Как найти высоту многогранника через объем

Параллелепипед – это частный случай призмы, у которой основание и грани представляют собой параллелограмм.

Различают несколько разновидностей этой геометрической фигуры – прямой / прямоугольный параллелепипед, наклонный параллелепипед.

Высота параллелепипеда – это отрезок, который соединяет плоскости верхнего основания и нижнего основания параллелепипеда.

Высота перпендикулярна плоскости нижнего основания.

Для того, чтобы найти высоту параллелепипеда, можно воспользоваться традиционной формулой:

H = V / S.

H – высота параллелепипеда, V – объём параллелепипеда, S – площадь основания.

При этом объём параллелепипеда вычисляется по формуле: S = a * b * c, где a,b и c – это длины 3 измерений.

Что касается площади основания, то здесь может быть несколько случаев.

Если основание представляет собой параллелограмм, то S = a * b * sin(ab) – произведение 2 сторон на синус угла между ними.

Если мы имеем дело с прямоугольным параллелепипедом, то S = a * b – произведение 2 сторон.

Пример:

Боковое ребро наклонного параллелепипеда равно 10 см. Стороны основания равны 4 и 6 см, а угол между ними равен 30 градусов. Нужно найти высоту параллелепипеда.

1) V = 4 * 6 * 10 = 240 см3.

2) S = 4 * 6 * sin30° = 24 * 0,5 = 12 см.

3) H = V / S = 240 / 12 = 20 см.

Значит, высота параллелепипеда будет равна 20 см.

_

В случае с прямоугольным параллелепипедом всё немного проще.

Здесь высота будет совпадать с длиной грани (ребром) данной фигуры. Поэтому для нахождения высоты достаточно вычислить, чему равно боковое ребро.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Призма — это многогранник, который состоит из двух одинаковых многоугольников. Они расположены в
разных плоскостях. Призмы различаются по количеству углов в основании. К примеру, если в основании
находится треугольник ,то призма называется треугольной. Если в основании лежит четырехугольник, то
рассматриваемая фигура четырехугольная. Таким образом, фигура, состоящая из 2 равносторонних
треугольников, которые соединены между собой и лежат параллельно друг другу и называется правильная
треугольная призма.

Чтобы было проще понять, рекомендуется начертить на листе бумаге объект 2 равных
параллельных треугольника. Далее соединить их тремя вертикальными чертами. Все стороны у фигуры
обозначаются латинскими буквами, например, «А» «B» «C». Для второго треугольника в призме буквы
дублируются с индексом 1. В результате получается фигура, у которой стороны А₁В₁=В₁С₁=А₁С₁. Призма
АBCА₁В₁С₁ имеет грани в виде параллелограммов. Сторона АА₁ называется боковым ребром. Стороны в
основании геометрической фигуры называются ребрами основания. Высотой в призме называется расстояние
между разными плоскостями.

Через объем и ребро основания

У этой фигуры есть два основания в виде треугольников. Шесть отрезков, которые образуют треугольник в
призме и называют ребрами основания. Длина ребра в правильной призме будет одинаковой, поскольку все
стороны и углы в равностороннем треугольнике равны между собой. Зная это и объем искомого
многоугольника, можно применить эту формулу для осуществления расчетов:

H = 4V / a²√3

где V — объем фигуры измеряется в кубических единицах, а — ребро основания.

Длина любой стороны в основании правильной призмы и будет ребром.

Пример.
Если V = 6 мм³, а = 6 мм то расчет неизвестной величины по формуле будет производиться следующим
образом: H = 46 / 6²√3= 24 / 6² * 1.732 = 0,38 мм. Таким образом, применив
формулу, можно узнать высоту через ребро основания и объем.

Через площадь боковой поверхности и ребро основания

Для вычисления потребуется знать площадь боковой поверхности, а также ребро основания. Чтобы
рассчитать площадь боковой поверхности, необходимо умножить периметр фигуры на длину бокового ребра.
Она рассчитывается по данной формуле: Sбок = P * I, где P — периметр, I — длина бокового ребра. Зная
площадь основания боковой поверхности и размеры отрезка, можно использовать формулу:

H = Sбок / 3a

где Sбок — площадь боковой поверхности, а — ребро основания.

Пример. Для лучшего понимания можно продемонстрировать на конкретной задаче. Если =
7 мм², а = 8 мм то расчет неизвестной величины будет происходить следующим образом: H = 7 / 3 * 8 = 0,29 мм. Используя такой способ, можно узнать H
правильной треугольной призмы.

Через площадь боковой поверхности и периметр основания

Под периметром равностороннего треугольника, который является основанием рассматриваемой фигуры,
понимается сумма всех его длин, а также сторон. Зная, размер одной стороны легко рассчитать
периметр. Найти площадь боковой поверхности можно по формуле рассмотренной выше. После того как
периметр и боковая площадь известны, то необходимо подставить найденное значение в следующую
формулу:

H = Sбок / P

где S — площадь боковой поверхности, P — периметр основания.

Пример. Если P = 2 мм, а Sбок = 16 мм² то расчет размеров будет производиться
следующим образом: H = 16 / 2 = 8 м². С помощью такого простого расчета
можно вычислить H искомой фигуры.

Через площадь боковой поверхности и площадь основания

Площадь основания рассчитывается также, как при нахождении S равностороннего треугольника S = 1/2 * ah, но высота в этом случае неизвестна, поэтому придется
воспользоваться другой формулой S = 1/2 * sin α. Как было сказано ранее,
площадь боковой поверхности считается произведением периметра и длины бокового ребра. Найдя искомые
площади, можно работать со следующей формулой для нахождения высоты призмы:

H = Sбок / (3 √(4 * (Sосн /√3)))

где Sбок — площадь боковой поверхности, Sосн — площадь основания геометрической фигуры.

Пример. Если Sбок = 10 мм², а Sосн = 15 мм² то расчет размеров проводится следующим
образом: H = 10 / 3√4 * 15 / √3 = 0.5 мм. Таким образом, используя этот
метод расчета, можно найти H.

Через диагональ грани и ребро основания

Под диагональю грани понимается луч, которые проходит между двумя вершинами, которые находятся на
разных основаниях треугольной призмы. Когда известна диагональ грани, а также размер ребра в
основании, можно решить задачу по этой формуле:

H = √(d² — a²)

где d — диагональ грани, а — ребро основания.

Пример. Если d=9 мм², а = 5 мм то расчет искомого параметра по формуле будет
выглядеть следующим образом: H = √(9² — 5²) = 7.4 мм. Таким образом,
используя эту формулу, можно вычислить H.

Через площадь грани и ребро основания

Ребро основания равняется длине любого отрезка в равностороннем треугольнике внутри призмы. Граней у
призмы 3. Две боковые и одна задняя. Они изображены в виде параллелограммов. Зная длину и площадь
грани у призмы, можно воспользоваться следующую формулу для расчета высоты правильной треугольной
призмы:

H = S / a

где S — площадь грани, a — ребро основания.

Пример. Если S = 5 мм², а = 8 мм² то вычисления H будут производиться следующим
способом: H = 5 / 8 = 0,62 мм. С помощью этой формулы можно найти искомую
величину.

Умение рассчитать высоту треугольного многогранника пригодится при решении геометрических задач.
Знания могут потребоваться в школе, в университете, но иногда такая необходимость может возникнуть в
реальной жизни. Например, как строитель сможет посчитать площадь дома в виде призмы, если не знает
расчетной формулы. Важно понимать, как найти неизвестные переменные, когда известно лишь несколько
параметров.

Height is an integral dimension in determining an object’s volume. To find the height measurement of an object, you need to know its geometric shape, such as cube, rectangle or pyramid. One of the easiest ways to think of height as it corresponds to volume is to think of the other dimensions as a base area. The height is just that many base areas stacked upon each other. Individual object volume formulas can be rearranged to calculate height. Mathematicians have long ago worked out the volume formulas for all known geometric shapes. In some cases, such as the cube, solving for height is easy; in others, it takes a little simple algebra.

Height of Rectangular Objects

The formula for the volume of a solid rectangle is width x depth x height. Divide the volume by the product of the length and width to calculate the height of a rectangular object. For this example, the rectangular object has a length of 20, a width of 10 and a volume of 6,000. The product of 20 and 10 is 200, and 6,000 divided by 200 results in 30. The height of the object is 30.

Height of Cube

A cube is a kind of rectangle where all the sides are the same. So to find volume, cube the length of any side. To find height, calculate the cube root of a cube’s volume. For this example, the cube has a volume of 27. The cube root of 27 is 3. The height of the cube is 3.

Height of Cylinder

A cylinder is a straight rod or peg shape, with a circular cross-section that has the same radius all the way from top to bottom. Its volume is the area of the circle (pi x radius^2) times the height. Divide the volume of a cylinder by the amount of the radius squared multiplied by pi, to calculate its height. For this example, the volume of the cylinder is 300 and the radius is 3. Squaring 3 results in 9, and multiplying 9 by pi results in 28.274. Dividing 300 by 28.274 results in 10.61. The height of the cylinder is 10.61.

Height of Pyramid

A square pyramid has a flat square base and four triangular sides that meet at a point on the top. The volume formula is length x width x height ÷ 3. Triple the volume of a pyramid and then divide that amount by the area of the base to calculate its height. For this example, the volume of the pyramid is 200 and the area of its base is 30. Multiplying 200 by 3 results in 600, and dividing 600 by 30 results in 20. The height of the pyramid is 20.

Height of Prism

Geometry describes a few different kinds of prisms: some have rectangular bases, some have bases that are triangular. In either case, the cross-section is the same all the way through, like the cylinder. The volume of the prism is the area of the base times the height. So to calculate height, divide the volume of a prism by its base area. For this example, the volume of the prism is 500 and its base area is 50. Dividing 500 by 50 results in 10. The height of the prism is 10.