Как найти высоту треугольника картинки

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

1. Через площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты h_a, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

2. Через стороны треугольника

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Рассмотрим, как построить высоту треугольника с помощью чертежного угольника.

Чтобы построить высоту остроугольного треугольника, надо приложить угольник так, чтобы одна сторона прямого угла проходила через вершину треугольника, а вторая — через противоположную этой вершине сторону.

AK⊥BC.

AK — высота треугольника ABC, проведённая из вершины A к противолежащей стороне BC.

BF⊥AC.

BF — высота треугольника ABC, опущенная из вершины B на сторону AC.

CH⊥AB.

CH — высота треугольника ABC, проведённая из вершины C к стороне AB.

Все высоты треугольника пересекаются в одной точке.

В остроугольном треугольнике точка пересечения высот лежит внутри треугольника.

Если требуется построить все высоты треугольника, достаточно построить две, а третью провести из вершины треугольника через точку пересечения двух высот.

В прямоугольном треугольнике две стороны (катеты) являются также его высотами. Остаётся построить третью высоту.

Угольник прикладываем прямым углом так, чтобы одна сторона проходила через гипотенузу, а другая — через прямой угол.

CD⊥AB.

CD — высота прямоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины прямого угла C к гипотенузе AB.

Точка пересечения высот прямоугольного треугольника — вершина прямого угла.

Высоты AC, BC и CD прямоугольного треугольника ABC пересекаются в точке C, ∠C=90°.

В тупоугольном треугольнике проще всего построить высоту, выходящую из вершины тупого угла.

Прикладываем угольник прямым углом так, чтобы одна его сторона проходила через наибольшую сторону треугольника, а другая — через тупой угол.

AP⊥BC.

AP — высота тупоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины тупого угла A к стороне BC.

Только высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника. Две другие высоты находятся вне него.

Высоты тупоугольного треугольника, выходящие из вершин острых углов, проведены не к противолежащим сторонам, а к прямым, содержащим эти стороны.

Чтобы построить высоту, продлеваем противолежащую сторону и прикладываем угольник прямым углом таким образом, чтобы одна сторона угольника проходила через построенную прямую, а другая — через вершину острого угла.

BM⊥AC,

BM — высота тупоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины острого угла B к прямой, содержащей противолежащую сторону AC.

CN⊥AB,

CN — высота тупоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины острого угла С к прямой, содержащей противолежащую сторону AB.

Точка пересечения высот тупоугольного треугольника лежит вне него, за тупым углом, напротив наибольшей стороны.

Чтобы построить точку пересечения высот треугольника ABC, продлим прямые BM, CN и AP до пересечения.

Мы рассмотрели, как строить высоты треугольника с помощью угольника.

Построение высот с помощью циркуля и линейки будем рассматривать в теме «Задачи на построение».

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 14 апреля 2020 года; проверки требуют 153 правки.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (точнее, на прямую, содержащую противоположную сторону).
В зависимости от типа треугольника высота может содержаться внутри треугольника (для остроугольного треугольника), совпадать с его стороной (являться катетом прямоугольного треугольника) или проходить вне треугольника у тупоугольного треугольника.

Удобно высоты треугольника обозначать следующим образом.

Если ― треугольник, и , , ― длины сторон (или просто стороны), то , , ― высоты, опущенные соответственно из вершин , , на стороны , , (или их продолжения).

Свойства[править | править код]

Свойства ортоцентра[править | править код]

• Все 3 высоты треугольника пересекаются в 1 точке, называемой ортоцентром. Доказательства ниже.
• Ортоцентр изогонально сопряжен центру описанной окружности.
• Ортоцентр лежит на одной прямой с центроидом, центром описанной окружности и центром окружности девяти точек (см. прямая Эйлера).
• Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
• В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри треугольника; в тупоугольном — вне треугольника; в прямоугольном — в вершине прямого угла.

Свойства, связанные с описанной окружностью[править | править код]

• Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника. Последний треугольник называют дополнительным треугольником по отношению к первому треугольнику.
• Последнее свойство можно сформулировать так: Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром дополнительного треугольника.
• Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности.
• Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин сторон, также лежат на описанной окружности и совпадают с точками, диаметрально противоположными соответствующим вершинам.
• Если О — центр описанной окружности ΔABC, то ,
• Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.
• Любой отрезок, проведенный из ортоцентра до пересечения с описанной окружностью всегда делится окружностью Эйлера пополам. Ортоцентр есть центр гомотетии этих двух окружностей.
• Теорема Гамильтона. Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих ту же самую окружность Эйлера (окружность девяти точек), что и исходный остроугольный треугольник.
• Следствия теоремы Гамильтона:
  • Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника Гамильтона, имеющих равные радиусы описанных окружностей.
  • Радиусы описанных окружностей трёх треугольников Гамильтона равны радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.

Свойства высот равнобедренного треугольника[править | править код]

• Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный, и третья высота одновременно является медианой и биссектрисой того угла, из которого она выходит.
• Верно и обратное: в равнобедренном треугольнике две высоты равны, а третья высота одновременно является медианой и биссектрисой.

Свойства высот равностороннего треугольника[править | править код]

• Теорема Вивиани (Viviani’s theoremn  (англ.) (рус.). Для любой точки P внутри равностороннего треугольника сумма перпендикуляров к трем сторонам равна высоте треугольника.^[1]

Свойства высот равнобедренного треугольника[править | править код]

• Теорема Вивиани обобщенная для любой точки P на основании равнобедренного треугольника. Сумма расстояний от произвольной точки, лежащей на основании равнобедренного треугольника, до боковых (равных) сторон есть величина постоянная, равная высоте, опущенной на боковую сторону.^[2]

Свойства высот произвольного треугольника[править | править код]

• Теорема Вивиани обобщенная. Если от концов наименьшей из трех сторон треугольника отложить на двух оставшихся сторонах одинаковые отрезки, равные длине наименьшей из трех сторон, то, соединив два невершинных конца отложенных отрезков прямой, получим геометрическое место точек, лежащих внутри треугольника. Для любой точки P этого геометрического места точек внутри треугольника сумма расстояний до трех сторон есть величина постоянная. ^[3]

Свойства оснований высот треугольника[править | править код]

• Основания высот образуют так называемый ортотреугольник, обладающий собственными свойствами.
• Описанная около ортотреугольника окружность – окружность Эйлера. На этой окружности также лежат три середины сторон треугольника и три середины трёх отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника.
• Другая формулировка последнего свойства:
  • Теорема Эйлера для окружности девяти точек. Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его внутренних медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (на окружности девяти точек).
• Теорема. В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному.
• Теорема. В треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, лежащие на двух сторонах, антипараллелен третьей стороне, с которой он не имеет общих точек. Через два его конца, а также через две вершины третьей упомянутой стороны всегда можно провести окружность.

Свойства середин высот треугольника[править | править код]

• Теорема Шлёмильха. В 1860 году Шлёмильх доказал теорему: три прямые, соединяющие середины сторон треугольника с серединами его соответствующих высот, пересекаются в одной точке. В 1937 году советский математик С. И. Зетель показал, что эта теорема верна не только для высот, но и для любых других чевиан.
• Еще одна очевидная теорема. Середина высоты треугольника всегда лежит на пересекающей ее средней линии треугольника.
• Теорема Ригби. Если к любой стороне остроугольного треугольника провести высоту и касающуюся ее с другой стороны вневписанную окружность, то точка касания последней с этой стороной, середина упомянутой высоты, а также инцентр лежат на одной прямой.^[4].
• Из теоремы Ригби следует, что 3 отрезка, соединяющих середину каждой из 3 высот треугольника с точкой касания вневписанной окружности, проведенной к той же стороне, что и высота, пересекаются в инцентре.
• Середины X и Y двух высот треугольника ABC, а также середина K стороны BC, из концов которой эти две высоты выходят, а также ортоцентр H лежат на одной окружности, на которой также лежит и пятая точка D – основание третьей высоты AD^[5].
• Пусть в треугольнике АВС О – центр описанной окружности. Пусть прямая x проходит через середину высоты треугольника, опущенную из вершины А, и параллельна ОА. Аналогично определяются прямые y и z. Эти 3 прямые пересекаются в одной точке Т, которая является центром окружности Тэйлора ^[6] треугольника АВС.^[7].

Другие свойства[править | править код]

• Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то его внутренняя биссектриса, проведённая из любой вершины, лежит между внутренними медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
• Высота треугольника изогонально сопряжена диаметру (радиусу) описанной окружности, проведенному из той же самой вершины.
• В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него 2 пары треугольников с 1 общей вершиной, которые подобны.
• В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.
• Три части высот данного остроугольного треугольника внутри его ортотреугольника оказываются тремя биссектрисами.

Свойства минимальной из высот[править | править код]

Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:

• Минимальная ортогональная проекция треугольника на прямые, лежащие в плоскости треугольника, имеет длину, равную наименьшей из его высот.
• Минимальный прямолинейный разрез в плоскости, через который можно протащить несгибаемую треугольную пластину, должен иметь длину, равную наименьшей из высот этой пластины.
• При непрерывном движении двух точек по периметру треугольника друг навстречу другу, максимальное расстояние между ними за время движения от первой встречи до второй, не может быть меньше длины наименьшей из высот треугольника.
• Минимальная высота в треугольнике всегда проходит внутри этого треугольника.

Соотношения[править | править код]

где — основание, — боковая сторона.

Теорема о произвольной точке внутри треугольника[править | править код]

Теорема о произвольной точке внутри треугольника. Если p_a, p_b и p_c – расстояния (перпендикулярные отрезки) от любой точки P треугольника до трех его сторон, а h_a, h_b и h_c – длины высот, опущенных на соответствующие стороны (a, b и c), тогда ^[8]

Следствие теоремы. Если точка P есть инцентр данного треугольника, то p_a = p_b = p_c = . Тогда из последней теоремы имеем:

, где — радиус вписанной окружности.

Теорема о трех произвольных чевианах внутри треугольника, одна из которых является высотой[править | править код]

Теорема. Если две произвольные чевианы (не обязательно две высоты) внутри остроугольного треугольника пересекаются в точке третьей чевианы, являющейся высотой этого треугольника, тогда сама высота является биссектрисой угла, образованного двумя отрезками прямых, проведенных из основания указанной высоты до двух оснований указанных чевиан (до двух точек пересечения двух указанных чевиан со сторонами). ^[9]

Теорема о произвольной точке высоты[править | править код]

Теорема о произвольной точке высоты. Если E – произвольная точка на высоте AD любого треугольника ABC, то ^[10]:77–78

Теоремы о высотах прямоугольного треугольника[править | править код]

Обратная теорема Пифагора[править | править код]

• В прямоугольном треугольнике 3 высоты h_a, h_b, и h_c (первые 2 из которых равны длинам сторон соответственно b и a в этом треугольнике) связаны соотношением, согласно ^[11][12]

Это соотношение известно под названием обратной теоремы Пифагора (inverse Pythagorean theorem  (англ.) (рус.).

Теорема о высоте прямоугольного треугольника[править | править код]

Если высота в прямоугольном треугольнике длиной , проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу длиной на отрезки и , соответствующие катетам и , то верны следующие равенства:

Теорема о проекциях[править | править код]

См. с. 51, ф. (1.11-4)^[13].
Теорема о проекциях: . Из теоремы о проекциях следует то, что высота, опущенная, например, из вершины , делит противоположную ей сторону на две части и , считая от вершины к .

История[править | править код]

• Утверждение: «Все 3 высоты треугольника пересекаются в одной точке», называемой теперь ортоцентром, в «Началах» Евклида отсутствует. Часть историков приписывает это утверждение Архимеду и называют его теоремой Архимеда^[14]. Ортоцентр впервые в греческой математике использован в «Книге лемм» Архимеда, хотя явного доказательства существования ортоцентра Архимед не привёл.
• В косвенной форме и в явном виде это утверждение («Все 3 высоты треугольника пересекаются в одной точке») встречается у Прокла (410-485) – комментатора Евклида^[15].
• Тем не менее до середины девятнадцатого века, ортоцентр нередко называли архимедовой точкой^[16].
• Другие историки математики считают автором первого доказательства Уильяма Чеппла (William Chapple (surveyor)  (англ.) (рус.) (Miscellanea Curiosa Mathematica, 1749 год)^[17].
• Сам термин ортоцентр впервые был использован У. Х. Безантом (W. H. Besant  (англ.) (рус.) в работе “Конические сечения, исследованные геометрически (1869)” (^[18]) ^[19].

Две составные части высоты: предвысота и поствысота ^[20][править | править код]

• На рис. справа в треугольнике ABC через точку O проведены 3 высоты: AD, BE и CF. Тогда точка O пересечения 3 высот разбивает каждую высоту на 2 отрезка прямых, один из них (который начинается в вершине, а заканчивается в точке пересечения O) мы назовем довысотой или предвысотой, а второй из них (который начинается в точке пересечения O, а заканчивается в точке его пересечения со стороной, противоположной вершине) мы назовем поствысотой.
• Эти 2 термина введены по аналогии с операторами цикла с учетом их изображения на блок-схемах в информатике. Там есть понятия цикла соответственно с пред- и пост-условием в зависимости от того, стоит ли это условие перед или после тела цикла. У нас в роли тела цикла выступает точка O пересечения высот, а в роли условия – первый или второй конец отрезка, вводимого, как понятие для одной из двух частей высоты.
• С помощью этих 2 понятий совсем просто формулируются некоторые теоремы геометрии.

Например, в любом треугольнике (в остро-, прямо-, и в тупоугольном) 3 произведения пред- и поствысоты совпадают ^[21]. Для остро-и прямоугольного треугольников это утверждение легко доказываемое. Оно верно и для любого тупоугольного треугольника, что удивительно, поскольку в таком треугольнике 2 из 3 высот даже не лежат внутри самого треугольника.

• Замечание. На этом рис. справа в треугольнике ABC чевианы не являются высотами. На следующем рис. справа в треугольнике ABC три высоты:

Вариации по теме. Высоты в четырёхугольнике[править | править код]

Теорема^[22]. Пусть — вписанный четырёхугольник, — основание перпендикуляра (высоты), опущенного из вершины на диагональ ; аналогично определяются точки . Тогда точки лежат на одной окружности.

Это утверждение — следствие леммы о шестой окружности.

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Johnson, Roger A. Advanced Euclidean Geometry. — Dover, 2007. — ISBN 978-0-486-46237-0.

Ссылки[править | править код]

• Справочник: Треугольники

См. также[править | править код]

• Ортоцентр
• Медиана
• Замечательные точки треугольника

Высота треугольника — подробнее

Высота – линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне (прямой, которая эту сторону содержит).

На этом рисунке ( displaystyle BH) – высота.

Но иногда высота (в отличие от биссектрисы и медианы) ведёт себя, как непослушный ребенок – «выбегает» из треугольника. Это бывает в тупоугольном треугольнике.

И тогда получается так:

В общем, не нужно пугаться, если основание высоты оказалось не на стороне треугольника, а «за» треугольником, на продолжении стороны.

Как же решать задачи, в которых участвует высота?

Нужно стремиться применить какие-нибудь знания о прямоугольном треугольнике – ведь где высота – там и прямой угол.

Но попадаются задачи и похитрее, при решении которых лучше обладать дополнительными знаниями заранее, а не выводить их «с нуля». Сейчас мы обсудим некоторые из них.

Но для начала решим простенькую задачку на высоту в тупоугольном треугольнике:

В треугольнике ( displaystyle ABC) с тупым углом ( displaystyle C) проведена высота ( displaystyle BH). Найти ( displaystyle AC), если ( AB=2sqrt{10}), ( BC=sqrt{13}), ( BH=2).

Смотри: из-за того, что угол ( C) – тупой, высота ( BH) опустилась на продолжение стороны ( AC), а не на саму сторону.

Теперь давай увидим во всём этом два прямоугольных треугольника.

Смотри их целых два:

Применяем теорему Пифагора к треугольнику ( BCH):

( B{{C}^{2}}=B{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}), то есть ( 13=4+C{{H}^{2}}); ( CH=3).

А теперь теорема Пифагора для ( Delta ABH):

( A{{B}^{2}}=A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}); то есть ( 40=A{{H}^{2}}+4); ( AH=6).

Теперь осталось только заметить, что ( AC=AH-CH=6-3=3).

Нашли!

А теперь давай вернемся к нашим высотам!

Остроугольный треугольник и высота

Вернёмся–ка к остроугольному треугольнику. Отметим на рисунке равные углы:

Что видим теперь? Ещё подобные треугольники!

Как от двух линий вообще могут получиться столько подобных треугольников?!

Но тем не менее…

( Delta C{{H}_{C}}Bsim Delta C{{H}_{A}}Hsim Delta A{{H}_{A}}Bsim Delta A{{H}_{C}}H)

Видишь, какое богатство? И всё это может быть использовано в задачах!

Ну вот, теперь ты узнал что-то новенькое про высоты треугольника.

Теперь пробуй применять в задачах всё это – и соображение о том, что высота образует прямоугольный треугольник, и простые подобия прямоугольных треугольников, получающихся при пересечении двух высот, и подобие похитрее — которое с косинусом, и то, что угол между высотами равен углу между сторонами…

Главное, ты не старался просто запоминать все эти факты, а осознай, что их можно очень просто вывести.

И тогда, если ты будешь точно знать, например, что две проведённые высоты приносят кучу бонусов в виде всяких подобий, то ты непременно и сам получишь все эти бонусы, а заодно – решение своей задачи!