Прочитав данную статью, вы узнаете, как найти высоту конуса. Приведенный в ней материал поможет глубже разобраться в вопросе, а формулы окажутся весьма полезными в решении задач. В тексте разобраны все необходимые базовые понятия и свойства, которые обязательно пригодятся на практике.
Фундаментальная теория
Перед тем, как найти высоту конуса, необходимо разобраться с теорией.
Конус – фигура, которая плавно сужается от плоского основания (часто, хотя и необязательно, кругового) до точки, называемой вершиной.
Конус формируется набором отрезков, лучей или прямых, соединяющих общую точку с основанием. Последнее может ограничиваться не только окружностью, но и эллипсом, параболой или гиперболой.
Ось – это прямая (если таковая имеется), вокруг которой фигура имеет круговую симметрию. Если угол между осью и основой составляет девяносто градусов, то конус принято называть прямым. Именно такая вариация чаще всего встречается в задачах.
Если в основе лежит многоугольник, то объект является пирамидой.
Отрезок, соединяющий вершину и линию, ограничивающую основание, называют образующей.
Как найти высоту конуса
Подойдем к вопросу с другой стороны. Для начала используем объем конуса. Чтобы его найти нужно вычислить произведение высоты с третьей частью площади.
V = 1/3 × S × h.
Очевидно, что из этого можно получить формулу высоты конуса. Достаточно лишь сделать правильные алгебраические преобразования. Разделим обе части равенства на S и умножим на тройку. Получим:
h = 3 × V × 1/S.
Теперь вы знаете, как найти высоту конуса. Однако для решения задач вам могут понадобиться и другие знания.
Важные формулы и свойства
Приведенный ниже материал однозначно поможет вам в решении конкретных задач.
Центр массы тела находится на четвертой части оси, начиная от основы.
В проективной геометрии цилиндр – это просто конус, вершина которого находится на бесконечности.
Следующие свойства работают только для прямого кругового конуса.
- Даны радиус основания r и высота h, тогда формула для площади будет выглядеть так: П × r2. Соответственно изменится и окончательное уравнение. V = 1/3 × П × r2 × h.
- Вычислить площадь боковой поверхности можно перемножив число “пи”, радиус и длину образующей. S = П × r × l.
- Пересечение произвольной плоскости с фигурой является одним из конических сечений.
Часто встречаются задачи, где необходимо использовать формулу для объема усеченного конуса. Она выводится из обычной и имеет такой вид:
V = 1/3 × П × h × (R2 + Rr + r2), где: r -радиус нижнего основания, R – верхнего.
Всего этого будет вполне достаточно для решения разнообразнейших примеров. Разве что могут понадобиться знания, не связанные с этой темой, например, свойства углов, теорема Пифагора и другое.
|
Длина отрезка линии опушенной перпендикулярно плоскости основания из вершины конуса является его высотой. Найти не сложно. Для этого нужно знать величину конуса. Если конус велик и внутри его полость, то достаточно опустить из вершины нитку с грузом до основания и измерить длину нитки. Если конус мал и умещается в руках, то достаточно измерить боковую сторону и ширину основания. Половина основания – это один катет. Боковая сторона гипотенуза. А высотой окажется другой катет воображаемого прямоугольного треугольника. К сожалению тут нарисовать не где. Далее, зная значения катета и гипотенузы по теореме Пифагора находим другой катет – высоту конуса. Если конус не симметричный и вершина сдвинута относительно середины, то для расчетов нужно знать угол между плоскостью основания и боковой стороной в месте их измерения. Далее геометрия… Формулы есть в любом справочнике. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Ксарфакс 5 лет назад Высота конусаЭто перпендикуляр, который опущен из вершины конуса на основание. Чтобы найти высоту конуса можно воспользоваться несколькими способами. 1) Если известно, чему равен объём конуса, то высоту можно вычислить по формуле: V = 1/3 Sосн * h -> h = 3V / Sосн. При этом для нахождения площади основания (площади круга) нам нужно знать радиус. 2) Образующая конуса, высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник. Поэтому если известна образующая (гипотенуза) и радиус (катет), то высоту можно выразить с помощью теоремы Пифагора. a² = c² – b², a = √(c² – b²). a – высота, b – радиус, c – образующая. Например: Радиус основания = 15 см, длина образующей – 17 см. Высота конуса будет равна √(17² – 15²) = √64 = 8 см.
-Irinka- 4 года назад Для того, чтобы найти высоту конуса, необходимо иметь для решения какие-то вводные. Допустим, что мы знаем длина образующей конуса, она равна 10 см. и диаметр его основания равный 12 см. Находим радиус конуса R=D/2= 6 см. Вот наш конус, чертим нужные нам линии.
Используем теорему Пифагора, получаем h²=a²-R², где а – длина образующей конуса (10 см), h искомая высота. h² = 100 – 36 = 64 h = √64 = 8 сантиметров
Alexgroovy 5 лет назад Для поиска высоты конуса нужны входные данные. В качестве таких данных выступает радиус (или диаметр основания) и длина образующей конуса.
На рисунке длина образующей обозначена буквой l, а диаметр основания как d. Например, по условию задачи l = 100, d = 56. Решение задачи будет следующим:
88SkyWalker88 5 лет назад Начертим конус, проведем его высоту и основание:
Нам известна величина l – это образующая. Она равна 16. Угол между основанием и образующий будет равняться 30 градусам. У нас получился прямоугольный треугольник, в котором образующая (l) – это гипотенуза, а высота (h), которую нам необходимо найти, это катет. Так как нам известен угол, мы можем найти его синус. sin 30° = ½ Известно, что синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Следовательно, можно составить такую формулу: sin 30° = h/l = ½ Из этой формулы мы выводим h, высоту конуса. Получается формула и решение: h = sin 30°*l = ½ * 16 = 8.
Чосик более года назад Зависит от данных, которые мы получили изначально. Для того, чтобы узнать высоту, необходимо знать радиус и апофему. В таком случае мы получим прямоугольный треугольник, где высота и радиус играют роль катетов, а апофема – гипотенузы.
Если же мы знает площадь основания и объем конуса, то высота равна h = 3V/S.
владсандрович более года назад Высоту конуса можно найти разными формулами, тут все зависит от того, что вам известно. В частности если известны площадь его основания и объем самого конуса, то тогда все просто, так как данные значения надо подставить под формулу h = 3V/S и просто посчитать.
JuliGor 9 лет назад Если известны объем и площадь конуса, то высоту легко найти, так как объем конуса равен одной трети площади основания умноженная на высоту конуса. Также высоту конуса можно найти по теореме Пифагора, но это по-моему гораздо сложнее)
moreljuba 5 лет назад Высоту конуса мы можем выразить из формулы, по которой мы определяем объём конуса:
Так вот высота конуса из данной формулы будет равна: Высота конуса = 3 * объём конуса / пи * радиус основания в квадрате. Знаете ответ? |
Элементы конуса
Определение. Вершина конуса – это точка (K), из которой исходят лучи.
Определение. Основание конуса – это плоскость, образованная в результате пересечения плоской поверхности и всех лучей, исходящих из вершины конуса. У конуса могут быть такие основы, как круг, эллипс, гипербола и парабола.
Определение. Образующей конуса (L) называется любой отрезок, который соединяет вершину конуса с границей основания конуса. Образующая есть отрезок луча, выходящего из вершины конуса.
Формула. Длина образующей (L) прямого кругового конуса через радиус R и высоту H (через теорему Пифагора):
L2 = R2 + H2
Определение. Направляющая конуса – это кривая, которая описывает контур основания конуса.
Определение. Боковая поверхность конуса – это совокупность всех образующих конуса. То есть, поверхность, которая образуется движением образующей по направляющей конуса.
Определение. Поверхность конуса состоит из боковой поверхности и основания конуса.
Определение. Высота конуса (H) – это отрезок, который выходит из вершины конуса и перпендикулярный к его основанию.
Определение. Ось конуса (a) – это прямая, проходящая через вершину конуса и центр основания конуса.
Определение. Конусность (С) конуса – это отношение диаметра основания конуса к его высоте. В случае усеченного конуса – это отношение разности диаметров поперечных сечений D и d усеченного конуса к расстоянию между ними:
где C – конусность, D – диаметр основания, d – диаметр меньшего основания и h – расстояние между основаниями.
Конусность характеризует остроту конуса, то есть, угол наклона образующей к основанию конуса. Чем больше конусность, тем острее угол наклона. угол конуса α будет:
где R – радиус основы, а H – высота конуса.
Определение. Осевое сечение конуса – это сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса. Такое сечение образует равнобедренный треугольник, у которого стороны образованы образующими, а основание треугольника – это диаметр основания конуса.
Определение. Касательная плоскость к конусу – это плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярна к осевому сечению конуса.
Определение. Конус, что опирается на круг, эллипс, гиперболу или параболу называется соответственно круговым, эллиптическим, гиперболическим или параболическим конусом (последние два имеют бесконечный объем).
Определение. Прямой конус – это конус у которого ось перпендикулярна основе. У такого конуса ось совпадает с высотой, а все образующие равны между собой.
Формула. Объём кругового конуса:
где R – радиус основы, а H – высота конуса.
Формула. Площадь боковой поверхности (Sb) прямого конуса через радиус R и длину образующей L:
Sb = πRL
Формула. Общая площадь поверхности (Sp) прямого кругового конуса через радиус R и длину образующей L:
Sp = πRL + πR2
Определение. Косой (наклонный) конус – это конус у которого ось не перпендикулярна основе. У такого конуса ось не совпадает с высотой.
Формула. Объём любого конуса:
где S – площадь основы, а H – высота конуса.
Определение. Усеченный конус – это часть конуса, которая находится между основанием конуса и плоскостью сечения, параллельная основе.
Формула. Объём усеченного конуса:
где S1 и S2 – площади меньшей и большей основы соответственно, а H и h – расстояние от вершины конуса до центра нижней и верхней основы соответственно.
Уравнение конуса
1. Уравнение прямого кругового конуса в декартовой системе координат с координатами (x, y, z):
| x2 | + | y2 | – | z2 | = 0 |
| a2 | a2 | c2 |
2. Уравнение прямого эллиптического конуса в декартовой системе координат с координатами (x, y, z):
| x2 | + | y2 | = | z2 |
| a2 | b2 | c2 |
Основные свойства кругового конуса
1. Все образующие прямого кругового конуса равны между собой.
2. При вращении прямоугольного треугольника вокруг своего катета на 360 ° образуется прямой круговой конус.
3. При вращении равнобедренного треугольника вокруг своей оси на 180 ° образуется прямой круговой конус.
4. В месте пересечения конуса плоскостью, параллельной основанию конуса, образуется круг. (см. Срезанный конус)
5. Если при пересечении плоскость не параллельна основе конуса и не пересекается с основанием, то в месте пересечения образуется эллипс (рис. 3).
6. Если плоскость сечения проходит через основание, то в месте пересечения образуется парабола (рис. 4).
7. Если плоскость сечения проходит через вершину, то в месте пересечения образуется равнобедренный треугольник (см. Осевое сечение).
8. Центр тяжести любого конуса находится на одной четвертой высоты от центра основы.
Высота конуса опускается из его вершины ровно в середину основания, являющуюся по совместительству центром окружности, представляющей основание конуса. Для того чтобы найти высоту конуса, необходимо соединить центр окружности с апофемой конуса. Проведенный радиус создаст прямоугольный треугольник внутри конуса, в котором высота и радиус основания будут катетами, а апофема конуса – гипотенузой. Из теоремы Пифагора, высота конуса может быть найдена как квадратный корень из разности квадрата радиуса от квадрата апофемы:
Конусом (прямым круговым конусом) называется тело, состоящее из круга (основания конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (вершины конуса), и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.
Конус является телом вращения.
Конус
Рис.1
Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса.
Конус — тело, которое ограничено конической поверхностью и плоскостью, на которой лежат концы образующих конической поверхности.
Коническая поверхность — поверхность, которая образуется движением отрезка, один из концов которого неподвижен, а другой перемещается на плоскости вдоль некоторой кривой. Отрезки называют образующими конической поверхности, а кривую – направляющей. Неподвижная точка – вершина конической поверхности.
Боковая поверхность конуса — часть конической поверхности, ограниченная плоскостью.
Основание конуса — часть плоскости, отсекаемая боковой поверхностью конуса.
Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания (См.Рис.1). В противном случае, конус называется наклонным. В школьном курсе изучается прямой круговой конус.
Круговой конус — конус, у которого в основании круг.
Прямой круговой конус (просто конус) — круговой конус, у которого прямая, соединяющая вершину конуса с центром круга, лежащего в основании, перпендикулярна плоскости основания.
Ось конуса — прямая, проходящая через вершину конуса и центр основания конуса.
Высота конуса — отрезок оси конуса, соединяющий вершину конуса с центром основания.
Конус можно рассматривать как тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его катет.
Образующие конуса совпадают с образующими конической поверхности.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением. Плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса.
См.Рис.2.
Рис.2
Развёртка боковой поверхности конуса — круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.
Площадь боковой поверхности (круглого) конуса равна произведению половины длины окружности основания (C) на образующую (l):
$$S_{бок}=frac{1}{2}cdot Cl=picdot rl$$
, где r – радиус основания, l – длина образующей.
Площадь полной поверхности конуса — сумма площадей основания конуса и его боковой поверхности, которая записывается формулой:
$$S_{полн}=picdot r(l+r)$$
, где r — радиус основания, l — длина образующей.
Объем всякого конуса равен трети произведения площади основания (S) на высоту (h):
$$V=frac{1}{3}cdot Sh$$
Объем круглого конуса:
$$V=frac{1}{3}cdot Sh=frac{1}{3}cdotpi r^2 cdot h$$
Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, параллельным плоскости основания.
См.Рис.3.
Усечённый конус
Рис.3
Формулы для усечённого конуса (См.Рис.4):
$$ S_{бок}=picdot lcdot (R+r)
\ S_{полн}=S_{бок}+pi(R^2+r^2)
\ V=frac{1}{3}picdot h(R^2+Rcdot r+r^2)
$$
Усечённый конус
Рис.4
Пример 1. Высота конуса равна 4 , а длина образующей – 5. Найдите диаметр основания конуса.
Видео-решение.
Высота конуса равна 4 , а длина образующей – 5. Найдите диаметр основания конуса.
