Высота тетраэдра, формула
 |
Высота тетраэдра — равна корню квадратному из двух третьих, помноженному на длину ребра тетраэдра [ h = sqrt{frac{2}{3}} a ] (h – высота тетраэдра, a – ребро тетраэдра) |
Вывод формулы высоты тетраэдра
Чтобы получить формулу высоты тетраэдра необходимо произвести дополнительные геометрические построения. На рисунке
красные линии CF и FS — это высоты соответствующих правильных треугольников ABC и ABS:
[CF = FS = frac{sqrt{3}}{2}a ; CS = a ]
Теперь в треугольнике CFS известны все стороны. Высота тетраэдра, как видно из геометрических построений — это высота треугольника CFS. Подставив стороны треугольника в формулу и произведя простые сокращения (используем формулу разность квадратов) получим формулу (1).
[p = frac{1}{2}(a + afrac{sqrt{3}}{2} + afrac{sqrt{3}}{2}) ]
[p = frac{1}{2} a (1 + sqrt{3}) ]
[h = 2 frac{ sqrt{p(p-a)(p-(afrac{sqrt{3}}{2}))(p-(afrac{sqrt{3}}{2}))}}{afrac{sqrt{3}}{2}}]
[h = 2 frac{sqrt{(frac{a}{2})^4 (sqrt{3}+1) (sqrt{3}-1)}}{afrac{sqrt{3}}{2}} = sqrt{frac{2}{3}} a ]
Вычислить, найти высоту тетраэдра по формуле(1)
Высота тетраэдра |
стр. 283 |
|---|
Как найти высоту тетраэдра формула
Высота тетраэдра — равна корню квадратному из двух третих, помноженному на длину ребра тетраэдра
(h – высота тетраэдра, a – ребро тетраэдра)
Вывод формулы высоты тетраэдра
Чтобы получить формулу высоты тетраэдра необходимо произвести дополнительные геометрические построения. На рисунке красные линии CF и FS — это высоты соответствующих правильных треугольников ABC и ABS:
Теперь в треугольнике CFS известны все стороны. Высота тетраэдра, как видно из геометрических построений — это высота треугольника CFS. Подставив стороны треугольника в формулу и произведя простые сокращения (используем формулу разность квадратов) получим формулу (1).
Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC . В результате получим треугольники ADC , CDB , ABD . Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками ABC , ADC , CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC . 
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.
Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра
Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.
Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.
Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием, а оставшиеся три грани боковыми гранями.
Но также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.
Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.
Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.
Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.
Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле
- S – площадь любой грани,
- H – высота, опущенная на эту грань
Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра
Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.
Свойства правильного тетраэдра:
- Все грани равны.
- Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60°
- Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°
- Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).
Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a . DH – его высота.
Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD .
Высота BM равна BM и равна 
Рассмотрим треугольник BDM , где DH , являющаяся высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.
Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой
, где
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)= 
Подставим эти значения в формулу высоты. Получим
Вынесем 1/2a. Получим
Применим формулу разность квадратов
После небольших преобразований получим
Объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле 
,
где 
,
Подставив эти значения, получим 
Таким образом формула объема для правильного тетраэдра
где a –ребро тетраэдра
Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин
Пусть нам даны координаты вершин тетраэдра
Из вершины 
проведем векторы 
, 
, 
.
Для нахождения координат каждого из этих векторов вычтем из координаты конца соответствующую координату начала. Получим
Геометрических смысл смешенного произведения трех векторов заключается в следующем – смешенное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Так как тетраэдр есть пирамида с треугольным основанием, а объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда, то тогда имеет смысл следующая формула
Свойства
Зная высоту тетраэдра, можно вычислить его ребро, перевернув формулу так, чтобы ребро было равно корню из трех вторых, умноженному на высоту. a=√(3/2) h
Выразив таким образом ребро тетраэдра через его высоту, можно найти периметр тетраэдра, то есть длину всех его ребер, площадь одной грани и площадь полной поверхности тетраэдра. Периметр тетраэдра будет равен шести длинам его ребер, площадь одной грани – ребру в квадрате, умноженному на корень из трех, деленный на четыре, а площадь полной поверхности – четырем площадям одной грани. P=6a=6√(3/2) h S_1=(√3 a^2)/4=(3√3 h^2)/8 S_(п.п.)=4S_1=(3√3 h^2)/2
Через высоту, подставленную вместо ребра в определенном соотношении можно найти соответственно и радиусы вписанной и описанной окружностей в основание тетраэдра. r=h/(2√2) R=h/√2
Апофема тетраэдра проходит из вершины к противоположной стороне грани под прямым углом и рассчитать ее можно как из прямоугольного треугольника с боковым ребром по той же грани, так и из прямоугольного треугольника во внутреннем пространстве тетраэдра с высотой. l=3h/(2√2)
Чтобы вычислить объем тетраэдра, необходимо возвести в куб ребро и разделить полученное значение на шесть корней из двух, либо подставить вместо ребра корень из трех вторых, умноженный на высоту и преобразовать формулу объема для высоты. V=(√3 h^3)/8
В тетраэдр можно вписать сферу или описать сферу около него, тогда, зная высоту, чтобы вычислить радиусы вписанной и описанной сфер, необходимо воспользоваться следующими, уже готовыми формулами. (рис.60.2, 60.3) r_1=h/4 R_1=3h/4
Высоту тетраэдра через векторы
Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!
Контакты
Администратор, решение задач
Роман
Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym
Решение задач
Андрей
facebook:
dniprovets25
Объем тетраэдра
Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC . В результате получим треугольники ADC , CDB , ABD . Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками ABC , ADC , CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC . Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.
Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра
Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.
Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.
Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием, а оставшиеся три грани боковыми гранями.
Но также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.
Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.
Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.
Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.
Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле
- S – площадь любой грани,
- H – высота, опущенная на эту грань
Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра
Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.
Свойства правильного тетраэдра:
- Все грани равны.
- Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60°
- Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°
- Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).
Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a . DH – его высота.
Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD .
Высота BM равна BM и равна
Рассмотрим треугольник BDM , где DH , являющаяся высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.
Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой
, где
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Подставим эти значения в формулу высоты. Получим
Вынесем 1/2a. Получим
Применим формулу разность квадратов
После небольших преобразований получим
Объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле ,
где ,
Подставив эти значения, получим
Таким образом формула объема для правильного тетраэдра
где a –ребро тетраэдра
Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин
Пусть нам даны координаты вершин тетраэдра
Из вершины проведем векторы , , .
Для нахождения координат каждого из этих векторов вычтем из координаты конца соответствующую координату начала. Получим
Геометрических смысл смешенного произведения трех векторов заключается в следующем – смешенное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Так как тетраэдр есть пирамида с треугольным основанием, а объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда, то тогда имеет смысл следующая формула
[spoiler title=”источники:”]
http://yukhym.com/ru/vektory/tetraedr-treugolnaya-piramida-v-prostranstve.html
http://2mb.ru/matematika/geometriya/obem-tetraedra/
[/spoiler]
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 4 декабря 2019 года; проверки требуют 8 правок.
| Правильный тетраэдр | |||
|---|---|---|---|
 |
|||
 |
|||
| Тип | правильный многогранник | ||
| Комбинаторика | |||
| Элементы |
|
||
| Грани | правильные треугольники | ||
| Конфигурация вершины | 3.3.3 | ||
| Двойственный многогранник | тоже правильный тетраэдр | ||
| Классификация | |||
| Символ Шлефли | {3,3} | ||
| Группа симметрии |
 |
||
| Количественные данные | |||
| Длина ребра |
 |
||
| Площадь поверхности |
 |
||
| Объём |
 |
||
| Телесный угол при вершине |
 ср |
Тетраэдр называется правильным, если все его грани — равносторонние треугольники.
У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны.
Свойства правильного тетраэдра[править | править код]
- Каждая его вершина является вершиной трех равносторонних треугольников. А значит, сумма плоских углов при каждой вершине будет равна
. - В правильный тетраэдр можно вписать октаэдр, притом четыре из восьми граней октаэдра будут совмещены с серединными треугольниками четырёх граней тетраэдра, а все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра.
- Правильный тетраэдр можно вписать в куб, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба, а все шесть рёбер тетраэдра будут совмещены с диагоналями граней куба.
Интересные факты[править | править код]
Середины граней правильного тетраэдра также образуют правильный тетраэдр.
Соотношения:
- рёбер и высот правильных тетрадров, радиусов переписанных, описанных и писанных сфер соответственно равны ;
- площадей поверхности равно ;
- объёмов равно .
Autodualité du tétraèdre régulier.
Примечания[править | править код]
- ↑ 1 2 3 4 5 Coxeter, 1948.
Литература[править | править код]
- Harold Scott MacDonald Coxeter. Table I(i) // Regular Polytopes. — Methuen and Co., 1948.
Данный сайт находится в режиме тестирования, обо всех выявленных проблемах Вы можете сообщить на почту
Формулы тетраэдра
Для расчёта всех основных параметров тетраэдра воспользуйтесь калькулятором.
Свойства тетраэдра
- Параллельные плоскости, которые проходят через два скрещивающихся ребра, образуют описанный параллелепипед
- Отличительным свойством тетраэдра является то, что медианы и бимедианы фигуры встречаются в одной точке. Важно, что последняя делит медианы в отношении 3:1, а бимедианы – пополам
- Плоскость разделяет тетраэдр на две равные по объему части, если проходит через середину двух скрещивающихся ребер
Виды тетраэдров
-
Правильный тетраэдр – это такая правильная треугольная пирамида, каждая из граней которой оказывается равносторонним треугольником.
У правильного тетраэдра каждый двугранный угол при рёбрах и каждый трёхгранный угол при вершинах имеют одинаковую величину - Равногранный тетраэдр – это такой тетраэдр, у которого все грани треугольники равны
- Ортоцентрический тетраэдр – это такой тетраэдр, у которого каждая высота, опущенная из вершины на противоположную грань, пересекается с остальными высотами в одной точке
- Прямоугольный тетраэдр – это такой тетраэдр, у которого каждое ребро, прилежащее к одной из вершин, перпендикулярно другим ребрам, прилежащим к этой же вершине
-
Каркасный тетраэдр – это такой тетраэдр, который соответствует следующим условиям:
- есть сфера, которая касается каждого ребра
- суммы длин ребер, что скрещиваются равны
- суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны
- окружности, которые вписаны в грани, попарно касаются
- каждый четырехугольник, образующийся на развертке тетраэдра — описанный
- перпендикуляры, поставленные к граням из центров окружностей, в них вписанных, пересекаются в одной точке
- Инцентрический тетраэдр – это такой тетраэдр, у которого отрезки, которые соединяют вершины тетраэдра с центрами окружностей, которые вписаны в противоположные грани, пересекаются в одной точке
Формула высоты тетраэдра
$$
AO = {sqrt{2 over 3}} * a
$$
Формула объёма тетраэдра
$$
V = {sqrt{2} over 12} * a^3
$$
Основные формулы для правильного тетраэдра
-
Формула площади
$$
S = a^2 * sqrt{3}
$$ -
Радиус вписанной сферы, Rвпис
$$
R_{впис} = a * {sqrt{6} over 12}
$$ -
Радиус описанной сферы, Rопис
$$
R_{опис} = a * {sqrt{6} over 4}
$$
Высота правильной треугольной пирамиды.
Основание правильной пирамиды представляет собой правильный многоугольник. Так как мы имеем дело с треугольной пирамидой, то её основанием будет равносторонний треугольник.
Чтобы найти высоту пирамиды SO, достаточно вспомнить, что:
1) AO = BO = CO = R = a√3 / 3. (св-во равностороннего треугольника).
2) SB = AB. (боковое ребро равно длине стороны основания).
По теореме Пифагора высота SO равна:
SO = √(SB² – OB²) = √(a² – a²/3) = √(a²(1 – 1/3)) = √(a² * (2/3) = a√(2/3).
Итак, высота правильной треугольной пирамиды (H) равна произведению длины ребра (a) на корень из 2/3:
Высоту пирамиды также можно найти из формулы объёма:
V = 1 / 3 Sосн * H.
Так как основание пирамиды – это равносторонний треугольник, то Sосн = a² * √3 / 4.
Отсюда V = a² * √3 * H / 12 = a² * H / 4√3.
Остаётся выразить высоту:
V * 4√3 = a² * H.
H = V * (4√3 / a²).
Высота правильной треугольной пирамиды (H) равна дроби – в числителе произведение объёма пирамиды (V) на 4√3, в знаменателе – квадрат ребра (a).
Если же в условии задачи уже известна площадь основания, то высоту найти ещё проще:
H = 3 * V / Sосн.
Пример
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 4 см, объём равен 10√3.
Нужно найти высоту пирамиды.
Воспользуемся вышеприведённой формулой:
H = V * (4√3 / a²) = 10√3 * 4√3 / 16 = 120 / 16 = 7,5 см.
