Как найти высоту в правильной пирамиде
Частный случай конуса называется пирамидой, если в основании фигуры лежит многоугольник. Если этот многоугольник является выпуклым, все его стороны имеют одинаковую длину, а вершина многогранника проецируется в центр основания, пирамиду называют правильной. Боковые грани такой геометрической фигуры имеют форму равнобедренного треугольника. Расчет высоты правильной пирамиды – задача относительно несложная.
Инструкция
Если в условиях задачи приведена площадь основания (s) и объем (V) пирамиды, формула для вычисления высоты многогранника (H) будет очень проста – разделите утроенный объем на площадь: H = 3*V/s.
При квадратном основании пирамиды с известной длиной стороны (a) и заданном объеме (V) замените площадь в формуле расчета из предыдущего шага на возведенную в квадрат длину стороны: H = 3*V/a².
Формулу из первого шага можно трансформировать для вычисления высоты (H) правильной пирамиды c основанием любой формы. Исходные данные, которые в ней должны быть задействованы – объем (V) многогранника, длина ребра в основании (a) и количество вершин при основании (n). Площадь правильного многоугольника определяется четвертью произведения количества вершин на квадрат длины стороны и котангенс угла, равного соотношению 180° и количества вершин: ¼*n*a²*ctg(180°/n). Подставьте это выражение в формулу из первого шага: H = 3*V/(¼*n*a²*ctg(180°/n)) = 12*V/(n*a²*ctg(180°/n)).
Апофема (h) любой боковой грани правильной пирамиды образует с радиусом вписанной в основание окружности (r) и высотой правильной пирамиды (H) прямоугольный треугольник. Если радиус и апофема известны, используйте в расчетах теорему Пифагора. Так как искомая величина здесь – катет, из теоремы вытекает, что вам нужно извлечь квадратный корень из разности между квадратом апофемы (гипотенузы) и квадратом радиуса (второго катета): H = √(h²-r²).
При известной апофеме (h) и угле наклона (α) боковой грани к основанию правильной пирамиды в формуле вычисления высоты (H) можно использовать определение синуса через острые углы прямоугольного треугольника. Рассмотрите тот же треугольник, что и в предыдущем шаге. Синус угла наклона апофемы к основанию по определению равен отношению длины противолежащего катета (высоты пирамиды) к гипотенузе (апофеме). Из этого вытекает, что для расчета искомой величины достаточно умножить апофему на синус угла наклона: H = h*sin(α).
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Апофема правильной треугольной пирамиды: формула и пример задачи
При изучении характеристик пространственных фигур в курсе стереометрии большое внимание уделяется таким свойствам, как площадь и объем. В то же время знать линейные параметры фигур важно, чтобы иметь возможность рассчитать указанные свойства. В данной статье ответим на вопрос, как найти апофему пирамиды правильной треугольной.
Какая фигура будет рассмотрена?
Треугольная пирамида с правильным основанием представляет собой фигуру в пространстве, которая ограничена одним равносторонним треугольником (основание) и тремя равнобедренными треугольниками (боковые стороны). Чтобы иметь возможность более четко представить эту пирамиду, покажем ее на рисунке.
Вам будет интересно: Зазноба – это . Значение слова
Важной точкой любой пирамиды является ее вершина, которая не принадлежит основанию. Если опустить перпендикуляр из нее на основание, то его длина будет высотой фигуры. В дальнейшем будем обозначать высоту буквой h. Высота правильной пирамиды падает точно в геометрический центр треугольника (точка пересечения его медиан, а также биссектрис и высот). Вторым линейным параметром, который следует знать, является длина стороны основания треугольной пирамиды, то есть длина стороны равностороннего треугольника. Обозначим ее буквой a.
Треугольная пирамида имеет собственное название – тетраэдр. Тетраэдр не является чисто теоретической геометрической фигурой. Она также встречается в некоторых природных структурах. Так, в алмазе атом углерода соединен с четырьмя такими же атомами, которые образуют тетраэдр. Другой пример – это молекула метана, в которой углерод, соединенный с четырьмя атомами водорода, образует правильную треугольную пирамиду.
Формула апофемы пирамиды правильной треугольной
Перейдем непосредственно к вопросу статьи. Для треугольной пирамиды правильной апофемой называется любая из высот боковых треугольников, опущенная из вершины фигуры. Обозначим ее hb. Поскольку рассматриваемая фигура состоит из трех боковых треугольников, которые равны друг другу, то она имеет три одинаковых апофемы hb.
Определение длины апофемы не составляет большого труда. Предположим, что высота h и длина стороны a известны. Проводим высоту фигуры и рассматриваем треугольник прямоугольный, который находится внутри пирамиды и образован следующими сторонами:
- апофемой hb (гипотенуза);
- высотой h (один катет);
- 1/3 медианы m равностороннего треугольника (второй катет).
Длина медианы m треугольника в основании равна:
Пользуясь теоремой Пифагора, получаем формулу для длины апофемы hb:
Эта формула показывает, что длина апофемы hb для любых параметров треугольной пирамиды всегда больше ее высоты h.
Решение задачи на определение значения hb
Решим интересную задачу. Рассчитаем длину апофемы для тетраэдра, у которого все ребра равны друг другу.
Обозначим длину ребра буквой a. Она же является стороной треугольника в основании. Чтобы определить hb, необходимо найти h. Сделать это не сложно, если рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный высотой h, ребром a и двумя третями медианы m. Получаем:
h = √(a2 – 4/9*m2) = √(a2 – 4/9*3/4*a2) = a*√(2/3)
Теперь применяем формулу для апофемы, получаем:
hb = √(a2/12 + h2) = √(a2/12 + 2/3*a2) = √3/2*a
Мы получили очевидный результат. Апофема правильной пирамиды треугольной равна длине медианы любого из равносторонних треугольников.
Апофема пирамиды. Формулы для апофемы правильной треугольной пирамиды
Пирамида – это пространственный полиэдр, или многогранник, который встречается в геометрических задачах. Основными свойствами этой фигуры являются ее объем и площадь поверхности, которые вычисляются из знания любых двух ее линейных характеристик. Одной из таких характеристик является апофема пирамиды. О ней пойдет речь в статье.
Фигура пирамида
Прежде чем приводить определение апофемы пирамиды, познакомимся с самой фигурой. Пирамида представляет собой многогранник, который образован одним n-угольным основанием и n треугольниками, составляющими боковую поверхность фигуры.
Всякая пирамида имеет вершину – точку соединения всех треугольников. Перпендикуляр, проведенный из этой вершины к основанию, называется высотой. Если высота пересекает в геометрическом центре основание, то фигура называется прямой. Пирамида прямая, имеющая равностороннее основание, называется правильной. На рисунке показана пирамида с шестиугольным основанием, на которую смотрят со стороны грани и ребра.
Апофема правильной пирамиды
Ее также называют апотемой. Под ней понимают перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к стороне основания фигуры. По своему определению этот перпендикуляр соответствует высоте треугольника, который образует боковую грань пирамиды.
Поскольку мы рассматриваем пирамиду правильную с n-угольным основанием, то все n апофем для нее будут одинаковыми, поскольку таковыми являются равнобедренные треугольники боковой поверхности фигуры. Заметим, что одинаковые апофемы являются свойством правильной пирамиды. Для фигуры общего типа (наклонной с неправильным n-угольником) все n апофем будут разными.
Еще одним свойством апофемы пирамиды правильной является то, что она одновременно является высотой, медианой и биссектрисой соответствующего треугольника. Это означает, что она делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника.
Треугольная пирамида и формулы для определения ее апофемы
В любой правильной пирамиде важными линейными характеристиками являются длина стороны ее основания, ребро боковое b, высота h и апофема hb. Эти величины друг с другом связаны соответствующими формулами, которые можно получить, если начертить пирамиду и рассмотреть необходимые прямоугольные треугольники.
Правильная треугольная пирамида состоит из 4 треугольных граней, причем одна из них (основание) должна быть обязательно равносторонней. Остальные являются равнобедренными в общем случае. Апофему треугольной пирамиды можно определить через другие величины по следующим формулам:
Первое из этих выражений справедливо для пирамиды с любым правильным основанием. Второе выражение характерно исключительно для треугольной пирамиды. Оно показывает, что апофема всегда больше высоты фигуры.
Не следует путать апофему пирамиды с таковой для многогранника. В последнем случае апофемой называется перпендикулярный отрезок, проведенный к стороне многогранника из его центра. Например, апофема равностороннего треугольника равна √3/6*a.
Задача на вычисление апофемы
Пусть дана правильная пирамида с треугольником в основании. Необходимо вычислить ее апофему, если известно, что площадь этого треугольника равна 34 см 2 , а сама пирамида состоит из 4 одинаковых граней.
В соответствии с условием задачи мы имеем дело с тетраэдром, состоящим из равносторонних треугольников. Формула для площади одной грани имеет вид:
Откуда получаем длину стороны a:
Для определения апофемы hb воспользуемся формулой, содержащей боковое ребро b. В рассматриваемом случае его длина равна длине основания, имеем:
Подставляя значение a через S, получим конечную формулу:
Мы получили простую формулу, в которой апофема пирамиды зависит только от площади ее основания. Если подставить значение S из условия задачи, то получим ответ: hb ≈ 7,674 см.
Апофема делит сторону основания пополам. Все ли вы знаете о правильной пирамиде?
Для решения задач на обширную тему “Стереометрия” нужно выучить и разобрать очень много элементов и тонкостей, полностью изучить все свойства фигур, а также не забывать свойства всех фигур, которые включены в курс “Планиметрии”.
Среди задач по объемным фигурам очень часто встречается правильная пирамида, чтобы легко решать их, нужно хорошо с ней познакомиться. Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник, а ее вершина спроецирована в центр основания. Как раз при изучении этого многоугольника вы услышите об апофеме.
Как вы уже поняли, в геометрии понятие апофемы – это широко распространенное явление. Невозможно узнать некоторые измерения пирамиды без знания этого. Само слово “апофема” – это пришедшее к нам из греческого языка явление, и переводится оно как “откладываю”.
Определение
В планиметрии апофема – перпендикуляр (как сам, так и его длина), который проведен к стороне правильного многоугольника из центра. В стереометрии апофема пирамиды – это высота в боковой грани, которая проведена к основанию. Используется только для правильных пирамид. Соответственно, апофема правильной треугольной пирамиды – это высота ее грани, которая представлена равнобедренным треугольником.
Какова роль апофемы
Апофема – это очень важный элемент пирамиды, потому что с ее помощью можно решить огромное количество задач. В частности, боковая поверхность правильной пирамиды равна полупроизведению периметра основания и апофемы грани.
Sбп = (Pосн*h)/2; h – апофема, это ее ключевая роль.
Не путайте с H (высота объемной фигуры в стереометрии).
Также, благодаря знанию апофемы, можно найти площадь грани как равнобедренного треугольника.
Свойства апофемы
Их мало, но все же их нужно помнить. В целом это следствия, вытекающие из определения. Итак, апофема в правильной пирамиде:
- Опущена на сторону основания под углом 90 градусов.
- Делит сторону, на которую опущена, пополам, так как является высотой в равнобедренном/равностороннем треугольнике и по совместительству – медианой.
В правильной пирамиде все апофемы равны, так как все ее боковые грани также одинаковые. При нахождении длины апофемы вам придется воспользоваться как свойствами многоугольника, так и свойствами многогранника. Как же найти числовое значение апофемы в правильной пирамиде?
Как найти апофему пирамиды
Ее можно найти, применяя все ранее полученные знания, вот всего лишь несколько примеров:
- Если известны боковое ребро и сторона основания. Так как апофема делит сторону основания пополам и образует с ней угол в 90 градусов, то найти ее из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора вам не составит труда. Также можно найти апофему, используя знания соотношений в прямоугольном треугольнике.
- Если известен радиус вписанной окружности в основание правильной пирамиды и высота всей фигуры. Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной, и апофема перпендикулярна этой стороне основания (которая является касательной к вписанной окружности). Высота фигуры перпендикулярна основанию и попадает в центр окружности, вписанной в основание пирамиды. Следовательно, радиус и высота фигуры являются катетами и образуют прямой угол, а вместе с апофемой – прямоугольный треугольник. И опять же по теореме Пифагора или через соотношения в прямоугольном треугольнике вы легко найдете апофему.
- Также если дана площадь грани и известно основание.
В любом случае при нахождении апофемы вам придется вспоминать все основные законы и правила планиметрии. Если неизвестны какие-то элементы из этого списка, то вы можете оперировать данными параметрами, и, постепенно находя вышеописанные данные, найти апофему вам не составит труда. Надеемся, что наша статья помогла вам в освоении такой интересной темы.
[spoiler title=”источники:”]
http://fb.ru/article/442808/apofema-piramidyi-formulyi-dlya-apofemyi-pravilnoy-treugolnoy-piramidyi
http://autogear.ru/article/409/235/vse-li-vyi-znaete-o-pravilnoy-piramide-apofema—eto/
[/spoiler]
Главная » Образование » Школа » Как найти высоту в пирамиде: треугольной, четырехугольной, правильной
Как найти высоту в пирамиде: треугольной, четырехугольной, правильной
35881 Просмотров 0
Высота основания в пирамиде – тема, на которую часто попадаются задачи на экзаменах и в старших классах. Решать такие задачи просто, если понимать принцип решения и знать формулы.
В нашей статье, вы без лишних формул и теории сможете понять, как решать задачи на нахождение высоты в пирамиде. Обратите внимание, что в разделе «формулы» отсутствуют все формулы правильной пирамиды, так как наша цель – научить решать задачи на нахождение высоты.
Содержание этой статьи:
- Теория
- Часто задаваемые вопросы
- Типичные ошибки на ЕГЭ
- Полезные советы
Теория
Это интересно: Как оформлять реферат в школе по ГОСТу + образец титульного листа 2019
Правильная пирамида
Правильная пирамида имеет в основании многоугольник, а высота проходит через центр основания. Боковые грани – равнобедренные треугольники. Напомним, что в равнобедренном треугольнике две стороны равны, следовательно, боковые ребра в правильной пирамиде тоже равны. Многоугольник в основании правильный, т.е. его стороны равны.
Для решения задач понадобится знать теоремы равнобедренного треугольника:
Равнобедренный треугольник
Основные свойства
1В правильную пирамиду можно вписать и описать сферу, так как при пересечении диагоналей, основание делится на равные части. Сферу нельзя вписать в любую фигуру.
2Площадь боковой поверхности – половина произведения периметра основания на апофему. Апофема есть на каждой грани, а не только на одной.
Пирамида
Четырехугольная пирамида
В основании – многоугольник; остальные грани – треугольники, соединяющиеся в общей вершине.
Четырехугольная пирамида
Треугольная пирамида
Читайте также: Как решать задачи по математике 5 класс
В качестве основания можно рассматривать любую грань. Вся фигура состоит из треугольников.
Треугольная пирамида
Необходимые знания для нахождения высоты
1Нужно понимать, что из себя представляют треугольники: свойства, формулы, определение. Большинство задач решается через треугольники (боковые грани).
2Понимать, что такое сечение и как оно влияет на геометрическую фигуру.
3Что такое правильные многоугольники: виды, свойства, формулы.
Когда теория закреплена, можно переходить к формулам.
Формулы для нахождения высоты
Формулы
Запомните, что маленькая буква h – это апофема, а большая H – высота.
В некоторых задачах, высоту можно найти через объем:
Объем пирамиды
ВИДЕО: Примеры решения задач
Нахождение высоты в правильной пирамиде
Нахождение высоты в правильной пирамиде
Ниже будут представлены текстовые решения часто встречающихся задач.
Треугольная пирамида
Треугольная пирамида
Задача 1
В правильной треугольной пирамиде DBAC с вершиной D биссектрисы треугольника BAC пересекаются в точке N. Площадь треугольника BAC равна 4; объем пирамиды равен 12. Найдите длину отрезка DN.
DN – высота, следовательно, объем фигуры можно выразить по формуле:
DN = 3V/S основания = 3*12/4 = 9
Ответ: 9
Задача 2
DBAC – медианы основания BAC. Они пересекаются в точке N. Площадь ΔBAC равна 18, V = 20; найдите высоту.
Пользуясь формулой объема, получается:
DN = 3V/S ΔBAC = 3*36/18 = 108/18 = 6
Ответ: 6
Четырехугольная пирамида
Четырехугольная пирамида
Задача 1
Найдите высоту пирамиды, если ML = 10, а DC = 12. В основании квадрат.
ML – это апофема, сторона нам известна, следовательно, можно применить формулу для нахождения OL:
OL = ½*12 = 6
Известно, что MOL – прямоугольный угол. Применим теорему Пифагора:
MO ² = √ML ² — √OL ² = √100- √36 = √64
MO = 8
Задача 2
Известно, что диагональ AC = 20, ML = 10, а сторона DC = 12; найдите MO правильной четырехугольной пирамиды.
Найдем OL
В основании фигуры – квадрат, стороны и углы которого равны. Значит, половина диагонали = 10. Рассмотрим треугольник LOC, он – прямоугольный. Из исходных данный ясно, что LC = 6 (в равнобедренном треугольнике, высота, проведенная из вершины, делит основание на 2 равные части – это свойство р/б треугольника).
Пользуясь теоремой Пифагора, находим OL:
OL² = √OC² — √LC² = √100 – √36 = √64 = 8
Задача 3
Ищем MO
Пользуясь той же теоремой, находим высоту:
MO² = √ML² – √OL² = 100 – 64 = 36
Ответ: 36
Задача 4
Известно, что в основании ABCD, AB=CD=BC=AD. Треугольник DMC имеет площадь 36см, DC = 4, OL = 6. Определите тип фигуры и найдите высоту.
Исходя из информации про основание, мы сделали вывод, что перед нами правильная пирамида – стороны основания равны. Следовательно, перед нами четырехугольная правильная пирамида.
Из первого вывода следует, что боковые грани – равнобедренные треугольники, а высота и медиана этих треугольников – апофема. Пользуясь формулами, найдем высоту.
Площадь равнобедренного треугольника
36 = ½ * 4 *h
36 = 2h
H = 18
Теперь у нас есть апофема, а OL нам было уже давно. MOL – прямоугольный треугольник, 2 стороны которого, мы уже знаем. Следовательно, мы можем посчитать высоту.
MO = ML – OL = 18 – 6 = 12
Ответ: 12
Часто задаваемые вопросы
1Как понять, что пирамида правильная, если в условии это не указано?
Часто в задании не указывают какой тип фигуры, чтобы человек сам догадался и применил нужные формулы. Понять какой тип фигуры легко – начните решение задачи с рассмотрения основания и заучивания свойств фигуры.
Зная определения и свойства, определить тип фигуры очень легко.
2Могут ли быть указаны в задании лишние данные?
Чтобы решать задачи, человек должен включать логику, а не подставлять исходные числа в знакомые формулы. С этим расчетом, в некоторых задачах умышленно добавляют лишние данные, которые могут даже не использоваться при решении. Чаще такое встречается в задачах на ЕГЭ.
3Обязательно ли оформлять высоту большой буквой H? Нужно ли выделять апофему?
Для удобства, человек может не выделять отдельно высоту, а сразу писать, например, BE (если B – вершина, а E – основание). То же с апофемой. Важно, чтобы сам человек осознавал, что это за линия и как ее использовать в решении.
4Как можно быстро изучить стереометрию?
Ключ к пониманию стереометрии – умение визуализировать объекты в пространстве. Если в дополнение к этому умению, знать формулы, свойства и теорию – задачи будут решаться быстро и безошибочно.
4Как искать высоту, если известен объем?
Если выразить высоту через формулу объема, то получится следующее:
H = (3*V)/ S;
Пример: объем пирамиды равен 70 куб. см., а площадь боковых граней – 30см²
H = 3*70/30 = 7см
Типичные ошибки на ЕГЭ
Незнание темы
Когда человек не знает, где находится апофема и что для нее есть определенные формулы, задачу может и можно решить, но тогда необходимо выполнить в 2 раза большей действий.То же обстоит с теорией – если человек не знает свойства многоугольников, то и решить задание он не сможет. Для того, чтобы понимать геометрию, не нужно обладать особенными способностями. Даже при отсутствии способностей к математике, зная теорию, вы будете понимать геометрию.
Отсутствие проверки
Хотите потерять балл на ЕГЭ? – не перепроверяйте решения. Часто, задания решаются хаотично и на листе бумаге разные решения намешаны в кучу. Когда приходит время написать ответ, человек по невнимательности либо забывает выполнить последнее действие, либо вписывает не тот ответ.Решайте задачи по действиям, проставляйте пункты и делайте проверку ответа, каким бы он ни был.
Задачи под копирку
Решая сотни аналогичных задач, человек настолько привыкает, что теряет бдительность, игнорируя многие исходные данные. Придя на экзамен, в задании может быть вопрос с подвохом и человек ошибается в теме, которую он знал идеально. Помните, к каждой задаче нужен индивидуальный подход, как бы хорошо вы в ней не разбирались.
Запись
Структурируйте решения, прописывая каждое действие и каждый полученный вывод. Это необходимо для того, чтобы не запутаться. Решая задания хаотично, можно легко записать неправильное число, не тот ответ, подставить не те числа, и задача уже решена неверно. Обидно получать низкий балл из-за невнимательности.
Подсчеты в уме
На экзамене все нервничают и переживают, а потому зарабатывают баллы ниже, чем планировалось изначально. Когда человек нервничает, уровень концентрации и внимания резко снижается. Он может упустить что-то важное, не поставить запятую или запутаться в ходе размышлений.Считая примеры в столбик, вы обезопасите себя от глупых ошибок.
Незнание структуры экзамена
Очень обидные ошибки допускают люди, пересдающие ЕГЭ через несколько лет, либо обучающиеся в экстернате. Как правило, они плохо знакомы с процедурой заполнения бланков и внесения ответов.Заполнение бланков для части А и С – различно. Внимательно посмотрите, как необходимо их заполнять, так как неправильное внесение ответа (например, запятая и число в одной клетке) будет приравниваться к ошибке и ответ будет не засчитан.Также, если вы самостоятельно готовитесь к экзамену, учитесь рассчитывать время на каждое задание.
Поспешные решения
В случае, если ответ был записан с ошибкой, его можно внести в графе ниже, заменив неправильный ответ на правильный. Однако, клетки для внесения результатов ограничены в количестве, а заданий в общей сложности 19!Несколько раз перепроверьте ответы, прежде чем внести их в бланк ответов.
Незнание степеней числа
В теореме Пифагора будут использованы не только маленькие числа (до 10). В профильной математике, могут быть крупные числа, которые тяжело посчитать в столбик.Также, степени числа могут понадобиться для других заданий. Выучите значение чисел в квадрате и кубе от 1 до 20. Помните, что на профильном экзамене, пользовать методической таблицей нельзя!
Полезные советы
- Если в задаче указан объем – ищите высоту через него.
- Делите равнобедренные треугольники на прямоугольные – так быстрее и проще решить задачу.
- Учите квадратные корни чисел – так, вы будете быстрее справляться с теоремой Пифагора.
- Не кидайтесь сразу к решению – изучите исходные данные и сделайте правильные выводы.
- Если в заданиях получаются слишком крупные числа (от 1000), то перепроверьте решение – вероятно, вы допустили ошибку. В заданиях в учебнике и на экзамене практически не используются крупные числа.
6.5 Total Score
Чтобы успешно решить задачу для нахождения высоты пирамиды, достаточно знать теорию и формулы. Добавив к своим знаниям немного практики и внимательности, вы легко и быстро будете решать подобные задачи!
Если вы не согласны с рейтингом статьи, то просто поставьте свои оценки и аргументируйте их в комментариях. Ваше мнение очень важно для наших читателей. Спасибо!
Достоверность информации
8.5
Актуальность информации
7.5
ПЛЮСЫ
- Благодаря доступной информации можно легко научиться решать задачи по геометрии
МИНУСЫ
- Необходимы знания математики
Добавить отзыв
Достаточно знать длину бокового ребра пирамиды, количество сторон многоугольника, лежащего в основании пирамиды, а также длину стороны основания (сторону многоугольника).
В основании правильной пирамиды всегда лежит правильный многоугольник. Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность.
Есть такая формула:
a — длина стороны n-угольника (для правильного многоугольника).
L – длина окружности, описывающей этот многоугольник.
n – это количество сторон этого многоугольника
Если выразить эту формулу наоборот, то можно по стороне многоугольника найти длину окружности.
L=a*π/sin(180/n)
Зная длину окружности, можно найти радиус этой окружности:
L=2πR
R=L/(2π)
Подставляя L из первой формулы, получаем:
R = L/(2π) = a*π/(2π*sin(180/n)) = a/(2sin(180/n))
Теперь если приглядитесь к рисунку, то увидите, что радиус описанной окружности является также и катетом в прямоугольном треугольнике (игреком “y” на левой картинке).
А вертикальное ребро пирамиды это гипотенуза этого прямоугольного треугольника.
А искомая нам высота это второй катет этого прямоугольного треугольника.
По теореме Пифагора:
X²=Y²+h²
h²=X²-Y²
h=√(X²-Y²)
X нам известен – это длина боковой стороны пирамиды.
Y тоже известен – это расстояние от одного из углов основания пирамиды до центра пирамиды, и это же радиус описанной вокруг этого многоугольника окружности.
Y=R, а R равен: R=a/(2sin(180/n))
Итак подведём итог:
h=√(X²-Y²) = √(X²-R²) = √(X²-(a/(2sin(180/n)))²)
X – размер боковой стороны (ребра) пирамиды.
n – количество сторон многоугольника в основании.
a – размер стороны этого многоугольника в основании.
Более удобно эту формулу я отразил на рисунке.
Пирамида – это многогранник, в основании которого лежит многоугольник. Все грани в свою очередь образуют треугольники, которые сходятся в одной вершине. Пирамиды бывают треугольными, четырехугольными и так далее. Для того чтобы определить, какая пирамида перед вами, достаточно посчитать количество углов в ее основании. Определение “высота пирамиды” очень часто встречается в задачах по геометрии в школьной программе. В статье попробуем рассмотреть разные способы ее нахождения.
Части пирамиды
Каждая пирамида состоит из следующих элементов:
- боковые грани, которые имеют по три угла и сходятся в вершине;
- апофема представляет собой высоту, которая опускается из ее вершины;
- вершина пирамиды – это точка, которая соединяет боковые ребра, но при этом не лежит в плоскости основания;
- основание – это многоугольник, на котором не лежит вершина;
- высота пирамиды представляет собой отрезок, который пересекает вершину пирамиды и образует с ее основанием прямой угол.
Как найти высоту пирамиды, если известен ее объем
Через формулу объема пирамиды V = (S*h)/3 (в формуле V – объем, S – площадь основания, h – высота пирамиды) находим, что h = (3*V)/S. Для закрепления материала давайте сразу же решим задачу. В треугольной пирамиде площадь основания равна 50 см2, тогда как ее объем составляет 125 см3. Неизвестна высота треугольной пирамиды, которую нам и необходимо найти. Здесь все просто: вставляем данные в нашу формулу. Получаем h = (3*125)/50 = 7,5 см.
Как найти высоту пирамиды, если известна длина диагонали и ее ребра
Как мы помним, высота пирамиды образует с ее основанием прямой угол. А это значит что высота, ребро и половина диагонали вместе образуют прямоугольный треугольник. Многие, конечно же, помнят теорему Пифагора. Зная два измерения, третью величину найти будет несложно. Вспомним известную теорему a² = b² + c², где а – гипотенуза, а в нашем случае ребро пирамиды; b – первый катет или половина диагонали и с – соответственно, второй катет, или высота пирамиды. Из этой формулы c² = a² – b².
Теперь задачка: в правильной пирамиде диагональ равна 20 см, когда как длина ребра – 30 см. Необходимо найти высоту. Решаем: c² = 30² – 20² = 900-400 = 500. Отсюда с = √ 500 = около 22,4.
Как найти высоту усеченной пирамиды
Она представляет собой многоугольник, который имеет сечение параллельно ее основанию. Высота усеченной пирамиды – это отрезок, который соединяет два ее основания. Высоту можно найти у правильной пирамиды, если будут известны длины диагоналей обоих оснований, а также ребро пирамиды. Пусть диагональ большего основания равна d1, в то время как диагональ меньшего основания – d2, а ребро имеет длину – l. Чтобы найти высоту, можно с двух верхних противоположных точек диаграммы опустить высоты на ее основание. Мы видим, что у нас получились два прямоугольных треугольника, остается найти длины их катетов. Для этого из большей диагонали вычитаем меньшую и делим на 2. Так мы найдем один катет: а = (d1-d2)/2. После чего по теореме Пифагора нам остается лишь найти второй катет, который и является высотой пирамиды.
Теперь рассмотрим все это дело на практике. Перед нами задача. Усеченная пирамида имеет в основании квадрат, длина диагонали большего основания равняется 10 см, в то время как меньшего – 6 см, а ребро равняется 4 см. Требуется найти высоту. Для начала находим один катет: а = (10-6)/2 = 2 см. Один катет равен 2 см, а гипотенуза – 4 см. Получается, что второй катет или высота будет равна 16-4 = 12, то есть h = √12 = около 3,5 см.
