Как найти высоту треугольника если известны координаты

Как найти высоту треугольника если известны координаты

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

  1. Найти уравнение стороны треугольника.
  2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Пример.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

Решение:

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

    [left{ begin{array}{l} - 3 = k cdot 5 + b; \ 8 = k cdot 1 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = - frac{{11}}{4};b = frac{{43}}{4}.]

Таким образом, уравнение прямой BC —

    [y = - frac{{11}}{4}x + frac{{43}}{4}.]

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

    [k_2 = - frac{1}{{k_1 }} = - frac{1}{{ - frac{{11}}{4}}} = frac{4}{{11}}.]

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

    [y = frac{4}{{11}}x + b.]

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

    [2 = frac{4}{{11}} cdot ( - 7) + b, Rightarrow b = frac{{50}}{{11}}.]

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

    [y = frac{4}{{11}}x + frac{{50}}{{11}}.]

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

    [left{ begin{array}{l} 2 = k cdot ( - 7) + b; \ - 3 = k cdot 5 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = - frac{5}{{12}};b = - frac{{11}}{{12}}.]

Уравнение прямой AB:

    [y = - frac{5}{{12}}x - frac{{11}}{{12}}.]

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

    [k_2 = - frac{1}{{k_1 }} = - frac{1}{{ - frac{5}{{12}}}} = frac{{12}}{5} = 2,5.]

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

    [left{ begin{array}{l} 2 = k cdot ( - 7) + b; \ 8 = k cdot 1 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = frac{3}{4};b = frac{{29}}{4}.]

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

    [k_2 = - frac{1}{{k_1 }} = - frac{1}{{frac{3}{4}}} = - frac{4}{3}.]

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

    [y = - frac{4}{3}x + b.]

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

    [- 3 = - frac{4}{3} cdot 5 + b, Rightarrow b = frac{{11}}{3}.]

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

    [y = - frac{4}{3}x + frac{{11}}{3}.]

uravnenie-vysoty-treugolnika

Источник

Как найти высоту треугольника, если даны координаты точек

Высотой в треугольнике называют отрезок прямой линии, соединяющий вершину фигуры с противолежащей стороной. Этот отрезок обязательно должен быть перпендикулярен стороне, поэтому из каждой вершины можно провести лишь одну высоту. Поскольку вершин в этой фигуре три, высот в нем столько же. Если треугольник задан координатами своих вершин, вычисление длины каждой из высот можно произвести, например, воспользовавшись формулой нахождения площади и рассчитав длины сторон.

Как найти высоту треугольника, если даны координаты точек

Инструкция

Исходите в расчетах из того, что площадь треугольника равна половине произведения длины любой из его сторон на длину высоты, опущенной на эту сторону. Из этого определения вытекает, что для нахождения высоты нужно знать площадь фигуры и длину стороны.

Начните с вычисления длин сторон треугольника. Обозначьте координаты вершин фигуры так: A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) и C(X₃,Y₃,Z₃). Тогда длину стороны AB вы сможете рассчитать по формуле AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²). Для двух других сторон эти формулы будут выглядеть так: BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) и AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²). Например, для треугольника с координатами A(3,5,7), B(16,14,19) и C(1,2,13) длина стороны AB составит √((3-16)² + (5-14)² + (7-19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19,85. Длины сторон BC и AC, рассчитанные таким же способом, будут равны √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20,12 и √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7.

Знания длин трех сторон, полученных на предыдущем шагу, достаточно для вычисления площади треугольника (S) по формуле Герона: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Например, после подстановки в эту формулу значений, полученных из координат треугольника-образца из предыдущего шага, эта формула даст такое значение: S = ¼*√((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20,12) * (19,85+20,12-7)) = ¼*√(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ≈ ¼*√75768,55 ≈ ¼*275,26 = 68,815.

Исходя из площади треугольника, рассчитанной на предыдущем шаге, и длин сторон, полученных на втором шаге, вычислите высоты для каждой из сторон. Так как площадь равна половине произведения высоты на длину стороны, к которой она проведена, для нахождения высоты делите удвоенную площадь на длину нужной стороны: H = 2*S/a. Для использованного выше примера высота, опущенная на сторону AB составит 2*68,815/16,09 ≈ 8,55, высота к стороне ВС будет иметь длину 2*68,815/20,12 ≈ 6,84, а для стороны АС эта величина будет равна 2*68,815/7 ≈ 19,66.

Источники:

  • даны точки найти площадь треугольника

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Юрик

Высший разум

(117860)


12 лет назад

Запишите уравнение стороны, на которую нужно опустить перпендикуляр в общем виде Ах+Ву+С=0. Если координаты третьей вершины (m;n), то уравнение высоты
(x-m)/A=(y-n)/B.
Длина высоты определяется, как расстояние от точки до прямой по формуле
d=|A•m+B•n+C|/√(A²+B²).

P.S. Если треугольник в пространстве, то решение значительно усложняется.

Семен Аркадьевич

Высший разум

(340149)


12 лет назад

1. Составить уравнение той стороны, высоту опущенную на которую требуется найти.
2. Составить уравнение перпендикуляра к стороне по п. 1 через оставшуюся вершину с учетом углового коэффициента полученной стороны.
3. Решить совместно уравнения по п. 1 и п. 2 и найти координаты основания высоты.
4. Найти длину высоты.

Все вопросы в агент.

Alexander Panfilov

Мыслитель

(6234)


12 лет назад

1. Найти длину той стороны, высоту опущенную на которую требуется найти.
2. По известной формуле найти площадь треугольника.
3. Разделить площадь на длину стороны, умножить на два. Получите длину высоты.

Источник

Решить треугольник Онлайн по координатам

Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольника:

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Добавить комментарий