Как найти высоту пирамиды на чертеже

В представленной
на рисунке 8.5 пирамиде, основание и
грани которой являются плоскостями
общего положения, тре­буется
определить ее высоту ( расстояние от
вершины с про­екциями s‘,
s до основания
с проекциями a‘b‘c‘d‘,
abcd ) и
двугранный угол между гранями с проекциями
a‘ b‘
s‘, abs
и a‘ d‘
s‘, ads.

Указанные
задачи можно решить способом перемены
плос­костей проекций.

Определение
расстояния от вершины до основания
выполне­но
на рисунке 8.6. При этом плоскость основания
ABCD
зада­на
проекциями a‘,
а точки и
d‘c‘,
dc
отрезка. Новая
плоскость проекций T(T
H)
выбрана перпендикулярной горизонтали
с проекциями a‘m‘,
am основания
(ось H/T
am)
и соответствен­но
плоскости основания. На плоскость
проекций T
часть ос­нования
пирамиды проецируется в отрезок d_tc_t,
расстояние
от которого до
проекции s,
вершины и
соответствует искомой вы­соте
пирамиды.

Рис.8.5
Рис.8.6

Определение
угла между гранями. Двугранный
угол изме­ряют линейным углом,
полученным в пересечении граней
двугранного угла плоскостью,
перпендикулярной
к обеим граням двугранного
угла φ,
а следователь­но,
и к линии их пересечения, т.е. к
ребру двугранного угла. Опреде­ление
угла φ
между гранями пи­рамиды
выполнено на рисунке 8.7, где
двумя переменами плоскостей проекций
ребро с проекциями a‘s‘,
as
двугранного
угла, являющегося отрезком
общего положения, пе­реведено
в проецирующее положе­ние
относительно плоскости проек­ций
R.
Полученная
на плоскости проекций
R
проекция d_rs_r
≡
a_rb_r
двугранного
угла выражает его ли­нейный угол.

Рис.8.7

При преобразовании
система плоскостей проекций V,
H замене­на
вначале системой

H,
Q (Q

H ), в
которой плоскость Q
выбрана
параллельной ребру AS
(ось H
/Q
║ as).

Затем
система плоскостей проекций H,
Q
заменена на
систему Q, R
(R
Q
), в которой плоскость проекций R
выбрана пер­пендикулярной ребру
AS ( ось Q/R

a_qs_q).

8.4. Пересечение многогранников плоскостью

При
пересечении призмы или пирамиды
плоскостью в се­чении получается
плоская фигура, ограниченная линиями
пе­ресечения
секущей плоскости с гранями призмы или
пирамиды.

Простейший
пример конструирования детали
пересечени­ем исходной заготовки в
виде прямоугольной трубы плоско­стью
приведен на рисунке 8.8. В этом случае
деталь – волновод изготавливают,
отрезая часть заготовки по плоскости
R
(R_v).
Другой пример
конструирования устойчивой подставки
в ви­де
усеченной пирамиды показан на рисунке
8.9. Наклонная площадка
ABCD
образована
срезом верхней части пирамиды
фронтально-проецирующей
плоскостью S
(S_v).
Фронтальные
проекции a‘, b‘,
c‘, d‘
точек находятся на фронтальном следе
S_v
плоскости, а
фронтальная проекция площадки ABCD
сов­падает
со следом S_v.
Профильная a“b“c“d”
и горизонтальная
abcd
проекции
площадки построе­ны по проекциям
указанных точек на проекциях соответствующих
ребер.

Рис.
8.8

Построение
натуральной величи­ны
сечения пирамиды плоскостью. Во
многих случаях требуется по­строить
натуральный или истинный
вид сечения тела плоскостью. На
рисунке 8.9 для этой цели вверху слева
применен способ перемены плоскостей
проекций. В качестве
дополнительной плоскости принята
плоскость T,
параллельная плоскости S
и перпен-дикулярная плоскости V.
Натуральный вид
площадки – фигуры сечения a_tb_tc_td_t.
Дру­гой
ва-риант построения натурального вида
наклонной пло­щадки
ABCD
показан на
рисунке 8.9 справа внизу – A₀B₀C₀D₀.
Для построения использованы новые
координатные оси x₁
и у_1,
лежащие в
плоскости S.
Ось х₁
параллельна
плоскости V,
ось у₁ перпендикулярна
плоскости V.

Рис.
8.9

Координаты
на оси х₁
точек A₀,
B₀,
C₀,
D₀
равны
координа­там
по оси x₁
фронтальных
проекций a‘,
b‘,
c‘,
d‘
этих точек.
Координаты х₁
точек с₀,
с’ по
оси х₁
равны нулю.
Координаты y_B,
у_D
по оси у₁
точек
B₀,
D₀
равны
координатам по этой оси (параллельной
оси у)
горизонтальных
проекций b,
d.
Коорди­наты
по оси у₁
точек А,
С равны нулю.
По указанным коорди­натам
на осях x₁
, у₁
строят
натуральную величину A₀B₀C₀D_a
наклонной площадки ABCD.

Пирамида
с вырезом. Как
пример построения сечений не­сколькими
плоскостями рассмотрим (рис. 8.10) построение
пирамиды с вырезом,
который образован тремя плоскостями –
горизонтальной T(T_v),
фронтально-проецирующей
R
(R_v)
и про­фильной
Q
(Q_v).
Горизонтальная
плоскость T
(T_v)
пересекает
боковую поверхность пирамиды по
пятиугольнику с горизон­тальной
проекцией k–l–g–f–4–k,
стороны
которого парал­лельны
проекциям сторон основания пирамиды.
Фронтально-проецирующая
плоскость R
(R_v)
в пределах
выреза пересекает боковую
поверхность пирамиды по ломаной линии
с горизон­тальной
проекцией 3–8–9–10–2
и
с профильной
проекцией 3″8″9″10″2″.
Профильная плоскость Q
(Q_v)
пересекает
в пре­делах
выреза боковую по-

верхность
пирамиды по ломаной с горизонтальной
проекцией в виде отрез­ка
прямой 5-7-6 и
с профильной
про­екцией 5″7″6″.

Полученные
точки соединяют в та­кой
последовательности, чтобы две точки
принадлежали одной секущей плоскости
и одной грани пирамиды.

Рис.8.10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Необходимо построить наклонную пирамиды по известному основанию и высоте.

Для решения задачи необходимо знать теоретический материал:

—  способы восстановления перпендикуляра к плоскости;

—  определение натуральных величин методом вращения;

—  определение видимости на чертеже с помощью конкурирующих точек (рассматривали в задаче 1).

Порядок решения задачи

1. Согласно варианту задания наносим на комплексный чертеж координаты точек основания пирамиды, получаем плоскость в виде треугольника ABC(A’B’C’; ABC) (рис.2.1.a).

Рис. 2.1

2. Для нахождения вершины пирамиды по заданной высоте необходимо к указанной плоскости провести перпендикуляр через точку А (A’; A) т.к. величина высоты задана SA, для чего:

— в заданной плоскости треугольника основания пирамиды проводим горизонталь h’и h и фронталь – f’ и f  (рис.2.1.б).

— к проекциям горизонтали и фронтали, которые выражены в натуральной величине через точку А(A’; A) проводим перпендикуляр m (рис.2.2.а).

Рис.2.2

3. Так как высота пирамиды задана в натуральной величине, а проведенный перпендикуляр — в проекциях, необходимо получить линию натуральной величины произвольного отрезка на перпендикуляре. Для этого воспользуемся методом вращения:

-на проекциях перпендикуляра возьмем произвольную точку P (P’ и Р) (рис.2.2.б);

—  отрезок AР в горизонтальной проекции переведем в частное положение путем разворота его вокруг точки A, до параллельности оси х, получим точку P₁ (рис.2.3.а).

—   можно отметить, что при вращении точки в какой-то плоскости ее проекция на сопряженной плоскости движется по прямой параллельной оси х. Проведем ее из точки P’ и тогда по линиям связи на ней находим фронтальную проекцию точки P —P’₁

— соединив P’₁ и A’ получим линию натуральной величины отрезка перпендикуляра, на котором откладываем заданное расстояние SA (h=85мм), получая S’₁ — истинное положение вершины пирамиды.

4. Переведем истинную вершину пирамиды S’₁ на фронтальную проекцию перпендикуляра по линии параллельной оси х получаем S’ — фронтальную проекцию вершины пирамиды. По линии связи получаем ее горизонтальную проекцию – S (рис.2.3.б).

Рис.2.3

5. Таким образом, вершина пирамиды S (S’ и S) построена, соединяем ее с основанием и в заключение определяем видимость ребер пирамиды, для чего:

—  возьмем на горизонтальной проекции две конкурирующие точки 3 и 4, принадлежащие соответственно линиям SC и AB спроецируем данные точки на фронтальную плоскость, получим 3’ и 4’ на линиях S’C’ и A’B’;

—  по правилу определения видимости с помощью конкурирующих точек определяем, что прямая SC, в горизонтальной проекции будет видимой, т.к. ордината точки 3’, находящаяся на ней во фронтальной плоскости больше, чем ордината точки 4’, а линия AB будет невидимой (рис.2.4.а);

—  аналогично определяем видимость во фронтальной плоскости, беря пару конкурирующих точек 5’ и 6’, находящихся на прямых S’B’ и A’C’. По выше изложенному правилу S’B’ на фронтальной плоскости проекций будет видимой, а A’C’–невидимой (рис.2.4.б).

Рис.2.4

Рис.2.5

У меня есть все готовые решения задач с такими координатами, купить можно  >>здесь<<

Купленные чертежи по начертательной геометрии из книжки Фролова Вы легко можете скачать сразу после оплаты или я вышлю Вам на почту. Они находятся в ZIP архиве в различных форматах:
*.jpg – обычный цветной рисунок чертежа в масштабе 1 к 1 в хорошем разрешении 300 dpi;
*.cdw – формат программы Компас 12 и выше или версии LT;
*.dwg и .dxf — формат программы AUTOCAD, nanoCAD;

Раздел: Начертательная геометрия / 

Определить натуральную величину высоты пирамиды

Задача определения натуральной величины высоты пирамиды соответствует задаче определения расстояния от точки до плоскости. Решение задачи в начертательной геометрии возможно двумя методами: (1) заменой плоскостей проекций перевести плоскость основания пирамиды в проецирующее положение и (2) опустить перпендикуляр из вершины на плоскость основания, найти пересечение прямой перпендикуляра с плоскостью и определить натуральную величину отрезка прямой от вершины пирамиды до точки пересечения с основанием.

Метод замены плоскостей проекций

В плоскости основания пирамиды проводится линия частного положения (в примере — горизонталь BH). Строится плоскость проекции заменяющая одну из исходных плоскостей (в примере П₄ заменяет фронтальную проекцию). На новой проекции, плоскость основания занимает проецирующее положение и расстояние от любой точки до этой плоскости очевидно представляется перпендикуляром. В примере, h — высота пирамиды проведённая из вершины к основанию. Так как h параллелен плоскости проекций, то его длинна определяет натуральную величину высоты пирамиды.

Натуральная величина перпендикуляра

В плоскости основания определены горизонталь и фронталь. Из вершины пирамиды проводится перпендикуляр к основанию. Через перпендикуляр проведена горизонтально проецирующая плоскость-посредник пересекающая основание по 12. На фронтальной проекции пересечение 1₂2₂ и перпендикуляра даёт общую точку для перпендикуляра и 12, которая лежит в плоскости основания. Следовательно, эта точка пересечения N определяет точку пересечения перпендикуляра и основания. Натуральная величина перпендикуляра AN определена методом прямоугольного треугольника: фронтальная проекция AN использована как катет-основание прямоугольного треугольника, второй катет определен как растояние между концами перпендикуляра измеренное вдоль оси Y. Гипотенуза полученного треугольника определяет натуральную величину высоты пирамиды.

Источник

Решение задачи способом замены плоскостей проекций.

Как отмечалось выше, для определения расстояния от заданной точки до плоскости (высоты пирамиды) необходимо из этой точки опустить перпендикуляр на плоскость, найти основание перпендикуляра и определить истинную величину отрезка. Задача решается просто, если плоскости основания пирамиды — ΔАВС задать проецирующее положение.

1. Построим в плоскости треугольника АВС горизонталь и введем новую фронтальную плоскость π₄ перпендикулярно к данной горизонтали:

На чертеже ось х₁ перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали h₁ / : х₁ ^ h₁ / ; (рис.10.1)

2.Строим новую фронтальную проекцию треугольника — А₁ // В₁ // С₁ // .

[S // S_x // ] [S₁ // S_x1 // ]; [A // A_x // ] [A₁ // A_x1 // ]; [B // B_x // ] [B₁ // B_x1 // ];

[C // C_x // ] [C₁ // C_x1 // ];

По отношению к p₄ плоскость треугольника занимает проецирующее положение(рис.10.2).

3. Из точки S₁опускаем перпендикуляр на плоскость DА₁В₁С₁, нахо­дим его основание, как точку пересечения перпендикуляра с плоскостью:

S₁K₁ S_1; S₁K₁ DА₁В₁С₁ ; S₁K₁∩DА₁В₁С₁ =K₁;

На чертеже: S₁«K₁» DA₁ // В₁ // C₁ // ;

Отрезок [S₁«K₁«]определяет натуральную величину высоты пирамиды. Измеряем его и указываем размер на чертеже.

Точку К необходимо вернуть в исходное положение, зная что S₁ / K / ¤¤ х (рис.10.3);

Задача 3. Определить натуральную величину основания пирамиды — DАВС.

Решение способом плоскопараллельного перемещения.