Как найти высоту если известен периметр треугольника

An equilateral triangle is a geometrical 2D figure which has all three sides equal. All the edges subtend an angle of 60° at the corners. Therefore, the sum of all the angles of the triangle is 180°.

Properties of an equilateral triangle

  • All three sides of an equilateral triangle are equal.
  • All the three angles are equal i.e 60° each.
  • A regular polygon has three equal sides.

Perimeter of an Equilateral Triangle

The perimeter of a square is referred to as the total length of the boundary enclosing the geometrical figure.

Perimeter of equilateral triangle = Sum of all sides of an equilateral triangle

Let us assume a to be the side of an equilateral triangle.

Since, we know, all the sides of the equilateral triangle are equal.

Perimeter of equilateral triangle = a + a + a

Perimeter of equilateral triangle = 3a

Altitude of an equilateral triangle

Perimeter of an equilateral triangle can be calculated using the altitude of the triangle. 

Let us assume ‘a’ to be the side of an equilateral triangle. 

Since, 

Height of an Equilateral Triangle = frac{sqrt3}{2}a 

Now, let us assume P to be the perimeter of the equilateral triangle. 

P = side + side + side

Since, all the sides are equal, 

P = 3a 

Substituting values, 

Height = frac{sqrt3}{2}(frac{P}{3})

Sample Questions

Question 1. Calculate the perimeter of an equilateral triangle having a height 20√3 cm.

Solution:

Here we have to find the Perimeter of the equilateral triangle with the height 20√3 cm

Formula for calculating perimeter using height is given below

Height = frac{sqrt3}{2}a

Here a is the side of the equilateral triangle 

20√3 = frac{sqrt3}{2}a

a = 20sqrt3timesfrac{2}{sqrt3}

a = 40 cm

Now further finding perimeter of the equilateral triangle

Perimeter of equilateral triangle = side + side + side = 3a

Perimeter of equilateral triangle = 3 × 40

Perimeter of equilateral triangle = 120 cm

Question 2. Assume the height of an Equilateral triangle is 100√3 m, then find its perimeter?

Solution:

Here we have to find the Perimeter of the equilateral triangle with the height 100√3 m

Formula for calculating perimeter using height is given below

Height = frac{sqrt3}{2}a

Here a is the side of the equilateral triangle

100√3 = frac{sqrt3}{2}a

a = 100sqrt3timesfrac{2}{sqrt3}

a = 200 m

Now further finding perimeter of the equilateral triangle

Perimeter of equilateral triangle = side + side + side = 3a

Perimeter of equilateral triangle = 3 × 200

Perimeter of equilateral triangle = 600 m

Question 3. Find the perimeter of an equilateral triangle with each side 22 m. Also, find its height?

Solution:

First find the perimeter of an equilateral triangle

Perimeter of equilateral triangle = side + side + side = 3a

Perimeter of equilateral triangle = 3 × 22

Perimeter of equilateral triangle = 66 m

Further finding the height of the equilateral triangle

Height = frac{sqrt3}{2}a

Here a is side of the equilateral triangle

Height = frac{sqrt3}{2}times22

Height of the equilateral triangle = 11√3

Question 4. If the perimeter of an equilateral triangle is 99 cm, then find the height of the equilateral triangle?

Solution:

First we have to find the side of equilateral triangle

As we know that

Perimeter of equilateral triangle = side + side + side = 3a

As given in the question

Perimeter of equilateral triangle = 99 cm

3a = 99 cm

a = frac{99}{3}

a = 33 cm

Hence the side of triangle is 33 cm

Further finding the height of the equilateral triangle

Height = frac{sqrt3}{2}a

Here a is side of the equilateral triangle

Height = frac{sqrt3}{2}times33

Height of the equilateral triangle = 16.5√3

Question 5. Find out the perimeter of an equilateral triangle having a height of 200 cm.

Solution:

Here we have to find the Perimeter of the equilateral triangle with the height 200 cm

Formula for calculating perimeter using height is given below

Height = frac{sqrt3}{2}a

Here a is the side of the equilateral triangle

200 = frac{sqrt3}{2}a

a = 200timesfrac{2}{sqrt3}

a = 230.94 cm

Now further finding perimeter of the equilateral triangle

Perimeter of equilateral triangle = side + side + side = 3a

Perimeter of equilateral triangle = 3 × 230.94

Perimeter of equilateral triangle = 692.82 cm

Last Updated :
09 Nov, 2021

Like Article

Save Article

Все формулы высоты треугольника

Высота– перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется – ортоцентр.

H – высота треугольника

a – сторона, основание

b, c – стороны

β , γ – углы при основании

p – полупериметр, p=(a+b+c)/2

R – радиус описанной окружности

S – площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Формулы для нахождения высоты треугольника

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

1. Через площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты ha, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

2. Через стороны треугольника

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Расчёт периметра равнобедренного треугольника по основанию и высоте

Калькулятор рассчитывает периметр равнобедренного треугольника по основанию и высоте.

Периметром треугольника называется сумма всех длин его сторон.

Определение равнобедренного треугольника

Треугольник называется равнобедренным если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми, а третья основанием.

Определение высоты треугольника

Высотой треугольника называется перпендикуляляр опущенные с вершины треугольника к прямой содержащей противоположную сторону.

[spoiler title=”источники:”]

http://calc-best.ru/matematicheskie/perimetry-figur/perimetr-treugolnika/po-osnovaniyu-i-vysote

[/spoiler]

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

  • Нахождение высоты треугольника

    • Высота в разностороннем треугольнике

    • Высота в равнобедренном треугольнике

    • Высота в прямоугольном треугольнике

    • Высота в равностороннем треугольнике

  • Примеры задач

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

Высота в разностороннем треугольнике ABC

1. Через площадь и длину стороны

Формула для нахождения высоты треугольника через его площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

Формула для нахождения высоты треугольника через длины его сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

Формула для расчета полупериметра треугольника

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

Формула для нахождения высоты треугольника через длину стороны и синуса угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

Формула для нахождения высоты треугольника через длины сторон и радиус описанной окружности

Описанная вокруг разностороннего треугольника окружность

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты ha, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Формула для нахождения высоты к основанию в равнобедренном треугольнике

Опущенная на основание равнобедренного треугольника высота

Высота в прямоугольном треугольнике

Проведенная к гипотенузе высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

Формула для нахождения высоты к гипотенузе в прямоугольном треугольнике

2. Через стороны треугольника

Формула для нахождения высоты к гипотенузе в прямоугольном треугольнике через длины его сторон

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Формула для нахождения высоты в равностороннем треугольнике

Высота в равностороннем треугольнике

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Нахождение высоты треугольника через длину стороны и синус прилежащего угла (пример)

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Нахождение основания равнобедренного треугольника через высоту и боковую сторону (пример)

Здесь рассмотрены все возможные способы нахождения высоты треугольников разных типов. Высота
треугольника – отрезок, проведенный из вершины треугольника перпендикулярно к противоположной
стороне. В задачах нахождение высоты часто является промежуточным звеном для поиска других значений.
Она и является катетом в треугольнике, который сама же образует, и участвует во многих формулах,
например, для нахождения площади.

  • Высота разностороннего треугольника через площадь и длину
    стороны
  • Высота разностороннего треугольника через длины всех
    сторон
  • Высота разностороннего треугольника через длину прилежащей
    стороны и синус угла
  • Высота разностороннего треугольника через стороны и радиус
    описанной окружности
  • Высота равнобедренного треугольника через основание и
    боковые стороны
  • Высота прямоугольного треугольника через длины отрезков,
    образованных на гипотенузе
  • Высота прямоугольного треугольника через все стороны
    треугольника
  • Высота равностороннего треугольника через сторону
    треугольника

Через площадь и длину стороны разностороннего треугольника

Через площадь и длину высота находится по формуле:

h = 2S / a

где S – площадь треугольника, а – сторона треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Согласно этой формуле высота равна удвоенной площади, деленной на длину стороны, к которой она
проведена.

Пример.  Найдите высоту разностороннего треугольника, проведенную к стороне а,
площадь которого равна 27 см, а длина стороны а составляет одну треть от площади. Решение: Найдем
сторону а. Так как известно, что она составляет треть от площади, а = 27 / 3 = 9 см.
Теперь воспользуемся формулой для нахождения высоты: h = 2S / a. Подставим
известные значения. h = 2 * 27 / 9 = 6 см. Ответ: 6 см

Через длины всех сторон разностороннего треугольника

Через длины всех сторон высота разностороннего треугольника ищется по формуле:

h = (2 √(p (p-a)(p-b)(p-c))) / 2
p = (a + b + c) / 2

где h – высота, а, b, c – стороны треугольника, p – полупериметр треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Полупериметр треугольника можно найти либо в два этапа через периметр, либо сразу по формуле. Этим
способом удобно пользоваться, когда треугольник разносторонний.

Пример. Периметр разностороннего треугольника равен 18 см. Длины сторон 6 см и 8 см. Найдите
высоту, проведенную к стороне а. Решение: P = a + b + c, значит с = P – a – b , то есть c = 18 – 8 – 6 = 4 см. Для
нахождения h будем использовать формулу h = (2 √(p (p-a)(p-b)(p-c))) / 2.
Сначала найдем полупериметр (p): p = p / 2 = 18 / 2 = 9 см. Подставим,
найденные значения в формулу высоты: h = (2 √(9 (9 — 6)(9 — 8)(9 — 4))) / 2 = √135 / 3 = 2,12 см

Через длину прилежащей стороны и синус угла разностороннего треугольника

Через длину прилежащей стороны и синус угла высота ищется по следующей формуле:

h = a * sin α

где а – длина стороны, sin α – синус прилежащей стороны.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В разностороннем треугольнике высота проведена к стороне AB. Угол ACH равен
30˚, а длина стороны AB 12 см. Найдите длину высоты CH в треугольнике ABC. По теореме о сумме углов
в треугольнике найдем угол САН. ∠САН = 180 – (∠АСН + ∠АНС). ∠САН = 180 – 90 – 30 = 60˚  sin 60º = 1/2. СН = AB * sin ∠САН, СН = 12 * 1/2 = 6 см. Ответ:
6 см

Через стороны и радиус описанной окружности разностороннего треугольника

Через стороны и радиус описанной окружности высоту можно найти по следующей формуле:

h = bc / 2R

где r – радиус описанной около треугольника окружности, b,c – стороны треугольника

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Вокруг разностороннего треугольника описана окружность с радиусом 3 см. Из
вершины между сторонами b и с проведена высота. Стороны b и с соответственно равны 5 см и 6 см.
Найдите высоту. Решение: Найдем высоту, используя формулу h = 5 * 6 / 2 * 3 = 30 / 6 = 5 см. Ответ:
5 см.

Через длины отрезков прямоугольного треугольника, образованных на гипотенузе

Через длины отрезков образованных на гипотенузе высоту можно найти по следующей формуле:

h = √(C1 * C2)

где: C1, C2 — отрезки, образованные проведением высоты к гипотенузе.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В прямоугольном треугольнике катеты равны 4 см и 3 см. Угол BAH равен 30˚.
Найдите высоту. По теореме Пифагора найдём сторону BC, которая является гипотенузой в треугольнике
ABC. BC² = AB² = AC²,  BC² = 4² + 3² = 16+9 = 25 см², BC = √25 = 5 см. Угол
АНВ равен 90˚, так как АН является высотой, то есть, проведена перпендикулярно к стороне ВС.
Следовательно, треугольник АНВ – прямоугольный. Сторона ВН лежит напротив угла 30˚ в прямоугольном
треугольнике, значит, ее длина равна половине длины гипотенузы. Найдем ВН. BH = 1/2 AB. BH = 1/2 × 4 = 2 см. BC = BH + HC,
значит, HC = BC – BH, HC = 5 – 2 = 3 см. По формуле найдем высоту
(АН). АН = √(2 * 3) = √6 = 2,4 см. Ответ: 2,4 см.

Через основание и боковые стороны равнобедренного треугольника

Через основание и боковые стороны высота равнобедренного треугольника находится по формуле:

h = √(b² — a²/4)

где а – основание треугольника, b – боковая сторона. Для равнобедренного треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В равнобедренном треугольнике АВС боковая сторона равна 8 см. Из вершины В к
основанию АС проведена высота ВН. Отрезок АН равен 5 см. Найдите высоту. Решение: Так как по условию
треугольник АВС равнобедренный по условию, то АВ = ВС = 8 см высота ВН,
является и медианой, и биссектрисой. Значит, АН = НС, а АС = НС + АН, АС = 5 + 5 = 10 см. По
формуле найдем высоту ВН = √(АВ² — АС² / 4). ВН = √(8² — 10² / 4) = √(64 — 100 / 4) = √39 = 6 см.
Ответ: 6 см.

Высота прямоугольного треугольника через все стороны треугольника

Если известны все стороны прямоугольного треугольника, то можно найти его высоту по следующей
формуле:

h = ab / c

где a,b,c – стороны треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В прямоугольном треугольнике угол между катетом и гипотенузой равен 45˚.
Длина стороны АС равна 6 см. Найти высоту АН. Решение: По теореме о сумме углов в треугольнике
найдем угол АСВ. ∠АСВ = 180˚ – (45˚ + 90˚) = 45˚. Так как АСВ = АСВ, то
треугольник АВС равнобедренный с основанием ВС. Таким образом, АС = АВ = 6 см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС. BC² = AB² + AC². BC² = 6² + 6² = 36 +36 = 72 см². ВС = √72 = 6√2 см. Найдем
высоту по формуле AH = AB * AC / BC. АН = 6 * 6 / 6√2= см. Домножим
полученное значение на √2: (6 * √2) / √2 * √2 = 6√2 / 2 = 3√2 см. Ответ:
3√2 см

Через сторону равностороннего треугольника

Высота равностороннего треугольника через сторону треугольника ищется по следующей формуле:

h = a√3 / 2

где a – сторона треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример: Найдите высоту в равностороннем треугольнике, если известно, что его сторона
равна 4√3 см. Решение: Для нахождения высоты воспользуемся формулой h = a√3 / 2 = √3 * 4 √3 / 2 = 4 * 3 / 2 = 6 см. Ответ:
6 см

В зависимости от типа треугольника высота может располагаться по-разному:

  1. Например, в треугольнике KGM высота GH, проведённая из вершины G к стороне находится внутри
    треугольника, так как треугольник является остроугольным. Кроме того, треугольник в данном
    примере равнобедренный, значит, она же является биссектрисой и медианой. Знание этого пригодится
    при решении задач, например таким образом можно будет найти основание.Рисунок 1
  2. В тупоугольном треугольнике высота будет выходить за его пределы и для того чтобы её провести
    понадобится сначала продлить сторону. Например, на рисунке сторона ВС продлена до НС.Рисунок 2
  3. В случае, когда треугольник имеет прямой угол – высота совпадёт с одним из катетов, либо будет
    внутри треугольника (как в первом рассмотренном варианте) и проведена к гипотенузе.Рисунок 3

Добавить комментарий