В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту трапеции, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.
Напомним, высотой трапеции называется отрезок, соединяющий оба ее основания и перпендикулярный им.
-
Нахождение высоты трапеции
- Через длины сторон
-
Через боковую сторону и прилежащий угол
- Через диагонали и угол между ними
- Через площадь
- Примеры задач
Нахождение высоты трапеции
Через длины сторон
Если известны длины всех четырех сторон трапеции, ее высота рассчитывается по формуле ниже:
Через боковую сторону и прилежащий угол
Высоту трапеции можно вычислить, если знать длину любой из ее боковых сторон и значение прилежащего к ней и основанию угла.
Через диагонали и угол между ними
Зная длину оснований трапеции, а также диагоналей и угол между ними, вычислить высоту удастся по формуле:
Если сумму оснований заменить длиной средней линии (m), то формула будет выглядеть следующим образом:
Средняя линия трапеции (m) равняется полусумме ее оснований, т.е m = (a+b)/2.
Через площадь
Высоту трапеции можно вычислить, если известны ее площадь и длины оснований (или средней линии).
Примечание: формулы для нахождения высоты равнобедренной и прямоугольной трапеций представлены на нашем сайте в отдельных публикациях.
Примеры задач
Задание 1
Найдите высоту трапеции, если ее основания равны 9 и 6 см, а боковые стороны – 4 и 5 см.
Решение
Т.к. у нас есть длины всех сторон, мы можем воспользоваться первой формулой для вычисления требуемого значения:
Кстати, т.к. высота равна одной из боковой сторон трапеции, значит она является прямоугольной.
Задание 2
Площадь трапеции равна 26 см2. Найдите ее высоту, если основания равны 10 и 3 см.
Решение
В данном случае можно применить последнюю из рассмотренных формул:
Трапеция представляет собой уникальную по своей простоте фигуру, состоящую из прямоугольника и двух присоединенных к нему прямоугольных треугольников. Стороной всех этих фигур внутри трапеции является высота, проведенная из углов при верхнем основании. Высота трапеции открывает множество вероятных решений для любых задач, и найти ее можно несколькими способами. Зная площадь трапеции и ее среднюю линию (или два основания, среднее арифметическое которых дает среднюю линию), можно вычислить высоту трапеции, разделив одно на другое:
Более изощренным является вычисление высоты трапеции через все ее стороны. В данном случае помимо высоты в трапеции нужно провести также диагональ, которая сформирует прямоугольный треугольник и даст возможность выразить высоты несколькими разными способами через разные треугольники.
Выразив все стороны треугольников через стороны трапеции и приведя подобные слагаемые, получается следующая формула:
Определения
Трапеция — это такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны (они являются основаниями трапеции, указанные на рисунках a и b), а две другие — нет.
Высота трапеции — это такой отрезок h, который проведен перпендикулярно основаниям.
Нахождение высоты по площади и основаниям
Чтобы вычислить площадь S трапеции мы используем формулу:
[S=frac{((a+b) times h)}{2}]
Здесь h — высота трапеции, а сегменты a и b являются ее основаниями.
Можем найти h:
[h=frac{2 times S}{(a+b)}]
Пример 1
Площадь трапеции S составляет 50 см2, длина ее основания a = 4 см, длина второго основания b равна 6 см, то для нахождения высоты h мы используем формулу:
[h=frac{2 times 50}{(4+6)}=10 mathrm{~cm}]
Ответ: 10 см.
Нахождение высоты, зная площадь и среднюю линию
Мы используем формулу, с помощью которой можно рассчитать площадь трапеции:
S = m × h,
Здесь h — это высота трапеции, m — ее средняя линия.
Можем найти h:
[h=frac{S}{m}], будет ответом.
Пример 2
Средняя линия трапеции, обозначенная буквой m, равна 20 см, а площадь S, которая составляет 200 см2. Давайте найдем значение высоты трапеции h.
[h=frac{200}{20}=10 mathrm{~cm}]
Ответ: 10 см
Высота прямоугольной трапеции
Определение
Диагональ — это сегмент, соединяющий пару противоположных вершин трапеции. Когда трапеция прямоугольная, используя диагональ, мы находим высоту данной фигуры.
Трапецию, одна из боковых сторон которой перпендикулярна основаниям, называют прямоугольной трапецией.
Таким образом, рассмотрим подобную трапецию ABCD, где AD — высота, AC — диагональ, DC-основание. Мы используем теорему Пифагора, которая говорит, что в прямоугольном треугольнике ADC квадрат гипотенузы AC равен сумме квадратов его сторон — катетов AB и BC.
Тогда мы сможем написать:
AC² = AD² + DC².
AD — это катет треугольника, сторона трапеции и, одновременно, ее высота. Так как отрезок перпендикулярен основаниям. Длина катета будет находиться как:
[A D=sqrt{left(A C^{2}-D C^{2}right)}]
Таким образом, у нас есть формула, которая поможет при вычислении найти высоту трапеции AD.
Пример 3
Основания трапеции с прямым углом(DC) равно 14 см, а ее диагональ (AC) равна 15 см, мы будем использовать теорему Пифагора для получения высоты (сторона AD).
Пусть x — неизвестная часть прямоугольного треугольника (AD), тогда
[A C^{2}=A D^{2}+D C^{2}] может быть записан
[15^{2}=14^{2}+x^{2}]
[x=sqrt{left(15^{2}-14^{2}right)}=sqrt{(225-196)}=sqrt{29} mathrm{см}]
Ответ: [sqrt{29} mathrm{см}], что составляет приблизительно 5,385 см
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Нахождение высоты через стороны
Существует еще один способ найти высоту — через стороны. Помимо высоты в трапеции стоит провести также ее диагональ, которая образует треугольник с прямым углом и даст возможность найти высоты несколькими различными способами через различные треугольники.
Если выразить все длины сторон таких треугольников через стороны трапеции и привести подобные слагаемые, то получится следующая формула:
[mathrm{h}=sqrt{C^{2}-left(frac{(a-b)^{2}+e^{2} d^{2}}{2(a-b)}right)^{2}}]
Пример 4
Дана трапеция, в ней известны основания a и b. Эти основания соответственно равны 4,5 см и 2,5 см. Известны и ее боковые стороны d и c, которые равны 2 см и используем формулу:
[h=sqrt{2^{2}-left(frac{(4,5-2,5)^{2}+2^{2}-2 sqrt{2}^{2}}{2(4,5-2,5)}right)^{2}}=sqrt{4}=2 см]
Ответ: h=2 см.
Трапецией принято называть выпуклую четырёхугольную четырехугольник с парой параллельных и двумя не
параллельными сторонами. Отрезки, которые создают параллельные прямы называются «основанием
трапеции», две других стороны играют роль «боковой стороны трапеции». Средняя линия трапеции будет
соединять два центра боковых сторон.
- Высота трапеции через боковую сторону и прилегающий угол
при основании - Высота трапеции через площадь и длины оснований
- Высота трапеции через площадь и среднию линию
- Высота трапеции через основании, диагонали и угол между
диагоналями - Высота трапеции через среднию линию, диагонали и угол между
диагоналями
Как найти высоту при помощи боковой стороны и прилегающего угла при основании
Для вычисления высоты трапеции через боковую сторону и прилегающий угол при основании нужно
воспользоваться нижеприведенной формулой:
h = a · sin α
где h — это искомая высота трапеции, a — известная боковая сторона, sin α — угол
при основании.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Чтобы разобраться с применением формулы, давайте рассмотрим пример. Дана
некая трапеция. Нам известно, что боковая сторона равна 10 сантиметрам, а прилегающих угол
составляет 30 гр. Нам нужно найти высоту данной трапеции. Для решения у нас есть вся нужная
информация и формула выше. Подставляем значения в формулу: h = a · sin, h = 10 · sin 30, h = 10 · 1/2, h = 5 см
Как найти высоту трапецию при помощи длины основания и площади трапеции
Чтобы найти высоту трапеции через известные длины основания и площадь, нужно воспользоваться
формулой:
h = (2S) / (a + b)
где h — это искомая высота трапеции, S — известная площадь фигуры, a и b — длины
обеих оснований.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Закрепим на примере: Нам известно, что в трапеции АВСD основания a и b равны
5 и 10 сантиметров. Площадь фигуры равна 30 квадратных сантиметров. Для решения нужно
воспользоваться формулой. h = (2S) / (a + b), h = (2 х 30) / (5 + 10), h = 60 /15, h = 4 см.
Высота трапеции равна 4 см.
Как найти высоту при помощи диагоналей, углу между диагоналями и средней линией трапеции
Чтобы найти высоту трапеции через среднюю линию, известные диагонали и угол между ними, нужно
прибегнуть к применению выведенной формулы:
h = ((D x d) / (2m)) x sin (α)
где h — это искомая высота трапеции, D и d — известные диагонали, m — средняя
линия, sin(α) — угол между диагоналями.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Закрепим на примере: Дана трапеция с диагоналями 5 и 12 сантиметров.
Известно, что средняя линия фигуры равна 6 см, а угол между диагоналями – 30 градусов. Применив
формулу выше, мы сможем с легкостью найти высоту трапеции. h = ((D x d) / (2m)) x sin (α), h = ((5 x 12) / (2 х 6)) x sin (30), h = (60 /12) x 0.5, h = 2.5 см.
Высота трапеции равна 2.5 см.
Как найти высоту при помощи средней линии и площади трапеции
Чтобы найти высоту трапеции через площадь и среднюю линию воспользуемся выведенной формулой:
h = (2S) / m
где h — это искомая высота трапеции, S — известная площадь фигуры, а m — средняя
линия.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Закрепим на примере: Площадь произвольной трапеции составляет 30 квадратных
сантиметров. Средняя линия фигуры равна 5 см. Нужно найти высоту по формуле. h = (2S) / m, h = (2 х 30) / 5, h = 60 / 5, h = 12 см. 12
см – высота трапеции.
Как найти высоту при помощи известного основания, диагоналей трапеции и угла между диагоналями
Для нахождения высоты трапеции при помощи известного основания, диагонали и углу между диагоналями
используют нижеприведенную формулу:
h = ((Dd) / (a + b)) x sin (α)
где h — это искомая высота трапеции, D и d — известные диагонали, a и b — длины
обеих оснований, sin(α) — угол между диагоналями.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Закрепим на примере: В трапеции ABCD диагонали равны 10 см каждая. Известно,
что сумма основ фигура равна 20 см. Угол, созданный между диагоналями – 30 градусов. Нужно найти
высоту. Для этого нужно воспользоваться выше предоставленной формулой. h = ((Dd) / (a+b)) x sin (α), h = ((10 х 10) / (20)) x sin (30), h = 5 x sin (30), h = 2.5 см.
Высота трапеции равна 2.5 см
Можно выделить 2 разновидности трапеции:
- Трапеция, в которой одна из боковых сторон лежит под перпендикулярным углом с обеими основами
называется прямоугольной. - Трапеции с равными боковыми сторонами называется равнобедренной.
Высотой трапеции принято называть отрезок, которой показывает самое короткое расстояние между верхним
и нижним основанием фигуры. Существует большое количество математических задач разного уровня
сложности, для решения которых активно применяют высоту. Стоит разобраться со всеми возможными
формулами, которые используются для нахождения высоты трапеции.
Высота трапеции
Содержание:
- Что такое трапеция
-
Как найти высоту трапеции
- Через стороны
- Через среднюю линию и площадь
- Через боковую сторону и угол
- Через диагонали, угол между ними и основания
- Через диагонали, угол и среднюю линию
- Через радиус вписанной окружности
- Примеры вычисления
Что такое трапеция
Определение
Трапеция — это геометрическая фигура, которая состоит из двух параллельных и неравных друг другу отрезков (оснований) и боковых сторон.
Все стороны трапеции могут иметь разную величину. Но если ее боковые стороны равны, значит трапеция равнобедренная.
Определение
Высота трапеции — это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания фигуры до другого.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Как найти высоту трапеции
Через стороны
Если нам известны стороны фигуры, мы можем найти ее высоту по формуле:
(h=sqrt{b^2-(frac{{(a-d)}^2+d^2+c^2}{2cdot(a-b)}})^2)
Где h — высота, a — большее основание, b — меньшее основание, c и d — боковые стороны.
Через среднюю линию и площадь
Если в условии есть данные о величине средней линии и площади, можем использовать формулу:
(h=frac Sm)
Где m — средняя линия трапеции.
Через боковую сторону и угол
Когда нам известна величина одной из боковых сторон и угол между этой стороной и большим основанием, используем формулу:
(h=ccdotsinleft(alpharight))
Где alpha — это угол между стороной c и большим основанием a.
Через диагонали, угол между ними и основания
Если нам известны длины обоих диагоналей трапеции, а также угол между ними, можем найти высоту следующим образом:
(h=frac{d_1d_2}{a+b}cdotsinleft(gammaright))
Где (d_1) и (d_2) — диагонали трапеции, а (gamma) — угол между ними.
Через диагонали, угол и среднюю линию
В том случае, если нам известны сразу длины диагоналей, угол между ними и величина средней линии, мы можем узнать высоту трапеции по формуле:
(h=frac{d_1d_2}{2m}cdotsinleft(gammaright))
Через радиус вписанной окружности
Если в трапецию можно вписать окружность, то ее высота будет равна диаметру этой окружности, то есть d=h. Другими словами, высота фигуры будет равна удвоенному радиусу вписанной в нее окружности:
(h=2r)
Где r — радиус выписанной окружности.
Примеры вычисления
Задача 1
Дана трапеция, в которой известны основания a и b. Они равны 4,5 см и 2,5 см. Также известны ее боковые стороны d и c, равные 2 см и (2sqrt2) см соответственно. Найти высоту.
Решение
Чтобы решить эту задачу, используем формулу (h=sqrt{b^2-(frac{{(a-d)}^2+d^2+c^2}{2cdot(a-b)}})^2.)
Подставляем известные значения:
(h=sqrt{2^2-(frac{{(4,5-2,5)}^2+2^2+{(2sqrt2)}^2}{2cdot(4,5-2,5)}}{)^2=}h=sqrt{4-(frac{4+4-8}4}{)^2=sqrt4=2}) см.
Ответ: h=2 см.
Задача 2
Известно, что основания a и b равнобедренной трапеции равны 3 см и 5 см. Площадь фигуры равна 8 см2. Вычислить высоту.
Решение:
Чтобы найти высоту, нужно знать величину средней линии m. Определим ее следующим образом:
(m=frac{a+b}2=frac{3+5}2=4 см.)
Теперь используем формулу (h=frac Sm) и подставим известные значения:
(h=frac84=2) см.
Ответ: h=2 см.
Задача 3
Мы знаем, что сторона c трапеции равна (sqrt2) см, а угол (alpha) между известной стороной и основанием равен 45 градусов. Найти значение высоты.
Решение:
Используем формулу (h=ccdotsinleft(alpharight)) и подставим значения:
(h=sqrt2cdotsinleft(45^circright)=frac{sqrt2cdotsqrt2}2=frac22=1) см.
Ответ: h=1 см.
Задача 4
Даны диагонали трапеции (d_1) и (d_2), равные 2 см и 3 см, а также угол gamma между ними, который равняется 30 градусов. Основания a и b, длина которых 2 см и 1 см соответственно. Найти h.
Решение:
Для решения задачи использует формулу (h=frac{d_1d_2}{a+b}cdotsinleft(gammaright).)
Подставим значения:
(h=frac{2cdot3}{2+1}cdotsinleft(30^circright)=frac63cdotfrac12=1) см.
Ответ: h=1 см.
Насколько полезной была для вас статья?
Рейтинг: 5.00 (Голосов: 1)
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
