В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.
-
Нахождение высоты треугольника
- Высота в разностороннем треугольнике
- Высота в равнобедренном треугольнике
-
Высота в прямоугольном треугольнике
- Высота в равностороннем треугольнике
- Примеры задач
Нахождение высоты треугольника
Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.
Высота в разностороннем треугольнике
Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:
1. Через площадь и длину стороны
где S – площадь треугольника.
2. Через длины всех сторон
где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:
3. Через длину прилежащей стороны и синус угла
4. Через стороны и радиус описанной окружности
где R – радиус описанной окружности.
Высота в равнобедренном треугольнике
Длина высоты ha, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:
Высота в прямоугольном треугольнике
Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:
1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе
2. Через стороны треугольника
Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.
Высота в равностороннем треугольнике
Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:
Примеры задач
Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.
Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:
Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.
Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:
Высота, проведенная в любом треугольнике, делит его на два прямоугольных треугольника, становясь смежным катетом. Сторона, на которую опущена высота, оказывается также разделенной на две пропорциональных части. Зная все три стороны, можно собрать их по теореме Пифагора, и приравняв высоту в качестве катета в двух вышеуказанных треугольниках, получить ее формулу для любого произвольного треугольника:
С другой стороны, можно использовать сторону, прилежащую к высоте и угол α, чтобы вычислить высоту треугольника.
Известная его сторона будет гипотенузой в прямоугольном треугольнике, а сама высота – катетом, противолежащим углу α. Два этих измерения связывает синус угла, поэтому высота равна его произведению на сторону a:
h=a sinα
Высота в прямоугольном треугольнике, опущенная из прямого угла (остальные две совпадают с катетами), получает особые свойства. Так как все три получившихся прямоугольных треугольника подобны друг другу, их стороны составляют пропорцию, которая раскладывается как квадрат высоты, равный произведению проекцию катетов на гипотенузу, или проще говоря, частей гипотенузы, на которые ее делит высота.
Из этого следует, что высота равна квадратному корню из данного произведения, а это есть не что иное как среднее пропорциональное приведенного выражения.
В равностороннем треугольнике, высота делит угол, из которого она исходит, на два одинаковых угла по 30°. Высота, оказываясь катетом, прилежащим к этому углу, внутри прямоугольного треугольника, подчиняется отношению косинуса угла α, а так как 
, а гипотенуза a, то формула высоты в равностороннем треугольнике будет выглядеть так:
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Для вычисления площади треугольника вам необходимо знать его высоту. Если она не дана, вы можете вычислить ее по известным вам величинам! В этой статье мы расскажем о нескольких способах найти высоту треугольника по известным значениям других величин.
-
1
Напомним формулу для вычисления площади треугольника. Площадь треугольника вычисляется по формуле: A = 1/2bh.[1]
- А – площадь треугольника
- b – сторона треугольника, на которую опущена высота.
- h – высота треугольника
-
2
Посмотрите на треугольник и подумайте, какие величины вам уже известны. Если вам дана площадь, обозначьте ее буквой «А» или «S». Вам также должно быть дано значение стороны, обозначьте ее буквой «b». Если вам не дана площадь и не дана сторона, воспользуйтесь другим методом.
- Имейте в виду, что основанием треугольника может быть любая его сторона, на которую опущена высота (независимо от того, как расположен треугольник). Чтобы лучше понять это, представьте, что вы можете повернуть этот треугольник. Поверните его так, чтобы известная вам сторона была обращена вниз.
- Например, площадь треугольника равна 20, а одна из его сторон равна 4. В этом случае “‘А = 20″‘, ‘”b = 4′”.
-
3
Подставьте данные вам значения в формулу для вычисления площади (А = 1/2bh) и найдите высоту. Сначала умножьте сторону (b) на 1/2, а затем разделите площадь (А) на полученное значение. Таким образом, вы найдете высоту треугольника.
- В нашем примере: 20 = 1/2(4)h
- 20 = 2h
- 10 = h
Реклама
-
1
Вспомните свойства равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60˚). Если в таком треугольнике провести высоту, вы получите два равных прямоугольных треугольника. [2]
- Например, рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 8.
-
2
Вспомните теорему Пифагора. Теорема Пифагора гласит, что в любом прямоугольном треугольнике с катетами «а» и «b» гипотенуза «с» равна: a2+b2=c2. Эту теорему можно использовать, чтобы найти высоту равностороннего треугольника![3]
-
3
Разделите равносторонний треугольник на два прямоугольных треугольника (для этого проведите высоту). Затем обозначьте стороны одного из прямоугольных треугольников. Боковая сторона равностороннего треугольника – это гипотенуза «с» прямоугольного треугольника. Катет «а» равен 1/2 стороне равностороннего треугольника, а катет «b» – это искомая высота равностороннего треугольника.
- Итак, в нашем примере с равносторонним треугольником с известной стороной, равной 8: c = 8 и a = 4.
-
4
Подставьте эти значения в теорему Пифагора и вычислите b2. Сначала возведите в квадрат «с» и «а» (умножьте каждое значение само на себя). Затем вычтите a2 из c2.
- 42 + b2 = 82
- 16 + b2 = 64
- b2 = 48
-
5
Извлеките квадратный корень из b2, чтобы найти высоту треугольника. Для этого воспользуйтесь калькулятором. Полученное значение и будет высотой вашего равностороннего треугольника!
- b = √48 = 6,93
Реклама
-
1
Подумайте, какие значения вам известны. Вы можете найти высоту треугольника, если вам известны значения сторон и углов. Например, если известен угол между основанием и боковой стороной. Или если известны значения всех трех сторон. Итак, обозначим стороны треугольника: «a», «b», «c», углы треугольника: «А», «В», «С», а площадь – буквой «S».
- Если вам известны все три стороны, вам понадобится значение площади треугольника и формула Герона.
- Если вам известны две стороны и угол между ними, можете использовать следующую формулу для нахождения площади: S=1/2ab(sinC).[4]
-
2
Если вам даны значения всех трех сторон, используйте формулу Герона. По этой формуле придется выполнить несколько действий. Сначала нужно найти переменную «s» (мы обозначим этой буквой половину периметра треугольника). Для этого подставьте известные значения в эту формулу: s = (a+b+c)/2.[5]
- Для треугольника со сторонами а = 4, b = 3, c = 5, s = (4+3+5)/2. В результате получается: s=12/2, где s=6.
- Затем вторым действием мы находим площадь (вторая часть формулы Герона). Площадь = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). Вместо слова «площадь» вставьте эквивалентную формулу для поиска площади: 1/2bh (или 1/2ah, или 1/2ch).
- Теперь найдите эквивалентное выражение для высоты (h). Для нашего треугольника будет справедливо следующее уравнение: 1/2(3)h = (6(6-4)(6-3)(6-5)). Где 3/2h=√(6(2(3(1))). Получается, 3/2h = √(36). С помощью калькулятора вычислите квадратный корень. В нашем примере: 3/2h = 6. Получается, что высота (h) равна 4, сторона b – основание.
-
3
Если по условию задачи известны две стороны и угол, вы можете использовать другую формулу. Замените площадь в формуле эквивалентным выражением: 1/2bh. Таким образом, у вас получится следующая формула: 1/2bh = 1/2ab(sinC). Ее можно упростить до следующего вида: h = a(sin C), чтобы убрать одну неизвестную переменную.[6]
- Теперь осталось решить полученное уравнение. Например, пусть «а» = 3, «С» = 40 градусов. Тогда уравнение будет выглядеть так: «h» = 3(sin 40). С помощью калькулятора и таблицы синусов подсчитайте значение «h». В нашем примере h = 1,928.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 437 162 раза.
Была ли эта статья полезной?
Равносторонний треугольник является правильным многоугольником (геометрическая фигура, у которой все углы и все стороны равны). Фактически, это значительно упрощает процесс вычисления любых параметров, характеризующих такой треугольник, в том числе, длину высоты.
В равностороннем треугольнике все три высоты – одинаковой длины, поэтому найдя любую из них, можно применять полученное значение в отношении всех трех линий. Более того, все высоты полностью совпадают со всеми тремя медианами, биссектрисами и серединными перпендикулярами, называемыми иначе медиатриссами. Точка пересечения всех трех линий обладает свойствами точки пересечения высот, точки пересечения медиан и точки пересечения биссектрис одновременно, являя собой любой из возможных центров треугольника, в том числе центр вписанной и описанной окружностей.
Исходя из этого, чтобы найти высоту равностороннего треугольника, можно использовать абсолютно любые известные параметры, например, сторону треугольника.
Высота равностороннего треугольника, проведенная к любой стороне, создает внутри него прямоугольный треугольник, в котором можно ее вычислить, используя тригонометрические отношения, так как известно, что все углы в равностороннем треугольнике имеют по 60 градусов. Для полученного прямоугольного треугольника высота будет катетом, противолежащем углу в 60 градусов, а сторона равностороннего треугольника – гипотенузой, соответственно, чтобы найти высоту, нужно применить синус. Если подставить вместо угла альфа 60 градусов, получится, что высота равностороннего треугольника равна половине стороны, умноженной на корень из трех.
Download Article
Download Article
To calculate the area of a triangle you need to know its height. To find the height follow these instructions. You must at least have a base to find the height.
-
1
Recall the formula for the area of a triangle. The formula for the area of a triangle is
A=1/2bh.
[1]
- A = Area of the triangle
- b = Length of the base of the triangle
- h = Height of the base of the triangle
-
2
Look at your triangle and determine which variables you know. You already know the area, so assign that value to A. You should also know the value of one side length; assign that value to “‘b'”.
Any side of a triangle can be the base,
regardless of how the triangle is drawn. To visualize this, just imagine rotating the triangle until the known side length is at the bottom.
Example
If you know that the area of a triangle is 20, and one side is 4, then:
A = 20 and b = 4.Advertisement
-
3
Plug your values into the equation A=1/2bh and do the math. First multiply the base (b) by 1/2, then divide the area (A) by the product. The resulting value will be the height of your triangle!
Example
20 = 1/2(4)h Plug the numbers into the equation.
20 = 2h Multiply 4 by 1/2.
10 = h Divide by 2 to find the value for height.
Advertisement
-
1
Recall the properties of an equilateral triangle. An equilateral triangle has three equal sides, and three equal angles that are each 60 degrees. If you
cut an equilateral triangle in half, you will end up with two congruent right triangles.
[2]
- In this example, we will be using an equilateral triangle with side lengths of 8.
-
2
Recall the Pythagorean Theorem. The Pythagorean Theorem states that for any right triangle with sides of length a and b, and hypotenuse of length c:
a2 + b2 = c2.
We can use this theorem to find the height of our equilateral triangle![3]
-
3
Break the equilateral triangle in half, and assign values to variables a, b, and c. The hypotenuse c will be equal to the original side length. Side a will be equal to 1/2 the side length, and side b is the height of the triangle that we need to solve.
- Using our example equilateral triangle with sides of 8, c = 8 and a = 4.
-
4
Plug the values into the Pythagorean Theorem and solve for b2.[4]
First square c and a by multiplying each number by itself. Then subtract a2 from c2.Example
42 + b2 = 82 Plug in the values for a and c.
16 + b2 = 64 Square a and c.
b2 = 48 Subtract a2 from c2. -
5
Find the square root of b2 to get the height of your triangle! Use the square root function on your calculator to find Sqrt(2. The answer is the height of your equilateral triangle!
- b = Sqrt (48) = 6.93
Advertisement
-
1
Determine what variables you know. The height of a triangle can be found if you have 2 sides and the angle in between them, or all three sides. We’ll call the sides of the triangle a, b, and c, and the angles, A, B, and C.
- If you have all three sides, you’ll use
Heron’s formula
, and the formula for the area of a triangle.
- If you have two sides and an angle, you’ll use the formula for the area given two angles and a side.
A = 1/2ab(sin C).[5]
- If you have all three sides, you’ll use
-
2
Use Heron’s formula if you have all three sides. Heron’s formula has two parts. First, you must find the variable
s, which is equal to half of the perimeter of the triangle.
This is done with this formula:
s = (a+b+c)/2.[6]
Heron’s Formula Example
For a triangle with sides a = 4, b = 3, and c = 5:
s = (4+3+5)/2
s = (12)/2
s = 6
Then use the second part of Heron’s formula, Area = sqr(s(s-a)(s-b)(s-c). Replace Area in the equation with its equivalent in the area formula: 1/2bh (or 1/2ah or 1/2ch).
Solve for h. For our example triangle this looks like:
1/2(3)h = sqr(6(6-4)(6-3)(6-5).
3/2h = sqr(6(2)(3)(1)
3/2h = sqr(36)
Use a calculator to calculate the square root, which in this case makes it 3/2h = 6.
Therefore, height is equal to 4, using side b as the base. -
3
Use the area given two sides and an angle formula if you have a side and an angle. Replace area in the formula with its equivalent in the area of a triangle formula: 1/2bh. This gives you a formula that looks like 1/2bh = 1/2ab(sin C). This can be simplified to
h = a(sin C)
, thereby eliminating one of the side variables.[7]
Note that angle C and side a are both positioned across from the height that you need to find (both on the right side from it, or both on the left side).Finding Height with 1 Side and 1 Angle Example
For example, with a = 3, and C = 40 degrees, the equation looks like this:
h = 3(sin 40)
Use your calculator to finish the equation, which makes h roughly 1.928.
Advertisement
Practice Problems and Answers
Add New Question
-
Question
How do I find the area of an equilateral triangle when only the height is given?
H = height, S = side, A = area, B = base. You know that each angle is 60 degrees because it is an equilateral triangle. If you look at one of the triangle halves, H/S = sin 60 degrees because S is the longest side (the hypotenuse) and H is across from the 60 degree angle, so now you can find S. The base of the triangle is S because all the sides are the same, so B = S. Using A = (1/2)*BH, you get A = (1/2)*SH, which you can now find.
-
Question
How do I calculate the height of a right triangle, given only the length of the base and the interior angle at the base?
Look up the tangent of the angle in a trigonometry table. Multiply the tangent by the length of the base.
-
Question
How do I determine the height of a triangle when I know the length of all three sides?
You already know the base, so calculate the area by Heron’s formula. Then, substitute the values you know in the formula. Area=1/2 * base * height or height=2 * Area/base and find your answer.
See more answers
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
Video
References
About This Article
Article SummaryX
If you know the base and area of the triangle, you can divide the base by 2, then divide that by the area to find the height. To find the height of an equilateral triangle, use the Pythagorean Theorem, a^2 + b^2 = c^2. Cut the triangle in half down the middle, so that c is equal to the original side length, a equals half of the original side length, and b is the height. Plug a and c into the equation, squaring both of them. Then subtract a^2 from c^2 and take the square root of the difference to find the height. If you want to learn how to calculate the area if you only know the angles and sides, keep reading!
Did this summary help you?
Thanks to all authors for creating a page that has been read 2,403,060 times.
Reader Success Stories
-
“My Geometry teacher is not the best teacher, and I usually have to look up terms and lessons so I can teach myself…” more
