Как найти высоту пирамиды с углами 60

Дополним усеченную пирамиду до полной. Так как в правильной пирамиде высота проходит через центр окружно-
сти, вписанной в основание, то О и Ο₁ — центры окружностей, вписанных в АВС и А₁В₁С₁.

Проведем SK┴AC, а значит, и SK₁┴A₁C₁. Тогда по теореме о трех пер-
пендикулярах ОК┴АС и ОК₁┴А₁С₁. Значит, ОК и O₁К₁ — радиусы окружностей, вписанных в правильные треугольники АВС и А₁B₁C₁


Далее, проведем Κ₁Η┴ΚΟ. Тогда Κ₁Ο₁ΟΗ — прямоугольник, значит, К₁Н=OO₁
Так как ∟Κ₁ΚΗ является линейным углом двугранного угла ме-
жду основанием и боковой гранью, то ∟Κ₁ΚΗ =60° (по условию).
Тогда в ∆Κ₁ΚΗ: Κ₁Η=ΚΗ· tg∟K₁KH = √3 KH.

Решение:

    Проведём перпендикуляр (апофему) SG:

    ΔASD равносторонний (∠SAH = ∠SDH = 60°), SH – высота, а значит и медиана AH = HD.
    Из прямоугольного треугольника AHS:

tg60°=frac{SH}{AH}\sqrt{3}=frac{6}{AH}\AH=frac{6{color{Blue} cdot sqrt{3}}}{sqrt{3}{color{Blue} cdot sqrt{3}}}=frac{6sqrt{3}}{3}=2sqrt{3}
AH = HD = 2√3
AD = AH + HD = 2√3 + 2√3 = 4√3 – одна из сторон основания пирамиды.

    ΔAHS = ΔGHS (Если катет (SH = 6) и противолежащий ему острый угол (SAH = 60°) одного прямоугольного треугольника (ΔAHS) соответственно равны катету (SH = 6) и противолежащему ему острому углу (SGH = 60°) другого прямоугольного треугольника (ΔGHS), то такие треугольники равны.)
    Тогда, AH = HG = 2√3, как соответствующие стороны равных треугольников. 
    AB = HG = 2√3 – вторая сторона основания пирамиды.
    Объём пирамиды:

V=frac{1}{3}cdot S_{осн}cdot h=frac{1}{3}cdot ADcdot ABcdot HS=frac{1}{3}cdot 4sqrt{3}cdot 2sqrt{3}cdot 6=2cdot 8cdot 3=48

Ответ: 48.