Как найти высоту прямоугольного треугольника зная гипотенузу

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе

Как и в любом треугольнике прямоугольный треугольник имеет три высоты. Две из них совпадают с катетами, а вот третья высота, проведенная к гипотенузе, постоянно будоражит наши умы.

Поэтому представляю вашему вниманию основные формулы для ее нахождения.

Начну с самой важной.

1. Высота, проведенная к гипотенузе равна корню квадратному из произведения проекций катетов на эту гипотенузу.

2. Высоту, проведенную к гипотенузе, можно найти, разделив удвоенную площадь прямоугольного треугольника на гипотенузу.

Такая формула получается из классический формулы нахождения площади треугольника: половина произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию.

3. Высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу.

Эта формула получится из второй если заменить площадь на половину произведения катетов.

Т.к. АВ – гипотенуза, то ее можно выразить через катеты АС и ВС, используя теорему Пифагора. Тогда формула примет другой вид:

4. Высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на диаметр описанной вокруг треугольника окружности (или на удвоенный радиус).

Так получается потому, что центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы, значит, гипотенуза равна 2R или d.

5. Высоту, проведенную к гипотенузе, можно найти, используя геометрические определения синуса, тангенса и котангенса.

Надеюсь, что данная статья оказалась полезной!)

Готовься к экзамену вместе с нами! Заходи на нашу страницу в ВК.

Источник

В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр – точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

H – высота из прямого угла

a, b – катеты

с – гипотенуза

c₁, c₂ – отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой

α, β – углы при гипотенузе

Формула длины высоты через стороны, (H):

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, (H):

Формула длины высоты через катет и угол, (H):

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , (H):

Подробности

Опубликовано: 09 октября 2011

Обновлено: 13 августа 2021

Источник

Высота в прямоугольном треугольнике

Вспомним определение. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами друг к другу. Главный интерес представляет высота, проведённая к гипотенузе.

Один из типов экзаменационных задач в банке заданий ФИПИ — такие, где в прямоугольном треугольнике высота проведена из вершины прямого угла. Посмотрим, что получается:

sin A $displaystyle = frac{a}{c}=frac{h}{b}=frac{BH}{a};$

cos A $displaystyle = frac{b}{c}=frac{h}{a}=frac{AH}{b};$

$displaystyle S_{ABC}= frac{ab}{2}=frac{ch}{2}.$

Высота проведена к гипотенузе AB. Она делит треугольник ABC на два прямоугольных треугольника — и . Смотрим внимательно на рисунок и находим на нем равные углы. Это и есть ключ к задачам по геометрии, в которых высота опущена на гипотенузу.

Мы помним, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{circ}$ . Значит, $angle AC mkern -3mu H=90^{circ}-angle C mkern -3mu AH$ , то есть угол равен углу ABC . Аналогично, угол равен углу .

Иными словами, каждый из трех углов треугольника ABC равен одному из углов треугольника (и треугольника ). Треугольники и называются подобными. Давайте нарисуем их рядом друг с другом.

Они отличаются только размерами. Стороны подобных треугольников пропорциональны. Что это значит?

Возьмем треугольники и ABC . Стороны треугольника ABC длиннее, чем стороны треугольника в раз:

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle AC}{displaystyle A mkern -3mu H} =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle BC}{displaystyle C mkern -3mu H} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle AB}{displaystyle AC}.$

Мы доказали свойство высоты прямоугольного треугольника. Его можно сформулировать как теорему.

Теорема 1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит треугольника на три подобных друг другу треугольника:

При решении задач нам пригодится равенство углов треугольников и , а также пропорциональность их сторон. Обратите также внимание, что площадь треугольника ABC можно записать двумя разными способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на проведенную к ней высоту. В геометрии это называется «метод площадей» и часто применяется в решении задач.

Задача 1.

В треугольнике ABC угол C равен $90^{circ},$ CH — высота, BC = 3, cos A = $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{35}}{displaystyle 6}.$ Найдите AH.

Решение:

Рассмотрим треугольник ABC. В нем известны косинус угла A и противолежащий катет BC. Зная синус угла A, мы могли бы найти гипотенузу AB. Так давайте найдем sin A:

sin ${}^2A$ + cos ${}^2A$ = 1.

Эта формула – основное тригонометрическое тождество. Конечно, вы его знаете:

sin ${}^2 A + genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 35}{displaystyle 36} = 1;$

sin ${}^2 A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 36};$

sin A $= genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 6}$ (поскольку значение синуса острого угла положительно).

Тогда:

$AB=BC: sin A = 3: genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 6}=3 cdot 6=18.$

Рассмотрим прямоугольный треугольник , $angle H = 90^{circ}$ . Поскольку

Отсюда $H mkern -3mu B=BC cdot sin HC mkern -3mu B = 3 cdot genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 6}=0,5.$

Ответ: 16.

Задача 2.

В треугольнике ABC угол C равен 90 ${}^{circ},$ AB = 13, tg A $= genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 5}$ . К гипотенузе проведена высота CH. Найдите AH.

Решение:

Это чуть более сложная задача. Ведь вам неизвестны катеты a и b.

Запишем теорему Пифагора: (1)

Нам известно также, что:

tg A $= genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle b} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 5}.$ (2)

Решая уравнения (1) и (2), найдем:

Запишем площадь треугольника AВС двумя способами:

$S = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2} ab = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2} ch$

и найдем длину .

Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла, можно было и другим способом. Мы выбрали самый короткий путь — составили и решили систему уравнений, как в алгебре.

Теорема 2. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу.

Доказательство:

Из прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C и гипотенузой AB:

sin $displaystyle (angle BAC)=frac{a}{c}.$

Из прямоугольного треугольника AНС с прямым углом Н и гипотенузой AС:

sin $displaystyle (angle BAC)=frac{h}{b}.$

Мы разными способами вычислили синус одного и того же угла. Приравняем полученные выражения:

$displaystyle frac{h}{b}=frac{a}{c}.$

Найдем высоту:

$displaystyle h= frac{ab}{c}.$

Что и требовалось доказать.

Задача 3. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20.
Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Решение:

Воспользуемся теоремой 2 о высоте прямоугольного треугольника:

Катеты BС и AС нам известны: BC = 15, AC = 20. Найдем гипотенузу AB с помощью теоремы Пифагора:

${AB}^2={BC}^2+{AC}^2={15}^2+{20}^2={25}^2, AB=25.$

Найдем высоту, проведенную из вершины прямого угла:

$displaystyle CH=frac{15cdot 20}{25}=12.$

Ответ: 12.

Теорема 3. В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной из вершины прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.

Сейчас мы докажем эту полезную формулу.

Вспомним, что такое проекция точки на прямую. Например, из точки С опускаем СН – перпендикуляр к прямой AВ. Точка Н и будет проекцией точки С. Тогда AН – проекция катета AВ, а BН – проекция катета BС.

Обозначим:

Доказательство проведем двумя способами.

Первый способ доказательства:

Из прямоугольного треугольника BНС с прямым углом Н и гипотенузой BС:

tg $displaystyle (angle CBH)=frac{h}{c_a}.$

Из прямоугольного треугольника AНС с прямым углом Н и гипотенузой AС:

ctg $displaystyle (angle CAH) = frac{c_b}{h}.$

Заметим, что угол CBН – это угол CBA, а угол CAН – это угол BAC. Тогда:

$displaystyle frac{h}{c_a}=frac{c_b}{h}.$

Мы воспользовались тем, что тангенс и котангенс двух разных острых углов прямоугольного треугольника равны друг другу. Это следует из определения тангенса и котангенса.

Преобразуем получившееся выражение:

$displaystyle h=frac{c_a cdot c_b}{h} Rightarrow h^2 = c_a c_b .$

Что и требовалось доказать.

Второй способ доказательства:

Воспользуемся подобием треугольников, о которых говорится в теореме 1.

Рассмотрим пару прямоугольных треугольников AНC и BНC. Как было показано выше, эти треугольники подобны по двум углам, поэтому

$displaystyle frac{h}{c_a}=frac{c_b}{h}.$

Мы получили такое же соотношение, как и в первом способе доказательства.

Далее аналогично получим, что

Что и требовалось доказать.

Задача 4. На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH = 4, BH = 16. Найдите длину CH.

Решение:

Воспользуемся теоремой 3 о высоте прямоугольного треугольника:

Подставим данные задачи.

${CH}^2=4cdot 16=64,$ CH = 8.

Ответ: 8.

Разберем решения других задач ОГЭ и ЕГЭ по теме «Свойства высоты в прямоугольном треугольнике».

Задача 5. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4, а гипотенуза равна 50. Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла и отрезки, на которые гипотенуза делится высотой.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABС с гипотенузой AB. Проведем высоту CD=h.

Учитывая отношение катетов, обозначим их длины как: BC = 3x, AC = 4x.

Тогда по теореме Пифагора получим:

$AB=sqrt{9x^2 +16 x^2} = sqrt{25 x^2}=5x.$

По условию гипотенуза AB = 50. Следовательно, х = 10, BC = 30, AC = 40.

Далее можно действовать разными способами. Например, так.

$displaystyle CD=frac{BCcdot AC}{AB}=frac{30cdot 40}{50}=24.$

где по определению косинуса:

cos A $displaystyle =frac{AC}{AB}=frac{4}{5},;$ cos B $displaystyle =frac{BC}{AB}=frac{3}{5}.$

$displaystyle AD=ACcdot frac{4}{5}=32,; BD=BCcdot frac{3}{5}=18.$

Ответ:

Задача 6. В прямоугольном треугольнике ABC высота CD делит гипотенузу на отрезки AD = 3 см и BD = 2 см. Найти катеты треугольника.

Решение:

Найдем квадрат длины высоты с помощью теоремы 3:

${CD}^2=ADcdot BD=3cdot 2=6.$

Из прямоугольного треугольника ADC по теореме Пифагора найдем

${AC}^2={AD}^2+{CD}^2=9+6=15,; AC= sqrt{15}$ см.

Из прямоугольного треугольника BDC по теореме Пифагора найдем

${BC}^2={BD}^2+{CD}^2=4+6=10,; BC= sqrt{10}$ см.

Ответ: см и см.

Задача 7. Точка D является основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла C треугольника ABC к гипотенузе AB. Найдите AC, если AD=8, AB=32.

Указание:

Найдите отрезок BD = AB – AD, после чего задача сводится к предыдущей.

Длину высоты прямоугольного треугольника можно также найти, если известны гипотенуза и один из острых углов треугольника.

h = c sin alpha cos alpha = c sin beta cos beta.

Докажем эту формулу.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD:

В то же время из треугольника AВC:

Таким образом, h = CD = AC cos⁡ alpha = AB sin alpha cos alpha = c sin alpha cos⁡ alpha.

Аналогично, из треугольника BCD получим: h = CD = BC cos beta = AB sin⁡ beta cos beta = c sin beta cos⁡ beta.

Задача 8. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один из острых углов 15 градусов. Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла.

Решение:

Воспользуемся доказанной выше формулой:

h = c sin alpha cos alpha = 10 sin ${15}^circ$ cos ${15}^circ$ = 5sin ${30}^circ$ = 2,5.

Ответ: 2,5.

Задача 9. Высота прямоугольного треугольника делит его гипотенузу на отрезки 6 см и 4 см. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна сумме данных отрезков:

см.

Найдем высоту, проведенную из вершины прямого угла к гипотенузе: см.

Площадь треугольника:

$displaystyle S=frac{1}{2}ch=frac{1}{2}cdot 10cdot 2sqrt{6}=10sqrt{6}$ см ${}^2.$

Ответ: см ${}^2.$

Если вам понравился наш материал – записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Высота в прямоугольном треугольнике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Нахождение высоты треугольника
- Высота в разностороннем треугольнике
- Высота в равнобедренном треугольнике
- Высота в прямоугольном треугольнике
- Высота в равностороннем треугольнике
Примеры задач

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

1. Через площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты h_a, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

2. Через стороны треугольника

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Источник

Треугольник называется прямоугольным, если у него один из углов является прямым. Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, а сторона, лежащая напротив прямого угла, гипотенузой.

Прямоугольный треугольник: основные формулы

Пусть <A = 30°. Катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. CB = AB:2.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. <A + <B = 90°.
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. AB² = AC² + CB²

Прямоугольный треугольник: формулы площади и проекции

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна : h = (ab):c.
Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу: CH² = AH·BH.
Катет прямоугольного треугольника — среднее пропорциональное или среднее геометрическое между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу: CA² = AB·AH; CB² = AB·BH.
Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна ее половине.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. S = (ab):2.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы и высоты. S = (hc):2.

Прямоугольный треугольник: формулы тригонометрия

Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. cosα = AC: AB.
Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. sinα = BC:AB.
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. tgα = BC:AC.
Котангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к противолежащему. ctgα = AC:BC.
Основное тригонометрическое тождество: cos²α + sin²α = 1.
Теорема косинусов: b² = a² + c² – 2ac·cosα.
Теорема синусов: CB :sinA = AC : sinB = AB.

Прямоугольный треугольник: формулы для описанной окружности

Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы : R=AB:2.
Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

Прямоугольный треугольник: формулы для вписанной окружности

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, вычисляется по формуле: r = (a + b -c):2.

Рассмотрим применение тригонометрических формул прямоугольного треугольника при решении задания 6(вариант 32) из сборника для подготовки к ЕГЭ по математике профиль автора Ященко.

В треугольнике ABC угол С равен 90°, sinA = 11/14, AC =10√3. Найти АВ.

Решение:

Применяя основное тригонометрическое тождество, найдем cosA = 5√3/14.
По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника имеем: cosA = AC : AB, AB = AC : cosA = 10√3·14:5√3 = 28.

Ответ: AB = 28.

ЗАДАНИЕ 12 ЕГЭ МАТЕМАТИКА ПРОФИЛЬ( 20 ВАРИАНТ ЯЩЕНКО 2018)

Источник

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе

Высота в прямоугольном треугольнике

Нахождение высоты треугольника

Высота в разностороннем треугольнике

Высота в равнобедренном треугольнике

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота в равностороннем треугольнике

Примеры задач

Прямоугольный треугольник: основные формулы

Прямоугольный треугольник: формулы площади и проекции

Прямоугольный треугольник: формулы тригонометрия

Прямоугольный треугольник: формулы для описанной окружности

Прямоугольный треугольник: формулы для вписанной окружности

Вам также может понравиться

Как найти площадь по высоте массе

Как найти свой ямал на телефоне

Симплекс метод как найти наименьшее

Добавить комментарий Отменить ответ