Как найти высоту в треугольнике через тангенс

Высота равнобедренного треугольника, которая лежит под прямым углом к основанию, создает внутри еще два одинаковых прямоугольных треугольника, являясь катетом в каждом из них. Второй катет такого треугольника представляет собой половину основания, так как эта высота является одновременно медианой и биссектрисой, а гипотенузой будет боковая сторона равнобедренного треугольника. Соответственно, зная высоту и угол α при основании, через прямоугольный треугольник можно узнать стороны равнобедренного треугольника. (рис.88.2)
a=h/sin⁡α
b=2h/tan⁡α

Поскольку сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам, следовательно, угол при вершине будет равен разности 180 градусов и двух углов при основании.
β=180°-2α

Периметр равнобедренного треугольника через высоту и угол α равен сумме двух отношений высоты к синусу угла и двух отношений высоты к тангенсу. Площадь, в свою очередь, преобразовывается в квадрат высоты, деленный на тангенс.
P=2a+b=2h/sin⁡α +2h/tan⁡α
S=hb/2=h^2/tan⁡α

Чтобы найти высоту, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника (любую, так как они одинаковы), можно воспользоваться готовой формулой через стороны треугольника, заменив их на тригонометрические отношения и упростив выражение. Аналогично вычисляются медианы и биссектрисы через высоту.
m_a=√(a^2+2b^2 )/2=√((h/sin⁡α )^2+2(2h/tan⁡α )^2 )/2=(h√(1/cos⁡α +8))/(2 tan⁡α )
h_a=(b√((4a^2-b^2)))/2a=(b√((4(h/sin⁡α )^2-(2h/tan⁡α )^2)))/(2 h/sin⁡α )=b sin^2⁡α
l_a=(b√(a(2a+b) ))/(a+b)=(2h/tan⁡α √(h/sin⁡α (2 h/sin⁡α +2h/tan⁡α )))/(h/sin⁡α +2h/tan⁡α )=(2h√(2+2/cos⁡α ))/(tan⁡α+2 sin⁡α )

Чтобы вычислить среднюю линию, необходимо разделить на два ту сторону треугольника, которая ей параллельна. Поскольку ни одна из сторон не известна, то средняя линия, параллельная основанию, равна высоте, деленной на тангенс угла α, а средняя линия, параллельная боковой стороне равна высоте, деленной на два синуса угла α. (рис.88.5)
M_b=b/2=h/tan⁡α
M_a=a/2=h/(2 sin⁡α )

Чтобы вычислить радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, нужно подставить вместо сторон a и b в формулу отношения высоты и тангенса или синуса соответственно, а затем упростить выражение (рис.88.6)
r=b/2 √((a-2b)/(a+2b))=h/tan⁡α √((h/sin⁡α -2 2h/tan⁡α )/(h/sin⁡α +2 2h/tan⁡α ))=h/tan⁡α √((1-4 cos⁡α)/(1+4 cos⁡α ))

Радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника также зависит от обеих сторон – основания и боковой стороны, поэтому его формула видоизменяется аналогично радиусу вписанной окружности. (рис.88.7)
R=a^2/√(4a^2-b^2 )=(h/sin⁡α )^2/√(4(h/sin⁡α )^2-(2h/tan⁡α )^2 )=h/(2 sin^2⁡α )

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе

Как и в любом треугольнике прямоугольный треугольник имеет три высоты. Две из них совпадают с катетами, а вот третья высота, проведенная к гипотенузе, постоянно будоражит наши умы.

Поэтому представляю вашему вниманию основные формулы для ее нахождения.

Начну с самой важной.

1. Высота, проведенная к гипотенузе равна корню квадратному из произведения проекций катетов на эту гипотенузу.

2. Высоту, проведенную к гипотенузе, можно найти, разделив удвоенную площадь прямоугольного треугольника на гипотенузу.

Такая формула получается из классический формулы нахождения площади треугольника: половина произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию.

3. Высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу.

Эта формула получится из второй если заменить площадь на половину произведения катетов.

Т.к. АВ – гипотенуза, то ее можно выразить через катеты АС и ВС, используя теорему Пифагора. Тогда формула примет другой вид:

4. Высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на диаметр описанной вокруг треугольника окружности (или на удвоенный радиус).

Так получается потому, что центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы, значит, гипотенуза равна 2R или d.

5. Высоту, проведенную к гипотенузе, можно найти, используя геометрические определения синуса, тангенса и котангенса.

Надеюсь, что данная статья оказалась полезной!)

Готовься к экзамену вместе с нами! Заходи на нашу страницу в ВК.