Как найти высоту пирамиды через площадь основания

Высота правильной треугольной пирамиды.

Основание правильной пирамиды представляет собой правильный многоугольник. Так как мы имеем дело с треугольной пирамидой, то её основанием будет равносторонний треугольник.

Чтобы найти высоту пирамиды SO, достаточно вспомнить, что:

1) AO = BO = CO = R = a√3 / 3. (св-во равностороннего треугольника).

2) SB = AB. (боковое ребро равно длине стороны основания).

По теореме Пифагора высота SO равна:

SO = √(SB² – OB²) = √(a² – a²/3) = √(a²(1 – 1/3)) = √(a² * (2/3) = a√(2/3).

Итак, высота правильной треугольной пирамиды (H) равна произведению длины ребра (a) на корень из 2/3:

Высоту пирамиды также можно найти из формулы объёма:

V = 1 / 3 Sосн * H.

Так как основание пирамиды – это равносторонний треугольник, то Sосн = a² * √3 / 4.

Отсюда V = a² * √3 * H / 12 = a² * H / 4√3.

Остаётся выразить высоту:

V * 4√3 = a² * H.

H = V * (4√3 / a²).

Высота правильной треугольной пирамиды (H) равна дроби – в числителе произведение объёма пирамиды (V) на 4√3, в знаменателе – квадрат ребра (a).

Если же в условии задачи уже известна площадь основания, то высоту найти ещё проще:

H = 3 * V / Sосн.

Пример

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 4 см, объём равен 10√3.

Нужно найти высоту пирамиды.

Воспользуемся вышеприведённой формулой:

H = V * (4√3 / a²) = 10√3 * 4√3 / 16 = 120 / 16 = 7,5 см.

Правильная треугольная пирамида – это пирамида, у которой в основании лежит правильный, иными
словами, равносторонний треугольник и у которой боковые стороны – это равнобедренные треугольники.
Такая объемная фигура также именуется правильным тетраэдром. Высота – это отрезок перпендикуляра,
проведенного из вершины фигуры на основание или на продолжение основания. Обозначается латинской
буквой h и на чертеже отмечается квадратом. Высота треугольной пирамиды, проведенная из вершины,
попадает на основание в центр пересечения медиан фигуры.

Через объём и площадь основания

Объем любой пирамиды находится по формуле: V = 1/3h * S, где h является высотой пирамиды, а S
является площадью основания пирамиды. Из этой формулы можно получить формулу для нахождения высоты
пирамиды:

h = (V * 3) / S

Пример. По условию дана правильная треугольная пирамида, у которой площадь
основания равна S = 18 см², а объем равен V = 90 смᶾ, нужно найти высоту фигуру. Для этого нужно
подставить в формулу все известны переменные, тогда h = 90 * 3 / 18 = 15,
значит высота равна 15 см. Так можно находить высоту и правильной, и наклонной фигуры.

Через объём и ребро основания

Найти высоту правильной треугольной пирамиды можно также через объем и ребро основания в случае,
когда неизвестна площадь основания. Вычисления в данном случае надо производить по формуле:

H = √ (V * 4 * √3 / a²)

Пример. Дана правильная треугольная пирамида с объемом V = 90 смᶾ и длиной ребра
основания a = 5 см, нужно найти высоту этой фигуры. Подставим значения в формулу и получим:  H = √ (90 * 4 * √3 / 5²) = 5 см.

Найти высоту правильной треугольной пирамиды можно также через объем и ребро основания по-другому.
Итак, V = 1/3h * S, значит h = V * 3 / S.
Поскольку площадь основания нам не известна, но известно ребро, то площадь можно выразить по
формуле: S = 1/2 * a * b * sin α, где a и b равны между собой, поскольку
пирамида по условию задачи является правильной, а sin α = sin 60°, в
равностороннем треугольнике все углы раны 60°.

Подставив формулу площади основания пирамиды через стороны треугольника и синус в исходную формулу,
получим: h = (V * 3 * 2) / (a * b * sin α).

Пример. Дана правильная треугольная пирамида с объемом V = 90 смᶾ и длиной ребра
основания a = 5 см, нужно найти высоту этой фигуры. При решении задачи сначала необходимо выполнить
все преобразования, описанные выше, а затем уже переходить к подстановке числовых значений. Это
принцип соблюдения логики при решении математических задач. В ином случае вам не поставят полный
балл за задачу, поскольку конечной формулы нет в кодификаторе. Выполнив все преобразования можно
подставлять числа, получается: h = (90 * 3 * 2) / (5 * 5 * (√3 / 2)),
преобразовываем это выражение до h = (18 * 3 * 2 * 2) / (5 * √3),
получается h = (72 * 3 * √3) / (5 * 3) = (72 * √3) / 5.

Получается для того, чтобы вычислить высоту в правильной треугольной пирамиде (тетраэдре) прежде
всего так или иначе нужно отыскать площадь основания и объем фигуры. Чтобы определить площадь
достаточно иметь данные об одном из ребер основания фигуры. Вычисление высоты пирамиды может
пригодиться при нахождении объема фигуры.

Пирамида – это многогранник, в основании которого лежит многоугольник. Все грани в свою очередь образуют треугольники, которые сходятся в одной вершине. Пирамиды бывают треугольными, четырехугольными и так далее. Для того чтобы определить, какая пирамида перед вами, достаточно посчитать количество углов в ее основании. Определение “высота пирамиды” очень часто встречается в задачах по геометрии в школьной программе. В статье попробуем рассмотреть разные способы ее нахождения.

Части пирамиды

Каждая пирамида состоит из следующих элементов:

• боковые грани, которые имеют по три угла и сходятся в вершине;
• апофема представляет собой высоту, которая опускается из ее вершины;
• вершина пирамиды – это точка, которая соединяет боковые ребра, но при этом не лежит в плоскости основания;
• основание – это многоугольник, на котором не лежит вершина;
• высота пирамиды представляет собой отрезок, который пересекает вершину пирамиды и образует с ее основанием прямой угол.

Как найти высоту пирамиды, если известен ее объем

Через формулу объема пирамиды V = (S*h)/3 (в формуле V – объем, S – площадь основания, h – высота пирамиды) находим, что h = (3*V)/S. Для закрепления материала давайте сразу же решим задачу. В треугольной пирамиде площадь основания равна 50 см², тогда как ее объем составляет 125 см³. Неизвестна высота треугольной пирамиды, которую нам и необходимо найти. Здесь все просто: вставляем данные в нашу формулу. Получаем h = (3*125)/50 = 7,5 см.

Как найти высоту пирамиды, если известна длина диагонали и ее ребра

Как мы помним, высота пирамиды образует с ее основанием прямой угол. А это значит что высота, ребро и половина диагонали вместе образуют прямоугольный треугольник. Многие, конечно же, помнят теорему Пифагора. Зная два измерения, третью величину найти будет несложно. Вспомним известную теорему a² = b² + c², где а – гипотенуза, а в нашем случае ребро пирамиды; b – первый катет или половина диагонали и с – соответственно, второй катет, или высота пирамиды. Из этой формулы c² = a² – b².

Теперь задачка: в правильной пирамиде диагональ равна 20 см, когда как длина ребра – 30 см. Необходимо найти высоту. Решаем: c² = 30² – 20² = 900-400 = 500.  Отсюда с = √ 500 = около 22,4.

Как найти высоту усеченной пирамиды

Она представляет собой многоугольник, который имеет сечение параллельно ее основанию. Высота усеченной пирамиды – это отрезок, который соединяет два ее основания. Высоту можно найти у правильной пирамиды, если будут известны длины диагоналей обоих оснований, а также ребро пирамиды. Пусть диагональ большего основания равна d1, в то время как диагональ меньшего основания – d2, а ребро имеет длину – l. Чтобы найти высоту, можно с двух верхних противоположных точек диаграммы опустить высоты на ее основание. Мы видим, что у нас получились два прямоугольных треугольника, остается найти длины их катетов. Для этого из большей диагонали вычитаем меньшую и делим на 2. Так мы найдем один катет: а = (d1-d2)/2. После чего по теореме Пифагора нам остается лишь найти второй катет, который и является высотой пирамиды. 

Теперь рассмотрим все это дело на практике. Перед нами задача. Усеченная пирамида имеет в основании квадрат, длина диагонали большего основания равняется 10 см, в то время как меньшего – 6 см, а ребро равняется 4 см. Требуется найти высоту. Для начала находим один катет: а = (10-6)/2 = 2 см. Один катет равен 2 см, а гипотенуза – 4 см. Получается, что второй катет или высота будет равна 16-4 = 12, то есть h = √12 = около 3,5 см.