Как найти высоту в равнобедренном треугольнике формула

Как посчитать высоту равнобедренного треугольника

  1. Главная
  2. /
  3. Математика
  4. /
  5. Геометрия
  6. /
  7. Как посчитать высоту равнобедренного треугольника

Чтобы посчитать чему равна высота равнобедренного треугольника просто воспользуйтесь нашим удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

равнобедренный треугольник

Чтобы вычислить высоту равнобедренного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

  • длину двух равных сторон (a) и длину основания (b)
  • длину двух равных сторон (a) и угол α
  • длину двух равных сторон (a) и угол β
  • длину основания (b) и угол α
  • длину основания (b) и угол β

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Если известны длина стороны а и основания b

Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина сторон

a =

, а длина основания

b =?

Ответ:

h =

0

Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и длина основания b?

Формула

h = a2 – (b/2)2

Пример

Если сторона a = 10 см, а сторона b = 5 см, то:

h = 102 – (5/2)2 = 100 – 6.25 ≈ 9.68 см

Если известны длина стороны а и угол α

Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина сторон

a =

, а угол

α =?

Ответ:

h =

0

Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол α?

Формула

h = a⋅sin α

Пример

Если сторона a = 5 см, а ∠α = 45°, то:

h = 5⋅sin 45 ≈ 3,53 см

Если известны длина стороны а и угол β

Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина сторон

a =

, а угол

β =?

Ответ:

h =

0

Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол β?

Формула

h = a⋅cos β/2

Пример

Если сторона a = 5 см, а ∠β = 30°, то:

h = 5⋅cos 30/2 ≈ 4.83 см

Если известны длина стороны b и угол α

Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина основания

b =

, а угол

α =?

Ответ:

h =

0

Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны b и угол α?

Формула

h = b/2tg α

Пример

Если сторона b = 20 см, а ∠α = 35°, то:

h = 20/2tg 35 = 10⋅0.7 = 7 см

Если известны длина стороны b и угол β

Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина основания

b =

, а угол

β =?

Ответ:

h =

0

Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны b и угол β?

Формула

h = b/2ctg β/2

Пример

Если сторона b = 15 см, а ∠β = 40°, то:

h = 15/2ctg 40/2 = 7.5⋅2.7474 ≈ 20.6 см

См. также

Высота равнобедренного треугольника, формула

Высота равнобедренного треугольника из теоремы Пифагора, формула

[
h^2+Big(frac{b}{2}Big)^2=a^2 \
h^2=a^2-Big(frac{b}{2}Big)^2
]

[
h=sqrt{a^2-frac{b^2}{4}}
]

Высота равнобедренного треугольника по формуле Герона, формула

[
h = frac{ 2 sqrt{p(p-a)(p-b)(p-a)}}{b}
]

где

[
p=frac{1}{2}(a+b+a)=a+frac{b}{2}
]

после подстановки коэффициента p в формулу получим

[
h = frac{ 2 sqrt{(a+frac{b}{2})(a+frac{b}{2}-a)(a+frac{b}{2}-b)(a+frac{b}{2}-a)}}{b}
]

[
h = frac{ 2 sqrt{(a+frac{b}{2})(frac{b}{2})(a-frac{b}{2})(frac{b}{2})}}{b}
]

по формулам сокращенного умножения, разность квадратов получим

[
Big(a+frac{b}{2}Big)Big(a-frac{b}{2}Big)=a^2-Big(frac{b}{2}Big)^2
]

далее вносим под корень 2 и знаменатель b

[
h = sqrt{frac{2^2(a^2-(frac{b}{2})^2)(frac{b}{2})^2}{b^2}}
]

после сокращений получим

[
h=sqrt{a^2-frac{b^2}{4}}
]

Вычислить, найти высоту равнобедренного треугольника по формуле (9)

Высота равнобедренного треугольника

стр. 232

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

  • Нахождение высоты треугольника

    • Высота в разностороннем треугольнике

    • Высота в равнобедренном треугольнике

    • Высота в прямоугольном треугольнике

    • Высота в равностороннем треугольнике

  • Примеры задач

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

Высота в разностороннем треугольнике ABC

1. Через площадь и длину стороны

Формула для нахождения высоты треугольника через его площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

Формула для нахождения высоты треугольника через длины его сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

Формула для расчета полупериметра треугольника

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

Формула для нахождения высоты треугольника через длину стороны и синуса угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

Формула для нахождения высоты треугольника через длины сторон и радиус описанной окружности

Описанная вокруг разностороннего треугольника окружность

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты ha, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Формула для нахождения высоты к основанию в равнобедренном треугольнике

Опущенная на основание равнобедренного треугольника высота

Высота в прямоугольном треугольнике

Проведенная к гипотенузе высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

Формула для нахождения высоты к гипотенузе в прямоугольном треугольнике

2. Через стороны треугольника

Формула для нахождения высоты к гипотенузе в прямоугольном треугольнике через длины его сторон

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Формула для нахождения высоты в равностороннем треугольнике

Высота в равностороннем треугольнике

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Нахождение высоты треугольника через длину стороны и синус прилежащего угла (пример)

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Нахождение основания равнобедренного треугольника через высоту и боковую сторону (пример)

Равнобедренным треугольником называется такой треугольник, у которого две из трех сторон равны между собой. Равные стороны считаются боковыми сторонами а, а третья сторона в называется основанием равнобедренного треугольника.

Соответственно, в таком треугольнике можно провести три высоты, две из которых будут равны между собой, аналогично сторонам – это высоты, опущенные на боковую сторону треугольника а, а третья высота опускается на основание. Высота треугольника проводится из угла треугольника к противолежащей стороне под прямым углом. Большинство задач с высотой треугольника решаются через прямоугольные треугольники, которые она образует.

Рассмотрим каждый случай по отдельности.

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, обладает рядом индивидуальных свойств, присущих только ей и не распространяющихся на другие высоты в таком треугольнике. В частности, высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой, проведенным к основанию, следовательно, она не только образует прямой угол с основанием, но и делит его на две равные части, как медиана, и аналогично делит угол пополам, как биссектриса. В итоге, высота является своеобразной осью симметрии треугольника и разделяет его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника. В таком треугольнике высота является катетом, и чтобы найти ее длину необходимо соотнести стороны равнобедренного треугольника со сторонами прямоугольного. Боковая сторона равнобедренного треугольника становится гипотенузой, а чтобы определить второй катет, основание равнобедренного треугольника нужно разделить пополам, по свойству медианы.

Длина высоты равнобедренного треугольника равна по теореме Пифагора квадратному корню из суммы квадрата боковой стороны равнобедренного треугольника и четверти квадрата основания равнобедренного треугольника:

Второй случай, когда условиями задачи нужно найти высоту, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника, раскрывается проще всего через площадь треугольника.

Площадь любого треугольника можно найти несколькими способами – например, через три стороны треугольника по формуле Герона, или через высоту, умножив ее на половину стороны, на которую она опущена. И тем, и другим способом получаются одинаковые значения площади, следовательно обе эти формулы можно друг к другу приравнять и отсюда вывести окончательную формулу высоты, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника.

Формула Герона для равнобедренного треугольника будет иметь несколько упрощенный вид за счет того, что значения боковых сторон повторяются:

Площадь равнобедренного треугольника через высоту, опущенную к боковой стороне

Эту же формулу можно применять для нахождения любой высоты в равнобедренном треугольнике, если поменять в формуле соответствующие стороны местами.

Формула высоты равнобедренного треугольника через боковую сторону и угол при основании α: h=a sin⁡α

Формула через боковую сторону и угол напротив основания β:

Формула через основание и угол при нем α:

через основание и угол противолежащий ему β:

Высота равнобедренного треугольника


Высота равнобедренного треугольника

4.4

Средняя оценка: 4.4

Всего получено оценок: 96.

4.4

Средняя оценка: 4.4

Всего получено оценок: 96.

Из-за двух равных сторон, равнобедренный треугольник обладает рядом специфических свойств, за которые его очень любят составители задач. Рассмотрим, чем же выделяется высота равнобедренного треугольника и как ее лучше найти.

Материал подготовлен совместно с учителем первой категории Камушковой Натальей Владимировной.

Опыт работы учителем математики – 27 лет.

Определение

В общем случае, высота – это перпендикуляр, опущенный из вершины фигуры на противолежащую сторону. В равнобедренном треугольнике под высотой обычно подразумевают высоту, опущенную на основание.

Если по условию задачи нужно найти значение высоты равнобедренного треугольника без уточнений, какую именно требуется найти, то имеется в виду высота, опущенная на основание.

Необходимые теоремы

Для решения задач на определение высоты равнобедренного треугольника, нужно знать теорему Пифагора и свойство высоты равнобедренного треугольника.

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Свойство: в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Иллюстрация свойства

Рис. 1. Иллюстрация свойства.

Из теоремы и свойства следует основная формула высоты равнобедренного треугольника. Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с высотой АН и основанием ВС. Тогда треугольник АВН является прямоугольным. Запишем значение высоты через теорему Пифагора, так как в треугольнике АВН высота АН является катетом.

$$АН=sqrt{АВ^2-BH^2}=sqrt{AB^2-({BCover{2}})^2}$$

$$ВН={1over2}*ВС$$, так как по свойству высоты равнобедренного треугольника АН является медианой. Это и есть формула высоты равнобедренного треугольника.

Рис. 2. Рисунок к задаче.

Задача

Решим задачу, где будет задействована не только высота, проведенная к основанию, но и другая высота. В равнобедренном треугольнике, как и в любом другом, их три. В задаче также будет применен способ нахождения высоты, который можно использовать для любого треугольника, а не только для равнобедренного.

В Равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведены высоты АН и ВР. Синус угла АСВ равен 0,6, а боковая сторона 5. Найти высоту ВР.

Рис. 3. Рисунок к задаче.

Для начала, необходимо найти значение высоты, проведенной к основанию и основание. Для этого обратим внимание на прямоугольный треугольник АСН. Воспользуемся определением синуса.

Синус угла это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Нам известно значение синуса, значит:

$${АНover{АС}}=0,6$$ – из этого отношения выразим значение АН.

$$АН=0,6 *АС=0,6*5=3$$

Через теорему Пифагора найдем значение НС:

$$НС=sqrt{АС^2-AH^2}=sqrt{25-9}=sqrt{16}=4$$

Тогда основание равно:

$$ВС=ВН+НС=2*НС=2*4=8$$

Теперь найдем площадь треугольника:

$$S={1over2}*АН*ВС={1over2}*3*8=12$$

С другой стороны площадь можно найти и через высоту ВР.

$$S={1over2}*ВР*АС$$ – так как ВР это высота, проведенная к стороне АС.

Значит верно равенство:

$${1over2} *АН*ВС={1over2}*ВР*АС$$

$$АН*ВС=ВР*АС$$

$$ВР={{АН*ВС}over{АС}}={{3*8}over5}={24over5}=4,8$$

Заключение

Что мы узнали?

Мы вывели формулу высоты прямоугольного треугольника. Определили, что высота в прямоугольном треугольнике может находиться любым способом, связанным с произвольным треугольником и решили интересную задачу на нахождение высоты треугольника.

Тест по теме

Доска почёта

Доска почёта

Чтобы попасть сюда – пройдите тест.

    Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка статьи

4.4

Средняя оценка: 4.4

Всего получено оценок: 96.


А какая ваша оценка?

Добавить комментарий