Как найти высоту предмета формула

Как определить высоту предмета

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке “Файлы работы” в формате PDF

Введение

Геометрия – одна из древнейших наук, возникших еще до нашей эры. В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие». Это название объясняется тем, что его происхождение было связано с различными измерительными работами, которые приходилось выполнять при разметке земельных участков, строительстве зданий и различных сооружений. Другими словами, геометрия возникла из практической деятельности людей и в начале своего развития служила главным образом практическим целям. [6]

На уроках геометрии в 8-м классе при изучении темы «Подобные треугольники» я заинтересовался ее практическим применением, в частности использованием подобия при измерении высоты объекта.

Выбранная тема актуальна тем, что можно узнать, как определить высоту объекта без каких-либо специальных технических устройств. В частности, иногда туристам нужно оценить размер дерева, чтобы построить мост через быструю реку. У них нет под рукой высотомера. Чтобы определить, достаточно ли высоты дерева, чтобы упав, оно перекрыло реку, можно использовать предметы, которые всегда под рукой. Или, например, на садовом участке растет дерево, которое мешает по каким – то причинам. Прежде чем его спилить, нужно решить проблему – не достанет ли оно при падении до любого строения, находящегося рядом с ним. И тут снова на помощь приходят различные методы определения высоты дерева с помощью подручных средств.

Проблема: как определитьвысоту предмета с помощью подручных средств.

Цель исследования: определение высоты предмета различными способами.

Объект исследования: дом, в котором я живу.

Предмет исследования: высота дома.

Задачи:

– рассмотреть различные способы измерения высоты предмета;

– экспериментально проверить использование различных способов определения высоты предмета, определив высоту дома, в котором я живу;

– проанализировать полученные данные и определить наиболее точный способ измерения высоты предмета.

Методы исследования:

– изучение литературы и ресурсов Интернет;

– эксперимент;

– сравнение;

– анализ.

Глава I. Способы определения высоты предмета

В своей профессиональной деятельности строители, архитекторы, лесоводы, военные для определения высоты предмета используют специальные сложные и дорогостоящие приборы – высотометры. В книге Я.И.Перельмана «Занимательная геометрия» [5], а также на сайте «Лесная промышленность» [7] можно найти различные способы определения высоты предмета с помощью подручных средств на примере определения высоты дерева.

В школьных учебниках геометрии также есть практические задачи на определение высоты дерева. Например, в учебнике Л.С.Атанасяна «Геометрия 7-9» [1] в №581 рассмотрен способ измерения высоты дерева с помощью зеркала, а в учебнике А.Г.Мерзляка «Геометрия – 8» [4] в №472 – с помощью тени (рис.1).

рис.1

Изучив литературу [3] и ресурсы сети Интернет, я выделил несколько способов определения высоты предмета и разработал пошаговые инструкции по применению каждого из них на примере измерения высоты дерева.

1. Подобие треугольников

Способы определения высоты предмета с помощью подручных средств основаны на применении такого важного понятия геометрии, как подобие треугольников. [2]

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника (рис.2)

рис.2

Соответственные стороны – это стороны, лежащие напротив равных углов.

Коэффициент подобия – это число k, равное отношению соответственных сторон (рис.3).

рис.3

При решении задач на местности чаще всего применяют первый признак подобия треугольников: если два угла одного треугольника равны соответственно двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (рис.4).

рис.4

2. Определение высоты с помощью тени

Этот способ называется способом Фалеса. В честь греческого мудреца Фалеса Милетского, который еще за шесть веков до нашей эры научил египтян определять высоту пирамиды по длину ее тени.

Инструкция:

1.Встаньте рядом с деревом так, чтобы были видны тени и дерева, и человека (рис.5).

2.Измерьте тень человека и тень дерева.

3.Измерьте рост человека.

рис.5

Геометрическая постановка задачи. Рассмотрите подобные по двум углам треугольники АВС и А₁В₁С₁ (рис.5) и составьте отношение соответственных сторон , где АВ – искомая высота дерева, А₁В₁ – рост человека, ВС – длина тени дерева, В₁С₁ – длина тени человека. Подставьте измерения и найдите величину АВ. Это и будет искомая высота дерева.

3. Определение высоты с помощью равнобедренного прямоугольного треугольника

Инструкция:

1.Держа равнобедренный прямоугольный треугольник на уровне глаз вертикально, отойдите от дерева на такое расстояние, чтобы, глядя вдоль гипотенузы, видно было верхушку дерева (рис.6).

2.Измерьте расстояние от места измерения до дерева.

3.Измерьте катет треугольника.

4.Измерьте рост человека до уровня глаз.

рис.6

Геометрическая постановка задачи. Рассмотрите подобные по двум углам треугольники АВС и А₁В₁С₁ (рис.5) и составьте отношение соответственных сторон , где АС – расстояние от точки измерения до основания дерева, А₁С₁ – длина катета равнобедренного прямоугольного треугольника, ВС – искомая величина, В₁С₁ – длина катета равнобедренного прямоугольного треугольника (рис.7).

рис.7

Подставьте измерения и найдите величину ВС. К полученной величине прибавьте рост человека до уровня глаз. Это и будет искомая высота дерева.

4. Определение объекта с помощью зеркала

Инструкция:

1.Положить зеркало горизонтально на ровную землю на некотором расстоянии от измеряемого дерева (рис.8).

2.Отойти от зеркала на такое расстояние, чтобы видеть в зеркале верхушку дерева.

3.Измерить расстояние от зеркала до основания дерева и до точки измерения.

рис.8

Затем измеряется расстояние от основания дерева до зеркала и расстояние от зеркала до измерителя.

Геометрическая постановка задачи. Способ основан на законе отражения света. Вершина отражается в точке так, что АВ = В. Из подобия треугольников ВС и СЕD следует, что . В этом отношении необходимо только заменить В равным АВ. Решив пропорцию, найдем высоту дерева АВ (рис.9).

рис.9

5. Определение высоты с помощью булавочного прибора

Булавочный прибор можно изготовить из дощечки и трех булавок. На дощечке или куске коры отмечают три точки – вершины равнобедренного прямоугольного треугольника, и в эти точки втыкают по булавке (рис.10).

рис.10

Инструкция:

1.Держа булавочный прибор на уровне глаз так, чтобы один из катетов треугольника был направлен вниз, отойдите от дерева на такое расстояние, чтобы, глядя на булавки А₁ и С₁, можно увидеть верхушку дерева (рис.11).

2.Измерьте расстояние от основания дерева до точки измерения.

рис.11

Геометрическая постановка задачи. Из подобия треугольников АВС и АВ₁С₁ следует отношение соответственных сторон , где АВ – расстояние от точки измерения до основания дерева, АВ₁ – длина катета равнобедренного прямоугольного треугольника, ВС – искомая величина, В₁С₁ – длина катета равнобедренного прямоугольного треугольника (рис.11).

Решив пропорцию, находим ВС. Для того, чтобы найти высоту дерева, необходимо к этой величине прибавить рост человека до уровня глаз.

6. Определение высоты с помощью фотографии

Инструкция:

1.Сделайте фотографию человека на фоне дерева (рис.12).

2.Измерьте рост человека.

3.Измерьте на фотографии высоту дерева и рост человека.

рис.12

Составьте отношение соответственных сторон:

Подставьте измерения и найдите реальную высоту дерева.

Глава II. Проведение эксперимента

1.Измерение высоты дома, в котором я живу

Разработанные инструкции для определения высоты предмета с помощью подручных средств я решил применить на практике, измерив высоту дома, в котором живу (Приложение 1, рис.13).

1)Измерение высоты дома по его тени (Приложение 1, рис.14).

Такое измерение лучше проводить в солнечные дни.

Необходимое оборудование: рулетка.

Результаты измерения: мой рост – 160 см, длина моей тени – 173 см, длина тени дома – 500 см.

Составляем и решаем пропорцию: .

см

Искомая высота дома в данном случае равна 4,62 м.

2) Измерение высоты дома с помощью зеркала (Приложение 1, рис.15).

Оборудование: зеркало, рулетка.

Результаты измерения: мой рост – 160 см, расстояние от зеркала до основания дома – 680 см, расстояние от зеркала до точки измерения – 220 см.

Составляем и решаем пропорцию: .

см

Искомая высота дома в данном случае равна 4,94 м.

3) Измерение высоты дома с помощью равнобедренного прямоугольного треугольника (Приложение 1, рис.16).

Оборудование: рулетка, равнобедренный прямоугольный треугольник.

Результаты измерения: длина катета равнобедренного прямоугольного треугольника – 38 см, расстояние от дома до точки измерения – 350 см.

Составляем и решаем пропорцию: .

см

Чтобы найти высоту дома, необходимо к полученному значению прибавить мой рост до уровня глаз: 350 см + 150 см = 500 см. Итак, искомая высота дома в данном случае равна 5 м.

4) Измерение высоты дома с помощью булавочного прибора (Приложение 1, рис.17).

Оборудование: рулетка, булавочный прибор (Приложение 1, рис.18).

Результаты измерения: длина катета булавочного прибора – 5 см, расстояние от дома до точки измерения – 370 см.

Составляем и решаем пропорцию: .

см

Чтобы найти высоту дома, необходимо к полученному значению прибавить мой рост до уровня глаз: 370 см + 150 см = 520 см. Итак, искомая высота дома в данном случае равна 5,2 м.

5) Измерение высоты дома с помощью фотографии (Приложение 1, рис.19).

Оборудование: линейка, фотоаппарат.

Результаты измерения: мой рост – 160 см, высота дома на фотографии – 10,5 см, мой рост на фотографии – 3,5 см.

Составляем и решаем пропорцию: .

см

Искомая высота дома в данном случае равна 4,8 м.

2. Определение наиболее точного способа измерения

Посмотрев технический план нашего дома, я выяснил, что его реальная высота – 4,85 м.

Измерив высоту дома различными способами, я решил проверить, насколько мои измерения точны. Для этого я вычислил относительную погрешность измерений по формуле , где х – точное значение величины, а а – приближенное значение (табл.1). Относительную погрешность измерений я вычислял в процентах.

Таблица 1. Относительная погрешность измерения

Метод измерения	Результат измерений	Фактическое значение	Относительная погрешность
С помощью тени	4,62 м	4,85 м
С помощью зеркала	4,94 м	4,85 м
С помощью равнобедренного прямоугольного треугольника	5 м	4,85 м
С помощью булавочного прибора	5,2 м	4,85 м
С помощью фотографии	4,8 м	4,85 м

Из данной таблицы видно, что наиболее точными оказались метод определения высоты дома с помощью фотографии и с помощью зеркала, а наименее точными – с помощью тени и с помощью булавочного прибора. Нужно отметить, что имели свое значение и не очень благоприятные условия: неровная, неудобная местность. Сказывалось и отсутствие опыта проведения практических измерений.

Заключение

В данной работе рассмотрены различные способы определения высоты предмета, описанные в научной литературе, и составлены инструкции по применению каждого из этих методов. Все рассмотренные методы были реализованы на практике.

Выполняя практические задания на местности, я научился видеть подобные треугольники в разных ситуациях; правильно записывать соотношения соответственных сторон; используя свойство пропорции, вычислять неизвестные элементы. Мой интерес к предмету геометрии также возрос. Длительное пребывание на свежем воздухе помогло укрепить мое здоровье.

Во время эксперимента самым простым для меня способом было измерить высоту дома с помощью равнобедренного прямоугольного треугольника, так как это занимает минимум времени и не требует большого количества приборов. Но я также столкнулся с трудностями: это неровный рельеф местности, пасмурная погода (высоту дома с помощью тени можно определить только в солнечную погоду).

Относительная погрешность измерений, полученных в ходе эксперимента, различна. Наиболее точным оказался метод определения высоты дома по фотографии и с помощью зеркала, а наименее точным – по тени и с помощью булавочного прибора.

Таким образом, поставленные задачи были выполнены и цель работы достигнута.

Желающие, кто хочет попробовать определить высоту предмета, могут воспользоваться инструкциями, приведенными в этой работе. Эта работа ясно показывает, что геометрия – это не просто школьный предмет, а наука, которая используется в жизни.

Библиографический список

Атанасян Л.С. и др. Геометрия: учебник для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2017

Болтянский В.Г. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, 1982

Ганьшин В.Н. Простейшие измерения на местности. – М.: Недра, 1983

Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. и др. Геометрия 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций.- М.: Вентана-Граф, 2018

Перельман Я.И. Занимательная геометрия. – М.: АСТ, 2005

Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1983

http://wood-prom.ru/ – сайт Лесная промышленность

Приложение 1

Фотоотчет проведения эксперимента

рис.13. Объект измерения

рис.14. Измерение высоты дома с помощью тени

рис.15. Измерение высоты дома с помощью зеркала

рис.16. Измерение высоты дома с помощью равнобедренного прямоугольного треугольника

рис.17. Измерение высоты дома с помощью булавочного прибора

рис.18. Булавочный прибор

рис.19. Измерение высоты дома с помощью фотографии

Просмотров работы: 4025

Как найти высоту, если известна длина и ширина

В основании многих геометрических фигур лежат прямоугольники и квадраты. Наиболее распространен среди них параллелепипед. Также к ним относятся куб, пирамида и усеченная пирамида. Все эти четыре фигуры имеют параметр, называемый высотой.

Инструкция

Начертите простейшую изометрическую фигуру, называемую прямоугольным параллелепипедом. Она получила свое название по той причине, что ее гранями являются прямоугольники. Основание данного параллелепипеда также является прямоугольником, имеющим ширину a и длину b.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: V = S*h. Поскольку в основании параллелепипеда лежит прямоугольник, площадь этого основания равна S=a*b, где a – длина, b – ширина. Отсюда, объем равен V=a*b*h, где h – высота (причем, h = c, где c – ребро параллелепипеда). Если в задаче требуется найти высоту параллелепипеда, преобразуйте последнюю формулу следующим образом: h=V/a*b.

Существуют прямоугольные параллелепипеды, в основаниях которых лежат квадраты. Все его грани представляют собой прямоугольники, из которых квадратами являются два. Это означает, что его объем равен V=h*a^2, где h – высота параллелепипеда, a – длина квадрата, равная ширине. Соответственно, высоту данной фигуры найдите следующим образом: h=V/a^2.

У куба квадратами с одинаковыми параметрами являются все шесть граней. Формула для вычисления его объема выглядит так: V=a^3. Вычислять любую из его сторон, если известна другая, не требуется, поскольку все они равны между собой.

Все вышеперечисленные способы предполагают вычисление высоты через объем параллелепипеда. Однако существует и другой способ, позволяющий вычислить высоту при заданной ширине и длине. Им пользуются в том случае, если в условии задачи вместо объема приведена площадь. Площадь параллелепипеда равна S=2*a^2*b^2*c^2. Отсюда, c (высота параллелепипеда) равна с=sqrt(s/(2*a^2*b^2)).

Существуют и другие задачи по вычислению высоты при заданных длине и ширине. В некоторых из них фигурируют пирамиды. Если в задаче дан угол при плоскости основания пирамиды, а также ее длина и ширина, найдите высоту, используя теорему Пифагора и свойства углов.

Для того, чтобы найти высоту пирамиды, сначала определите диагональ основания. Из чертежа можно сделать вывод, что диагональ равна d=√a^2+b^2. Поскольку высота падает в центр основания, половину диагонали найдите следующим образом: d/2=√a^2+b^2/2. Высоту найдите, используя свойства тангенса: tgα=h/√a^2+b^2/2. Отсюда следует, что высота равна h=√a^2+b^2/2*tgα.

Видео по теме

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

1. Через площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты h_a, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

2. Через стороны треугольника

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Высота является дополнительным построением в геометрической фигуре или теле, однако существуют объемные тела, в которых высота является основным измерением ребра, перпендикулярного основанию.

Высота в фигурах и телах, как дополнительное построение, опускается из угла на противоположную сторону, образуя во внутреннем пространстве минимум один прямоугольный треугольник, в котором высота, сторона фигуры или ребро тела, а также угол противолежащий высоте и прилежащий стороне фигуры связаны отношениями внутри такого треугольника.