Формула высоты сегмента круга
Сегмент – часть круга ABC, отсеченная хордой AC
h – высота сегмента ABC
L – хорда AC
R – радиус кружности
O – центр окружности
α – центральный угол AOC
Формула высоты через радиус и центральный угол, (h):
Формула высоты через хорду и центральный угол, (h):
Формула высоты через радиус и хорду, (h):
Дополнительные формулы для окружности:
- Подробности
-
Автор: Administrator
-
Опубликовано: 16 октября 2011
-
Обновлено: 13 августа 2021
Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).
На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота
Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:
Формулы вычисления параметров сегмента
Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:
Длина хорды:
Высота сегмента:
Сегмент
Угол в градусах, образуемый радиусами сектора
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Однако, как справедливо заметил наш пользователь:«на практике часто случается, что как радиус дуги, так и угол неизвестны» (см. длина дуги ). Для этого случая для расчета площади сегмента и длины дуги можно использовать следующий калькулятор:
Параметры сегмента по хорде и высоте
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Калькулятор вычисляет радиус круга по длине хорды и высоте сегмента по следующей формуле:
Далее, зная радиус и длину хорды, легко найти угол сегмента по формуле:
Остальные параметры сегмента вычисляются аналогично первому калькулятору, по формулам, приведенным в начале статьи.
Следующий калькулятор вычисляет площадь сегмента по высоте и радиусу:
Площадь сегмента круга по радиусу и высоте
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Этот калькулятор вычисляет угол из высоты и радиуса по следующей формуле:
далее используется формула [1] для получения площади.
15 вычислений по сегменту круга в одной программе
Последний калькулятор включает в себя все оставшиеся вычисления параметров кругового сегмента:
- длина дуги
- угол
- хорда
- высота
- радиус
- площадь
Выберите два известных аргумента и калькулятор выдаст вам все оставшиеся.
Круговой сегмент – все варианты расчета
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.
Сегмент круга
Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента – по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.
Сегмент круга
Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).
На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота
Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:
Формулы вычисления параметров сегмента
Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:
Длина дуги сегмента круга по хорде и высоте — онлайн-калькулятор
Формулы расчета длины дуги
Длина дуги вычисляется по стандартной формуле (1), однако в этом расчете все переменные неизвестны, соответственно их нужно вывести из других формул геометрии круга. Радиус круга (4) выражается через формулы хорды (2) и высоты сегмента (3), по этим же формулам можно получить значение угла сегмента (5).
R = h/2 + W 2 /(8 × h) (4)
α = 2 × arcsin[W / (2 × R)] (5)
Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
Основные определения и свойства
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки – центра окружности
Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Часть круга, ограниченная хордой
Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность
| Фигура | Рисунок | Определения и свойства |
| Окружность |  |
|
| Дуга |  |
|
| Круг |  |
|
| Сектор |  |
|
| Сегмент |  |
|
| Правильный многоугольник |  |
|
 |
| Окружность |
|
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки – центра окружности
Дуга
Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Круг
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Сектор
Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Сегмент
Часть круга, ограниченная хордой
Правильный многоугольник
Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность
Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.
Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.
Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.
Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.
Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:
Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.
Формулы для площади круга и его частей
,
где R – радиус круга, D – диаметр круга
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
| Числовая характеристика | Рисунок | Формула |
| Площадь круга |  |
|
| Площадь сектора |  |
|
| Площадь сегмента |
| Площадь круга |
|
,
где R – радиус круга, D – диаметр круга
Площадь сектора
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Площадь сегмента
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Формулы для длины окружности и её дуг
где R – радиус круга, D – диаметр круга
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
| Длина окружности |
 |
где R – радиус круга, D – диаметр круга
Длина дуги
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Площадь круга
Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).
Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .
Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .
Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна
Длина окружности
то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:
откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :
Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.
Длина дуги
Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Площадь сектора
Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Площадь сегмента
Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем
В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем
[spoiler title=”источники:”]
http://kalk.pro/math/dlina-dugi-segmenta-kruga/
http://www.resolventa.ru/demo/diaggia6.htm
[/spoiler]
Геометрия круга
Круг, его части, их размеры и соотношения — вещи, с которыми ювелир постоянно сталкивается. Кольца, браслеты, касты, трубки, шары, спирали — много всего круглого приходится делать. Как же всё это посчитать, особенно если тебе посчастливилось в школе прогулять уроки геометрии?..
Давайте сначала рассмотрим, какие у круга бывают части и как они называются.
- Окружность — линия, ограничивающая круг.
- Дуга — часть окружности.
- Радиус — отрезок, соединяющий центр круга с какой-либо точкой окружности.
- Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
- Сегмент — часть круга, ограниченная хордой и дугой.
- Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой.
Интересующие нас величины и их обозначения:
Теперь посмотрим, какие задачи, связанные с частями круга, приходится решать.
- Найти длину развертки какой-либо части кольца (браслета). Задан диаметр и хорда (вариант: диаметр и центральный угол), найти длину дуги.
- Есть рисунок на плоскости, надо узнать его размер в проекции после сгибания в дугу. Заданы длина дуги и диаметр, найти длину хорды.
- Узнать высоту детали, полученной сгибанием плоской заготовки в дугу. Варианты исходных данных: длина дуги и диаметр, длина дуги и хорда; найти высоту сегмента.
Жизнь подскажет и другие примеры, а эти я привел только для того, чтобы показать необходимость задания каких-нибудь двух параметров для нахождения всех остальных. Вот этим мы и займемся. А именно, возьмем пять параметров сегмента: D, L, X, φ и H. Затем, выбирая из них все возможные пары, будем считать их исходными данными и путем мозгового штурма находить все остальные.
Чтобы зря не грузить читателя, подробных решений я приводить не буду, а приведу лишь результаты в виде формул (те случаи, где нет формального решения, я оговорю по ходу дела).
И еще одно замечание: о единицах измерения. Все величины, кроме центрального угла, измеряются в одних и тех же абстрактных единицах. Это значит, что если, к примеру, вы задаёте одну величину в миллиметрах, то другую не надо задавать в сантиметрах, а результирующие значения будут измеряться в тех же миллиметрах (а площади — в квадратных миллиметрах). То же самое можно сказать и про дюймы, футы и морские мили.
И только центральный угол во всех случаях измеряется в градусах и ни в чём другом. Потому что, как показывает практика, люди, проектирующие что-нибудь круглое, не склонны измерять углы в радианах. Фраза «угол пи на четыре» многих ставит в тупик, тогда как «угол сорок пять градусов» — понятна всем, так как это всего на пять градусов выше нормы. Однако, во всех формулах будет присутствовать в качестве промежуточной величины еще один угол — α. По смыслу это половина центрального угла, измеренная в радианах, но в этот смысл можно спокойно не вникать.
1. Даны диаметр D и длина дуги L
; длина хорды 
;
высота сегмента 
; центральный угол 
.
2. Даны диаметр D и длина хорды X
; длина дуги 
;
высота сегмента ; центральный угол 
.
Поскольку хорда делит круг на два сегмента, у этой задачи не одно, а два решения. Чтобы получить второе, нужно в приведенных выше формулах заменить угол α на угол 
.
3. Даны диаметр D и центральный угол φ
; длина дуги ;
длина хорды ; высота сегмента .
4. Даны диаметр D и высота сегмента H
; длина дуги ;
длина хорды ; центральный угол .
6. Даны длина дуги L и центральный угол φ
; диаметр 
;
длина хорды ; высота сегмента .
8. Даны длина хорды X и центральный угол φ
; длина дуги 
;
диаметр ; высота сегмента .
9. Даны длина хорды X и высота сегмента H
; длина дуги ;
диаметр ; центральный угол .
10. Даны центральный угол φ и высота сегмента H
; диаметр 
;
длина дуги ; длина хорды .
Внимательный читатель не мог не заметить, что я пропустил два варианта:
5. Даны длина дуги L и длина хорды X
7. Даны длина дуги L и высота сегмента H
Это как раз те два неприятных случая, когда у задачи нет решения, которое можно было бы записать в виде формулы. А задача-то не такая уж редкая. Например, у вас есть плоская заготовка длины L, и вы хотите согнуть ее так, чтобы ее длина стала X (или высота стала H). Какого диаметра взять оправку (ригель)?
Задача эта сводится к решению уравнений:
; — в варианте 5
; — в варианте 7
и хоть они и не решаются аналитически, зато легко решаются программным способом. И я даже знаю, где взять такую программу: на этом самом сайте, под именем Segment. Всё то, что я тут длинно рассказываю, она делает за микросекунды.
Для полноты картины добавим к результатам наших вычислений длину окружности и три значения площадей — круга, сектора и сегмента. (Площади нам очень помогут при вычислении массы всяких круглых и полукруглых деталей, но об этом — в отдельной статье.) Все эти величины вычисляются по одним и тем же формулам:
длина окружности 
;
площадь круга 
;
площадь сектора 
;
площадь сегмента 
;
И в заключение еще раз напомню о существовании абсолютно бесплатной программы, которая выполняет все перечисленные вычисления, освобождая вас от необходимости вспоминать, что такое арктангенс и где его искать.
Программа Segment
Зная радиус и высоту сегмента, можно найти центральный угол α, через который становится возможным рассчитать все остальные измерения сегмента, такие как длина дуги, длина хорды и площадь сегмента круга. Из формулы высоты следует, что косинус половинного угла равен разности единицы и отношения высоты к радиусу.
cos〖α/2〗=1-h/r
Вычислив таким образом центральный угол сегмента круга, подставляем его в следующие формулы для длины дуги и длины хорды. Длина дуги вычисляется как произведение угла на радиус, а длина хорды находится из прямоугольного треугольника как удвоенное произведение радиуса на синус половинного угла (рис.141).
P=αr
c=2r sin〖α/2〗
Площадь сегмента круга наряду с площадью равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами и хордой, является составляющей площади сектора круга. Поэтому, чтобы найти площадь сегмента необходимо вычесть из последней площадь треугольника. Упростив такое выражение, получаем половину квадрата радиуса, умноженную на разность угла α и его синуса.
S=S_сек-S_тр=(r^2 α)/2-r^2 sinα=1/2 r^2 (α-sinα )
