Как найти высоту полета камня

Если тело бросить вертикально вверх при наличии начальной скорости υ0, оно будет двигаться равнозамедленно с ускорением, равным a=-g=-9,81υc2.

Рисунок 1

Формулы вычисления показателей движения брошенного тела

Высота подбрасывания h за время t и скорость υ через промежуток t можно определить формулами:

tmax – это время, за которое тело достигает максимальной высоты hmax=h, при υ=0, а сама высота hmax может быть определена при помощи формул:

Когда тело достигает высоты, равной hmax, то оно обладает скоростью υ=0 и ускорением g. Отсюда следует, что тело не сможет оставаться на этой высоте, поэтому перейдет в состояние свободного падения. То есть, брошенное вверх тело – это равнозамедленное движение, при котором после достижения hmax изменяются знаки перемещения на противоположные. Важно знать, какая была начальная высота движения h0. Общее время тела примет обозначение t, время свободного падения – tп, конечная скорость υк, отсюда получаем:

Если тело брошено вертикально вверх от уровня земли, то h0=0.

Время, необходимое для падения тела с высоты, куда предварительно было брошено тело, равняется времени его подъема на максимальную высоту.

Так как в высшей точке скорость равняется нулю видно:

Конечная скорость υк тела, брошенного от уровня земли вертикально вверх, равна начальной скорости υ0 по величине и противоположна по направлению, как показано на ниже приведенном графике.

Рисунок 2

Примеры решения задач

Постановка задачи (этап 1)
Задача. Под углом 60° к горизонту и начальной скоростью 30 м/с брошен камень. Сопротивление воздуха не учитывается.
Вопросы:

1. Как далеко от места бросания камень упадет?
2. Сколько секунд камень будет находиться в полете?
3. Какова наибольшая высота взлета камня?
4. Как скоро от начала полета будет достигнута наивысшая точка полета?

Выбор плана создания модели (этап 2)
     Объектом исследования является положение в пространстве летящего тела в зависимости от времени. Определенно ясно, что камень при данных начальных условиях действительно должен полететь.
     Для создания модели потребуются специальные знания из курса физики и математики. Устное решение задачи невозможно.
     Для решения задачи нужно строить документальную математическую модель задачи (уравнения, формулы).
     Дальнейшее моделирование возможно двумя путями. Решение математической задачи можно получить в виде формулы (аналитическое решение). Второй путь связан с построением компьютерной модели (расчетное решение).
     Будем строить компьютерную модель с помощью электронных таблиц, рассчитывая для разных моментов времени удаление и высоту полета камня.
     Таким образом, получаем этапы создания модели:

• 3а — создание документальной математической реализации модели.
• 3б — создание компьютерной реализации модели.

Создание документальной математической реализации модели (этап 3а)
     В вертикальной плоскости полета камня зададим прямоугольную систему координат с началом в точке вылета. Схема представлена на рисунке

Начальная скорость v (м/c) разлагается на составляющие vx и vy по углу бросания u в градусах:

Положение тела в полете определяется парой координат x(t), y(t). Зависимость координат от времени t (с) описывается формулами:

     где g = 9,81 — ускорение свободного падения, т.е.

Положение камня в полете будем рассматривать в отдельные моменты времени t0, t1, t2 и т.д. Пусть начальный момент t0 равен 0, а последующие моменты отстоят друг от друга на одну и ту же величину dt, называемую шагом времени. Зададим dt = 0,2 c.
Создание компьютерной реализации модели (этап 3б)
     Используем табличную схему модели в электронных таблицах.
     В первую строку рабочей таблицы введем название «Модель полета тела».
     Исходными данными для задачи являются начальная скорость (30 м/с), угол бросания (60 град.) и шаг времени (0,2 с).
     В расчетной таблице в столбцах будем отображать: время с начала процесса (столбец Время), координату-удаление (столбец x(t)) и координату-высоту (столбец y(t)). Модель получит вид, приведенный на рисунке

      Вводим данные в первую строку расчетной таблицы:
           A9: 0             В9: 0               С9: 0
      Вторая строка расчетной таблицы — формульная:
           A10: =A9+$A$5
           В10: =$A$3*COS($A$4*3,14/180)*A10
           C10: =$A$3*SIN($A$4*3,14/180)*A10–9,81*A10^2/2
     Абсолютные адреса в формулах введены для обеспечения последующего копирования формул.
     Следующие 35 строк расчетной таблицы, включая строку 45 рабочей таблицы, заполняем вниз содержимым блока A10:C10.
     Расчетную таблицу можно дополнить диаграммой.
     Выделяем в расчетной таблице блок B9:C45 и вставляем на свободное место рабочей таблицы диаграмму (Точечная с гладкими кривыми и маркерами). Легенду можно удалить.
Проверка адекватности модели (этап 4)
     Адекватность модели проверяется рассчитанными данными. Для 1 сек полета удаление равно 15,01379067 м, а высота — 21,06779518 м.
     Модель адекватна реальному процессу только с допущением об отсутствии сопротивления воздуха и для положительных значений координат. Когда координата (высота) становится отрицательной, модель становится неадекватной (тело находится ниже уровня земли).
Получение решения задачи с помощью модели (этап 5)
    Для ответа на вопросы задачи анализируются расчетная таблица и диаграмма.
    По числам в графе y(t) находится та строка, в которой положительные числа переходят в отрицательные (на диаграмме график полета тела пересекает горизонтальную ось). Это и есть момент падения с точностью до величины шага времени. Так получается ответ на 1-й вопрос.
    Ответы на остальные вопросы находятся аналогично.

Определение высоты с помощью брошенного камня

За последнее время я дважды сильно ошибался при определении высоты отвеса, это не привело к опасным последствиям, но могло прибавить нам работы на маршруте. Находясь на краю обрыва и смотря вниз, если внизу нет предметов размеры которых известны, мозгу трудно определить расстояние – камни могут быть любого размера и по этому не являются надежным ориентиром. В этом случае высоту можно проверить сбрасывая камень и замеряя время падения, не многие помнят формулу из средней школы, а формула проста и легко запоминается: S = g*T2/2 Я не знаю как записать формулу понятно и продублирую ее описанием: высота равна ускорению свободного падения (9.8 м/сек2) умноженному на время в квадрате и деленному на два. В формуле не учтено сопротивление воздуха, мы его не принимаем во внимание — оно мало даже на Мертвом море. Секундомер есть почти во всех часах – померить время не проблема. Если нет желания возводить секунды в квадрат можно ориентироваться на таблицу: 1 секунда — 5 метров 2 секунды — 20 метров 3 секунды — 45 метров 4 секунды — 80 метров 5 секунд — 125 метров Есть интересная особенность, камень не обязательно бросать вниз, его можно бросить в сторону, но важно что бы в любом случае его начальная вертикальная скорость была равна нулю. Удачных измерений!