В данной публикации мы рассмотрим различные формулы, с помощью которых можно вычислить высоту равнобедренной (равнобокой) трапеции.
Напомним, высотой трапеции называется перпендикуляр, соединяющий оба ее основания. Также, в равнобедренной трапеции боковые стороны равны.
-
Нахождение высоты равнобедренной трапеции
- Через длины сторон
-
Через боковую сторону и прилежащий угол
- Через основания и прилежащий угол
- Через площадь и основания
- Через диагонали и угол между ними
Нахождение высоты равнобедренной трапеции
Через длины сторон
Зная длины всех сторон равнобедренной трапеции, вычислить ее высоту можно, используя формулу ниже:
Через боковую сторону и прилежащий угол
Если известна длина боковой стороны равнобедренной трапеции и угол между ней и основанием фигуры, найти высоту можно следующим образом:
Через основания и прилежащий угол
Вычислить высоту трапеции можно, если известны длины ее оснований и угол при любом из оснований (например, при большем).
Через площадь и основания
Также высоту равнобедренной трапеции удастся найти через ее площадь и длины оснований:
Данная формула может быть представлена в другом виде, если вместо оснований дана средняя линия (m).
m – средняя линия, равняется полусумме оснований, т.е. m = (a+b)/2.
Через диагонали и угол между ними
И еще один способ вычислить высоту равнобедренной трапеции, если известны ее диагонали (которые имеют одинаковую длину), угол между ними и основания.
Та же самая формула, но со средней линией (m) вместо суммы оснований:
Примечание: если диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, то ее высота равняется половине суммы оснований или, другими словами, средней линии.
1. Формула высоты равнобедренной трапеции через стороны и углы при основании
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c – равные боковые стороны
α – угол при нижнем основании
h – высота трапеции
Формулы длины высоты, (h ):
2. Формула высоты равнобедренной трапеции через диагонали и углы между ними
d – диагонали трапеции
α , β – углы между диагоналями
a , b – основания
h – высота трапеции
m – средняя линия
Формулы длины высоты, (h ):
3. Формула высоты равнобедренной трапеции через площадь
S – площадь трапеции
a , b – основания
h – высота трапеции
m – средняя линия
Формулы длины высоты, (h ):
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
- Подробности
-
Опубликовано: 10 октября 2013
-
Обновлено: 13 августа 2021
Как найти высоту трапеции
Анна Кирпиченкова
Эксперт по предмету «Калькуляторы»
Задать вопрос автору статьи
На этой странице вы узнаете, как найти высоту трапеции через стороны, а также как рассчитать высоту равнобедренной трапеции, зная среднюю линию и площадь. Также на страницу добавлены онлайн-калькуляторы для расчёта высоты трапеции.
Определение 1
Трапеция — это плоский геометрический объект, состоящий из двух параллельных и не равных друг другу отрезков-оснований и соединяющих их боковых сторон.
Для того чтобы рассчитать высоту трапеции, зная стороны, введите заданные значения в поля для ввода.
Высота трапеции через стороны
Высота трапеции через стороны рассчитывается по формуле:
$h = sqrt{b^2 – (frac{(a – d)^2 + b^2 – c^2}{2 cdot (a – d)})^2}$, где
$a$ — основание большего размера;
$d$ — основание меньшего размера;
$b$ — первая боковая сторона;
$c$ — вторая боковая сторона.
Пример 1
Задача
Дана трапеция с основаниями $a$ и $d$, равными $4.5$ и $2.5$ см и боковыми сторонами $b, c$, равными $2$ и $2sqrt2$ см. Найдите, чему равна высота трапеции $h$.
Решение:
Воспользуемся вышеприведённой формулой:
$h = sqrt{2^2 – (frac{(4.5 – 2.5)^2 + 2^2 – (2sqrt2)^2}{2 cdot (4.5 — 2.5)})^2} = sqrt{4 – (frac{4 + 4 — 8}{4}} = 2$ см.
Проверим полученное значение с помощью онлайн-калькулятора. Результат совпадает, а значит, задача решена верно.
Ниже приведён другой калькулятор, осуществляющий нахождение высоты равнобедренной трапеции через её площадь и среднюю линию.
Высота равнобедренной трапеции через среднюю линию и площадь
Если известна площадь равнобедренной трапеции и длина её средней линии, то высоту можно рассчитать по формуле:
$h = frac{S}{m}$, где
$m$ — средняя линия трапеции;
$S$ — её площадь.
Рассмотрим на примере, как найти высоту равнобедренной трапеции, если известны основания.
Пример 2
Задача
Дана равнобедренная трапеция с основаниями $a$ и $d$, соответственно равными $3$ и $5$ см, и площадью, равной $8$ $см^2$. Найдите, чему равна высота трапеции.
Решение:
Найдём среднюю линию трапеции:
$m = frac{a + d}{2} = frac{3 + 5}{2} = 4$ см.
Теперь сосчитаем высоту трапеции:
$h = frac{8}{4} = 2$ см.
Результаты совпадают с решением онлайн-калькулятора, а значит, ответ — верный.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Дата написания статьи: 07.07.2019
Как посчитать высоту равнобедренного треугольника
- Главная
- /
- Математика
- /
- Геометрия
- /
- Как посчитать высоту равнобедренного треугольника
Чтобы посчитать чему равна высота равнобедренного треугольника просто воспользуйтесь нашим удобным онлайн калькулятором:
Онлайн калькулятор
Чтобы вычислить высоту равнобедренного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):
- длину двух равных сторон (a) и длину основания (b)
- длину двух равных сторон (a) и угол α
- длину двух равных сторон (a) и угол β
- длину основания (b) и угол α
- длину основания (b) и угол β
Введите их в соответствующие поля и получите результат.
Если известны длина стороны а и основания b
Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина сторон
a =
, а длина основания
b =?
Ответ:
h =
0
Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и длина основания b?
Формула
h = √a2 – (b/2)2
Пример
Если сторона a = 10 см, а сторона b = 5 см, то:
h = √102 – (5/2)2 = √100 – 6.25 ≈ 9.68 см
Если известны длина стороны а и угол α
Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина сторон
a =
, а угол
α =?
Ответ:
h =
0
Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол α?
Формула
h = a⋅sin α
Пример
Если сторона a = 5 см, а ∠α = 45°, то:
h = 5⋅sin 45 ≈ 3,53 см
Если известны длина стороны а и угол β
Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина сторон
a =
, а угол
β =?
Ответ:
h =
0
Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол β?
Формула
h = a⋅cos β/2
Пример
Если сторона a = 5 см, а ∠β = 30°, то:
h = 5⋅cos 30/2 ≈ 4.83 см
Если известны длина стороны b и угол α
Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина основания
b =
, а угол
α =?
Ответ:
h =
0
Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны b и угол α?
Формула
h = b/2⋅tg α
Пример
Если сторона b = 20 см, а ∠α = 35°, то:
h = 20/2⋅tg 35 = 10⋅0.7 = 7 см
Если известны длина стороны b и угол β
Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина основания
b =
, а угол
β =?
Ответ:
h =
0
Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны b и угол β?
Формула
h = b/2⋅ctg β/2
Пример
Если сторона b = 15 см, а ∠β = 40°, то:
h = 15/2⋅ctg 40/2 = 7.5⋅2.7474 ≈ 20.6 см
См. также
Равнобедренным треугольником называется такой треугольник, у которого две из трех сторон равны между собой. Равные стороны считаются боковыми сторонами а, а третья сторона в называется основанием равнобедренного треугольника.
Соответственно, в таком треугольнике можно провести три высоты, две из которых будут равны между собой, аналогично сторонам – это высоты, опущенные на боковую сторону треугольника а, а третья высота опускается на основание. Высота треугольника проводится из угла треугольника к противолежащей стороне под прямым углом. Большинство задач с высотой треугольника решаются через прямоугольные треугольники, которые она образует.
Рассмотрим каждый случай по отдельности.
Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, обладает рядом индивидуальных свойств, присущих только ей и не распространяющихся на другие высоты в таком треугольнике. В частности, высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой, проведенным к основанию, следовательно, она не только образует прямой угол с основанием, но и делит его на две равные части, как медиана, и аналогично делит угол пополам, как биссектриса. В итоге, высота является своеобразной осью симметрии треугольника и разделяет его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника. В таком треугольнике высота является катетом, и чтобы найти ее длину необходимо соотнести стороны равнобедренного треугольника со сторонами прямоугольного. Боковая сторона равнобедренного треугольника становится гипотенузой, а чтобы определить второй катет, основание равнобедренного треугольника нужно разделить пополам, по свойству медианы.
Длина высоты равнобедренного треугольника равна по теореме Пифагора квадратному корню из суммы квадрата боковой стороны равнобедренного треугольника и четверти квадрата основания равнобедренного треугольника:
Второй случай, когда условиями задачи нужно найти высоту, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника, раскрывается проще всего через площадь треугольника.
Площадь любого треугольника можно найти несколькими способами – например, через три стороны треугольника по формуле Герона, или через высоту, умножив ее на половину стороны, на которую она опущена. И тем, и другим способом получаются одинаковые значения площади, следовательно обе эти формулы можно друг к другу приравнять и отсюда вывести окончательную формулу высоты, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника.
Формула Герона для равнобедренного треугольника будет иметь несколько упрощенный вид за счет того, что значения боковых сторон повторяются:
Площадь равнобедренного треугольника через высоту, опущенную к боковой стороне
Эту же формулу можно применять для нахождения любой высоты в равнобедренном треугольнике, если поменять в формуле соответствующие стороны местами.
Формула высоты равнобедренного треугольника через боковую сторону и угол при основании α: h=a sinα
Формула через боковую сторону и угол напротив основания β:
Формула через основание и угол при нем α:
через основание и угол противолежащий ему β:
