Как вычислить высоту пирамиды
Задачи на определение каких-либо параметров многогранников, конечно, могут вызвать затруднение. Но, если немного подумать, становится понятно, что решение сводится к рассмотрению свойств отдельных плоских фигур, из которых и состоит данное геометрическое тело.
Инструкция
Пирамида – это многогранник, в основании которого лежит многоугольник. Боковые грани представляют собой треугольники с общей вершиной, которая является одновременно вершиной пирамиды. Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, т.е. такой, у которого все углы и все стороны равны, то пирамида называется правильной. Поскольку в условии задачи не указывается, какой именно многогранник следует рассматривать в данном случае, можно считать, что имеет место правильная n-угольная пирамида.
В правильной пирамиде все ребра равны между собой, все грани – равные равнобедренные треугольники. Высотой пирамиды является перпендикуляр, опущенный из вершины на ее основание.
Нахождение высоты пирамиды зависит от того, что дано в условии задачи. Применяйте формулы, в которых для нахождения каких–либо параметров пирамиды используется ее высота. К примеру, дано: V – объем пирамиды; S – площадь основания. Используйте формулу нахождения объема пирамиды V=SH/3, где H – высота пирамиды. Отсюда следует: H=3V/S.
Двигаясь в том же направлении, следует отметить, что если площадь основания не дана, ее в некоторых случаях можно найти по формуле нахождения площади правильного многоугольника. Введите обозначения:р – полупериметр основания (полупериметр легко найти, если известно число сторон и величина одной стороны);h – апофема многоугольника (апофемой называется перпендикуляр, опущенный из центра многоугольника на любую из его сторон); а – сторона многоугольника;n – число сторон.Таким образом, p=an/2, а S=ph= (an/2)h. Откуда следует: H=3V/ (an/2) h.
Разумеется, существует множество других вариантов. К примеру, дано:h – апофема пирамиды;n – апофема основания;H – высота пирамиды.Рассмотрите фигуру, образованную высотой пирамиды, ее апофемой и апофемой основания. Она представляет собой прямоугольный треугольник. Решите задачу с помощью всем известной теоремы Пифагора. Применительно к данному случаю можно записать: h²=n²+H², откуда H²=h²-n². Вам остается лишь извлечь квадратный корень из выражения h²-n².
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Достаточно знать длину бокового ребра пирамиды, количество сторон многоугольника, лежащего в основании пирамиды, а также длину стороны основания (сторону многоугольника).
В основании правильной пирамиды всегда лежит правильный многоугольник. Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность.
Есть такая формула:
a — длина стороны n-угольника (для правильного многоугольника).
L – длина окружности, описывающей этот многоугольник.
n – это количество сторон этого многоугольника
Если выразить эту формулу наоборот, то можно по стороне многоугольника найти длину окружности.
L=a*π/sin(180/n)
Зная длину окружности, можно найти радиус этой окружности:
L=2πR
R=L/(2π)
Подставляя L из первой формулы, получаем:
R = L/(2π) = a*π/(2π*sin(180/n)) = a/(2sin(180/n))
Теперь если приглядитесь к рисунку, то увидите, что радиус описанной окружности является также и катетом в прямоугольном треугольнике (игреком “y” на левой картинке).
А вертикальное ребро пирамиды это гипотенуза этого прямоугольного треугольника.
А искомая нам высота это второй катет этого прямоугольного треугольника.
По теореме Пифагора:
X²=Y²+h²
h²=X²-Y²
h=√(X²-Y²)
X нам известен – это длина боковой стороны пирамиды.
Y тоже известен – это расстояние от одного из углов основания пирамиды до центра пирамиды, и это же радиус описанной вокруг этого многоугольника окружности.
Y=R, а R равен: R=a/(2sin(180/n))
Итак подведём итог:
h=√(X²-Y²) = √(X²-R²) = √(X²-(a/(2sin(180/n)))²)
X – размер боковой стороны (ребра) пирамиды.
n – количество сторон многоугольника в основании.
a – размер стороны этого многоугольника в основании.
Более удобно эту формулу я отразил на рисунке.
Ответы Mail.ru
Домашние задания
Русский язык
Литература
Математика
Алгебра
Геометрия
Иностранные языки
Химия
Физика
Биология
История
Обществознание
География
Информатика
Экономика
Другие предметы
Вопросы – лидеры.
(СРОЧНО!!!) В таблице представлена часть данных о возможных вариантах ведения
бизнеса на предприятии «Бетон»
1 ставка
Помогите пожалуйста! СРОЧНО!!!!!
Сделайте развёрнуто и кратко.
1 ставка
Физика, найти нужный материал, откуда он взят
1 ставка
Решите пожалуйста задачу
1 ставка
Просьба оказать помощь в решении задачи
1 ставка
Лидеры категории
Лена-пена
Искусственный Интеллект
М.И.
Искусственный Интеллект
Y.Nine
Искусственный Интеллект
•••
Как найти высоту в правильной шестиугольной пирамиде, если известна апофема???
Макс Шишов
Знаток
(330),
на голосовании
12 лет назад
Голосование за лучший ответ
Владимир Костюк
Искусственный Интеллект
(120345)
12 лет назад
И что? Только Апофема, а по основанию ничего.
Похожие вопросы
Главная » Образование » Школа » Как найти высоту в пирамиде: треугольной, четырехугольной, правильной
Как найти высоту в пирамиде: треугольной, четырехугольной, правильной
33774 Просмотров 0
Высота основания в пирамиде – тема, на которую часто попадаются задачи на экзаменах и в старших классах. Решать такие задачи просто, если понимать принцип решения и знать формулы.
В нашей статье, вы без лишних формул и теории сможете понять, как решать задачи на нахождение высоты в пирамиде. Обратите внимание, что в разделе «формулы» отсутствуют все формулы правильной пирамиды, так как наша цель – научить решать задачи на нахождение высоты.
Содержание этой статьи:
- Теория
- Часто задаваемые вопросы
- Типичные ошибки на ЕГЭ
- Полезные советы
Теория
Это интересно: Как оформлять реферат в школе по ГОСТу + образец титульного листа 2019
Правильная пирамида
Правильная пирамида имеет в основании многоугольник, а высота проходит через центр основания. Боковые грани – равнобедренные треугольники. Напомним, что в равнобедренном треугольнике две стороны равны, следовательно, боковые ребра в правильной пирамиде тоже равны. Многоугольник в основании правильный, т.е. его стороны равны.
Для решения задач понадобится знать теоремы равнобедренного треугольника:
Равнобедренный треугольник
Основные свойства
1В правильную пирамиду можно вписать и описать сферу, так как при пересечении диагоналей, основание делится на равные части. Сферу нельзя вписать в любую фигуру.
2Площадь боковой поверхности – половина произведения периметра основания на апофему. Апофема есть на каждой грани, а не только на одной.
Пирамида
Четырехугольная пирамида
В основании – многоугольник; остальные грани – треугольники, соединяющиеся в общей вершине.
Четырехугольная пирамида
Треугольная пирамида
Читайте также: Как решать задачи по математике 5 класс
В качестве основания можно рассматривать любую грань. Вся фигура состоит из треугольников.
Треугольная пирамида
Необходимые знания для нахождения высоты
1Нужно понимать, что из себя представляют треугольники: свойства, формулы, определение. Большинство задач решается через треугольники (боковые грани).
2Понимать, что такое сечение и как оно влияет на геометрическую фигуру.
3Что такое правильные многоугольники: виды, свойства, формулы.
Когда теория закреплена, можно переходить к формулам.
Формулы для нахождения высоты
Формулы
Запомните, что маленькая буква h – это апофема, а большая H – высота.
В некоторых задачах, высоту можно найти через объем:
Объем пирамиды
ВИДЕО: Примеры решения задач
Нахождение высоты в правильной пирамиде
Нахождение высоты в правильной пирамиде
Ниже будут представлены текстовые решения часто встречающихся задач.
Треугольная пирамида
Треугольная пирамида
Задача 1
В правильной треугольной пирамиде DBAC с вершиной D биссектрисы треугольника BAC пересекаются в точке N. Площадь треугольника BAC равна 4; объем пирамиды равен 12. Найдите длину отрезка DN.
DN – высота, следовательно, объем фигуры можно выразить по формуле:
DN = 3V/S основания = 3*12/4 = 9
Ответ: 9
Задача 2
DBAC – медианы основания BAC. Они пересекаются в точке N. Площадь ΔBAC равна 18, V = 20; найдите высоту.
Пользуясь формулой объема, получается:
DN = 3V/S ΔBAC = 3*36/18 = 108/18 = 6
Ответ: 6
Четырехугольная пирамида
Четырехугольная пирамида
Задача 1
Найдите высоту пирамиды, если ML = 10, а DC = 12. В основании квадрат.
ML – это апофема, сторона нам известна, следовательно, можно применить формулу для нахождения OL:
OL = ½*12 = 6
Известно, что MOL – прямоугольный угол. Применим теорему Пифагора:
MO ² = √ML ² — √OL ² = √100- √36 = √64
MO = 8
Задача 2
Известно, что диагональ AC = 20, ML = 10, а сторона DC = 12; найдите MO правильной четырехугольной пирамиды.
Найдем OL
В основании фигуры – квадрат, стороны и углы которого равны. Значит, половина диагонали = 10. Рассмотрим треугольник LOC, он – прямоугольный. Из исходных данный ясно, что LC = 6 (в равнобедренном треугольнике, высота, проведенная из вершины, делит основание на 2 равные части – это свойство р/б треугольника).
Пользуясь теоремой Пифагора, находим OL:
OL² = √OC² — √LC² = √100 – √36 = √64 = 8
Задача 3
Ищем MO
Пользуясь той же теоремой, находим высоту:
MO² = √ML² – √OL² = 100 – 64 = 36
Ответ: 36
Задача 4
Известно, что в основании ABCD, AB=CD=BC=AD. Треугольник DMC имеет площадь 36см, DC = 4, OL = 6. Определите тип фигуры и найдите высоту.
Исходя из информации про основание, мы сделали вывод, что перед нами правильная пирамида – стороны основания равны. Следовательно, перед нами четырехугольная правильная пирамида.
Из первого вывода следует, что боковые грани – равнобедренные треугольники, а высота и медиана этих треугольников – апофема. Пользуясь формулами, найдем высоту.
Площадь равнобедренного треугольника
36 = ½ * 4 *h
36 = 2h
H = 18
Теперь у нас есть апофема, а OL нам было уже давно. MOL – прямоугольный треугольник, 2 стороны которого, мы уже знаем. Следовательно, мы можем посчитать высоту.
MO = ML – OL = 18 – 6 = 12
Ответ: 12
Часто задаваемые вопросы
1Как понять, что пирамида правильная, если в условии это не указано?
Часто в задании не указывают какой тип фигуры, чтобы человек сам догадался и применил нужные формулы. Понять какой тип фигуры легко – начните решение задачи с рассмотрения основания и заучивания свойств фигуры.
Зная определения и свойства, определить тип фигуры очень легко.
2Могут ли быть указаны в задании лишние данные?
Чтобы решать задачи, человек должен включать логику, а не подставлять исходные числа в знакомые формулы. С этим расчетом, в некоторых задачах умышленно добавляют лишние данные, которые могут даже не использоваться при решении. Чаще такое встречается в задачах на ЕГЭ.
3Обязательно ли оформлять высоту большой буквой H? Нужно ли выделять апофему?
Для удобства, человек может не выделять отдельно высоту, а сразу писать, например, BE (если B – вершина, а E – основание). То же с апофемой. Важно, чтобы сам человек осознавал, что это за линия и как ее использовать в решении.
4Как можно быстро изучить стереометрию?
Ключ к пониманию стереометрии – умение визуализировать объекты в пространстве. Если в дополнение к этому умению, знать формулы, свойства и теорию – задачи будут решаться быстро и безошибочно.
4Как искать высоту, если известен объем?
Если выразить высоту через формулу объема, то получится следующее:
H = (3*V)/ S;
Пример: объем пирамиды равен 70 куб. см., а площадь боковых граней – 30см²
H = 3*70/30 = 7см
Типичные ошибки на ЕГЭ
Незнание темы
Когда человек не знает, где находится апофема и что для нее есть определенные формулы, задачу может и можно решить, но тогда необходимо выполнить в 2 раза большей действий.То же обстоит с теорией – если человек не знает свойства многоугольников, то и решить задание он не сможет. Для того, чтобы понимать геометрию, не нужно обладать особенными способностями. Даже при отсутствии способностей к математике, зная теорию, вы будете понимать геометрию.
Отсутствие проверки
Хотите потерять балл на ЕГЭ? – не перепроверяйте решения. Часто, задания решаются хаотично и на листе бумаге разные решения намешаны в кучу. Когда приходит время написать ответ, человек по невнимательности либо забывает выполнить последнее действие, либо вписывает не тот ответ.Решайте задачи по действиям, проставляйте пункты и делайте проверку ответа, каким бы он ни был.
Задачи под копирку
Решая сотни аналогичных задач, человек настолько привыкает, что теряет бдительность, игнорируя многие исходные данные. Придя на экзамен, в задании может быть вопрос с подвохом и человек ошибается в теме, которую он знал идеально. Помните, к каждой задаче нужен индивидуальный подход, как бы хорошо вы в ней не разбирались.
Запись
Структурируйте решения, прописывая каждое действие и каждый полученный вывод. Это необходимо для того, чтобы не запутаться. Решая задания хаотично, можно легко записать неправильное число, не тот ответ, подставить не те числа, и задача уже решена неверно. Обидно получать низкий балл из-за невнимательности.
Подсчеты в уме
На экзамене все нервничают и переживают, а потому зарабатывают баллы ниже, чем планировалось изначально. Когда человек нервничает, уровень концентрации и внимания резко снижается. Он может упустить что-то важное, не поставить запятую или запутаться в ходе размышлений.Считая примеры в столбик, вы обезопасите себя от глупых ошибок.
Незнание структуры экзамена
Очень обидные ошибки допускают люди, пересдающие ЕГЭ через несколько лет, либо обучающиеся в экстернате. Как правило, они плохо знакомы с процедурой заполнения бланков и внесения ответов.Заполнение бланков для части А и С – различно. Внимательно посмотрите, как необходимо их заполнять, так как неправильное внесение ответа (например, запятая и число в одной клетке) будет приравниваться к ошибке и ответ будет не засчитан.Также, если вы самостоятельно готовитесь к экзамену, учитесь рассчитывать время на каждое задание.
Поспешные решения
В случае, если ответ был записан с ошибкой, его можно внести в графе ниже, заменив неправильный ответ на правильный. Однако, клетки для внесения результатов ограничены в количестве, а заданий в общей сложности 19!Несколько раз перепроверьте ответы, прежде чем внести их в бланк ответов.
Незнание степеней числа
В теореме Пифагора будут использованы не только маленькие числа (до 10). В профильной математике, могут быть крупные числа, которые тяжело посчитать в столбик.Также, степени числа могут понадобиться для других заданий. Выучите значение чисел в квадрате и кубе от 1 до 20. Помните, что на профильном экзамене, пользовать методической таблицей нельзя!
Полезные советы
- Если в задаче указан объем – ищите высоту через него.
- Делите равнобедренные треугольники на прямоугольные – так быстрее и проще решить задачу.
- Учите квадратные корни чисел – так, вы будете быстрее справляться с теоремой Пифагора.
- Не кидайтесь сразу к решению – изучите исходные данные и сделайте правильные выводы.
- Если в заданиях получаются слишком крупные числа (от 1000), то перепроверьте решение – вероятно, вы допустили ошибку. В заданиях в учебнике и на экзамене практически не используются крупные числа.
6.5 Total Score
Чтобы успешно решить задачу для нахождения высоты пирамиды, достаточно знать теорию и формулы. Добавив к своим знаниям немного практики и внимательности, вы легко и быстро будете решать подобные задачи!
Если вы не согласны с рейтингом статьи, то просто поставьте свои оценки и аргументируйте их в комментариях. Ваше мнение очень важно для наших читателей. Спасибо!
Достоверность информации
8.5
Актуальность информации
7.5
ПЛЮСЫ
- Благодаря доступной информации можно легко научиться решать задачи по геометрии
МИНУСЫ
- Необходимы знания математики
Добавить отзыв
Одной из объемных фигур, изучаемых в курсе пространственной геометрии, является пирамида. Важной характеристикой этой фигуры является ее высота. В статье дадим определение высоты пирамиды и приведем формулы, через которые она связана с другими линейными характеристиками.
Что собой представляет пирамида
Под пирамидой понимают геометрическую фигуру пространственную, которая получается в результате соединения всех углов многоугольника с одной точкой пространства. Рисунок ниже демонстрирует расположение линий (ребер) для четырехугольной и пятиугольной пирамид.
Многоугольная грань фигуры называется ее основанием. Точка, где все треугольные грани соединяются, называется вершиной. Для определения высоты пирамиды отмеченные элементы являются важными.
Высота фигуры
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, который из ее вершины опущен на плоскость основания. Важно понимать, что из каждой вершины, принадлежащей основанию фигуры, тоже можно провести перпендикуляр к соответствующей треугольной грани, однако он высотой не будет являться. Высота пирамиды – это единственный перпендикуляр, который является одной из важных ее линейных характеристик.
Каждому школьнику известно, что любая плоская фигура обладает геометрическим центром (в физике ему соответствует центр масс). Например, геометрический центр для произвольного треугольника определяется точкой пересечения его медиан, для параллелограмма – точкой пересечения диагоналей. Если высота пирамиды пересекает ее основание в геометрическом центре, то фигура называется прямой. Пирамида прямая, имеющая в основании многоугольник с одинаковыми сторонами и углами, называется правильной.
Рисунок выше показывает, чем отличается неправильная пирамида от правильной. Видно, что высота неправильной фигуры лежит за пределами ее основания, в то время как у правильной шестиугольной пирамиды высота находится внутри фигуры, пересекая ее основание в центре геометрическом.
Важными свойствами всех правильных пирамид являются следующие:
- все боковые грани представляют собой равнобедренные треугольники и равны друг другу;
- длины боковых ребер и апофем являются одинаковыми.
Формулы для высоты правильной пирамиды
Существует четыре основных линейных характеристики для любой пирамиды правильной:
- сторона основания;
- боковое ребро;
- апофема боковой грани;
- высота фигуры.
Все они связаны математически друг с другом. Обозначим длину стороны основания символом a, высоту – h, апофему – hb и ребро – b. Формулы, которые эти величины связывают, имеют индивидуальный вид для соответствующей n-угольной пирамиды. Например, для правильной пирамиды четырехугольной высоту можно определить по формулам:
h = √(ab2 – a2/4);
h = √(b2 – a2/2).
Эти формулы следуют из теоремы Пифагора при рассмотрении соответствующих прямоугольных треугольников внутри пирамиды.
Если рассматривается фигура с треугольным основанием, тогда справедливы следующие формулы для высоты правильной пирамиды:
h = √(ab2 – a2/12);
h = √(b2 – a2/3).
Решение задачи с шестиугольной пирамидой
Предположим, что нам дана пирамида правильная с шестиугольным основанием. Известно, что высота основания пирамиды равна 13 см. Зная, что длина ее бокового ребра равна 10 см, необходимо вычислить объем и высоту правильной шестиугольной пирамиды.
Рисунок ниже показывает, как выглядит правильный шестиугольник.
Расстояние между любыми его двумя параллельными сторонами называется высотой. Не сложно показать, что эта высота ha связана с длиной стороны фигуры следующей формулой:
ha = a*√3
Подставляя в выражение значение ha, находим, что сторона основания a равна 7,51 см.
Высоту h фигуры можно определить, если рассмотреть прямоугольный треугольник, находящийся внутри пирамиды и состоящий из двух катетов (высота пирамиды и половина диагонали шестиугольного основания) и гипотенузы (боковое ребро). Тогда значение h будет равно:
h = √(b2 – a2) = √(100 – 56,4) = 6,6 см.
Объем пирамиды определяется как третья часть от произведения высоты фигуры на площадь ее основания. Площадь правильного шестиугольника равна:
S6 = n/4*a2*ctg(pi/n) = 6/4*a2*ctg(pi/6) = 3*√3/2*a2 = 3*√3/2*56,4 ≈ 146,53 см2.
Использованная для вычисления S6 формула является универсальной для произвольного правильного n-угольника.
Для определения объема фигуры остается подставить в соответствующую формулу найденные параметры:
V = 1/3*h*S6 = 1/3*6,6*146,53 = 322,366 см3.
Мы получили значение высоты пирамиды и рассчитали ее объем. Таким образом, поставленная задача решена.
