Как найти высоту по формуле потенциальной энергии

Как найти потенциальную энергию относительно земли

Потенциальная энергия — это энергия, которую имеет объект в зависимости от его положения и состояния. Наибольшее значение потенциальной энергии имеют объекты, находящиеся на большой высоте относительно земли. В этой статье мы расскажем, как найти потенциальную энергию относительно земли.

Формула потенциальной энергии

Формула потенциальной энергии относительно земли выглядит следующим образом:

Ep = mgh

где:

• Ep — потенциальная энергия в джоулях (Дж)
• m — масса тела в килограммах (кг)
• g — ускорение свободного падения, принятое равным 9,81 м/c²
• h — высота тела над землей в метрах (м).

Пример расчёта потенциальной энергии

Допустим, тело массой 5 килограммов находится на высоте 10 метров над землей. Согласно формуле, потенциальная энергия этого тела составляет:

Ep = 5 * 9,81 * 10 = 490,5 Дж

Таким образом, тело массой 5 кг находящееся на высоте 10 метров относительно земли имеет потенциальную энергию, равную 490,5 Дж.

Как найти высоту тела, зная его потенциальную энергию

Для того, чтобы найти высоту тела, зная его потенциальную энергию, нужно преобразовать формулу потенциальной энергии следующим образом:

h = Ep / mg

где h — высота тела над землей в метрах (м).

Пример расчёта высоты тела

Допустим, тело массой 2 килограмма имеет потенциальную энергию, равную 98,1 Дж. Какова высота этого тела над землей?

Сначала найдём значение меньшей известной величины — ускорения свободного падения:

g = 9,81 м/c²

Теперь подставим известные величины в формулу для нахождения высоты:

h = Ep / mg = 98,1 / (2 * 9,81) = 5 метров

Таким образом, тело массой 2 кг, имеющее потенциальную энергию, равную 98,1 Дж, находится на высоте 5 метров над землей.

Общий итог

Найти потенциальную энергию относительно земли очень просто — нужно знать массу тела и его высоту над поверхностью земли. Формула для расчёта потенциальной энергии имеет всего три компонента, что делает её простой и удобной в использовании. Если же нужно найти высоту тела, зная его потенциальную энергию, можно воспользоваться формулой, в которой нужно знать массу тела и значение ускорения свободного падения.

Как найти потенциальную энергию относительно земли

Потенциальная энергия — это энергия, которая связана с положением тела в пространстве относительно других тел. В данной статье мы рассмотрим, как найти потенциальную энергию относительно земли.

Что такое потенциальная энергия

Потенциальная энергия — это энергия, которая зависит от высоты, на которой находится тело относительно поверхности Земли. В земной гравитационной поле потенциальная энергия зависит от массы тела и высоты, на которой оно находится. Формула для вычисления потенциальной энергии:

Ep = mgh

где:

• Ep — потенциальная энергия (Дж);
• m — масса тела (кг);
• g — ускорение свободного падения на поверхности Земли (9,81 м/с²);
• h — высота, на которой находится тело относительно поверхности Земли (м).

Также потенциальная энергия может зависеть от других факторов, таких как расстояние между зарядами в поле электростатических сил и т.д.

Как найти потенциальную энергию

Для расчета потенциальной энергии нужно знать массу тела и высоту, на которой оно находится. Сначала измеряем высоту тела относительно поверхности Земли. Затем находим массу тела. Подставляем значения в формулу:

Ep = mgh

Например, если масса тела равна 10 кг, а его высота над поверхностью Земли составляет 50 м, то его потенциальная энергия будет равна:

Ep = 10 * 9,81 * 50 = 4905 Дж

Таким образом, потенциальная энергия тела равна 4905 Дж.

Заключение

Теперь вы знаете, как найти потенциальную энергию относительно земли. Это очень важно при решении различных физических задач и расчете различных энергетических параметров.

Как найти потенциальную энергию относительно земли

Потенциальная энергия — это та энергия, которую имеет объект в результате его положения в поле сил. В случае с гравитационным полем, потенциальная энергия зависит от положения объекта относительно земли. Начнем с определения, что такое потенциальная энергия и как ее можно вычислить, а также соответствующих формул.

Что такое потенциальная энергия?

Потенциальная энергия — это энергия, которая может быть превращена в кинетическую энергию, когда объект начинает двигаться в определенном направлении. Эта энергия зависит от положения объекта в пространстве относительно земной поверхности. Например, если вы поднимаете тяжелый ящик на заднее сиденье вашего автомобиля, то он приобретает потенциальную энергию. Эта энергия может быть использована, когда прибор будет активирован и перемещен в определенном направлении.

Формула вычисления потенциальной энергии

Формула вычисления потенциальной энергии: P = mgh, где m — масса объекта, g — ускорение свободного падения, h — высота объекта над поверхностью земли. В системе СИ, единицей измерения потенциальной энергии является джоуль (Дж).

Из формулы выше можно увидеть, что потенциальная энергия зависит от высоты объекта над поверхностью земли. Чем выше объект находится, тем больше его потенциальная энергия.

Пример вычисления потенциальной энергии

Представим, что у нас есть ящик массой 60 кг. Мы поднимаем его на высоту 5 метров. Какова будет его потенциальная энергия?

Для вычисления потенциальной энергии необходимо применить формулу: P = mgh = 60 * 9.8 * 5 = 2940 Дж.

Как найти потенциальную энергию других объектов

Вычисление потенциальной энергии довольно простой процесс. Наиболее распространенный метод — это вычисление высоты объекта относительно земной поверхности и использование формулы P = mg h.

В некоторых случаях высоту объекта можно не учитывать. Например, если мы говорим о заряде, который перемещается в электрическом поле, то потенциальную энергию можно вычислить с помощью формулы Р = qV, где q — заряд, а V — разность потенциалов.

Общий итог

Потенциальная энергия — это энергия, которую имеет объект, находясь в определенном положении. Для того чтобы вычислить потенциальную энергию, необходимо знать массу объекта, его высоту относительно земной поверхности и ускорение свободного падения. Наиболее распространенная формула для вычисления потенциальной энергии P = mgh.

• Чтобы найти потенциальную энергию объекта, необходимо учитывать его положение в поле сил.
• Вычисление потенциальной энергии довольно простой процесс, который может быть выполнен с помощью формулы Р = mgh.
• В некоторых случаях, например, при говорит о заряде, формула вычисления потенциальной энергии может немного отличаться.

Найди верный ответ на вопрос ✅ «Из формулы потенциальной энергии Е=mgh выразите высоту h. 1) h=mg/Е 2) h=Egm 3) h=E/mg 4) h=Em/g (И ещё как понять выразите?) …» по предмету 📙 Алгебра, а если ответа нет или никто не дал верного ответа, то воспользуйся поиском и попробуй найти ответ среди похожих вопросов.

Искать другие ответы

Напишите мини-сочинение на тему школьных дней (на английском), по плану вступление,преимущества(школы),недостатки(школы),итог. Используя данные выражения: Some of the advantages:

to become smarter, to develop your mind, to take part in school activities, to have good sports facilities, to have good and experienced teachers, to have interesting school traditions, to develop your imagination, to study interesting subjects, to learn new things, to prepare for adult life, to have a lot of friends, to enjoy school life and friendship…

Some of the disadvantages:

not to need so much knowledge, to have no time for sports and hobbies, to get up early in the morning every day, to be tired of doing homework, to work too hard, not to be allowed to do what you want to, to have boring lessons, to be afraid of some teachers, to have too many extra subjects, to worry about getting good marks, to have many tests, school has nothing to do with real life…

Сегодня мы отбросим лишние научные абстракции и попробуем придать энергии численное значение. Что важнее, мы разберемся в двух крайне важных концепциях механической энергии — в том, что такое потенциальная энергия и что такое кинетическая энергия. Мы узнаем, как выглядит формула потенциальной энергии и формула кинетической энергии. А на закуску ответим на вопрос: «Как найти высоту потенциальной энергии?»

Всеми любимые американские горки, которые можно встретить в любом парке аттракционов. Не исключено, что вы хотя бы раз сами имели удовольствие сидеть в связке цветастых вагонеток. Вы поднимаетесь цепью на завораживающую высоту и… Красота.

Возможность рассмотреть городскую панораму, адреналин, ощущение свободного падения, истошные крики соседей по «вагону». Конечно, самые длинные очереди собираются именно около кассы с билетами на американские горки.

Устройство горок на удивление прозаично. Имеется группа вагончиков на жесткой сцепке, рельсы и цепной привод. Привод единожды тянет конструкцию высоко наверх.

Все — никаких двигателей внутри вагончиков или дополнительных механизмов, дающих разгон, по траектории движения. А вагончики, идеально останавливаясь в точке старта, успевают пройти на большой скорости кластер крутых виражей. Включая мертвые петли!

Как же это работает?

Механическая энергия

Вспомним, что по одному из определений:

Энергия — это способность тела производить работу.

Мы также помним, что энергия проявляет себя в самых различных формах и системах. Что бы мы ни взяли (магнит, атом или чашку чая), каждый объект Вселенной обладает энергией.

Однако не будем закапываться в кварки, кванты, электрические импульсы и прочее. Лучше остановиться на проявлении энергии в обычных механических системах (совокупности материальных точек). Здесь очевидно следующее:

Любой объект механической системы либо находится в состоянии покоя, либо в движении.

Что-то либо стоит, лежит, сидит… либо двигается. Третьего не дано. Следовательно, механическая энергия делится на две категории: энергию «лежания» и энергию «движения».

Тело и механическая энергия, которой оно обладает

Энергия не может взяться из ниоткуда, как по мановению волшебной палочки. Так что если мы не будем учитывать энергию «лежания», будет сложно говорить об энергии «движения». Ведь не будет стартовой точки.

Не зря определение энергии включает в себя условность в виде слова «способность». Уже сама способность производить работу говорит о том, что тело обладает энергией. Энергия «лежания» лишь дает понимание, насколько на практике велика эта способность. Так что в определение, выходит, вшито и «лежание», и «движение» — два варианта развития событий.

Ну, единственное, нам бы термины научнее.

Потенциальная энергия механической системы

Этим как раз в XIX веке и озаботился Уильям Ренкин, шотландский механик. С его легкой руки выше нами описанные умозаключения приобрели физическую строгость. В виде термина «потенциальная энергия».

Какую энергию называют потенциальной?

Потенциальная энергия — способность материального тела совершать работу за счет своего нахождения в поле сил. Является частью общей механической энергии системы.

Другими словами, тело находится в поле действия силы и от этого имеет способность совершить работу. Конечно, фактически работу выполняет сила, действующая на тело. Если говорить о механических системах, указанное в определении поле сил включает в себя две возможности:

• Сила тяжести. Яблоко, падающее на землю, совершает работу за счет нахождения в поле действия силы гравитационного притяжения. Как только точка опоры пропадает, Земля притягивает яблоко к себе. Лежи яблоко само по себе на земле, упасть никуда оно бы не смогло. Таким образом, потенциальная энергия тела выражает потенциал работы с некоторой высоты от тела до земли. 
• Сила упругости. На упругое тело в сжатом или разжатом состоянии действует сила упругости. Она стремится вернуть его в положение равновесия. Например, пружина, легко поддающаяся деформации. Если видоизменить пружину сжатием или разжатием, вы сообщаете ей потенциальную энергию — определенный потенциал работы от точки деформации до положения равновесия.  

Выходит, что внутри механических систем потенциальная энергия определяет потенциал движения тела. Так, сколько работы совершается телом, если сила, действующая на тело, превысит по значению равнодействующую силу. Потенциальную энергию в этом плане можно рассматривать как «резерв» или «запас» работы.

Формула потенциальной энергии

О потенциальной энергии деформированной механической системы мы обязательно поговорим. Но как-нибудь далее в курсе физики. Для начала нужен ряд определений для механики деформации. Так что пока остановимся на потенциальной энергии под действием знакомой нам силы — силы тяжести.

Если взять за ноль потенциальную энергию точки, находящейся на земле, то потенциальная энергия точки, находящейся на некотором расстоянии от земли, определяется работой, которая выполнится гравитационной силой при падении.

Договоримся обозначать такую потенциальную энергию как $E_П$. Далее вспомним важное условие:

Работа равна изменению энергии тела.

Следовательно $A=Delta{E_п}$. Помним, что работа равна произведению значения силы на пройденный путь, $A=Fcdot s$. Теперь формула потенциальной энергии в шаге от готовности, если вспомнить, что $F=ma$. Под силой сейчас понимается конкретная сила — сила тяжести $mg$. Тогда заметим, что:

$A=mgcdot s$.

Но это еще не конечный вариант того, как выглядит формула потенциальной энергии. Пройденный путь $s$ имеет немного другое прочтение, когда речь идет о гравитационном притяжении. Раз мы говорим прежде всего о падении, путь такой работы — высота, на которую было поднято тело.

Получается, что формула потенциальной энергии, с учетом всех моментов, выглядит так:

$$A=Delta{E_п}=mgh,$$

где $m$ — масса тела, $h$ — высота подъема, $g$ — ускорение свободного падения.

Как найти высоту потенциальной энергии

«Высота подъема» — формулировка условная. Еще ее часто определяют в справочной литературе как «высота от центра тяжести до Земли». Дадим этому разъяснение.

Для примера рассмотрим следующую конструкцию. Пусть есть стол, на котором лежит коробка, на верху которой, в свою очередь, расположен предмет — кастрюля. Итого, как найти высоту потенциальной энергии кастрюли?

Высота потенциальной энергии может быть определена относительно стола. Или относительно пола. Может быть, уровня земли, если стол расположен внутри здания. Относительно подвала? Иными словами, подъем тела рассчитывается относительно чего угодно. Выходит, нужно всегда заранее условиться, относительно какого уровня производится замер.

Однако помните, что именно «условиться» — выбрать точку отсчета можно произвольно. Чтобы она была максимально удобная для расчетов. Намного важнее — величина изменения потенциальной энергии, а совсем не то, как найти высоту потенциальной энергии. Очевидно, вне зависимости от выбранной точки отсчета, изменение потенциальной энергии будет одним и тем же.

Еще немаловажен фактор центра тяжести. Если тело маленькое и располагается на поверхности «земли», говорят, что его потенциальная энергия равна нулю. Расстоянием от центра тяжести до нулевого уровня можно пренебречь. Другое дело, когда тело габаритное.

Обратите внимание на изображение. Несмотря на то, что крупный предмет находится на нулевом уровне, его потенциальная энергия больше нуля. В общей сложности, важнее не вопрос «как найти высоту потенциальной энергии», ибо он не конкретен. Важнее вопрос — какую точку отсчета выбрать?

Высота потенциальной энергии: задача на расчет

Условие. Альпинист покоряет гору высотой $6000~м$. На предпоследний день он решает разбить перевалочный лагерь на высоте $5100~м$, чтобы утром следующего дня выдвинуться на вершину. Какую работу совершит альпинист при подъеме на вершину горы от станции перевалочного лагеря? Масса альпиниста — $80~кг$.

С учетом, что формула потенциальной энергии $E_п=mgh$:

$$A=Delta{E_п}=mgh_2-mgh_1,$$

где $h_2$ — высота подъема тела в конце работы, $h_1$ — высота подъема тела в начале работы. 

Также помним, что при расчете потенциальной энергии в первую очередь выбирается точка отсчета. У нас два варианта:

• принять за ноль уровень моря;
• принять за ноль высоту, на которой расположен перевалочный лагерь.

Не забываем, точка отсчета — условность, и хорошо выбирать ее так, чтобы математические вычисления проводились проще. Ростом альпиниста и соответствующими вычислениями центра тяжести можем пренебречь, поскольку дистанции рассматриваются километражные.

Вернемся к точкам отсчета. Если остановиться на варианте с уровнем моря, нам придется рассчитывать потенциальную энергию $mgh_1$, с учетом, что $h_1=5100~м$, а после рассчитывать потенциальную энергию $mgh_2$, с учетом, что $h_2=6000~м$. Числовые значения выйдут громоздкими, поэтому примем для удобства за нулевой уровень расположение перевалочного лагеря:
$Delta{h}=h_2-h_1=6000-5100=900~м$.

Альпинист суммарно поднялся вверх на $900~м$. В нашем случае формула потенциальной энергии — $A=mgDelta{h}$. Определим по ней совершенную работу альпинистом при подъеме на эту высоту:

$A=mgDelta{h}=80~кгcdot 9,8~м/сcdot 900~м=705600~Дж=705,6~кДж$.

Кинетическая энергия механической системы

«Запасом» работы обладают не только лишь те тела, которые находятся в поле действия определенных сил. Так что, естественно, второе органичное проявление энергии связано, наконец, с движением.

Вспомним американские горки, о которых мы говорили в самом начале. За счет подъема на высоту, вагончики запасаются потенциальной энергией $mgh$. При этом чем выше поднять вагончики, тем больший запас энергии сообщается механической системе. И тем дальше вагончики смогут проехать вперед по рельсам.

Как только конструкция начинает движение вниз, потенциальная энергия начинает поступательное превращение в энергию движения. Так, вагончики без толчка самостоятельно въезжают на крутой уклон или проходят петли. Все потому, что они обладают скоростью.

Видим взаимосвязь: скорость — энергия — работа.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что тело, имеющее скорость отличную от нуля, всегда обладает энергией. И способностью, как следствие, совершать работу благодаря движению.

О таком теле говорят, что оно обладает кинетической энергией. Это и есть ранее нами не очень научный термин об «энергии движения».

Теперь, когда все термины и их смысл окончательно сформированы, мы готовы дать определение:

Кинетическая энергия — мера способности движущегося материального тела совершать работу.

Лирическое отступление — На тропу войны

«Бог создал людей сильными и слабыми. Сэмюэл Кольт сделал их равными», — гласит старое американское присловье конца XIX века.  

Формула кинетической энергии

Раз тело движущееся и энергией обладает именно за счет движения, можно выдвинуть кое-какое предположение. Логично, что при формула кинетической энергии «завязана» со значением скорости.

Во-вторых, неглупо предположить, что масса также связана с количеством энергии в системе. Если кинуть в соседа бумажный самолетик, это будет называться шалостью — величина кинетической энергии несущественная. А вот если кинуть в соседа кирпич… Не шалость. Целое покушение!

Понятие о том, что совершенная работа равна изменению энергии, остается неизменным. Просто на этот раз будем иметь в виду энергию кинетическую. Условимся обозначать ее как $E_к$. Заранее обозначим связь работы и кинетической энергии:
$A=Delta{E_к}$.

Продолжим выяснять, как выглядит формула кинетической энергии. Для этого предположим, что на тело с массой $m$ действует постоянная сила $F$. В результате тело проходит некоторое расстояние $s$. По второму закону Ньютона значение силы равно произведению массы на ускорение:
$F=ma$.

Перемещение при равноускоренном движении, при условии, что тело начинает движение из состояния покоя, равно:
$s=frac{upsilon^2}{2a}$.

Связывая две обозначенных формулы с формулой работы, находим:
$A=Fcdot s=Fcdot frac{upsilon^2}{2a}=frac{macdot upsilon^2}{2a}=frac{mv^2}{2}$.

Полученное в результате подстановок полупроизведение массы на квадрат скорости — это и есть формула кинетической энергии $E_к$.

Экспериментально формула кинетической энергии была подкреплена нидерландским ученым Вильгельмом Гравезандом в XVIII веке. Он обнаружил, что мячик, брошенный в стену с удвоенной скоростью, оставляет в четыре раза большее углубление. Следовательно энергия пропорциональна квадрату скорости. Это мы непосредственно и наблюдаем в формуле, выведенной от работы и перемещения.  

Формула кинетической энергии: задача на расчет

Условие. Автомобиль массой $1~т$ тянет буксир с постоянной силой. Определите кинетическую энергию автомобиля в момент времени $4~с$ на основе предложенного графика зависимости скорости от времени.

Решение. Формула кинетической энергии:
$E_к=frac{m upsilon^2}{2}$.

Опираясь на график, находим, что в момент времени $4~с$ скорость автомобиля составляла $8~м/с$. Масса автомобиля указана в тоннах, переведем ее в СИ: $m=1~т=1000~кг$. Подставим значения с формулу и посчитаем кинетическую энергию.

Получается:
$E_к=frac{1000~кг cdot (8frac{м}{с})^2}{2}=32000~Дж=32~кДж$.

Если бы мы каким-нибудь образом придумали устройство, которое бы позволяло переводить кинетическую энергию нашего автомобиля из задачи в электроэнергию, мы бы здорово удивились. $32~кДж$ хватило бы максимум на час работы двух энергосберегающих лампочек мощностью $20~Вт$.

Потенциальная энергия: в заключение

И вот мы закономерно, изучив понятия о механической энергии и ее видах, приходим к логичному выводу, что кинетическая энергия имеет прямую связь с потенциальной энергией.

Вот, вагонетка поднимается цепным приводом наверх, а после летит с огромной скоростью вниз, вновь забираясь на горку, но уже без помощи цепи. Созревшее яблоко с дерева падает к земле. Толчок пороховых газов придает пуле ускорение, выбрасывая ее из ствола. Сжатая пружина получает возможность свободного хода и толчками совершает возвратно-поступательные движения. Все рассмотренные нами случаи и примеры показывают, как один вид энергии преобразуется в другой. Кинетическая энергия в потенциальную. И наоборот.

Об этой потрясающей связи, а также о глубокомысленном «ничто ниоткуда не берется и в никуда не исчезает» вы узнаете уже на следующем уроке.

Упражнения

Дано:
$m = 100 space кг$
$h = 10 space м$
$g = 9.8 frac{Н}{кг}$

$E_п — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Посмотреть ответ

Скрыть

Посмотреть ответ

Скрыть

$E_к — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Содержание:

Потенциальная энергия:

По определению потенциальная энергия – это энергия взаимодействия. Т. е. потенциальную энергию имеют все взаимодействующие тела. Для каждого вида механического взаимодействия можно рассчитать потенциальную энергию, учитывая особенности данного взаимодействия.

Самым распространенным в природе является гравитационное взаимодействие, проявлением которого является сила тяжести. При определенных условиях эта сила может выполнять работу.

Допустим, тело массой т подвешено над полом на высоте

Если нить перерезать, то тело начнет падать под действием силы тяжести.

По определению работа А = Fs cos = mgs cos.

Если учесть, что a то или 

Поскольку работа равна изменению энергии, то можно считать, что выражение mgh определяет потенциальную энергию тела в поле силы тяжести Земли на высоте Л. Движение под действием силы тяжести может происходить по разным траекториям. Выясним, будет ли это влиять на значение работы.

Дадим возможность телу свободно скользить без трения по наклонной плоскости под действием силы тяжести (рис. 2.70).

Если учитывать, что А = mgscos, s=AB, то А = mgABcos.

Из треугольника ABC ABcos  = ВС и вместе с тем BD = – h.

Тогда работа силы тяжести при скольжении тела без трения по наклонной плоскости будет равна А = mg(h – ).

Следовательно, работа силы тяжести по перемещению тела по наклонной плоскости будет такой же, как и при его падении из точки В, расположенной на высоте , в точку D, находящуюся на высоте Л.

Таким образом, работа силы тяжести определяется положением точек начала и конца движения и не зависит от формы траектории.

В тех случаях, когда работа силы не зависит от формы траектории, а определяется начальным и конечным положением тела, пользуются понятием потенциальной энергии.

Если записать формулу для работы силы тяжести в виде

т. е. работа определяется изменением величины mgh, которая называется потенциальной энергией тела в поле силы тяжести:

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела с противоположным знаком. Это означает, что при падении тела, когда сила тяжести выполняет положительную работу, его потенциальная энергия уменьшается. И наоборот, при движении тела вверх, когда сила тяжести выполняет отрицательную работу, его потенциальная энергия увеличивается. Эта особенность характерна для всех случаев, когда работа силы не зависит от формы траектории.

Что такое потенциальная энергия

Потенциальная энергия (от латинского слова потенциал – возможность) – это энергия, которая определяется взаимным положением взаимодействующих тел или частей одного тела.

Поскольку любое тело и Земля притягивают друг друга, т. е. взаимодействуют, то потенциальная энергия тела, поднятого над Землей, будет зависеть от высоты подъёма h. Чем больше высота подъёма тела, тем больше его потенциальная энергия.

Опытами установлено, что потенциальная энергия тела зависит не только от высоты, на которую оно поднято, но и от массы тела. Если тела подняты на одинаковую высоту, то тело, у которого масса больше, будет иметь и ббльшую потенциальную энергию. Во время падения поднятого тела на поверхность Земли сила тяжести выполнила работу, соответствующую изменению потенциальной энергии тела со значения её на высоте И до значения на поверхности Земли. Если для удобства принять, что потенциальная энергия тела на поверхности Земли равна нулю, то потенциальная энергия поднятого тела будет равна выполненной во время падения работе:

Итак, потенциальную энергию тела, поднятого на некоторую высоту, будем определять по формуле: 

где Е_п — потенциальная энергия поднятого тела; m — масса тела; = 9,81

h — высота, на которую поднято тело.

Большой запас потенциальной энергии у воды горных или равнинных рек, поднятых плотинами. Падая с высоты вниз, вода выполняет работу: приводит в движение турбины гидроэлектростанций. В Украине на Днепре построено несколько гидроэлектростанций, в которых используют энергию воды для получения электроэнергии. На рисунке 174 изображено сечение такой станции. Вода с более высокого уровня падает вниз и вращает колесо гидротурбины. Вал турбины соединён с генератором электрического тока.

Потенциальной энергией обладает самолёт, летящий высоко в небе; дождевые капли в туче; молот копра при забивании свай. Открывая двери с пружиной, мы растягиваем её, преодолевая силу упругости, т. е. выполняем работу. Вследствие этого пружина приобретает потенциальную энергию. За счёт этой энергии пружина, сокращаясь, выполняет работу – закрывает двери. Потенциальную энергию пружин используют в часах, разнообразных заводных игрушках. В автомобилях, вагонах пружины амортизаторов и буферов, деформируясь, уменьшают толчки.

Потенциальная энергия пружины зависит от её удлинения (изменения длины при сжатии или растяжении) и жёсткости (зависит от конструкции пружины и упругости материала, из которого она изготовлена). Чем больше удлинение (деформация) пружины, и чем больше её жёсткость, тем большую потенциальную энергию она приобретает при деформации. Такая зависимость свойственна любому упруго деформированному телу.

Потенциальную энергию упругодеформированного тела определяют по формуле:   

где — потенциальная энергия упруго деформированного тела (пружины); — жёсткость тела (единица жёсткости — 1 — удлинение (деформация) тела (пружины).

Но тела могут обладать энергией не только потому, что они находятся в определённом положении или деформируются, а и потому, что они находятся в движении.

Определение потенциальной энергии

В повседневной жизни можно обнаружить множество различных тел, при перемещении которых может выполняться работа. Так, выпавший из рук шарик начнет падать под действием силы притяжения, которая будет выполнять работу по перемещению шарика.

Сжатая пружина может поднять на определенную высоту груз. В этом случае сила упругости выполняет работу по перемещению груза.

Что такое энергия

Энергия – это физическая величина, показывающая, какая работа может быть выполнена при перемещении тела.

Можно привести еще много разных примеров из природы, из повседневной жизни, из техники, в которых речь идет о телах, находящихся в таком состоянии, что при определенных условиях может выполняться работа при их перемещении. О таких телах говорят, что они обладают энергией. При различных условиях результат выполнения работы может быть разным. Поэтому и энергия может иметь различные значения и может быть рассчитана.

Единицы энергии

Поскольку речь идет о возможности выполнения работы, то энергию целесообразно измерять в таких же единицах, что и работу. Поэтому единицей энергии есть 1 Дж.

Виды механической энергии

В физике выделяют два вида механической энергии: потенциальную и кинетическую. Если тело неподвижно, но па него действует определенная сила, то говорят, что оно обладает потенциальной энергией.

Потенциальной энергией обладает тело, поднятое над поверх-136 ностью Земли, сжатая пружина, сжатый газ, речная вода в водоеме и другие тела.

Как рассчитывают потенциальную энергию

Рассчитывают потенциальную энергию с учетом природы сил, действующих на эти тела. Проще всего рассчитать потенциальную энергию тела, поднятого над поверхностью Земли, поскольку сила, действующая на него, остается практически постоянной на протяжении всего времени его движения под действием этой силы.

Пусть тело массой находится на высоте над землей. Если оно упадет на поверхность, то будет выполнена работа

Следовательно, о таком теле можно сказать, что оно обладает потенциальной энергией

Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли, пропорциональна массе тела и его высоте над поверхностью Земли.

При расчете потенциальной энергии важно помнить, что высота является путем, который тело преодолеет в вертикальном направлении. Таким образом, всегда следует указывать, относительно какой поверхности определяется потенциальная энергия. Например, тело массой 2 кг, поднятое над столом на высоту 1,5 м, будет обладать потенциальной энергией, равной примерно 30 Дж, а потенциальная энергия этого тела, рассчитанная для высоты 3 м над полом, будет 60 Дж.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела

Расчет работы силы упругости усложняется тем, что в ходе выполнения работы значение силы изменяется. Поскольку изменение силы упругости происходит линейно, то при расчетах работы используют среднее значение силы:

где – значения силы упругости в начале и в конце процесса.

Учитывая, что (по закону Гука), то

В случае, когда  = 0, т. е. сила упругости действует вдоль прямой, по которой происходит перемещение, получим выражение для расчета работы силы упругости:

где – удлинение, характеризующее начальную и конечную деформации соответственно.

Для потенциальной энергии тела в поле силы тяжести можно записать:

Потенциальная энергия упруго деформированного тела зависит от его деформации.

Работа силы упругости равна изменению потенциальной энергии упруго деформированного тела, взятой с противоположным знаком.

Как и в случае работы силы тяжести, работа силы упругости зависит не от формы траектории, а только от начальной и конечной деформации тела.

Механическая работа и кинетическая энергия

Чтобы шли механические часы, их нужно завести — закрутить пружину; раскручиваясь, пружина совершит работу. Поднявшись на вершину горы, лыжник создаст «запас работы» и в результате сможет скатиться вниз; при этом работу совершит сила тяжести. Самый простой способ разбить окно в горящем доме — бросить в окно камень. Если скорость движения камня достаточна, он разобьет окно — совершит работу. О теле или системе тел, которые могут совершить работу, говорят, что они обладают энергией.

Когда сила совершает механическую работу

Основная задача механики — определение механического состояния тела (координат тела и скорости его движения) в любой момент времени. Механическое состояние тела не изменяется само по себе — необходимо взаимодействие, то есть наличие силы. Когда тело перемещается (изменяет свое механическое состояние) под действием силы, говорят, что данная сила совершает механическую работу.

Механическая работа (работа силы) A — физическая величина, характеризующая изменение механического состояния тела и равная произведению модуля силы F, модуля перемещения s и косинуса угла a между вектором силы и вектором перемещения:

Единица работы в СИ — джоуль:

1 Дж равен механической работе, которую совершает сила 1 Н, перемещая тело на 1 м в направлении действия этой силы.

Работа силы — величина скалярная, однако она может быть положительной, отрицательной, равной нулю — в зависимости от того, куда направлена сила относительно направления движения тела (см. таблицу).

Геометрический смысл работы силы

Рассмотрим силу, действующую под некоторым углом α к направлению движения тела. Найдем проекцию этой силы на направление перемещения тела, для чего ось ОХ направим в сторону движения тела (рис. 15.1, а). Из рисунка видим, что , следовательно, .

Построим график — зависимости проекции силы от модуля перемещения. Если сила, действующая на тело, постоянна, график этой зависимости представляет собой отрезок прямой, параллельной оси перемещения (рис. 15.1, б). Из рисунка видим, что произведение и s соответствует площади S прямоугольника под графиком.

Рис. 15.1. Если направление оси ОХ совпадает с направлением движения тела, то работа A силы численно равна площади S фигуры под графиком зависимости

В этом состоит геометрический смысл работы силы: работа силы численно равна площади фигуры под графиком зависимости проекции силы от модуля перемещения. Это утверждение распространяется и на случаи, когда сила переменная (рис. 15.1, в, г).

Когда тело имеет кинетическую энергию

Рассмотрим тело массой m, которое под действием равнодействующей силы увеличивает скорость своего движения от v0 до v. Пусть равнодействующая не изменяется со временем и направлена в сторону движения тела. Определим работу этой силы.

Величину называют кинетической энергией тела .

Кинетическая энергия — физическая величина, которая характеризует механическое состояние движущегося тела и равна половине произведения массы m тела на квадрат скорости v его движения:

Теорема о кинетической энергии: работа равнодействующей всех сил, которые действуют на тело, равна изменению кинетической энергии тела:

Если в начальный момент времени тело неподвижно ( = 0), то есть= 0, то теорема о кинетической энергии сводится к равенству:

Кинетическая энергия тела, движущегося со скоростью v, равна работе, которую совершает сила, чтобы придать неподвижному телу данную скорость.

Мощность

До сих пор мы говорили о работе силы. Но любая сила характеризует действие определенного тела (или поля). Поэтому работу силы часто называют работой тела (работой поля), со стороны которого действует эта сила. На практике большое значение имеет не только выполненная работа, но и время, за которое эта работа была выполнена. Поэтому для характеристики механизмов, предназначенных для совершения работы, используют понятие мощности.

Мощность P (или N) — физическая величина, характеризующая скорость выполнения работы и равная отношению работы А к интервалу времени t, за который эта работа выполнена:

Единица мощности в СИ — ватт:

(Названа в честь Джеймса Ватта (1736–1819). Как единицу мощности он ввел лошадиную силу, которую иногда используют и сейчас: 1 л. с. = 746 Вт.)

Мощность, которую развивает транспортное средство, удобно определять через силу тяги и скорость движения. Если тело движется равномерно, а направление силы тяги совпадает с направлением перемещения, тяговую мощность двигателя можно вычислить по формуле:

Обратите внимание! Данная формула справедлива для любого движения: мощность, которую развивает двигатель в данный момент времени, равна произведению модуля силы тяги двигателя на модуль его мгновенной скорости: P = Fv (рис. 15.3).

Рис. 15.3. Когда для движения автомобиля требуется большая сила тяги, водитель переходит на меньшую скорость или нажимает на газ, увеличивая таким образом мощность двигателя

Чтобы определить механическую работу и мощность, нужно знать силу, действующую на тело, перемещение тела и время его движения. Поэтому обычно решение задач на определение работы и мощности сводится к решению задач по кинематике и динамике.

Пример №1

Автомобиль массой 2 т движется равномерно со скоростью 20 м/с по горизонтальному участку дороги. Какие силы действуют на автомобиль? Найдите работу каждой силы и тяговую мощность двигателя автомобиля, если коэффициент сопротивления движению равен 0,01, а время движения — 50 с.

Решение:

Выполним пояснительный рисунок, на котором укажем силы, действующие на автомобиль: силу тяжести , силу тяги , силу сопротивления движению , силу нормальной реакции опоры. По определению работы: A = Fscosα

Чтобы определить работу каждой силы, нужно найти::

• угол между направлением этой силы и направлением перемещения;
• модуль силы и модуль перемещения.

1. Автомобиль движется равномерно, поэтому действующие на него силы скомпенсированы: — сила тяжести уравновешена силой нормальной реакции опоры: N = mg; — сила тяги уравновешена силой сопротивления движению:

2. Перемещение автомобиля можно найти по формуле: s = vt .

3. Сила тяжести и сила нормальной реакции опоры перпендикулярны направлению движения автомобиля (α = 90°, cosα = 0). Следовательно, работа этих сил равна нулю. Сила тяги направлена в сторону движения тела: α = 0, cosα = 1, поэтому:

Сила сопротивления противоположна движению: α = 180°, cosα = −1, поэтому:

4. Тяговую мощность двигателя автомобиля определим по формуле Проверим единицы, найдем значения искомых величин:

Выводы:

Потенциальная энергия и закон сохранения механической энергии

Поднятый молот не обладает кинетической энергией, так как его скорость равна нулю. Но если молот отпустить, он совершит работу (расплющит металл). Натянутая тетива лука не имеет кинетической энергии, но, выпрямляясь, она придаст скорость стреле, а значит, совершит работу. И деформированное тело, и тело, поднятое над поверхностью Земли, способны совершить работу, то есть обладают энергией. Что это за энергия и как ее рассчитать?

Когда тело обладает потенциальной энергией

Механическая энергия E — физическая величина, характеризующая способность тела (системы тел) совершить работу.

Единица энергии (как и работы) в СИ — джоуль [E] = 1 Дж (J).

Любое движущееся тело может совершить работу, поскольку оно обладает кинетической энергией, или «живой силой», как ее называли раньше. Есть еще один вид механической энергии — ее называли «мертвая сила». Это — потенциальная энергия (от лат. potentia — сила, возможность), — энергия, которую имеет тело в результате взаимодействия с другими телами.

Потенциальная энергия — энергия, которой обладает тело вследствие взаимодействия с другими телами или вследствие взаимодействия частей тела.

Рис. 16.1. И девочка в результате взаимодействия с Землей (а), и сжатая пружина в результате взаимодействия ее витков (б) обладают потенциальной энергией

Девочка на вершине горки (рис. 16.1, а) обладает потенциальной энергией, поскольку в результате взаимодействия с Землей может начать движение и сила тяжести совершит работу. Но как вычислить эту работу, ведь горка неровная и в течение всего времени движения угол между направлением силы тяжести и направлением перемещения будет изменяться?

Сжатая пружина (рис. 16.1, б) тоже обладает потенциальной энергией: при распрямлении пружины сила упругости совершит работу — подбросит брусок. Но как вычислить эту работу, ведь во время действия пружины на брусок сила упругости непрерывно уменьшается?

Оказывается, все не так сложно. И сила тяжести, и сила упругости имеют одно «замечательное» свойство — работа этих сил не зависит от формы траектории. Силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным механическими состояниями тела (системы тел), называют потенциальными, или консервативными, силами (от лат. conservare — сохранять, охранять).

Потенциальная энергия поднятого тела

Докажем, что сила тяжести — консервативная сила. Для этого определим работу силы тяжести при движении тела из точки K в точку B по разным траекториям.

Случай 1. Пусть траектория движения тела — «ступенька» (рис. 16.2, а): сначала тело падает с некоторой высоты до высоты h и сила тяжести совершает работу , затем тело движется горизонтально и сила тяжести совершает работу . Работа — величина аддитивная, поэтому общая работа .

= 0, так как сила тяжести перпендикулярна перемещению тела. Итак: .

Случай 2. Пусть тело перемещается из точки K в точку В, скользя по наклонной плоскости (рис. 16.2, б). В этом случае работа силы тяжести равна:

Рис. 16.2. При перемещении тела с высоты до высоты h работа силы тяжести, независимо от траектории движения тела, определяется по формуле:

Тот же результат получим и для случаев перемещения тела по произвольной траектории. Следовательно, работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела, то есть сила тяжести — консервативная сила. Величину mgh называют потенциальной энергией поднятого тела:

Потенциальная энергия поднятого тела зависит от высоты, на которой находится тело, то есть зависит от выбора нулевого уровня, — уровня, от которого будет отсчитываться высота. Нулевой уровень выбирают из соображений удобства. Так, находясь в комнате, за нулевой уровень целесообразно взять пол, определяя высоту горы — поверхность Мирового океана.

Обратите внимание! Изменение потенциальной энергии, а следовательно, и работа силы тяжести от выбора нулевого уровня не зависят.

• Заказать решение задач по физике

Потенциальная энергия упруго деформированного тела

Пусть имеется упруго деформированное тело — растянутая пружина. Определим работу, которую совершит сила упругости при уменьшении удлинения пружины от до x (рис. 16.3). Воспользуемся для этого геометрическим смыслом механической работы (рис. 16.4):

Таким образом, работа силы упругости определяется только начальным и конечным состояниями пружины, то есть сила упругости — консервативная сила. Величину называют потенциальной энергией упруго деформированного тела:

Работа силы упругости (как и силы тяжести) равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком:

Данное выражение — математическая запись теоремы о потенциальной энергии: работа всех консервативных сил, действующих на тело, равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком.

Состояние с меньшей потенциальной энергией является энергетически выгодным; любая замкнутая система стремится перейти в такое состояние, в котором ее потенциальная энергия минимальна, — в этом заключается принцип минимума потенциальной энергии. Действительно, камень, выпущенный из руки, никогда не полетит вверх — он будет падать, стремясь достичь состояния с наименьшей потенциальной энергией. Недеформированная пружина никогда не станет сама растягиваться или сжиматься, а деформированная пружина стремится перейти в недеформированное состояние.

Закон сохранения полной механической энергии

Как правило, тело или система тел обладают и потенциальной, и кинетической энергиями. Сумму кинетических и потенциальных энергий тел системы называют полной механической энергией системы тел: (рис. 16.5).

Рассмотрим замкнутую систему тел, взаимодействующих друг с другом только консервативными силами (силами тяготения или силами упругости). По теореме о потенциальной энергии работа A, совершаемая этими силами, равна: . С другой стороны, согласно теореме о кинетической энергии эта же работа равна: . Приравняв правые части равенств, получим закон сохранения и превращения полной механической энергии:

В замкнутой системе тел, взаимодействующих только консервативными силами, полная механическая энергия остается неизменной (сохраняется):

Закон сохранения полной механической энергии предполагает превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот (рис. 16.6). Однако сохраняется ли при этом полная механическая энергия? Наш опыт подсказывает, что нет. И действительно, закон сохранения полной механической энергии справедлив только в случаях, когда в системе отсутствует трение. Однако в природе не существует движений, не сопровождающихся трением. Сила трения всегда направлена против движения тела, поэтому при движении она совершает отрицательную работу, при этом полная механическая энергия системы уменьшается:

где — работа силы трения; E, — полная механическая энергия системы в конце и в начале наблюдения соответственно.

Потери энергии наблюдаются и в случае неупругого удара. Так что, при наличии трения или при неупругой деформации энергия бесследно исчезает? Казалось бы, да. Однако измерения показывают, что в результате и трения, и неупругого удара температуры взаимодействующих тел увеличиваются, то есть увеличиваются внутренние энергии тел. Значит, кинетическая энергия не исчезает, а переходит во внутреннюю энергию.

Энергия никуда не исчезает и ниоткуда не появляется: она только переходит из одного вида в другой, передается от одного тела к другому.

Алгоритм решения задач с применением закона сохранения механической энергии

1. Прочитайте условие задачи. Выясните, является ли система замкнутой, можно ли пренебречь действием сил сопротивления. Запишите краткое условие задачи.
2. Выполните пояснительный рисунок, на котором укажите нулевой уровень, начальное и конечное состояния тела (системы тел).
3. Запишите закон сохранения механической энергии. Конкретизируйте запись, воспользовавшись данными условия задачи и соответствующими формулами для определения энергии.
4. Решите полученное уравнение относительно неизвестной величины.
5. Проверьте единицу, найдите значение искомой величины.
6. Проанализируйте результат, запишите ответ.

Пример №2

Какую минимальную скорость нужно сообщить шарику, подвешенному на нити длиной 0,5 м, чтобы он смог совершить полный оборот в вертикальной плоскости? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Анализ физической проблемы

• Сопротивлением воздуха пренебрегаем, поэтому система «шарик — нить — Земля» является замкнутой и можно воспользоваться законом сохранения механической энергии.
• За нулевой уровень примем самое низкое положение шарика.
• В самой высокой точке траектории шарик имеет некоторую скорость, иначе он не продолжил бы вращаться, а стал бы падать вертикально вниз.
• Для определения скорости движения шарика в наивысшей точке траектории воспользуемся определением центростремительного ускорения и вторым законом Ньютона.
• Нужно найти минимальную скорость движения шарика в момент толчка, поэтому понятно, что в наивысшей точке траектории нить натянута не будет, то есть сила ее натяжения будет равна нулю.

Решение:

На рисунке отметим положения шарика в самой нижней и самой верхней точках траектории; силы, действующие на шарик в верхней точке; направление ускорения. По закону сохранения механической энергии:

Согласно второму закону Ньютона: .

Поскольку

Подставим выражение (2) в выражение (1): Проверим единицу, найдем значение искомой величины:

Ответ:

Выводы: