Высота правильной треугольной пирамиды.
Основание правильной пирамиды представляет собой правильный многоугольник. Так как мы имеем дело с треугольной пирамидой, то её основанием будет равносторонний треугольник.
Чтобы найти высоту пирамиды SO, достаточно вспомнить, что:
1) AO = BO = CO = R = a√3 / 3. (св-во равностороннего треугольника).
2) SB = AB. (боковое ребро равно длине стороны основания).
По теореме Пифагора высота SO равна:
SO = √(SB² – OB²) = √(a² – a²/3) = √(a²(1 – 1/3)) = √(a² * (2/3) = a√(2/3).
Итак, высота правильной треугольной пирамиды (H) равна произведению длины ребра (a) на корень из 2/3:
Высоту пирамиды также можно найти из формулы объёма:
V = 1 / 3 Sосн * H.
Так как основание пирамиды – это равносторонний треугольник, то Sосн = a² * √3 / 4.
Отсюда V = a² * √3 * H / 12 = a² * H / 4√3.
Остаётся выразить высоту:
V * 4√3 = a² * H.
H = V * (4√3 / a²).
Высота правильной треугольной пирамиды (H) равна дроби – в числителе произведение объёма пирамиды (V) на 4√3, в знаменателе – квадрат ребра (a).
Если же в условии задачи уже известна площадь основания, то высоту найти ещё проще:
H = 3 * V / Sосн.
Пример
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 4 см, объём равен 10√3.
Нужно найти высоту пирамиды.
Воспользуемся вышеприведённой формулой:
H = V * (4√3 / a²) = 10√3 * 4√3 / 16 = 120 / 16 = 7,5 см.
Как найти высоту в треугольной пирамиде
Треугольной называется пирамида, в основании которой лежит треугольник. Высотой такой пирамиды будет перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость ее основания. Для того, чтобы найти высоту правильной треугольной пирамиды, то есть такой пирамиды, все грани которой являются равносторонними треугольниками, необходимо знать длину ребра пирамиды (а).
Вам понадобится
- Ручка, бумага, калькулятор
Инструкция
В данном случае ребрами пирамиды будут стороны этих равносторонних треугольников. Высотой правильной треугольной пирамиды будет длина ребра пирамиды, помноженная на корень из двух третей : h=а√2/3.
Для вычисления высоты любой другой треугольной пирамиды можно воспользоваться формулой объема: V = 1/3Sh, где V – это объем пирамиды, S – это площадь основания, а h – это высота. Из формулы объема выводим формулу высоты: чтобы найти высоту треугольной пирамиды, необходимо умножить объем пирамиды на 3 и поделить полученное значение на площадь основания: h=3V/S.
Поскольку основанием треугольной пирамиды служит треугольник, воспользуемся формулой расчета площади треугольника. Если известна длина одной стороны этого треугольника (а) и высота (h), опущенная на эту сторону, то рассчитываем площадь, умножив длину стороны на длину высоты и поделив полученное значение на 2: S=1/2ah. Если известны две стороны треугольника (a и b) и угол между ними (C), то пользуемся формулой: S=1/2absinC. Значение синуса угла можно посмотреть в таблице синусов, которую легко найти в Интернете.
Как правило, если в задаче требуется найти высоту треугольной пирамиды, объем этой пирамиды известен. Поэтому, после того, как найдена площадь основания пирамиды, остается только умножить объем на 3 и поделить на площадь основания, чтобы получить высоту треугольной пирамиды.
Видео по теме
Обратите внимание
Не путайте высоту пирамиды, которая перпендикулярна плоскости ее основания, с апофемой, являющейся высотой боковой грани.
Источники:
- треугольная пирамида формулы
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Правильная треугольная пирамида – это пирамида, у которой в основании лежит правильный, иными
словами, равносторонний треугольник и у которой боковые стороны – это равнобедренные треугольники.
Такая объемная фигура также именуется правильным тетраэдром. Высота – это отрезок перпендикуляра,
проведенного из вершины фигуры на основание или на продолжение основания. Обозначается латинской
буквой h и на чертеже отмечается квадратом. Высота треугольной пирамиды, проведенная из вершины,
попадает на основание в центр пересечения медиан фигуры.
- Высота правильной треугольной пирамиды через обьём и
площадь основания - Высота правильной треугольной пирамиды через обьём и ребро
основания
Через объём и площадь основания
Объем любой пирамиды находится по формуле: V = 1/3h * S, где h является высотой пирамиды, а S
является площадью основания пирамиды. Из этой формулы можно получить формулу для нахождения высоты
пирамиды:
h = (V * 3) / S
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. По условию дана правильная треугольная пирамида, у которой площадь
основания равна S = 18 см², а объем равен V = 90 смᶾ, нужно найти высоту фигуру. Для этого нужно
подставить в формулу все известны переменные, тогда h = 90 * 3 / 18 = 15,
значит высота равна 15 см. Так можно находить высоту и правильной, и наклонной фигуры.
Через объём и ребро основания
Найти высоту правильной треугольной пирамиды можно также через объем и ребро основания в случае,
когда неизвестна площадь основания. Вычисления в данном случае надо производить по формуле:
H = √ (V * 4 * √3 / a²)
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Дана правильная треугольная пирамида с объемом V = 90 смᶾ и длиной ребра
основания a = 5 см, нужно найти высоту этой фигуры. Подставим значения в формулу и получим: H = √ (90 * 4 * √3 / 5²) = 5 см.
Найти высоту правильной треугольной пирамиды можно также через объем и ребро основания по-другому.
Итак, V = 1/3h * S, значит h = V * 3 / S.
Поскольку площадь основания нам не известна, но известно ребро, то площадь можно выразить по
формуле: S = 1/2 * a * b * sin α, где a и b равны между собой, поскольку
пирамида по условию задачи является правильной, а sin α = sin 60°, в
равностороннем треугольнике все углы раны 60°.
Подставив формулу площади основания пирамиды через стороны треугольника и синус в исходную формулу,
получим: h = (V * 3 * 2) / (a * b * sin α).
Пример. Дана правильная треугольная пирамида с объемом V = 90 смᶾ и длиной ребра
основания a = 5 см, нужно найти высоту этой фигуры. При решении задачи сначала необходимо выполнить
все преобразования, описанные выше, а затем уже переходить к подстановке числовых значений. Это
принцип соблюдения логики при решении математических задач. В ином случае вам не поставят полный
балл за задачу, поскольку конечной формулы нет в кодификаторе. Выполнив все преобразования можно
подставлять числа, получается: h = (90 * 3 * 2) / (5 * 5 * (√3 / 2)),
преобразовываем это выражение до h = (18 * 3 * 2 * 2) / (5 * √3),
получается h = (72 * 3 * √3) / (5 * 3) = (72 * √3) / 5.
Получается для того, чтобы вычислить высоту в правильной треугольной пирамиде (тетраэдре) прежде
всего так или иначе нужно отыскать площадь основания и объем фигуры. Чтобы определить площадь
достаточно иметь данные об одном из ребер основания фигуры. Вычисление высоты пирамиды может
пригодиться при нахождении объема фигуры.
Как найти высоту правильной треугольной пирамиды
Пирамида – это объемная фигура, каждая из боковых граней которой имеет форму треугольника. Если и в основании тоже лежит треугольник, а все ребра имеют одинаковую длину, то это – правильная треугольная пирамида. У этой объемной фигуры четыре грани, поэтому часто ее называют «тетраэдром» – от греческого слова «четырехгранник». Перпендикулярный основанию отрезок прямой линии, проходящей через вершину такой фигуры, называется высотой пирамиды.
Если известна площадь основания тетраэдра (S) и его объем (V), то для вычисления высоты (H) можно задействовать общую для всех типов пирамид формулу, связывающую эти параметры. Делите утроенный объем на площадь основания – полученный результат и будет высотой пирамиды: H = 3*V/S.
Если площадь основания неизвестна из условий задачи, а даны лишь объем (V) и длина ребра (a) многогранника, то недостающую переменную в формуле из предыдущего шага можно заменить ее эквивалентом, выраженным через длину ребра. Площадь правильного треугольника (он, как вы помните, лежит в основании пирамиды рассматриваемого типа) равна одной четверти от произведения квадратного корня из тройки на возведенную в квадрат длину стороны. Подставьте это выражение вместо площади основания в формулу из предыдущего шага, и получите такой результат: H = 3*V*4/(a²*√3) = 12*V/(a²*√3).
Поскольку объем тетраэдра тоже можно выразить через длину ребра, то из формулы вычисления высоты фигуры можно вообще убрать все переменные, оставив лишь сторону ее треугольной грани. Объем этой пирамиды вычисляется делением на 12 произведения квадратного корня из двойки на возведенную в куб длину грани. Подставьте это выражение в формулу из предыдущего шага, и получите в результате: H = 12*(a³*√2/12)/(a²*√3) = (a³*√2)/(a²*√3) = a*√⅔ = ⅓*a*√6.
Правильную треугольную призму можно вписать в сферу, а зная только ее радиус (R) можно вычислить и высоту тетраэдра. Длина ребра равна учетверенному соотношению радиуса и квадратного корня из шестерки. Замените этим выражением переменную a в формуле из предыдущего шага и получите такое равенство: H = ⅓*√6*4*R/√6 = 4*r/3.
Аналогичную формулу можно получить и зная радиус (r) вписанной в тетраэдр окружности. В этом случае длина ребра будет равна двенадцати соотношениям между радиусом и квадратным корнем из шестерки. Подставьте это выражение в формулу из третьего шага: H = ⅓*a*√6 = ⅓*√6*12*R/√6 = 4*R.
Пирамида – это многогранник, в основании которого лежит многоугольник. Все грани в свою очередь образуют треугольники, которые сходятся в одной вершине. Пирамиды бывают треугольными, четырехугольными и так далее. Для того чтобы определить, какая пирамида перед вами, достаточно посчитать количество углов в ее основании. Определение “высота пирамиды” очень часто встречается в задачах по геометрии в школьной программе. В статье попробуем рассмотреть разные способы ее нахождения.
Части пирамиды
Каждая пирамида состоит из следующих элементов:
- боковые грани, которые имеют по три угла и сходятся в вершине;
- апофема представляет собой высоту, которая опускается из ее вершины;
- вершина пирамиды – это точка, которая соединяет боковые ребра, но при этом не лежит в плоскости основания;
- основание – это многоугольник, на котором не лежит вершина;
- высота пирамиды представляет собой отрезок, который пересекает вершину пирамиды и образует с ее основанием прямой угол.
Как найти высоту пирамиды, если известен ее объем
Через формулу объема пирамиды V = (S*h)/3 (в формуле V – объем, S – площадь основания, h – высота пирамиды) находим, что h = (3*V)/S. Для закрепления материала давайте сразу же решим задачу. В треугольной пирамиде площадь основания равна 50 см2, тогда как ее объем составляет 125 см3. Неизвестна высота треугольной пирамиды, которую нам и необходимо найти. Здесь все просто: вставляем данные в нашу формулу. Получаем h = (3*125)/50 = 7,5 см.
Как найти высоту пирамиды, если известна длина диагонали и ее ребра
Как мы помним, высота пирамиды образует с ее основанием прямой угол. А это значит что высота, ребро и половина диагонали вместе образуют прямоугольный треугольник. Многие, конечно же, помнят теорему Пифагора. Зная два измерения, третью величину найти будет несложно. Вспомним известную теорему a² = b² + c², где а – гипотенуза, а в нашем случае ребро пирамиды; b – первый катет или половина диагонали и с – соответственно, второй катет, или высота пирамиды. Из этой формулы c² = a² – b².
Теперь задачка: в правильной пирамиде диагональ равна 20 см, когда как длина ребра – 30 см. Необходимо найти высоту. Решаем: c² = 30² – 20² = 900-400 = 500. Отсюда с = √ 500 = около 22,4.
Как найти высоту усеченной пирамиды
Она представляет собой многоугольник, который имеет сечение параллельно ее основанию. Высота усеченной пирамиды – это отрезок, который соединяет два ее основания. Высоту можно найти у правильной пирамиды, если будут известны длины диагоналей обоих оснований, а также ребро пирамиды. Пусть диагональ большего основания равна d1, в то время как диагональ меньшего основания – d2, а ребро имеет длину – l. Чтобы найти высоту, можно с двух верхних противоположных точек диаграммы опустить высоты на ее основание. Мы видим, что у нас получились два прямоугольных треугольника, остается найти длины их катетов. Для этого из большей диагонали вычитаем меньшую и делим на 2. Так мы найдем один катет: а = (d1-d2)/2. После чего по теореме Пифагора нам остается лишь найти второй катет, который и является высотой пирамиды.
Теперь рассмотрим все это дело на практике. Перед нами задача. Усеченная пирамида имеет в основании квадрат, длина диагонали большего основания равняется 10 см, в то время как меньшего – 6 см, а ребро равняется 4 см. Требуется найти высоту. Для начала находим один катет: а = (10-6)/2 = 2 см. Один катет равен 2 см, а гипотенуза – 4 см. Получается, что второй катет или высота будет равна 16-4 = 12, то есть h = √12 = около 3,5 см.
