Как найти высоту в пирамиде грань основание

Высота правильной треугольной пирамиды.

Основание правильной пирамиды представляет собой правильный многоугольник. Так как мы имеем дело с треугольной пирамидой, то её основанием будет равносторонний треугольник.

Чтобы найти высоту пирамиды SO, достаточно вспомнить, что:

1) AO = BO = CO = R = a√3 / 3. (св-во равностороннего треугольника).

2) SB = AB. (боковое ребро равно длине стороны основания).

По теореме Пифагора высота SO равна:

SO = √(SB² – OB²) = √(a² – a²/3) = √(a²(1 – 1/3)) = √(a² * (2/3) = a√(2/3).

Итак, высота правильной треугольной пирамиды (H) равна произведению длины ребра (a) на корень из 2/3:

---

Высоту пирамиды также можно найти из формулы объёма:

V = 1 / 3 Sосн * H.

Так как основание пирамиды – это равносторонний треугольник, то Sосн = a² * √3 / 4.

Отсюда V = a² * √3 * H / 12 = a² * H / 4√3.

Остаётся выразить высоту:

V * 4√3 = a² * H.

H = V * (4√3 / a²).

Высота правильной треугольной пирамиды (H) равна дроби – в числителе произведение объёма пирамиды (V) на 4√3, в знаменателе – квадрат ребра (a).

Если же в условии задачи уже известна площадь основания, то высоту найти ещё проще:

H = 3 * V / Sосн.

---

Пример

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 4 см, объём равен 10√3.

Нужно найти высоту пирамиды.

Воспользуемся вышеприведённой формулой:

H = V * (4√3 / a²) = 10√3 * 4√3 / 16 = 120 / 16 = 7,5 см.

Как найти высоту в пирамиде: треугольной, четырехугольной, правильной

Высота основания в пирамиде – тема, на которую часто попадаются задачи на экзаменах и в старших классах. Решать такие задачи просто, если понимать принцип решения и знать формулы.

В нашей статье, вы без лишних формул и теории сможете понять, как решать задачи на нахождение высоты в пирамиде. Обратите внимание, что в разделе «формулы» отсутствуют все формулы правильной пирамиды, так как наша цель – научить решать задачи на нахождение высоты.

Содержание этой статьи:

Теория

Правильная пирамида

Правильная пирамида имеет в основании многоугольник, а высота проходит через центр основания. Боковые грани – равнобедренные треугольники. Напомним, что в равнобедренном треугольнике две стороны равны, следовательно, боковые ребра в правильной пирамиде тоже равны. Многоугольник в основании правильный, т.е. его стороны равны.

Для решения задач понадобится знать теоремы равнобедренного треугольника:

Основные свойства

Четырехугольная пирамида

В основании – многоугольник; остальные грани – треугольники, соединяющиеся в общей вершине.

Треугольная пирамида

В качестве основания можно рассматривать любую грань. Вся фигура состоит из треугольников.

Необходимые знания для нахождения высоты

Когда теория закреплена, можно переходить к формулам.

Формулы для нахождения высоты

Запомните, что маленькая буква h – это апофема, а большая H – высота.

В некоторых задачах, высоту можно найти через объем:

ВИДЕО: Примеры решения задач

Нахождение высоты в правильной пирамиде

Нахождение высоты в правильной пирамиде

Ниже будут представлены текстовые решения часто встречающихся задач.

Треугольная пирамида

Задача 1

В правильной треугольной пирамиде DBAC с вершиной D биссектрисы треугольника BAC пересекаются в точке N. Площадь треугольника BAC равна 4; объем пирамиды равен 12. Найдите длину отрезка DN.

DN – высота, следовательно, объем фигуры можно выразить по формуле:

DN = 3V/S основания = 3*12/4 = 9

Задача 2

DBAC – медианы основания BAC. Они пересекаются в точке N. Площадь ΔBAC равна 18, V = 20; найдите высоту.

Пользуясь формулой объема, получается:

DN = 3V/S ΔBAC = 3*36/18 = 108/18 = 6

Четырехугольная пирамида

Задача 1

Найдите высоту пирамиды, если ML = 10, а DC = 12. В основании квадрат.

ML – это апофема, сторона нам известна, следовательно, можно применить формулу для нахождения OL:

Известно, что MOL – прямоугольный угол. Применим теорему Пифагора:

MO ² = √ML ² — √OL ² = √100- √36 = √64

Задача 2

Известно, что диагональ AC = 20, ML = 10, а сторона DC = 12; найдите MO правильной четырехугольной пирамиды.

Найдем OL

В основании фигуры – квадрат, стороны и углы которого равны. Значит, половина диагонали = 10. Рассмотрим треугольник LOC, он – прямоугольный. Из исходных данный ясно, что LC = 6 (в равнобедренном треугольнике, высота, проведенная из вершины, делит основание на 2 равные части – это свойство р/б треугольника).

Пользуясь теоремой Пифагора, находим OL:

OL² = √OC² — √LC² = √100 – √36 = √64 = 8

Задача 3

Ищем MO

Пользуясь той же теоремой, находим высоту:

MO² = √ML² – √OL² = 100 – 64 = 36

Задача 4

Известно, что в основании ABCD, AB=CD=BC=AD. Треугольник DMC имеет площадь 36см, DC = 4, OL = 6. Определите тип фигуры и найдите высоту.

Исходя из информации про основание, мы сделали вывод, что перед нами правильная пирамида – стороны основания равны. Следовательно, перед нами четырехугольная правильная пирамида.

Из первого вывода следует, что боковые грани – равнобедренные треугольники, а высота и медиана этих треугольников – апофема. Пользуясь формулами, найдем высоту.

Площадь равнобедренного треугольника

Теперь у нас есть апофема, а OL нам было уже давно. MOL – прямоугольный треугольник, 2 стороны которого, мы уже знаем. Следовательно, мы можем посчитать высоту.

MO = ML – OL = 18 – 6 = 12

Часто задаваемые вопросы

Часто в задании не указывают какой тип фигуры, чтобы человек сам догадался и применил нужные формулы. Понять какой тип фигуры легко – начните решение задачи с рассмотрения основания и заучивания свойств фигуры.

Зная определения и свойства, определить тип фигуры очень легко.

Чтобы решать задачи, человек должен включать логику, а не подставлять исходные числа в знакомые формулы. С этим расчетом, в некоторых задачах умышленно добавляют лишние данные, которые могут даже не использоваться при решении. Чаще такое встречается в задачах на ЕГЭ.

Для удобства, человек может не выделять отдельно высоту, а сразу писать, например, BE (если B – вершина, а E – основание). То же с апофемой. Важно, чтобы сам человек осознавал, что это за линия и как ее использовать в решении.

Ключ к пониманию стереометрии – умение визуализировать объекты в пространстве. Если в дополнение к этому умению, знать формулы, свойства и теорию – задачи будут решаться быстро и безошибочно.

Если выразить высоту через формулу объема, то получится следующее:

Пример: объем пирамиды равен 70 куб. см., а площадь боковых граней – 30см²

Типичные ошибки на ЕГЭ

Полезные советы

• Если в задаче указан объем – ищите высоту через него.
• Делите равнобедренные треугольники на прямоугольные – так быстрее и проще решить задачу.
• Учите квадратные корни чисел – так, вы будете быстрее справляться с теоремой Пифагора.
• Не кидайтесь сразу к решению – изучите исходные данные и сделайте правильные выводы.
• Если в заданиях получаются слишком крупные числа (от 1000), то перепроверьте решение – вероятно, вы допустили ошибку. В заданиях в учебнике и на экзамене практически не используются крупные числа.

Чтобы успешно решить задачу для нахождения высоты пирамиды, достаточно знать теорию и формулы. Добавив к своим знаниям немного практики и внимательности, вы легко и быстро будете решать подобные задачи! Если вы не согласны с рейтингом статьи, то просто поставьте свои оценки и аргументируйте их в комментариях. Ваше мнение очень важно для наших читателей. Спасибо!

Пирамида. Правильная пирамида

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Данный видеоурок поможет пользователям получить представление о теме Пирамида. Правильная пирамида. На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение. Рассмотрим, что такое правильная пирамида и какими свойствами она обладает. Затем докажем теорему о боковой поверхности правильной пирамиды.

Сфера, вписанная в пирамиду

Биссекторная плоскость. Основное свойство биссекторной плоскости

Определение 1. Биссекторной плоскостью двугранного угла называют такую плоскость, которая проходит через ребро двугранного угла и делит этот угол на два равных двугранных угла (рис. 1).

Утверждение 1. Точка, расположенная внутри двугранного угла, находится на одном и том же расстоянии от граней этого угла тогда и только тогда, когда она лежит на биссекторной плоскости.

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку O, расположенную внутри двугранного угла, и проведем через эту точку плоскость δ , перпендикулярную к ребру AB двугранного угла (рис. 2).

Плоскость δ пересекает ребро AB двугранного угла в точке C, а грани двугранного угла α и β по лучам CD и CE соответственно. Угол DCE является линейным углом двугранного угла. Биссекторная плоскость γ пересекает плоскость δ по биссектрисе CF линейного угла DCE .

Таким образом, справедливость утверждения вытекает из соответствующих теорем о свойствах биссектрисы угла. Доказано.

Следствие 1. Если сфера, расположенная внутри двугранного угла, касается каждой из плоскостей граней этого угла, то центр сферы находится на биссекторной плоскости двугранного угла (рис. 3).

Сфера, вписанная в пирамиду. Свойства пирамиды, описанной около сферы

Определение 2. Сферой, вписанной в пирамиду, называют такую сферу, которая касается плоскостей всех граней пирамиды, причем точки касания лежат на гранях пирамиды (рис. 4).

Определение 3. Если сфера вписана в пирамиду, то пирамиду называют описанной около сферы.

Если сфера вписана в пирамиду, то она касается граней каждого внутреннего двугранного угла, образованного соседними гранями пирамиды. В соответствии со следствием 1 центр вписанной в пирамиду сферы должен находиться в точке пересечения биссекторных плоскостей всех внутренних двугранных углов, образованных соседними гранями пирамиды.

Если у пирамиды нет точки, в которой пересекаются биссекторные плоскости всех внутренних двугранных углов, образованных соседними гранями пирамиды, то в такую пирамиду нельзя вписать сферу.

Замечание 1. Для того, чтобы проверить, можно ли в пирамиду вписать сферу, достаточно проверить, существует ли точка пересения биссекторных плоскостей всех внутренних двугранных углов при основании пирамиды. Если такая точка существует, то она будет равноудалена как от основания пирамиды, так и от каждой из боковых граней.

Рассмотрим несколько типов пирамид, в которые можно вписать сферу.

Утверждение 2. Если у пирамиды SA₁A₂ . A_n основание O перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость основания пирамиды, лежит внутри многоугольника A₁A₂ . A_n , а все боковые грани пирамиды наклонены под одним и тем же углом к плоскости основания пирамиды, то в такую пирамиду можно вписать сферу.

Доказательство. Пусть все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом φ , а высота пирамиды равна h. Рассмотрим, например, боковую грань SA₁A₂ и проведем в ней высоту SB (рис. 5).

По теореме о трех перпендикулярах отрезок OB перпендикулярен ребру A₁A₂ . Следовательно, угол SBO является линейным углом двугранного угла между боковой гранью SA₁A₂ и плоскостью основания пирамиды и равен φ. Биссекторная плоскость этого двугранного угла пересекает высоту пирамиды в точке O’ (рис. 6).

Катет OB прямоугольного треугольника SOB выражается через высоту пирамиды h и угол φ по формуле

Катет OO’ прямоугольного треугольника OO’B выражается через высоту пирамиды h и угол φ по формуле

Поскольку длина отрезка OO’ не зависит от выбора боковой грани пирамиды, то биссекторные плоскости всех внутренних двугранных углов при основании пирамиды пересекаются в точке O’, которая и является центром вписанной в пирамиду сферы.

Доказательство утверждения 2 завершено.

Поскольку у любой правильной пирамиды все внутренние двугранные углы при основании равны, то справедливо

Следствие 2. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу, причем ее радиус R выражается через высоту пирамиды h и внутренний двугранный угол при основании пирамиды φ по формуле

(1)

Радиус сферы, вписанной в правильную n – угольную пирамиду

Решение. Рассмотрим правильную n – угольную пирамиду SA₁A₂ . A_n и обозначим символом O’ центр вписанной в пирамиду сферы, а буквой O – центр основания пирамиды. Проведем плоскость через высоту пирамиды SO и апофему SB какой-либо боковой грани (рис. 7).

Буквой R на рисунке 7 обозначен радиус вписанной в пирамиду сферы, буквой r – радиус вписанной в основание пирамиды окружности, а буквой φ – внутренний двугранный угол при основании пирамиды. Из прямоугольного треугольника OSB получаем

(2)

В силу следствия 2 из формул (1) и (2) получаем

из формулы (3) получаем соотношение

Ответ.

Следствие 3. Радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду с высотой h и ребром основания a, равен

Следствие 4. Радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром a, равен

Следствие 5. Радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду с высотой h и ребром основания a, равен

Следствие 6. Радиус сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду с высотой h и ребром основания a, равен

Сфера, вписанная в треугольную пирамиду.
Формула для радиуса вписанной сферы

Утверждение 3. В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу.

Доказательство. Доказательство этого утверждения напоминает планиметрическое доказательство возможности вписать окружность в произвольный треугольник.

Действительно, пусть SABC – произвольный тетраэдр. Биссекторная плоскость внутреннего двугранного угла с ребром AC и биссекторная плоскость внутреннего двугранного угла с ребром AB пересекаются по некоторой прямой, проходящей через вершину A. Биссекторная плоскость внутреннего двугранного угла в ребром BC пересекает эту прямую в единственной точке O , которая и является центром вписанной сферы (рис. 8).

Получим формулу, позволяющую вычислить радиус вписанной в тетраэдр SABC сферы. Для этого заметим, что объем пирамиды SABC равен сумме объемов пирамид OABC, OSCA, OSAB, OSCB, причем высота каждой из пирамид OABC, OSCA, OSAB, OSCB равна радиусу R вписанной в пирамиду SABC сферы. Если обозначить площади граней тетраэдра SABC символами

а объемы пирамид SABC, OABC, OSCA, OSAB, OSCB – символами

то справедливы следующие равенства:

где символом S_полн обозначена площадь полной поверхности пирамиды SABC.

Замечание 2. Если в пирамиду (необязательно треугольную) можно вписать сферу, то, рассуждая аналогично, можно получить следующую формулу для радиуса вписанной в пирамиду сферы

где символами V_пир и S_полн обозначены объем и площадь полной поверхности пирамиды соответственно.

[spoiler title=”источники:”]

http://interneturok.ru/lesson/geometry/10-klass/mnogogranniki/piramida-pravilnaya-piramida

http://www.resolventa.ru/spr/stereometry/sphere_piramide.htm

[/spoiler]

Как найти высоту в правильной пирамиде

Пирамида представляет собой многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а грани его представляют собой треугольники, обладающие общей вершиной. Для правильной пирамиды справедливо то же определение, но в основании ее лежит правильный многоугольник. Под высотой пирамиды подразумевается отрезок, который проведен от вершины пирамиды к основанию, и этот отрезок перпендикулярен ему. Найти высоту в правильной пирамиде очень легко.

Вам понадобится

• В зависимости от ситуации, знать объем пирамиды, площадь боковых граней пирамиды, длину ребра, длину диаметра многоугольника в основании.

Инструкция

Одним из способов найти высоту пирамиды, и не только правильной – это выразить ее через объем пирамиды. Формула, с помощью которой можно узнать ее объем, выглядит так:
V = (S*h)/3, где S – площадь всех боковых граней пирамиды в сумме, h – высота данной пирамиды.
Тогда из этой формулы можно вывести другую, для нахождения высоты пирамиды:
h = (3*V)/S
К примеру, известно, что площадь боковых граней пирамиды 84 см², а объем пирамиды равен 336 куб.см. Тогда найти высоту можно так:
h = (3*336)/84 = 12 см
Ответ: высота данной пирамиды 12 см

Рассматривая правильную пирамиду, в основании которой лежит правильный многоугольник, можно прийти к выводу, что треугольник, образованный высотой, половиной диагонали и одной из граней пирамиды, представляет из себя прямоугольный треугольник (например, это треугольник АEG на рисунке выше). Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (a² = b² + c²). В случае с правильной пирамидой, гипотенуза – это грань пирамиды, один из катетов – половина диагонали многоугольника в основании, а другой катет – высота пирамиды. В таком случае, зная длину грани и диагонали, можно вычислить и высоту. В качестве примера можно рассмотреть треугольник AEG:
AE² = EG²+GA²
Отсюда высоту пирамиды GA можно выразить так:
GA = √(AE²-EG²).

Чтобы было более понятно, как находить высоту правильной пирамиды, можно рассмотреть пример: в правильной пирамиде длина грани 12 см, длина диагонали многоугольника в основании – 8 см. Исходя из этих данных, требуется найти длину высоты этой пирамиды.Решение: 12² = 4² + c², где с – неизвестный катет (высота) данной пирамиды (прямоугольного треугольника).
144 = 16 + 128
Таким образом, высота данной пирамиды √128 или, приблизительно, 11.3 см

Источники:

• правильная четырехугольная пирамида найти высоту
• Решение заданий С2 ЕГЭ по математике

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

УПРАВЛЕНИЕ
ОБРАЗОВАНИЯ
АДМИНИСТРАЦИИ ГОРОДА ХАРЦЫЗСКА

МУНИЦИПАЛЬНАЯ
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

«ХАРЦЫЗСКАЯ
СРЕДНЯЯ ШКОЛА № 24»

Положение высоты в некоторых видах пирамид

11 класс

Мини – учебник по геометрии

______________________

______________________

           

                                                                                 
Составитель:

                               
                                                              учитель
математики

                                                                                   
Заставная Н.Н.

г.
Харцызск

2020г.

Период: Информационно- познавательный

Девиз: «Привет, проблема!»

Механизм: Анализ восприятия

Доминанта: Анализ, синтез, запоминание

Внимательно изучи таблицу «Положение высоты в
некоторых видах пирамид».  Определи, как ты воспринимаешь и владеешь полученной
информацией.

Полностью

Наполовину

Непонятно

ПОЛОЖЕНИЕ
ВЫСОТЫ В НЕКОТОРЫХ ВИДАХ ПИРАМИД

Если все боковые ребра пирамиды равны или наклонены под одним углом к плоскости основания, или образуют равные углы с высотой пирамиды, то основание высоты является центром окружности, описанной около основания (и обратно)
Если в пирамиде  : , или , или  и  плоскости , то  – центр описанной около основания окружности (). Верно и обратное:
Если в пирамиде :   плоскости , и  – центр окружности, описанной около основания, то   и , и
Для решения используют прямоугольный , в котором ,  – радиус описанной около основания окружности,  – угол наклона бокового ребра  к плоскости основания.
Если все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под одним и тем же углом, то основанием высоты пирамиды является центр окружности, вписанной в основание (и обратно)
Если в пирамиде :  грани , , ,  одинаково наклонены к основанию (то есть соответствующие линейные углы равны ) и  плоскости , то  – центр окружности, вписанной в основание ( – радиус вписанной окружности). Верно и обратное:
Если в пирамиде :   плоскости , и  – центр окружности, вписанной в основание, то , т.е. все боковые грани пирамиды наклонены к основанию пирамиды под одинаковым углом.
Для решения используют прямоугольный , в котором  ,  – радиус вписанной окружности (), – угол наклона боковой грани  к основанию ( – линейный угол двугранного угла при ребре ). Для такого вида пирамид справедлива формула: , где  – угол наклона всех боковых граней к основанию.
Если только две боковые грани пирамиды одинаково наклонены к основанию или общее боковое ребро этих граней образует равные углы со смежными с ними сторонами основания, то это общее боковое ребро проектируется на прямую, содержащую биссектрису угла между смежными с этим ребром сторонами основания (и обратно).
Если в пирамиде  грани  и   одинаково наклонены к основанию  (то есть ) или  и  плоскости ,  то  – биссектриса  (или прямая  содержит биссектрису ).
Если в пирамиде   плоскости и  – биссектриса (или прямая  содержит биссектрису ), то  (грани  и   одинаково наклонены к основанию ) и .
Если только одна боковая грань пирамиды перпендикулярна плоскости основания, то высотой пирамиды будет высота этой грани.
Если в пирамиде  плоскость  перпендикулярна  плоскости  и , то  – высота пирамиды ().
Если две смежные боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, то высотой пирамиды будет их общее боковое ребро.
Если плоскость  перпендикулярна плоскости  и плоскость  перпендикулярна плоскости , то  – высота пирамиды ().
Если две не смежные боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, то высотой пирамиды будет отрезок прямой, по которой пересекаются плоскости этих граней.
Если плоскость  перпендикулярна плоскости , плоскость  перпендикулярна плоскости  и плоскость  пересекает плоскость  по прямой  ( плоскости ), то  – высота пирамиды.

	Подумай, насколько самостоятельно ты сможешь решать предложенные задачи и в каких вопросах тебе необходимо обратится за помощью к учителю.

Прочитай, задумайся – это интересно!

Выдающийся математик – Архимед

Великий математик, механик и инженер древности Архимед родился в 287
г. до н. э. (предположительно) в Сиракузах – богатом  торговом городе Сицилии.
Отцом его был астроном Фидий, который привил сыну с детства любовь к математике,
механике и астрономии. В Александрии Египетской – научном и культурном центре
того времени – Архимед познакомился со знаменитыми александрийскими учеными,
астрономом Кононом, разносторонним  ученым Эратосфеном, с которыми потом переписывался
до конца жизни. В знаменитой Александрийской библиотеке Архимед познакомился с
трудами Демокрита, Евдокса и других замечательных греческих  геометров, о
которых он упоминал в своих сочинениях.

Уже при жизни Архимеда вокруг его имени создавались легенды, поводом
для которых служили его поразительные изобретения, производившие ошеломляющее
действие на современников.

Всем известен рассказ о том, как Архимед сумел определить, сделана ли
корона царя Гиерона из чистого золота. Благодаря  этому  случаю был открыт
основной закон гидростатики.

Другая легенда рассказывает, что построенный  Гиероном в подарок
египетскому царю Птолемею роскошный корабль  Сирокосия, никак не удавалось
спустить на воду. Архимед соорудил систему блоков, с помощью которых он смог проделать
это один, движением руки. Этот случай послужил поводом его крылатых слов 
..Дайте мне точку опоры, и я сдвину Землю.

Архимед прославился и другими механическими конструкциями. Изобретённый им бесконечный, или архимедов, винт для вычерпывания воды до сих пор применяется в Египте. Архимед построил планетарий, или, «небесную сферу», при движении которой можно было наблюдать движение пяти планет, восход Солнца и Луны, фазы и затмения Луны, исчезновение обоих тел за линией горизонта. Инженерный гений Архимеда с особой силой проявился во время осады Сиракуз римлянами в 212 г.до н.э. А ведь в это время ему было 75 лет. Изобретённые Архимедом механические машины помогали успешно бороться с римскими войсками, которые, в конце концов, отказались взять город штурмом и перешли к его осаде.

Знаменитый историк древности Полибий писал: «Такова чудесная сила
одного человека, одного дарования…римляне могли бы быстро овладеть городом, если
бы кто-либо изъял из среды сиракузян одного старца».

Архимед был убит римским солдатом после взятия Сиракуз вследствие
измены.

Плутарх сохранил нам яркий рассказ о его смерти: «К Архимеду подошел
солдат с мечом в руке, что бы убить его. Но Архимед настойчиво просил его подождать
одну минуту, чтобы задача, которой он занимался, не осталась не решенной;
солдат ,которому не было дела до его доказательства, пронзил его своим мечом»

Архимед был замечательным механиком – практиком и теоретиком, но
основным делом его жизни была математика. По словам Плутарха, Архимед был
просто одержим ею. Он забывал о пище, совершенно не заботился о себе. Его
работы относились почти ко всем областям математики того времени.

Так, он нашел все полуправильные многогранники, которые теперь носят
его имя, значительно развил учения о конических сечениях, дал геометрический
способ решения кубических уравнений вида , корни
которых он находил с помощью пересечения параболы и гиперболы Архимед провёл и
полное исследование этих уравнений.

Но главное его внимание было сосредоточено на трех типах проблем.

1.                 
Определение площадей криволинейных фигур или
объёмов тел. Греки до Архимеда умели находить площади прямолинейных фигур, площадь
круга, объём призмы, пирамиды цилиндра и конуса, но только Архимед нашел общий
метод, позволяющий найти любую площадь или объём. Идеи Архимеда легли в основу интегрального
исчисления. Сам Архимед определил с помощью своего метода площади и объёмы
почти всех тел, которые рассматривались в античной математике. Лучшим своим
достижением он считал определение поверхности и объёма шара. Он просил выбить
на своей могиле шар, вписанный в цилиндр.

2.                 
 Как определить касательную в любой точке кривой.
Древние греки умели находить касательную к окружности, эллипсу, гиперболе и
параболе. Первый общий метод решения и этой задачи был найден Архимедом. Этот
метод лёг в основу дифференциального исчисления.

3.                 
В математике, физике и астрономии очень важно уметь
находить наибольшие и наименьшие значения изменяющихся величин – их экстремумы.
Например, как среди цилиндров, вписанных шар, найти цилиндр, имеющий наибольшей
объём? Все такие задачи могут быть решены с помощью дифференциального
исчисления. Архимед первым увидел связь этих задач с проблемами определения
касательных и показал, как с их помощью можно решать задачи на экстремумы.

Огромное значение для развития математики имело вычисленное Архимедом
отношение длины окружности к диаметру, т.е. число ,с
большой степенью точности.

Идеи Архимеда почти на две тысячи лет опередили своё время. Только в XVII в. ученые смогли продолжить и развить труды великого греческого
математика. Только тогда было раскрыто их подлинное значение.

Лейбниц, один из творцов дифференциального и интегрального исчислений, писал „Внимательно читая сочинения Архимеда, перестаёшь
удивляться всем новейшим открытиям геометров”

Как Вы считаете, можем ли мы оценить Архимеда, только как учёного, зная его открытия?

Мог ли он совершить их, если бы не имел целью улучшение жизни граждан своего города?

Как Вы считаете, должен ли учёный иметь гражданскую позицию или
заниматься только наукой?

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Период: нормативно – регуляционный

Девиз: «Освоим изученное!»

Механизм: добывание, осмысление, нормирование

Доминанта: мышление, личностная адаптация

Тебе предстоит решить 5 задач. Выбери уровень
сложности:  достаточный (средний) или высокий. Отметь, насколько понятным было
решение каждой задачи, закрась ту часть круга, которая соответствует твоему
уровню понимания решения.

Думай Решай Записывай
*Достаточный уровень сложности	**Высокий уровень сложности
Задача 1
Основанием пирамиды является прямоугольник со стороною . Угол между этой стороной и диагональю прямоугольника равен. Найдите объем пирамиды, если каждое ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом .	Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, площадь которого равна , а угол при основании – . Все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания угол . Найдите объем пирамиды.
Задача 2
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом . найдите площадь полной поверхности пирамиды.	Основание пирамиды – равнобедренный треугольник с боковой стороной  и углом  при основании. Все двугранные углы при ребрах основания равны . Найдите объем пирамиды.
Задача 3
Основанием пирамиды является правильный треугольник. Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом . Найдите объем пирамиды, если ее высота равна 12 см.	Основание пирамиды – равнобедренный треугольник с боковой стороной  и углом  при основании. Боковая грань пирамиды, которая основание этого треугольник, перпендикулярна к плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом . Найдите объем пирамиды.
Задача 4
Основанием пирамиды  является прямоугольный треугольник , в котором  , , см. Боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом . Найдите длину ребра .	Основание пирамиды  – прямоугольник . Боковая грань  перпендикулярна плоскости основания, грани  и  наклонены к плоскости основания под углом , а грань  – под углом . Найдите объем пирамиды, если ее высота равна .
Задача 5
Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с гипотенузой  и острым углом . Две боковые грани, содержащие стороны этого угла, перпендикулярны к плоскости основания, а третья – наклонена к ней под углом . Определите боковую поверхность пирамиды.	В основании пирамиды лежит квадрат. Две боковые смежные грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом . Определите объем пирамиды, если наибольшее боковое ребро равно .

Подведи итог своей работы

Подчеркни, во сколько баллов ты оцениваешь свой
результат работы.

1    2    3    4    5