Как найти высоту призмы через площадь основания

Призма — это многогранник, который состоит из двух одинаковых многоугольников. Они расположены в
разных плоскостях. Призмы различаются по количеству углов в основании. К примеру, если в основании
находится треугольник ,то призма называется треугольной. Если в основании лежит четырехугольник, то
рассматриваемая фигура четырехугольная. Таким образом, фигура, состоящая из 2 равносторонних
треугольников, которые соединены между собой и лежат параллельно друг другу и называется правильная
треугольная призма.

Чтобы было проще понять, рекомендуется начертить на листе бумаге объект 2 равных
параллельных треугольника. Далее соединить их тремя вертикальными чертами. Все стороны у фигуры
обозначаются латинскими буквами, например, «А» «B» «C». Для второго треугольника в призме буквы
дублируются с индексом 1. В результате получается фигура, у которой стороны А₁В₁=В₁С₁=А₁С₁. Призма
АBCА₁В₁С₁ имеет грани в виде параллелограммов. Сторона АА₁ называется боковым ребром. Стороны в
основании геометрической фигуры называются ребрами основания. Высотой в призме называется расстояние
между разными плоскостями.

Через объем и ребро основания

У этой фигуры есть два основания в виде треугольников. Шесть отрезков, которые образуют треугольник в
призме и называют ребрами основания. Длина ребра в правильной призме будет одинаковой, поскольку все
стороны и углы в равностороннем треугольнике равны между собой. Зная это и объем искомого
многоугольника, можно применить эту формулу для осуществления расчетов:

H = 4V / a²√3

где V — объем фигуры измеряется в кубических единицах, а — ребро основания.

Длина любой стороны в основании правильной призмы и будет ребром.

Пример.
Если V = 6 мм³, а = 6 мм то расчет неизвестной величины по формуле будет производиться следующим
образом: H = 46 / 6²√3= 24 / 6² * 1.732 = 0,38 мм. Таким образом, применив
формулу, можно узнать высоту через ребро основания и объем.

Через площадь боковой поверхности и ребро основания

Для вычисления потребуется знать площадь боковой поверхности, а также ребро основания. Чтобы
рассчитать площадь боковой поверхности, необходимо умножить периметр фигуры на длину бокового ребра.
Она рассчитывается по данной формуле: Sбок = P * I, где P — периметр, I — длина бокового ребра. Зная
площадь основания боковой поверхности и размеры отрезка, можно использовать формулу:

H = Sбок / 3a

где Sбок — площадь боковой поверхности, а — ребро основания.

Пример. Для лучшего понимания можно продемонстрировать на конкретной задаче. Если =
7 мм², а = 8 мм то расчет неизвестной величины будет происходить следующим образом: H = 7 / 3 * 8 = 0,29 мм. Используя такой способ, можно узнать H
правильной треугольной призмы.

Через площадь боковой поверхности и периметр основания

Под периметром равностороннего треугольника, который является основанием рассматриваемой фигуры,
понимается сумма всех его длин, а также сторон. Зная, размер одной стороны легко рассчитать
периметр. Найти площадь боковой поверхности можно по формуле рассмотренной выше. После того как
периметр и боковая площадь известны, то необходимо подставить найденное значение в следующую
формулу:

H = Sбок / P

где S — площадь боковой поверхности, P — периметр основания.

Пример. Если P = 2 мм, а Sбок = 16 мм² то расчет размеров будет производиться
следующим образом: H = 16 / 2 = 8 м². С помощью такого простого расчета
можно вычислить H искомой фигуры.

Через площадь боковой поверхности и площадь основания

Площадь основания рассчитывается также, как при нахождении S равностороннего треугольника S = 1/2 * ah, но высота в этом случае неизвестна, поэтому придется
воспользоваться другой формулой S = 1/2 * sin α. Как было сказано ранее,
площадь боковой поверхности считается произведением периметра и длины бокового ребра. Найдя искомые
площади, можно работать со следующей формулой для нахождения высоты призмы:

H = Sбок / (3 √(4 * (Sосн /√3)))

где Sбок — площадь боковой поверхности, Sосн — площадь основания геометрической фигуры.

Пример. Если Sбок = 10 мм², а Sосн = 15 мм² то расчет размеров проводится следующим
образом: H = 10 / 3√4 * 15 / √3 = 0.5 мм. Таким образом, используя этот
метод расчета, можно найти H.

Через диагональ грани и ребро основания

Под диагональю грани понимается луч, которые проходит между двумя вершинами, которые находятся на
разных основаниях треугольной призмы. Когда известна диагональ грани, а также размер ребра в
основании, можно решить задачу по этой формуле:

H = √(d² — a²)

где d — диагональ грани, а — ребро основания.

Пример. Если d=9 мм², а = 5 мм то расчет искомого параметра по формуле будет
выглядеть следующим образом: H = √(9² — 5²) = 7.4 мм. Таким образом,
используя эту формулу, можно вычислить H.

Через площадь грани и ребро основания

Ребро основания равняется длине любого отрезка в равностороннем треугольнике внутри призмы. Граней у
призмы 3. Две боковые и одна задняя. Они изображены в виде параллелограммов. Зная длину и площадь
грани у призмы, можно воспользоваться следующую формулу для расчета высоты правильной треугольной
призмы:

H = S / a

где S — площадь грани, a — ребро основания.

Пример. Если S = 5 мм², а = 8 мм² то вычисления H будут производиться следующим
способом: H = 5 / 8 = 0,62 мм. С помощью этой формулы можно найти искомую
величину.

Умение рассчитать высоту треугольного многогранника пригодится при решении геометрических задач.
Знания могут потребоваться в школе, в университете, но иногда такая необходимость может возникнуть в
реальной жизни. Например, как строитель сможет посчитать площадь дома в виде призмы, если не знает
расчетной формулы. Важно понимать, как найти неизвестные переменные, когда известно лишь несколько
параметров.

Была ли эта статья полезной?

Виды призм

• Прямая призма – это призма, в которой все боковые грани перпендикулярны к основанию. Высота равна длине бокового ребра.

• Наклонная призма – это призма, в которой боковые грани не перпендикулярны к основанию.

• Правильная призма – это призма, в которой основания являются правильными многоугольниками. Правильная призма может быть, как прямой, так и наклонной.

• Усечённая призма – это призма, в которой основания не параллельны друг другу. Усечённая призма может быть, как прямой, так наклонной.

Основные свойства призмы

• Основание призмы – равные многоугольники
• Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.
• Боковые ребра призмы параллельны и равны между собой.
• Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и боковым граням.
• Боковые грани призмы – параллелограммы
• Высота наклонной призмы всегда меньше длины ребра.
• В прямой призме грани могут быть прямоугольниками или квадратами.

Площадь основания правильной призмы

$$
S_{осн} = {N * a^2 over 4 * tan(180/N)}
$$

Формулы объёма призмы

Объём призмы через площадь основания (S_ОСН) и высоту (h):

$$
V = S_{ОСН} * h
$$

Объём наклонной призмы через площадь перпендикулярного сечения (S_П) и длину бокового ребра (b):

$$
V = S_П * b
$$

Объём правильной прямой призмы через высоту, длину стороны и количество сторон:

$$
V = {N over 4} * h * a * ctg({pi over N})
$$

Формулы площади поверхности правильной призмы

Площадь боковой поверхности призмы через периметр (P) основания и высоту (h)

$$
S_Б = P * h
$$

Площадь поверхности призмы через площадь основания (S_ОСН), периметр основания (P) и высоту (h):

$$
S = 2 * S_{ОСН} + P * h
$$

Площадь поверхности правильной призмы через высоту, длину стороны и количество сторон:

$$
S = {N over 2} * a^2 * ctg({pi over N}) + N * a * h
$$

Объемное тело, в основании которого лежит многоугольник, называется призмой. У стандартной призмы оба основания конгруэнтны, что значит, что все их стороны и углы соответственно равны. Призма может быть прямой и наклонной, в прямой призме все отрезки, соединяющие соответствующие вершины оснований, перпендикулярны им и равны между собой, а также совпадают по значению с высотой. Эти отрезки, называемые боковыми ребрами, образуют со сторонами основания прямоугольники, которые будут конгруэнтны между собой в случае призмы с правильным многоугольником в основании. Таким образом, зная сторону многоугольника в основании и площадь боковой поверхности призмы, можно найти высоту по следующей формуле, где a – это сторона основания, а n – их количество:

Так как высота призмы прямо пропорционально связана с ее объемом, то использование этого отношения и есть самый простой и быстрый способ ее нахождения, и это актуально и для наклонных призм в том числе. Итак, чтобы вычислить высоту призмы через объем необходимо конвертировать формулу объема призмы таким образом, чтобы высота стала неизвестным параметром. Тогда она примет значение отношения объема к площади основания призмы: