, которые к ним проведены, тоже будут иметь разные длины.

Как произведение двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

Диагонали пересекаются под прямым углом.
Диагонали являются биссектрисами углов, из которых выходят.
Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь ромба можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны ромба на высоту ромба.

Как квадрат стороны ромба на синус угла между двумя сторонами.

Как полупроизведение диагоналей ромба.

Прямоугольник

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны 90 ° .

Свойства прямоугольника:

Диагонали прямоугольника равны.
Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь прямоугольника можно найти по двум формулам:

Как произведение двух смежных (соседних) сторон прямоугольника.

Как полупроизведение диагоналей (так как они обе равны, обозначим их буквой d ) на синус угла между ними.

Квадрат

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

Сохраняет свойства ромба.
Сохраняет свойства прямоугольника.

Площадь квадрата можно вычислить по двум формулам:

Как квадрат стороны.

Как полупроизведение квадратов диагоналей (диагонали в квадрате равны).

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Стороны, которые параллельны друг другу называются основаниями , другие две стороны называются боковыми сторонами .

B C и A D – основания, A B и C D – боковые стороны трапеции A B C D .

Свойства трапеции:

сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 ° .

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: m = a + b 2

Площадь трапеции можно найти по двум формулам:

Как полусумму оснований на высоту. Поскольку полусумма оснований есть средняя линия трапеции, можно найти площадь трапеции как произведение средней линии на высоту.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой два угла прямые.

Равнобокая (равнобедренная) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойство равнобокой трапеции: углы при основании равны

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с четырехугольниками

Как найти высоту трапеции?

В нашей жизни очень часто приходится сталкиваться с применением геометрии на практике, например, в строительстве. Среди наиболее часто встречающихся геометрических фигур есть и трапеция. И для того, чтобы проект был успешным и красивым, необходим правильный и точный расчет элементов для такой фигуры.

Что собой представляет трапеция? Это выпуклый четырехугольник, который имеет пару параллельных сторон, именуемых основаниями трапеции. Но есть еще две другие стороны, соединяющие эти основания. Их называют боковыми. Один из вопросов, касающийся данной фигуры, это: «Как найти высоту трапеции?» Сразу необходимо обратить внимание, что высота – это отрезок, определяющий расстояние от одного основания до другого. Существует несколько способов для определения этого расстояния, в зависимости от известных величин.

1. Известны величины обоих оснований, обозначим их b и k, а так же площадь данной трапеции. Используя известные величины, найти высоту трапеции в этом случае очень легко. Как известно из геометрии, площадь трапеции вычисляется, как произведение половины суммы оснований и высоты. Из этой формулы можно легко вывести искомую величину. Для этого необходимо площадь разделить на половину суммы оснований. В виде формул это будет выглядеть так:

2. Известна длина средней линии, обозначим ее d, и площадь. Для тех, кто не знает, средней линией называю расстояние между серединами боковых сторон. Как найти высоту трапеции в этом случае? Согласно свойству трапеции, средняя линия соответствует половине суммы оснований, то есть d=(b+k)/2. Опять же прибегаем к формуле площади. Заменив половину суммы оснований на величину средней линии, получим следующее:

Как видим из полученной формулы очень легко вывести высоту. Разделив площадь на величину средней линии, мы найдем искомую величину. Запишем это формулой:

3. Известна длина одной боковой стороны (b) и угол, образующийся между этой стороной и наибольшим основанием. Ответ на вопрос, как найти высоту трапеции, есть и в этом случае. Рассмотрим трапецию ABCD, где AB и CD являются боковыми сторонами, причем AB=b. Наибольшим основанием является AD. Угол, образованный AB и AD обозначим α. Из точки B опустим высоту h на основание AD. Теперь рассмотрим полученный треугольник ABF, который является прямоугольным. Сторона AB является гипотенузой, а BF-катетом. Из свойства прямоугольного треугольника отношение значения катета и значению гипотенузы соответствует синусу угла, противолежащего катету (BF). Поэтому, исходя из вышеизложенного, для вычисления высоты трапеции перемножаем значение известной стороны и синус угла α. В виде формулы это выглядит следующим образом:

4. Аналогично рассматривается случай, если известны размер боковой стороны и угол, обозначим его β, образующийся между этой стороной и меньшим основанием. При решении такой задачи величина угла между известной боковой стороной и проведенной высотой будет 90°- β. Из свойства треугольников – отношение длины катета и гипотенузы соответствует косинусу угла, расположенного между ними. Из этой формулы легко вывести величину высоты:

5. Как найти высоту трапеции, если известен лишь радиус вписанной окружности? Из определения окружности, она касается одной точкой каждого основания. Кроме того, эти точки находятся на одной линии с центром окружности. Из этого следует, что расстояние между ними является диаметром и, в то же время, высотой трапеции. Выглядит так:

6. Часто встречаются задачи, в которых необходимо найти высоту равнобедренной трапеции. Напомним, что трапеция, имеющая равные боковые стороны, называется равнобедренной. Как найти высоту равнобедренной трапеции? При перпендикулярных диагоналях высота равна половине суммы оснований.

Но, что делать, если диагонали не перпендикулярны? Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD. Согласно ее свойствам, основания параллельны. Из этого следует, что углы при основаниях также будут равны. Проведем две высоты BF и CM. Исходя из вышесказанного, можно утверждать, что треугольники ABF и DCM равны, то есть AF= DM = (AD – BC)/2 = (b-k)/ 2. Теперь, исходя из условия задачи, определимся с известными величинами, а уж потом находим высоту, учитывая все свойства равнобедренной трапеции.

[spoiler title=”источники:”]

Геометрия. Урок 4. Четырехугольники

http://fb.ru/article/36728/kak-nayti-vyisotu-trapetsii

[/spoiler]

Источник

Определение четырехугольника

Четырехугольник – это многоугольник с четырьмя вершинами, три из которых не лежат на одной прямой.

Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, три из которых не лежат на одной прямой, последовательно соединенная отрезками.

Свойства четырехугольников

Четырехугольник может быть:

Самопересекающимся
Невыпуклым
Выпуклым

Самопересекающийся четырехугольник – это четырехугольник, у которого любые из его сторон имеют точку пересечения (на рисунке синим цветом).
Невыпуклый четырехугольник – это четырехугольник, в котором один из внутренних углов более 180 градусов (на рисунке обозначен красным цветом)

Сумма углов любого четырехугольника, который не является самоперсекающимся всегда равна 360 градусов.

Особые виды четырехугольников

Подробнее о каждом из особых видов четырехугольника можно узнать, перейдя по ссылкам выше.
Как видно из рисунка, особые виды четырехугольников наследуют свойства своих “предков”. Например, прямоугольник (на рисунке показан темно-синим цветом) является особым случаем параллелограмма (на рисунке показан голубым цветом). Таким образом, у него сохраняются все его свойства и добавляются свои, особенные. Поэтому при решении задач про прямоугольники можно применять все свойства и теоремы параллелограмма.
Квадрат (на рисунке показан оранжевым цветом) – частный случай прямоугольника. То есть квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника, а также и свои, особенные. Но, самое интересное, квадрат также является частным случаем ромба (на рисунке показан красным цветом), то есть, кроме указанных (параллелограмм, прямоугольник), он обладает еще и всеми свойствами ромба.

Также, интересными особыми случаями четырехугольника являются трапеция и дельтоид.

Четырехугольник и окружность

Главное свойство описанного четырехугольника:

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.

Четырехугольник, вписанный в окружность (окружность, описанная вокруг четырехугольника)

Главное свойство вписанного четырехугольника:

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180 градусов.

Свойства длин сторон четырехугольника

Модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других его сторон.

Важно. Неравенство верно для любой комбинации сторон четырехугольника. Рисунок приведен исключительно для облегчения восприятия.

В любом четырёхугольнике сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны.

Важно. При решении задач в пределах школьной программы можно использовать строгое неравенство ( 0

Четырехугольники

теория по математике 📈 планиметрия

Выпуклый четырехугольник

Определение

Виды и свойства выпуклых четырехугольников

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

Прямоугольник

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Противоположные стороны прямоугольника равны (АВ=CD, ВС=АD).
Диагонали прямоугольника равны (АС=ВD).
Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Периметр прямоугольника – это сумма длин всех сторон: Р=(а + b) × 2, где а и b соседние (смежные) стороны прямоугольника
Площадь прямоугольника – это произведение длин соседних (смежных) сторон, формула для нахождения площади прямоугольника:

S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника.

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

Диагонали квадрата равны (BD=AC).
Диагонали квадрата пересекаются под углом 90 градусов.
Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам (BO=OD, AO=OC).
Периметр квадрата – это сумма длин всех сторон. Так как все стороны квадрата равны, то его можно найти по формуле Р=4×а, где а — длина стороны квадрата.
Площадь квадрата – это произведение длин соседних сторон, формула для нахождения площади прямоугольника S=a 2 , где a — длина стороны квадрата.

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Трапеция

Виды трапеций

углы А и С равны по 90 градусов

Средняя линия трапеции

Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30 0 и 135 0 , а СD =17

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции.

Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 22 √ 2 . Найти диагональ этого квадрата.

с=44 √ 2 × √ 2 =44 √ 4 =44 × 2=88

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу:

12,8= d 1 × 16 × 2 5 . . 2 . .

В правой части можно сократить 16 и 2 на 2: 12,8= d 1 × 8 × 2 5 . . 1 . .

Теперь умножим 8 на дробь 2 5 . . , получим 3,2: 12,8= d 1 × 3 , 2

Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d 1 =12,8:3,2=4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание №1

Объекты	яблони	теплица	сарай	жилой дом
Цифры

Решение

Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:

Итак, получили следующее:

1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.

Заполняем нашу таблицу:

Объекты	яблони	теплица	сарай	жилой дом
Цифры	3	5	1	7

Записываем ответ: 3517

Задание №2

Решение

Задание №3

Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Задание №4

Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м

Задание №5

Номер магазина	Расход краски	Масса краски в одной банке	Стоимость одной банки краски	Стоимость доставки заказа
1	0,25 кг/кв.м	6 кг	3000 руб.	500 руб.
2	0,4 кг/кв.м	5 кг	1900 руб.	800 руб.

Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

Решение

Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:

1 магазин: 232х0,25=58 кг

2 магазин: 232х0,4=92,8 кг

Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:

1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)

2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.

Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:

1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.

2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

[spoiler title=”источники:”]

http://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/chapter0492/

Четырехугольники

[/spoiler]

Источник

Трапецией принято называть выпуклую четырёхугольную четырехугольник с парой параллельных и двумя не
параллельными сторонами. Отрезки, которые создают параллельные прямы называются «основанием
трапеции», две других стороны играют роль «боковой стороны трапеции». Средняя линия трапеции будет
соединять два центра боковых сторон.

Высота трапеции через боковую сторону и прилегающий угол
при основании
Высота трапеции через площадь и длины оснований
Высота трапеции через площадь и среднию линию
Высота трапеции через основании, диагонали и угол между
диагоналями
Высота трапеции через среднию линию, диагонали и угол между
диагоналями

Как найти высоту при помощи боковой стороны и прилегающего угла при основании

Для вычисления высоты трапеции через боковую сторону и прилегающий угол при основании нужно
воспользоваться нижеприведенной формулой:

h = a · sin α

где h — это искомая высота трапеции, a — известная боковая сторона, sin α — угол
при основании.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Чтобы разобраться с применением формулы, давайте рассмотрим пример. Дана
некая трапеция. Нам известно, что боковая сторона равна 10 сантиметрам, а прилегающих угол
составляет 30 гр. Нам нужно найти высоту данной трапеции. Для решения у нас есть вся нужная
информация и формула выше. Подставляем значения в формулу: h = a · sin, h = 10 · sin 30, h = 10 · 1/2, h = 5 см

Как найти высоту трапецию при помощи длины основания и площади трапеции

Чтобы найти высоту трапеции через известные длины основания и площадь, нужно воспользоваться
формулой:

h = (2S) / (a + b)

где h — это искомая высота трапеции, S — известная площадь фигуры, a и b — длины
обеих оснований.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Закрепим на примере: Нам известно, что в трапеции АВСD основания a и b равны
5 и 10 сантиметров. Площадь фигуры равна 30 квадратных сантиметров. Для решения нужно
воспользоваться формулой. h = (2S) / (a + b), h = (2 х 30) / (5 + 10), h = 60 /15, h = 4 см.
Высота трапеции равна 4 см.

Как найти высоту при помощи диагоналей, углу между диагоналями и средней линией трапеции

Чтобы найти высоту трапеции через среднюю линию, известные диагонали и угол между ними, нужно
прибегнуть к применению выведенной формулы:

h = ((D x d) / (2m)) x sin (α)

где h — это искомая высота трапеции, D и d — известные диагонали, m — средняя
линия, sin(α) — угол между диагоналями.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Закрепим на примере: Дана трапеция с диагоналями 5 и 12 сантиметров.
Известно, что средняя линия фигуры равна 6 см, а угол между диагоналями – 30 градусов. Применив
формулу выше, мы сможем с легкостью найти высоту трапеции. h = ((D x d) / (2m)) x sin (α), h = ((5 x 12) / (2 х 6)) x sin (30), h = (60 /12) x 0.5, h = 2.5 см.
Высота трапеции равна 2.5 см.

Как найти высоту при помощи средней линии и площади трапеции

Чтобы найти высоту трапеции через площадь и среднюю линию воспользуемся выведенной формулой:

h = (2S) / m

где h — это искомая высота трапеции, S — известная площадь фигуры, а m — средняя
линия.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Закрепим на примере: Площадь произвольной трапеции составляет 30 квадратных
сантиметров. Средняя линия фигуры равна 5 см. Нужно найти высоту по формуле. h = (2S) / m, h = (2 х 30) / 5, h = 60 / 5, h = 12 см. 12
см – высота трапеции.

Как найти высоту при помощи известного основания, диагоналей трапеции и угла между диагоналями

Для нахождения высоты трапеции при помощи известного основания, диагонали и углу между диагоналями
используют нижеприведенную формулу:

h = ((Dd) / (a + b)) x sin (α)

где h — это искомая высота трапеции, D и d — известные диагонали, a и b — длины
обеих оснований, sin(α) — угол между диагоналями.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Закрепим на примере: В трапеции ABCD диагонали равны 10 см каждая. Известно,
что сумма основ фигура равна 20 см. Угол, созданный между диагоналями – 30 градусов. Нужно найти
высоту. Для этого нужно воспользоваться выше предоставленной формулой. h = ((Dd) / (a+b)) x sin (α), h = ((10 х 10) / (20)) x sin (30), h = 5 x sin (30), h = 2.5 см.
Высота трапеции равна 2.5 см

Можно выделить 2 разновидности трапеции:

Трапеция, в которой одна из боковых сторон лежит под перпендикулярным углом с обеими основами
называется прямоугольной.
Трапеции с равными боковыми сторонами называется равнобедренной.

Высотой трапеции принято называть отрезок, которой показывает самое короткое расстояние между верхним
и нижним основанием фигуры. Существует большое количество математических задач разного уровня
сложности, для решения которых активно применяют высоту. Стоит разобраться со всеми возможными
формулами, которые используются для нахождения высоты трапеции.

Источник

Что такое трапеция

Определение

Трапеция — это геометрическая фигура, которая состоит из двух параллельных и неравных друг другу отрезков (оснований) и боковых сторон.

Все стороны трапеции могут иметь разную величину. Но если ее боковые стороны равны, значит трапеция равнобедренная.

Определение

Высота трапеции — это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания фигуры до другого.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

1. Формула высоты через сторону и прилегающий угол при основании:

h = c·sin α = d·sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =	sin γ ·	d₁ d₂	=	sin δ ·	d₁ d₂
a + b	a + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =	sin γ ·	d₁ d₂	=	sin δ ·	d₁ d₂
2m	2m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:
h = Sm

Видео

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

2. Формула площади через среднюю линию и высоту:

S = m · h

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =	d₁d₂	· sin γ	=	d₁d₂	· sin δ
2	2

4. Формула площади через четыре стороны:

S =	a + b	√	c² —	(	(a — b)² + c² — d ²	)	²
2	2(a — b)

5. Формула Герона для трапеции S = a + b √(p — a )(p — b )(p — a — c )(p — a — d ) |a — b | где p = a + b + c + d — полупериметр трапеции.2

Четырёхугольник – это фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом, никакие три из указанных точек не должны быть расположены на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки – сторонами четырёхугольника.

Вершины, являющиеся концами одной стороны четырёхугольника, называются соседними, а вершины, не принадлежащие одной стороне – противолежащими. Стороны, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами, а не имеющие общих вершин – противолежащими сторонами. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями четырёхугольника. Точки, принадлежащие четырёхугольнику, делят плоскость q на два множества, которые образуют две области – внутреннюю и внешнюю.

Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым).

Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника.

Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Угол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов углы являются внешними.

Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше Градусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна

Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна Доказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы.

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна

Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами.

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны.

Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны.

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна

Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника.

Признаки параллелограмма

Теорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм.

Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм.

Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм.

Прямоугольник

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику.

Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство:

Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны.

Признак прямоугольника

Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом.

Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если то параллелограмм является ромбом.

Доказательство теоремы 1.

Дано: ромб.

Докажите, что

Доказательство (словестное): По определению ромба При этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что равнобедренный. Медиана (так как ), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. Так как является прямым углом, то . Аналогичным образом можно доказать, что

Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения.

Ромб:

1. Все свойства параллелограмма действительны для ромба.
2. Все стороны конгруэнтны.
3. Диагонали взаимно перпендикулярны.
4. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Квадрат:

1. Все свойства прямоугольника и ромба действительны для квадрата.
2. Все углы прямые.
3. Все стороны конгруэнтны.
4. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, являются биссектрисами углов квадрата.

Трапеция

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами.

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией.

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией.

Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны.

Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны.

План доказательства теоремы 2

Дано: равнобедренная трапеция.

Докажите:

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если тогда Запишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.

Доказательство: через точку проведем параллельную прямую к прямой

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Исследование: 1) В треугольнике через точку – середину стороны проведите прямую параллельную Какая фигура получилась? Является ли трапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков Можно ли утверждать, что

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника. Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине

Доказательство. Пусть дан треугольник и его средняя линия Проведём через точку прямую параллельную стороне По теореме Фалеса, она проходит через середину стороны т.е. совпадает со средней линией Т.е. средняя линия параллельна стороне Теперь проведём среднюю линию Т.к. то четырёхугольник является параллелограммом. По свойству параллелограмма По теореме Фалеса Тогда Теорема доказана.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство: Через точку и точку середину проведём прямую и обозначим точку пересечения со стороной через

Координаты середины отрезка

Исследование: Начертите числовую ось. Постройте окружность с центром в точке радиусом 3 единицы. Вычислите значение выражения Есть ли связь между значением данного выражения и координатой точки

Координаты середины отрезка

1) Пусть на числовой оси заданы точки и и точка которая является серединой отрезка

то а отсюда следует, что

2) По теореме Фалеса, если точка является серединой отрезка то на оси абсцисс точка является соответственно координатой середины отрезка концы которого находятся в точках и

3) Координаты середины отрезка с концами и точки находятся так:

Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок параллелен одной из осей координат.

Теорема Пифагора

В этом разделе вы научитесь:

различать рациональные и иррациональные числа;
упрощать выражения, содержащие квадратные корни;
решать задания на извлечение квадратного корня;
основам теоремы Пифагора;
решать практические задачи, применяя теорему Пифагора.

При решении таких задач как вычисления силы шторма на море, скорости автомобиля при аварии, определения места приземления при прыжке с парашютом часто приходится проводить вычисления с числами, стоящими под знаком корня.

Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач.

Имя Пифагора ассоциируется с прямоугольным треугольником и соотношением между его сторонами. Греческий учёный Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, является основателем школы, в которой преподавались музыка, гимнастика, философия и геометрия. Ученики школы называли себя Пифагорейцами. Они провозглашали гармонию музыки и чисел в природе и не верили в существование иррациональных чисел.

Практическая работа:

Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата.

Шаг 2. На стороне одного из них отметьте отрезки как показано на рисунке и разрежьте его на два квадрата и два прямоугольника.

Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.

Шаг 4. На сторонах другого квадрата отметьте отрезки как показано на рисунке и отрежьте четыре прямоугольных треугольника.

Шаг 5. Что вы можете сказать о конгруэнтности данных треугольников? К какому виду относится оставшаяся фигура, после того, как вы отрезали треугольники и убрали их? Чему равен каждый внутренний угол данного четырёхугольника?

Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.

Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли?

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Если рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, то теорему Пифагора можно перефразировать так: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах:

Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора.

Пример:

Найдём длину катета на рисунке:

Историческая справка: Пифагор родился в 569 году до нашей эры на острове Самос в Греции. В истории его имя увековечено теоремой, которая называется теоремой Пифагора. Она известна своей простотой и практическим значением. Об этой теореме знали ещё задолго до Пифагора. Однако, из письменных источников следует, что впервые её доказал именно Пифагор. Помимо оригинального доказательства теоремы самим Пифагором, известны также доказательстве» Эвклида, Леонардо да Винчи, Президента Америки Джеймса Гарфилда. В 1940 году широкой публике была представлена книга, где приводилось 370 доказательств теоремы. На рисунке вы видите статую, возведённую в честь Пифагора на его родине на острове Самос.

Обратная теорема:

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным треугольником. Если то, – прямоугольный.

Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25,… также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа являются Пифагоровыми тройками, то и числа также являются Пифагоровыми тройками.

Справочный материал по четырёхугольнику

Обозначим четыре точки, например А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Последовательно соединим их непересекающимися отрезками АВ, ВС, CD, DA. Получим четырёхугольник ABCD.

(рис. 1).

Точки А, В, С, D – вершины четырёхугольника, отрезки АВ, ВС, CD, DA – его стороны. Углы DAB, ABC, BCD, CDA – это углы четырёхугольника. Их также обозначают одной буквой –

Вершины, стороны и углы четырёхугольника называют его элементами. ? | Почему фигуры, изображённые на рисунках 2 и 3, не являются четырёхугольниками?

У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой.

Четырёхугольник обозначают, последовательно записывая его вершины, начиная с любой из них. Например, четырёхугольник на рисунке 4 можно обозначить так: ABCD, или BCDA, или CDAB и т. д. Но для данного четырёхугольника запись, например, ADBC либо CDBA – неверна.

Две вершины, два угла или две стороны четырёхугольника могут быть либо соседними, либо противоположными. Например, в четырёхугольнике ABCD (рис. 4) вершины А и D, ZA и ZD, стороны AD и АВ – соседние, а вершины А и С, , стороны AD и ВС – противоположные.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются его диагоналями. На рис. 4 отрезки АС и BD – диагонали четырёхугольника ABCD.

Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Если четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, соединяющей две его соседние вершины, то он выпуклый. На рисунке 5 четырёхугольник выпуклый, а на рисунке б – невыпуклый, поскольку он не лежит по одну сторону от прямой, проходящей через вершины М и N.

Мы будем изучать лишь выпуклые четырёхугольники. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром. Периметр обозначают буквой Р.

Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: =40 cm

Пример:

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон.

Решение:

Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В + CD (по неравенству треугольника). Тогда . Аналогично АВ< ВС+ CD + AD, BC

Может ли четырёхугольник иметь стороны: 1 см, 2 см, 3 см, 6 см? Не может, так как наибольшая сторона равна сумме трёх других.

Для того чтобы определить, можно ли из четырёх отрезков а, Ь, с, d построить четырёхугольник, проверьте, является ли наибольший из четырёх отрезков меньше, чем сумма трёх других.

Начертите произвольный четырёхугольник и измерьте транспортиром его углы. Чему равна их сумма?

Теорема (о сумме углов четырёхугольника).

Сумма углов четырёхугольника равна 360е.

Дано: четырёхугольник ABCD (рис. 8).

Доказать;

Доказательство. Диагональ АС четырёхугольника ABCD разделяет его на два треугольника ABC и ACD. Сумма углов четырёхугольника равна сумме всех углов этих треугольников, то есть

Могут ли в четырёхугольнике все углы быть острыми? Нет, поскольку тогда сумма этих углов будет меньше 360°.

Угол, смежный с углом четырёхугольника, называют внешним углом четырёхугольника.

На рисунке 9 – внешний угол четырёхугольника при вершине D.

1. У вас может возникнуть вопрос: Чем отличаются выпуклые и невыпуклые четырёхугольники?

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD (рис. 10) пересекаются, и каждая из них разделяет его на два треугольника. А диагонали невыпуклого четырёхугольника MNKP (рис. 11) не пересекаются, и только одна из них разбивает его на два треугольника.

Каждый угол выпуклого четырёхугольника меньше 180°. Если четырёхугольник невыпуклый, то один из его углов больше 180°.

Понятие «внешний угол» относится только к выпуклым четырёхугольникам. Посмотрите на рисунок 11. В невыпуклом четырёхугольнике MNKP угол N больше 180°. А понятие внешнего угла на углы, которые больше 180е, не распространяется, ведь согласно определению – это угол, смежный с углом четырёхугольника.

2. В отличие от треугольника четырёхугольник – фигура нежёсткая. Если взять четыре планки и соединить их шарнирами, то форму полученного четырёхугольника можно изменять (рис. 12).

3. Термин «диагональ» происходит от греческого слова diagonios, что означает «идущий от угла к углу». Этот термин стал общепринятым лишь в XVIII веке.

Параллелограмм и его свойства

Если пару параллельных прямых пересечём другой парой параллельных прямых, то получим четырёхугольник, в котором противоположные стороны попарно параллельны. В четырёхугольнике ABCD (рис. 28) AD || ВС и АВ || DC.

Четырёхугольник, в котором противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одной стороны к параллельной ей стороне (либо её продолжению).

На рисунке 29 отрезки ВМ и BN – высоты параллелограмма ABCD.

Теорема (свойство сторон и углов параллелограмма).

В параллелограмме: 1) противоположные стороны равны; 2) противоположные углы равны.

Дано: ABCD – параллелограмм (рис. 30).

Доказать:

Доказательство. Проведём диагональ AC. по стороне и прилежащим к ней углам. При этом АС — общая сторона, – внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей AC, также, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых >45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD 2) . Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.

Может ли в параллелограмме быть только один острый угол? Не может, так как, согласно доказанной теореме, таких углов два.

Пример №1

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.

Решение:

(рис. 31) по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых ВС и AD и секущей АВ. Аналогично (АВ CD, ВС-секущая), (ВС || AD, CD – секущая), (АВ || CD, AD- секущая).

Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).

Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 32), АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.

Доказательство. по стороне А и прилежащим к ней углам. Из них ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD, (BC || AD, АС— секущая). Из равенства треугольников AOD и СОВ следует: АО = ОС, ВО = OD.

Для того чтобы доказать равенство отрезков (углов) в параллелограмме, докажите равенство треугольников, соответствующими элементами которых являются эти отрезки (углы).

Свойства параллелограмма приведены в таблице 3.

1. Возникает вопрос: Сколько данных необходимо для построения параллелограмма ?Таких данных должно быть три, среди которых — не более одного из его углов (один угол параллелограмма определяет остальные углы).

2. Название «параллелограмм» (parallelogrammon) происходит от сочетания греческих слов: «параллелос» — идущий рядом и «грамма» — линия.

Этот термин впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Сначала вместо термина «параллелограмм» древнегреческий учёный использовал словосочетание «образованная параллельными линиями площадь» (часть плоскости, ограниченная двумя парами параллельных прямых).

Признаки параллелограмма

Решaя задачи, иногда требуется установить, что данный четырёхугольник – параллелограмм. Для этого используют признаки параллелограмма.

Теорема (признак параллелограмма).

Если противоположные стороны четырёхугольника попарнo равны, то такой четырёхугольник – параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Доказать: ABCD— параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ BD (рис. 52). по трём сторонам. У них BD— общая сторона, АВ = DC и ВС = AD по условию. Из равенства треугольников следует: Углы CBD и ADB— внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ВС || AD. Углы ABD и СОВ также внутренние накрест лежащие при прямых АВ и DC и секущей BD. Поэтому АВ || DC. Так как в четырёхугольнике ABCD ВС ||AD и АВ ||DC, то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Можно ли считать четырёхугольник параллелограммом, если в нём две противоположные стороны равны, а две другие – параллельны?

Нет, нельзя. На рисунке 53 АВ = CD, ВС || AD, но четырёхугольник ABCD – не параллелограмм.

Теорема (признак параллелограмма).

Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник – параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС (рис. 54). по двум сторонам и углу между ними. У них АС — общая сторона, АВ = DC по условию, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС. Из равенства треугольников следует: Но углы DAC и ВС А — внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Поэтому ВС || AD. Поскольку в четырёхугольнике ABCD AD || БС(по доказанному) и АВ || DC (по условию), то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пример №2 (признак параллелограмма).

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD—данный четырёхугольник, О — точка пересечения его диагоналей и ВО= OD, АО= ОС (рис. 55). Докажем, что ABCD — параллелограмм. по двум сторонам и углу между ними. У них ВО = OD, АО = ОС по условию, как вертикальные. Из равенства треугольников следует: ВС= AD и Но углы ОВС и ODA — внутренние накрест лежащие при прямых BCuADh секущей BD. Поэтому BC\AD.

Поскольку в четырёхугольнике ABCD ВС= AD и ВС || AD, то, согласно доказанному признаку, этот четырёхугольник – параллелограмм.

Чтобы установить, что четырёхугольник – параллелограмм, докажите, что в нём:

либо противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма),
либо противоположные стороны попарно равны (признак),
либо две противоположные стороны равны и параллельны (признак),
либо диагонали делятся точкой их пересечения пополам (признак).

Вам уже знакомы понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». В таблице 5 рассмотрите пары утверждений А и В и выясните смысл этих понятий.

Обратите внимание, что утверждения «Л достаточно для в» и «А необходимо для В» — взаимно обратные. Их можно объединить и сформулировать следующим образом.

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.

Иногда вместо «необходимое и достаточное условие» говорят «необходимый и достаточный признак», а чаще — просто «признак». Поэтому теоремы этого параграфа называем «признаками параллелограмма».

Прямоугольник

Параллелограммы, как и –у треугольники, можно разделить на виды. Прямоугольник – один из видов параллелограмма. На рисунке 73 вы видите параллелограмм ABCD являющийся прямоугольником. Дайте определение прямоугольнику и сравните его с приведённым в учебнике.

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Поскольку прямоугольник – частный вид параллелограмма, то ему присущи все свойства параллелограмма:

противоположные стороны равны;
противоположные углы равны;
диагонали делятся точкой их пересечения пополам.

Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).

Доказать: АС = BD.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACDw DBA равны по двум катетам. При этом AD — общий катет, а катеты АВ и DC равны как противоположные стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует: АС = BD.

Свойства прямоугольника приведены в таблице 8.

Можно ли утверждать, что параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником? Да, но это нужно доказать.

Пример №3 (признак прямоугольника).

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором АС = BD (рис. в табл. 8). Докажем, что . по трём сторонам. У них AD — общая сторона, АС = BD по условию, АВ = DC — как противоположные стороны параллелограмма. Из этого следует, что . Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то: . По свойству углов четырёхугольника,

Следовательно, : 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм – прямоугольник, докажите, что у него: либо все его углы прямые (определение прямоугольника), либо диагонали равны (признак).

Можно ли утверждать, что четырёхугольник, в котором диагонали равны, – это прямоугольник? Нет, нельзя (см. рис. 75). Необходимо проверить, выполняется ли один из признаков параллелограмма. Например, делятся ли диагонали точкой их пересечения пополам.

Возникает вопрос: Можно ли сформулировать другие определения прямоугольника ?

В младших классах прямоугольником называли четырёхугольник, все углы в котором прямые. Теперь мы определили прямоугольник как частный вид параллелограмма. Возможны и такие определения прямоугольника: параллелограмм, в котором все углы равны (действительно, сумма углов параллелограмма составляет 360°, тогда каждый из них равен 90°); параллелограмм, в котором есть прямой угол (действительно, в параллелограмме сумма смежных углов составляет 180е, а противоположные углы равны. Если один из его углов прямой, то и три остальные — прямые). Эти определения прямоугольника эквивалентны.

Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия.

Ромб. Квадрат

Могут ли в параллелограмме все стороны быть равными? Да, могут. На рисунке 94 в параллелограмме ABCD АВ = ВС = = CD = AD. Это ещё один вид параллелограмма – ромб.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Можно ли утверждать, что параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны? Да, можно. Равенство всех сторон такого параллелограмма следует из свойства: противоположные стороны параллелограмма равны.

Теорема (свойства диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Дано: ABCD – ромб (рис. 95), О— точка пересечения диагоналей АС и BD.

Доказать:

Доказательство. Согласно определению ромба АВ = ВС, поэтому треугольник ABC— равнобедренный. Так как ромб ABCD— параллелограмм, то АО — ОС. Отсюда ВО— медиана равнобедренного треугольника ABC, следовательно, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому .

Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD.

Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О

Пример №4 (признак ромба)

Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Решение:

Пусть ABCD — данный параллелограмм, в котором (рис. 96). Докажем, что ABCD— ромб. по двум сторонами и углу между ними.

Так как ромб – это частный вид параллелограмма, то он имеет все свойства параллелограмма (назовите их). Кроме того, ромб обладает особыми свойствами. У них сторона АО — общая, OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма, по условию. Из равенства треугольников следует: АВ = AD. Тогда АВ = CD и AD = ВС по свойству противоположных сторон параллелограмма. Итак, все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм – ромб, докажите, что в нем:

либо все стороны равны (определение ромба),
либо диагонали взаимно перпендикулярны (признак).

Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом.

На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.

Существуют и другие определения квадрата: ромб, в котором все углы прямые, называется квадратом; прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом; параллелограмм, в котором все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом. Следовательно, квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата.

Противоположные стороны и противоположные углы квадрата равны. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам (свойства параллелограмма).
Диагонали квадрата равны (свойство прямоугольника).
Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (свойства ромба).

Квадрат является частным видом и ромба, и прямоугольника, и параллелограмма. Ромб и прямоугольник – это частные виды параллелограмма. Соотношение между видами параллелограммов показано на

1. Рассмотрите таблицу классификации параллелограммов по соседним углам и смежным сторонам. Предложите собственную классификацию изученных видов параллелограмма.

Таблица 1 1

2. Кроме параллелограммов есть ещё один вид четырёхугольников — дельтоид. Эту фигуру получим, если два равнобедренных треугольника ABC и ADCc равными основаниями АС приложить друг к другу так, как показано на рисунке 99.

Свойства дельтоида следуют из свойств равнобедренного треугольника. Например, диагонали взаимно перпендикулярны, одна из них делит углы пополам и другую диагональ — пополам. Сформулируйте, пользуясь рисунком, другие свойства дельтоида. Если равнобедренные треугольники, из которых образован дельтоид, равны, то такой дельтоид является ромбом. Если равнобедренные треугольники к тому же прямоугольные, то дельтоид является квадратом.

3. Слово «ромб» происходит от греческого rhombos — юла, вращение. Слово «квадрат» происходит от латинского quadratum — четырёхугольник. Квадрат был первым четырёхугольником, который рассматривался в геометрии.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Начертите угол ABC (рис. 117).

Произвольным раствором циркуля отложите на стороне АВ угла равные отрезки и Проведите с помощью чертёжного угольника и линейки через точки параллельные прямые, которые пересекут сторону ВС этого угла в точках При помощи циркуля сравните длины отрезков Сделайте вывод.

Теорема Фалёса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано:

Доказать:

Доказательство. Проведём через точки прямые параллельные ВС. по стороне и прилежащим к ней углам. У них по условию, как соответственные углы при параллельных прямых. Из равенства этих треугольников следует, что и как противоположные стороны параллелограммов

Справедлива ли теорема Фалеса, если вместо сторон угла взять две произвольные прямые? Да, справедлива. Параллельные прямые, пересекающие две заданные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой (рис. 119).

Пример №5

Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей.

Решение:

Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).

Отложим на луче АС пять равных отрезков: АА,Проведём прямую . Через точки проведём прямые, параллельные прямой . По теореме Фалеса, эти прямые делят отрезок АВ на пять равных частей.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 121 отрезок MN – средняя линия , так как точки М и N – середины сторон АВ и ВС.

Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна её половине.

Дано: (рис. 122), AD = BD, СЕ= BE.

Доказать:

Доказательство. 1) Пусть DE- средняя линия . Проведём через точку D прямую, параллельную АС. Согласно теореме Фалеса, она пересекает отрезок ВС в его середине £, то есть содержит среднюю линию DE. Следовательно DE || АС.

2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1

АС пополам: . По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно,

Пример №6

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Пусть ABC— данный четырёхугольник и М, N, Р, К — середины его сторон (рис. 123). Докажем, что MNPK — параллелограмм. Проведём диагональ AC. MN— средняя линия ААВС.

Поэтому . КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и

Получаем: MN || АС и КР || АС, отсюда MN || КР, отсюда MN= КР. Противоположные стороны MN и КР четырёхугольника MNPK равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Если по условию задачи даны середины некоторых отрезков, то можно использовать свойства средней линии треугольника.

Древнегреческого учёного Фалеса из Милета (625 — 548 гг. до н. э.) считают одним из семи мудрецов мира. Гений Фалеса нашёл воплощение в разных сферах деятельности. Он занимался инженерным делом, был государственным деятелем, математиком, астрономом. Особой заслугой Фалеса является то, что он ввёл в математику идею доказательства. Учёный доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что диаметр делит окружность на две равные части, что прямой угол можно вписать в полуокружность и т. д. Историки полагают, что именно Фалес начал использовать основные геометрические инструменты — циркуль и линейку. Учёный измерял высоту египетских пирамид по длине их теней, впервые предсказал солнечное затемнение, наблюдавшееся в 585 г. до н. э.

Трапеция

Вы уже знаете, что четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами – параллелограмм.

На рисунке 143 изображён четырёхугольник ABCD, две стороны AD и ВС которого параллельны, а две другие – АВ и CD – непараллельны. Такой четырёхугольник – трапеция. Дайте определение трапеции и сравните его с приведённым в учебнике.

Трапецией называется четырёхугольник, в которомдве стороны параллельны, а две другие – непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а непараллельные – боковыми сторонами. На рисунке 144 AD и ВС – основания трапеции, АВ и CD – боковые стороны.

Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию либо его продолжению (рис. 144).

Трапеция, в которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. На рисунке 145 трапеция MNKP – равнобедренная, поскольку MN = КР.

Трапецию, один из углов которой прямой, называют прямоугольной. Трапеция ABCD (рис. 146) – прямоугольная, поскольку = 90*.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

На рисунке 147 отрезок EF – средняя линия трапеции ABCD, так как точки Е и F – середины боковых сторон АВ и CD.

Теорема (свойства средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD – трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 148), EF— средняя линия. Доказать:

Доказательство. Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, то АЕ= BE, DF= CF. Через точки В и проведём прямую, пересекающую продолжение основания ADb точке Q. no стороне и прилежащим к ней углам. У них CF = FD по условию, как вертикальные, внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АО и секущей CD. Из равенства треугольников следует: BF— F0, то есть средняя линия ЕF трапеции является средней линией треугольника АВО.

1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\ ВС.

Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.

Проведём СЕ || АВ. Полученный четырёхугольник АВСЕ— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. По свойству параллелограмма, АВ = СЕ, а по условию — АВ = CD. Следовательно, С£= CD и равнобедренный. Поэтому соответственные углы при параллельных прямых СЕ и АВ и секущей АЁ. Отсюда

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне (рис. 149 или 150), и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.

Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами

Центральные и вписанные углы

Проведём окружность с центром О и построим угол с вершиной в центре окружности (рис. 182). Получили центральный угол в окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: — вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).

Доказать:

Доказательство. Рассмотрим три случая расположения центра , окружности относительно сторон данного вписанного угла.

1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 188). Проведём отрезок ОД тогда центральный угол АОС является внешним углом . По свойству внешнего угла треугольника, – равнобедренный (ОВ= OA = R). Поэтому измеряется дугой АС. Следовательно, вписанный угол ABC измеряется половиной дуги АС.

2. Центр окружности лежит во внутренней области вписанного угла (рис. 189). Проведём луч ВО, тогда данный угол равен сумме двух углов:

Из доказанного в первом случае следует, что измеряется половиной дуги AD, a — половиной дуги DC. Поэтому измеряется суммой полудуг AD и DC, то J есть половиной дуги АС.

3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда:

Следствие 1.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 191). Действительно, каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Следствие 2.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, – прямой (рис. 192). Действительно, такой угол измеряется половиной полуокружности, то есть 180°: 2 = 90°.

Равны ли вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (рис. 193)? Да, так как каждый из этих углов измеряется половиной равных дуг, градусные меры которых равны.

Пример №8

Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см.

Решение:

Проведём диаметр CD и соединим точки A и D (рис. 194). как вписанные, опирающиеся на дугу АС (следствие 1). Поэтому , так как опирается на диаметр окружности (следствие 2). Тогда в прямоугольном треугольнике ADC катет АС лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы CD. Следовательно,

Для того чтобы доказать равенство двух углов, покажите, что они являются вписанными в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу либо на равные дуги данной окружности.

Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение.

Пусть АВ — некоторый отрезок прямой а, М— произвольная точка, не лежащая на прямой a, (рис. 195). Тогда говорят: из точки М отрезок АВ виден под углом а.

Если описать окружность около (рис. 196), то из любой точки дуги АМВ (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а (следствие 1 из теоремы о вписанном угле). Поскольку точку можно взять и с другой стороны от прямой а, то существует ещё одна дуга, например ANB(рис. 197), из каждой точки которой (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а. Поэтому геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, является фигура, состоящая из двух дуг АМВ и AN В без точек А и В. Чтобы построить одну из двух дуг этого геометрического места точек для острого угла а, необходимо:

Вписанные и описанные четырёхугольники

Отметим на окружности четыре точки и соединим их хордами (рис. 222). Получили четырёхугольник, вписанный в окружность.

Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность – описанной около этого четырехугольника.

Отметим на окружности четыре точки и проведём через них отрезки касательных, как показано на рисунке 223. Получили четырёхугольник, описанный около окружности.

Четырёхугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность – вписанной в этот четырёхугольник.

Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство углов вписанного четырёхугольника). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180″.

Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).

Доказать:

Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность.

Из теоремы о вписанном угле следует:

Тогда

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда

Около каждого ли четырёхугольника можно описать окружность? В отличие от треугольника не каждый четырёхугольник – вписанный. Приведём признак вписанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180е, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пример №9

Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225).

Докажем, что . В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (следует из свойства параллельных прямых).

Поэтому, . По свойству равнобокой трапеции,

Тогда и, согласно признаку вписанного четырёхугольника, трапеция ABCD— вписанная. Свойство описанного четырёхугольника и его признак связаны со сторонами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство сторон описанного четырёхугольника). Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.

Доказать: АВ + CD = ВС + AD.

Доказательство. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Сложив почленно эти равенства, получим: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, то есть АВ + CD = ВС + AD.

В каждый ли четырёхугольник можно вписать окружность? В отличие от треугольника, не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Приведём признак описанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак описанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ےM + ےK = 180°, либо ےN + ےP= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC.

1. Кроме окружностей, вписанной и описанной около четырёхугольника, существуют ещё и вневписанные окружности.

Проведём в произвольном четырёхугольнике ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С и D [рис. 228). Точки их пересечения центры четырёх вневписанных окружностей. Каждая из них касается одной стороны четырёхугольника и продолжении двух других его сторон. Вневписанные окружности имеют следующее свойство: их центры являются вершинами четырёхугольника вписанного в окружность. Действительно,

Следовательно, четырёхугольник — вписанный в окружность.

2. Древнегреческие учёные открыли, кроме уже известных вам, другие интересные свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Например.

Теорема Птолемея (II в.). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Задача Архимеда (III в. до н. э.). Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов четырёх отрезков, на которые делятся диагонали точкой пересечения, равна квадрату диаметра описанной окружности. Позднее (IX — XIII в.) арабские учёные дополнили сведения о вписанных и описанных четырёхугольниках и способах исследования их свойств. Так, одарённый геометр Гасан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.) предложил, способ, позволяющий установить, используя лишь циркуль, является ли данный четырёхугольник вписанным. Пусть дан четырёхугольник ABCD(рис. 229).

Продолжим сторону AD за точку D. Проведём дуги равных окружностей с центрами в точках В и D. Если KL = МО, то четырёхугольник ABCD – вписанный, так как ےABC + ےADC = 180° (докажите это). В иных случаях четырёхугольник не является вписанным.

4 | 3. При решении задач иногда рассматриваются окружности, не заданные в условии. На рисунке к задаче сначала находим четырёхугольник, около которого можно описать окружность либо в который можно вписать окружность, а потом используем свойства хорд, диаметров, вписанных углов, углов с вершиной внутри окружности и т. д.

Пример №10

Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр MD к гипотенузе АВ (рис. 230). Докажем, что ےMAD= ےMCD.

Решение:

Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ےACM+ ےADM= 180°.

Тогда ےMAD= ےMCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.

Площади фигур в геометрии
Площади поверхностей геометрических тел
Вычисление площадей плоских фигур
Преобразование фигур в геометрии
Парабола
Многогранник
Решение задач на вычисление площадей
Тела вращения: цилиндр, конус, шар

Источник

Четырехугольники

теория по математике 📈 планиметрия

Выпуклый четырехугольник

Виды и свойства выпуклых четырехугольников

Прямоугольник

Квадрат

Параллелограмм

Трапеция

Виды трапеций

Средняя линия трапеции

Задание №1

Задание №2

Задание №3

Задание №4

Задание №5

Геометрия. Урок 4. Четырехугольники

Определение четырехугольника

Выпуклые четырехугольники

Параллелограмм

Прямоугольник

Квадрат

Трапеция

Примеры решений заданий из ОГЭ

Как найти высоту трапеции?

Определение четырехугольника

Свойства четырехугольников

Особые виды четырехугольников

Четырехугольник и окружность

Свойства длин сторон четырехугольника

Четырехугольники

теория по математике 📈 планиметрия

Выпуклый четырехугольник

Виды и свойства выпуклых четырехугольников

Прямоугольник

Квадрат

Параллелограмм

Трапеция

Виды трапеций

Средняя линия трапеции

Задание №1

Задание №2

Задание №3

Задание №4

Задание №5

Как найти высоту при помощи боковой стороны и прилегающего угла при основании

Как найти высоту трапецию при помощи длины основания и площади трапеции

Как найти высоту при помощи диагоналей, углу между диагоналями и средней линией трапеции

Как найти высоту при помощи средней линии и площади трапеции

Как найти высоту при помощи известного основания, диагоналей трапеции и угла между диагоналями

Что такое трапеция

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

Видео

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

Теги

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Признаки параллелограмма

Прямоугольник

Признак прямоугольника

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Трапеция

Средняя линия треугольника

Средняя линия трапеции

Координаты середины отрезка

Теорема Пифагора

Справочный материал по четырёхугольнику

Параллелограмм и его свойства

Пример №1

Признаки параллелограмма

Пример №2 (признак параллелограмма).

Прямоугольник

Пример №3 (признак прямоугольника).

Ромб. Квадрат

Пример №4 (признак ромба)