Как найти высоту правильной пирамиды через апофему

Как найти высоту в правильной пирамиде

Частный случай конуса называется пирамидой, если в основании фигуры лежит многоугольник. Если этот многоугольник является выпуклым, все его стороны имеют одинаковую длину, а вершина многогранника проецируется в центр основания, пирамиду называют правильной. Боковые грани такой геометрической фигуры имеют форму равнобедренного треугольника. Расчет высоты правильной пирамиды – задача относительно несложная.

Инструкция

Если в условиях задачи приведена площадь основания (s) и объем (V) пирамиды, формула для вычисления высоты многогранника (H) будет очень проста – разделите утроенный объем на площадь: H = 3*V/s.

При квадратном основании пирамиды с известной длиной стороны (a) и заданном объеме (V) замените площадь в формуле расчета из предыдущего шага на возведенную в квадрат длину стороны: H = 3*V/a².

Формулу из первого шага можно трансформировать для вычисления высоты (H) правильной пирамиды c основанием любой формы. Исходные данные, которые в ней должны быть задействованы – объем (V) многогранника, длина ребра в основании (a) и количество вершин при основании (n). Площадь правильного многоугольника определяется четвертью произведения количества вершин на квадрат длины стороны и котангенс угла, равного соотношению 180° и количества вершин: ¼*n*a²*ctg(180°/n). Подставьте это выражение в формулу из первого шага: H = 3*V/(¼*n*a²*ctg(180°/n)) = 12*V/(n*a²*ctg(180°/n)).

Апофема (h) любой боковой грани правильной пирамиды образует с радиусом вписанной в основание окружности (r) и высотой правильной пирамиды (H) прямоугольный треугольник. Если радиус и апофема известны, используйте в расчетах теорему Пифагора. Так как искомая величина здесь – катет, из теоремы вытекает, что вам нужно извлечь квадратный корень из разности между квадратом апофемы (гипотенузы) и квадратом радиуса (второго катета): H = √(h²-r²).

При известной апофеме (h) и угле наклона (α) боковой грани к основанию правильной пирамиды в формуле вычисления высоты (H) можно использовать определение синуса через острые углы прямоугольного треугольника. Рассмотрите тот же треугольник, что и в предыдущем шаге. Синус угла наклона апофемы к основанию по определению равен отношению длины противолежащего катета (высоты пирамиды) к гипотенузе (апофеме). Из этого вытекает, что для расчета искомой величины достаточно умножить апофему на синус угла наклона: H = h*sin(α).

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Достаточно знать длину бокового ребра пирамиды, количество сторон многоугольника, лежащего в основании пирамиды, а также длину стороны основания (сторону многоугольника).

В основании правильной пирамиды всегда лежит правильный многоугольник. Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность.

Есть такая формула:

a — длина стороны n-угольника (для правильного многоугольника).

L – длина окружности, описывающей этот многоугольник.

n – это количество сторон этого многоугольника

Если выразить эту формулу наоборот, то можно по стороне многоугольника найти длину окружности.

L=a*π/sin(180/n)

Зная длину окружности, можно найти радиус этой окружности:

L=2πR

R=L/(2π)

Подставляя L из первой формулы, получаем:

R = L/(2π) = a*π/(2π*sin(180/n)) = a/(2sin(180/n))

Теперь если приглядитесь к рисунку, то увидите, что радиус описанной окружности является также и катетом в прямоугольном треугольнике (игреком “y” на левой картинке).

А вертикальное ребро пирамиды это гипотенуза этого прямоугольного треугольника.

А искомая нам высота это второй катет этого прямоугольного треугольника.

По теореме Пифагора:

X²=Y²+h²

h²=X²-Y²

h=√(X²-Y²)

X нам известен – это длина боковой стороны пирамиды.

Y тоже известен – это расстояние от одного из углов основания пирамиды до центра пирамиды, и это же радиус описанной вокруг этого многоугольника окружности.

Y=R, а R равен: R=a/(2sin(180/n))

Итак подведём итог:

h=√(X²-Y²) = √(X²-R²) = √(X²-(a/(2sin(180/n)))²)

X – размер боковой стороны (ребра) пирамиды.

n – количество сторон многоугольника в основании.

a – размер стороны этого многоугольника в основании.

Более удобно эту формулу я отразил на рисунке.

Одной из объемных фигур, изучаемых в курсе пространственной геометрии, является пирамида. Важной характеристикой этой фигуры является ее высота. В статье дадим определение высоты пирамиды и приведем формулы, через которые она связана с другими линейными характеристиками.

Что собой представляет пирамида

Под пирамидой понимают геометрическую фигуру пространственную, которая получается в результате соединения всех углов многоугольника с одной точкой пространства. Рисунок ниже демонстрирует расположение линий (ребер) для четырехугольной и пятиугольной пирамид.

Многоугольная грань фигуры называется ее основанием. Точка, где все треугольные грани соединяются, называется вершиной. Для определения высоты пирамиды отмеченные элементы являются важными.

Высота фигуры

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, который из ее вершины опущен на плоскость основания. Важно понимать, что из каждой вершины, принадлежащей основанию фигуры, тоже можно провести перпендикуляр к соответствующей треугольной грани, однако он высотой не будет являться. Высота пирамиды – это единственный перпендикуляр, который является одной из важных ее линейных характеристик.

Каждому школьнику известно, что любая плоская фигура обладает геометрическим центром (в физике ему соответствует центр масс). Например, геометрический центр для произвольного треугольника определяется точкой пересечения его медиан, для параллелограмма – точкой пересечения диагоналей. Если высота пирамиды пересекает ее основание в геометрическом центре, то фигура называется прямой. Пирамида прямая, имеющая в основании многоугольник с одинаковыми сторонами и углами, называется правильной.

Рисунок выше показывает, чем отличается неправильная пирамида от правильной. Видно, что высота неправильной фигуры лежит за пределами ее основания, в то время как у правильной шестиугольной пирамиды высота находится внутри фигуры, пересекая ее основание в центре геометрическом.

Важными свойствами всех правильных пирамид являются следующие:

• все боковые грани представляют собой равнобедренные треугольники и равны друг другу;
• длины боковых ребер и апофем являются одинаковыми.

Формулы для высоты правильной пирамиды

Существует четыре основных линейных характеристики для любой пирамиды правильной:

• сторона основания;
• боковое ребро;
• апофема боковой грани;
• высота фигуры.

Все они связаны математически друг с другом. Обозначим длину стороны основания символом a, высоту – h, апофему – h_b и ребро – b. Формулы, которые эти величины связывают, имеют индивидуальный вид для соответствующей n-угольной пирамиды. Например, для правильной пирамиды четырехугольной высоту можно определить по формулам:

h = √(a_b² – a²/4);

h = √(b² – a²/2).

Эти формулы следуют из теоремы Пифагора при рассмотрении соответствующих прямоугольных треугольников внутри пирамиды.

Если рассматривается фигура с треугольным основанием, тогда справедливы следующие формулы для высоты правильной пирамиды:

h = √(a_b² – a²/12);

h = √(b² – a²/3).

Решение задачи с шестиугольной пирамидой

Предположим, что нам дана пирамида правильная с шестиугольным основанием. Известно, что высота основания пирамиды равна 13 см. Зная, что длина ее бокового ребра равна 10 см, необходимо вычислить объем и высоту правильной шестиугольной пирамиды.

Рисунок ниже показывает, как выглядит правильный шестиугольник.

Расстояние между любыми его двумя параллельными сторонами называется высотой. Не сложно показать, что эта высота h_a связана с длиной стороны фигуры следующей формулой:

h_a = a*√3

Подставляя в выражение значение h_a, находим, что сторона основания a равна 7,51 см.

Высоту h фигуры можно определить, если рассмотреть прямоугольный треугольник, находящийся внутри пирамиды и состоящий из двух катетов (высота пирамиды и половина диагонали шестиугольного основания) и гипотенузы (боковое ребро). Тогда значение h будет равно:

h = √(b² – a²) = √(100 – 56,4) = 6,6 см.

Объем пирамиды определяется как третья часть от произведения высоты фигуры на площадь ее основания. Площадь правильного шестиугольника равна:

S₆ = n/4*a²*ctg(pi/n) = 6/4*a²*ctg(pi/6) = 3*√3/2*a² = 3*√3/2*56,4 ≈ 146,53 см².

Использованная для вычисления S₆ формула является универсальной для произвольного правильного n-угольника.

Для определения объема фигуры остается подставить в соответствующую формулу найденные параметры:

V = 1/3*h*S₆ = 1/3*6,6*146,53 = 322,366 см³.

Мы получили значение высоты пирамиды и рассчитали ее объем. Таким образом, поставленная задача решена.

ЭСО

→ МНОГОГРАННИКИ

→ Геометрическое тело

→ Многогранник

→ Пирамида

---

Пред. ←

Содержание

→ След.

---

Правильная пирамида

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

Пирамида называется правильной, если её
основание – правильный n-угольник, а все
боковые рёбра равны.

---

ТЕОРЕМА

О высоте правильной пирамиды

В правильной пирамиде отрезок, соединяющий вершину
пирамиды с центром её основания, является
высотой пирамиды.

Для определённости проведём доказательство для правильной шестиугольной
пирамиды SABCDEF:

Пусть точка O – центр шестиугольника ABCDEF. Докажем, что
отрезок SO есть высота пирамиды. Рассмотрим какие-нибудь
два диагональных сечения, проходящие через отрезок SO,
например треугольники ASD и CSF. Указанные теругольники
являются равнобедренными (все боковые ребра правильной пирамиды
равны), следовательно, в каждом из них медиана SO является
высотой, т.е. SO ⊥ FC, SO ⊥ AD

Таким образом, прямая SO перпендикулярна двум пересекающимся
прямым FC и AD плоскости основания, а значит она перпендикулярная
этой плоскости. Таким образом отрезок SO перпендикулярен
плоскости основания, т.е. является высотой пирамиды.

В случае правильной пирамиды, основанием которой
служит n-угольник с чётным числом вершин, доказательство
аналогично. В случае, когда основанием пирамиды служит
многоугольник с нечётным числом вершин, для доказательства
можно воспользоваться тем, что основание высоты
правильной пирамиды совпадает с центром окружности,
описанной около его основания.

ТЕОРЕМА

О площади боковой поверхности правильной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине
произведения периметра основания на апофему

S_бок = ½ P_оснℓ

Доказательство проведём для правильной шестиугольной пирамиды
TABCDEF:

В случае правильной n-угольной пирамиды доказательство аналогично
Пусть периметр основания пирамиды P_осн, апофему обозначим
буквой ℓ. Боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными
треугольниками, основания которых – стороны основания пирамиды,
а высоты равны апофеме ℓ.

Площадь боковой поверхности равна сумме указанных
равнобедренных треугольников, т.е.:

S_бок =
½ ABℓ + ½ BCℓ + ½ CDℓ + ½ DEℓ +
½ EFℓ + ½ FAℓ = ½ ℓ(AB + BC + CD + DE + EF + FA) =
½ P_оснℓ.

• Апофема правильной пирамиды
  

---

---

Пред. ←

Содержание

→ След.

---

Как найти высоту в пирамиде: треугольной, четырехугольной, правильной

Высота основания в пирамиде – тема, на которую часто попадаются задачи на экзаменах и в старших классах. Решать такие задачи просто, если понимать принцип решения и знать формулы.

В нашей статье, вы без лишних формул и теории сможете понять, как решать задачи на нахождение высоты в пирамиде. Обратите внимание, что в разделе «формулы» отсутствуют все формулы правильной пирамиды, так как наша цель – научить решать задачи на нахождение высоты.

Содержание этой статьи:

Теория

Правильная пирамида

Правильная пирамида имеет в основании многоугольник, а высота проходит через центр основания. Боковые грани – равнобедренные треугольники. Напомним, что в равнобедренном треугольнике две стороны равны, следовательно, боковые ребра в правильной пирамиде тоже равны. Многоугольник в основании правильный, т.е. его стороны равны.

Для решения задач понадобится знать теоремы равнобедренного треугольника:

Основные свойства

Четырехугольная пирамида

В основании – многоугольник; остальные грани – треугольники, соединяющиеся в общей вершине.

Треугольная пирамида

В качестве основания можно рассматривать любую грань. Вся фигура состоит из треугольников.

Необходимые знания для нахождения высоты

Когда теория закреплена, можно переходить к формулам.

Формулы для нахождения высоты

Запомните, что маленькая буква h – это апофема, а большая H – высота.

В некоторых задачах, высоту можно найти через объем:

ВИДЕО: Примеры решения задач

Нахождение высоты в правильной пирамиде

Нахождение высоты в правильной пирамиде

Ниже будут представлены текстовые решения часто встречающихся задач.

Треугольная пирамида

Задача 1

В правильной треугольной пирамиде DBAC с вершиной D биссектрисы треугольника BAC пересекаются в точке N. Площадь треугольника BAC равна 4; объем пирамиды равен 12. Найдите длину отрезка DN.

DN – высота, следовательно, объем фигуры можно выразить по формуле:

DN = 3V/S основания = 3*12/4 = 9

Задача 2

DBAC – медианы основания BAC. Они пересекаются в точке N. Площадь ΔBAC равна 18, V = 20; найдите высоту.

Пользуясь формулой объема, получается:

DN = 3V/S ΔBAC = 3*36/18 = 108/18 = 6

Четырехугольная пирамида

Задача 1

Найдите высоту пирамиды, если ML = 10, а DC = 12. В основании квадрат.

ML – это апофема, сторона нам известна, следовательно, можно применить формулу для нахождения OL:

Известно, что MOL – прямоугольный угол. Применим теорему Пифагора:

MO ² = √ML ² — √OL ² = √100- √36 = √64

Задача 2

Известно, что диагональ AC = 20, ML = 10, а сторона DC = 12; найдите MO правильной четырехугольной пирамиды.

Найдем OL

В основании фигуры – квадрат, стороны и углы которого равны. Значит, половина диагонали = 10. Рассмотрим треугольник LOC, он – прямоугольный. Из исходных данный ясно, что LC = 6 (в равнобедренном треугольнике, высота, проведенная из вершины, делит основание на 2 равные части – это свойство р/б треугольника).

Пользуясь теоремой Пифагора, находим OL:

OL² = √OC² — √LC² = √100 – √36 = √64 = 8

Задача 3

Ищем MO

Пользуясь той же теоремой, находим высоту:

MO² = √ML² – √OL² = 100 – 64 = 36

Задача 4

Известно, что в основании ABCD, AB=CD=BC=AD. Треугольник DMC имеет площадь 36см, DC = 4, OL = 6. Определите тип фигуры и найдите высоту.

Исходя из информации про основание, мы сделали вывод, что перед нами правильная пирамида – стороны основания равны. Следовательно, перед нами четырехугольная правильная пирамида.

Из первого вывода следует, что боковые грани – равнобедренные треугольники, а высота и медиана этих треугольников – апофема. Пользуясь формулами, найдем высоту.

Площадь равнобедренного треугольника

Теперь у нас есть апофема, а OL нам было уже давно. MOL – прямоугольный треугольник, 2 стороны которого, мы уже знаем. Следовательно, мы можем посчитать высоту.

MO = ML – OL = 18 – 6 = 12

Часто задаваемые вопросы

Часто в задании не указывают какой тип фигуры, чтобы человек сам догадался и применил нужные формулы. Понять какой тип фигуры легко – начните решение задачи с рассмотрения основания и заучивания свойств фигуры.

Зная определения и свойства, определить тип фигуры очень легко.

Чтобы решать задачи, человек должен включать логику, а не подставлять исходные числа в знакомые формулы. С этим расчетом, в некоторых задачах умышленно добавляют лишние данные, которые могут даже не использоваться при решении. Чаще такое встречается в задачах на ЕГЭ.

Для удобства, человек может не выделять отдельно высоту, а сразу писать, например, BE (если B – вершина, а E – основание). То же с апофемой. Важно, чтобы сам человек осознавал, что это за линия и как ее использовать в решении.

Ключ к пониманию стереометрии – умение визуализировать объекты в пространстве. Если в дополнение к этому умению, знать формулы, свойства и теорию – задачи будут решаться быстро и безошибочно.

Если выразить высоту через формулу объема, то получится следующее:

Пример: объем пирамиды равен 70 куб. см., а площадь боковых граней – 30см²

Типичные ошибки на ЕГЭ

Полезные советы

• Если в задаче указан объем – ищите высоту через него.
• Делите равнобедренные треугольники на прямоугольные – так быстрее и проще решить задачу.
• Учите квадратные корни чисел – так, вы будете быстрее справляться с теоремой Пифагора.
• Не кидайтесь сразу к решению – изучите исходные данные и сделайте правильные выводы.
• Если в заданиях получаются слишком крупные числа (от 1000), то перепроверьте решение – вероятно, вы допустили ошибку. В заданиях в учебнике и на экзамене практически не используются крупные числа.

Чтобы успешно решить задачу для нахождения высоты пирамиды, достаточно знать теорию и формулы. Добавив к своим знаниям немного практики и внимательности, вы легко и быстро будете решать подобные задачи! Если вы не согласны с рейтингом статьи, то просто поставьте свои оценки и аргументируйте их в комментариях. Ваше мнение очень важно для наших читателей. Спасибо!

Пирамида. Правильная пирамида

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Данный видеоурок поможет пользователям получить представление о теме Пирамида. Правильная пирамида. На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение. Рассмотрим, что такое правильная пирамида и какими свойствами она обладает. Затем докажем теорему о боковой поверхности правильной пирамиды.

Сфера, вписанная в пирамиду

Биссекторная плоскость. Основное свойство биссекторной плоскости

Определение 1. Биссекторной плоскостью двугранного угла называют такую плоскость, которая проходит через ребро двугранного угла и делит этот угол на два равных двугранных угла (рис. 1).

Утверждение 1. Точка, расположенная внутри двугранного угла, находится на одном и том же расстоянии от граней этого угла тогда и только тогда, когда она лежит на биссекторной плоскости.

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку O, расположенную внутри двугранного угла, и проведем через эту точку плоскость δ , перпендикулярную к ребру AB двугранного угла (рис. 2).

Плоскость δ пересекает ребро AB двугранного угла в точке C, а грани двугранного угла α и β по лучам CD и CE соответственно. Угол DCE является линейным углом двугранного угла. Биссекторная плоскость γ пересекает плоскость δ по биссектрисе CF линейного угла DCE .

Таким образом, справедливость утверждения вытекает из соответствующих теорем о свойствах биссектрисы угла. Доказано.

Следствие 1. Если сфера, расположенная внутри двугранного угла, касается каждой из плоскостей граней этого угла, то центр сферы находится на биссекторной плоскости двугранного угла (рис. 3).

Сфера, вписанная в пирамиду. Свойства пирамиды, описанной около сферы

Определение 2. Сферой, вписанной в пирамиду, называют такую сферу, которая касается плоскостей всех граней пирамиды, причем точки касания лежат на гранях пирамиды (рис. 4).

Определение 3. Если сфера вписана в пирамиду, то пирамиду называют описанной около сферы.

Если сфера вписана в пирамиду, то она касается граней каждого внутреннего двугранного угла, образованного соседними гранями пирамиды. В соответствии со следствием 1 центр вписанной в пирамиду сферы должен находиться в точке пересечения биссекторных плоскостей всех внутренних двугранных углов, образованных соседними гранями пирамиды.

Если у пирамиды нет точки, в которой пересекаются биссекторные плоскости всех внутренних двугранных углов, образованных соседними гранями пирамиды, то в такую пирамиду нельзя вписать сферу.

Замечание 1. Для того, чтобы проверить, можно ли в пирамиду вписать сферу, достаточно проверить, существует ли точка пересения биссекторных плоскостей всех внутренних двугранных углов при основании пирамиды. Если такая точка существует, то она будет равноудалена как от основания пирамиды, так и от каждой из боковых граней.

Рассмотрим несколько типов пирамид, в которые можно вписать сферу.

Утверждение 2. Если у пирамиды SA₁A₂ . A_n основание O перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость основания пирамиды, лежит внутри многоугольника A₁A₂ . A_n , а все боковые грани пирамиды наклонены под одним и тем же углом к плоскости основания пирамиды, то в такую пирамиду можно вписать сферу.

Доказательство. Пусть все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом φ , а высота пирамиды равна h. Рассмотрим, например, боковую грань SA₁A₂ и проведем в ней высоту SB (рис. 5).

По теореме о трех перпендикулярах отрезок OB перпендикулярен ребру A₁A₂ . Следовательно, угол SBO является линейным углом двугранного угла между боковой гранью SA₁A₂ и плоскостью основания пирамиды и равен φ. Биссекторная плоскость этого двугранного угла пересекает высоту пирамиды в точке O’ (рис. 6).

Катет OB прямоугольного треугольника SOB выражается через высоту пирамиды h и угол φ по формуле

Катет OO’ прямоугольного треугольника OO’B выражается через высоту пирамиды h и угол φ по формуле

Поскольку длина отрезка OO’ не зависит от выбора боковой грани пирамиды, то биссекторные плоскости всех внутренних двугранных углов при основании пирамиды пересекаются в точке O’, которая и является центром вписанной в пирамиду сферы.

Доказательство утверждения 2 завершено.

Поскольку у любой правильной пирамиды все внутренние двугранные углы при основании равны, то справедливо

Следствие 2. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу, причем ее радиус R выражается через высоту пирамиды h и внутренний двугранный угол при основании пирамиды φ по формуле

(1)

Радиус сферы, вписанной в правильную n – угольную пирамиду

Решение. Рассмотрим правильную n – угольную пирамиду SA₁A₂ . A_n и обозначим символом O’ центр вписанной в пирамиду сферы, а буквой O – центр основания пирамиды. Проведем плоскость через высоту пирамиды SO и апофему SB какой-либо боковой грани (рис. 7).

Буквой R на рисунке 7 обозначен радиус вписанной в пирамиду сферы, буквой r – радиус вписанной в основание пирамиды окружности, а буквой φ – внутренний двугранный угол при основании пирамиды. Из прямоугольного треугольника OSB получаем

(2)

В силу следствия 2 из формул (1) и (2) получаем

из формулы (3) получаем соотношение

Ответ.

Следствие 3. Радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду с высотой h и ребром основания a, равен

Следствие 4. Радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром a, равен

Следствие 5. Радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду с высотой h и ребром основания a, равен

Следствие 6. Радиус сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду с высотой h и ребром основания a, равен

Сфера, вписанная в треугольную пирамиду.
Формула для радиуса вписанной сферы

Утверждение 3. В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу.

Доказательство. Доказательство этого утверждения напоминает планиметрическое доказательство возможности вписать окружность в произвольный треугольник.

Действительно, пусть SABC – произвольный тетраэдр. Биссекторная плоскость внутреннего двугранного угла с ребром AC и биссекторная плоскость внутреннего двугранного угла с ребром AB пересекаются по некоторой прямой, проходящей через вершину A. Биссекторная плоскость внутреннего двугранного угла в ребром BC пересекает эту прямую в единственной точке O , которая и является центром вписанной сферы (рис. 8).

Получим формулу, позволяющую вычислить радиус вписанной в тетраэдр SABC сферы. Для этого заметим, что объем пирамиды SABC равен сумме объемов пирамид OABC, OSCA, OSAB, OSCB, причем высота каждой из пирамид OABC, OSCA, OSAB, OSCB равна радиусу R вписанной в пирамиду SABC сферы. Если обозначить площади граней тетраэдра SABC символами

а объемы пирамид SABC, OABC, OSCA, OSAB, OSCB – символами

то справедливы следующие равенства:

где символом S_полн обозначена площадь полной поверхности пирамиды SABC.

Замечание 2. Если в пирамиду (необязательно треугольную) можно вписать сферу, то, рассуждая аналогично, можно получить следующую формулу для радиуса вписанной в пирамиду сферы

где символами V_пир и S_полн обозначены объем и площадь полной поверхности пирамиды соответственно.

[spoiler title=”источники:”]

http://interneturok.ru/lesson/geometry/10-klass/mnogogranniki/piramida-pravilnaya-piramida

http://www.resolventa.ru/spr/stereometry/sphere_piramide.htm

[/spoiler]