Формулы для нахождения высоты треугольника
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.
Нахождение высоты треугольника
Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.
Высота в разностороннем треугольнике
Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:
1. Через площадь и длину стороны
где S – площадь треугольника.
2. Через длины всех сторон
где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:
3. Через длину прилежащей стороны и синус угла
4. Через стороны и радиус описанной окружности
где R – радиус описанной окружности.
Высота в равнобедренном треугольнике
Длина высоты ha, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:
Высота в прямоугольном треугольнике
Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:
1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе
2. Через стороны треугольника
Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.
Высота в равностороннем треугольнике
Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:
Примеры задач
Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.
Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:
Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.
Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника
Перечень рассматриваемых вопросов:
- Понятие медианы, биссектрисы, высоты треугольника.
- Построение медианы, высоты, биссектрисы.
- Точки пересечения медианы, высоты и биссектрисы в треугольнике.
- Создание представления о замечательных точках в треугольнике.
Биссектриса угла – это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.
Биссектриса угла треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
- Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
- Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
- Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
- Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
- Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
- Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Вы уже знакомы с такими понятиями как треугольник, угол, биссектриса угла.
Разберем, как построить биссектрису треугольника, а также узнаем, что такое медиана и высота треугольника.
Начнём с понятия биссектриса угла треугольника. Это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. AF – биссектриса ∠A треугольника ABC.
В любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке.
Введём понятие медианы треугольника.
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
BM – медиана треугольника ABC.
В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке.
Введём понятие высоты треугольника.
Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.
AH – высота треугольника ABC.
В любом треугольнике высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.
Итак, сегодня мы узнали, какие отрезки называются медианой, биссектрисой, высотой треугольника, и научились их изображать с помощью чертёжных инструментов.
Рассмотрим, как можно решить задачу на доказательство, используя понятие «медиана треугольника».
На рисунке изображён треугольник ABC, при этом AD – медиана ∆ABC продолжена за сторону BC, так что AD = DE.
Докажем, что треугольники ABD и CED равны.
По условию в треугольниках ABD и CED: сторона AD равна стороне DE. Т. к. АD – медиана ∆ABC, то, по определению медианы, BD = DC.
∠ADB = ∠CDE (по свойству вертикальных углов).
Следовательно, ∆ABD = ∆CED (по первому признаку равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны).
Что и требовалось доказать.
Разбор решения заданий тренировочного модуля.
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BM, которые пересекаются в точке O. Найдите углы треугольника ABO, если ∠BAC = 50°, ∠ABC = 80°, а сумма углов треугольника ABO равна 180°.
1.Нарисуем рисунок по условию задачи.
2.По условию AD и BM – биссектрисы ∆ABC.
∠BAC = 50°, ∠BAC = 2∠BAO =50° → ∠BAO = 25°
∠ABC = 80°, ∠ABC= 2∠ABO = 80°→∠ABO = 40°
3.Т. к. сумма углов треугольника ABO равна 180°, то ∠ABO + ∠BAO + ∠AOB = 180°.
5.∠AOB = 180° – (25° + 40°) = 115°.
Ответ: ∠BAO = 25°, ∠ABO = 40°, ∠AOB = 115°.
В треугольнике COD: ∠O = 90°. Найдите ∠МОВ, если ОА – биссектриса угла ∠СОM, при этом ∠COА = 20°, а ВО– биссектриса ∠МОD.
1.По условию ∠СОD = 90°.
Кроме того, ОА – биссектриса угла ∠СОM → ∠МОА = ∠СОА = 20°.
2.ВО – биссектриса ∠МОD→∠ВОD = ∠МОВ.
3. ∠СОD = ∠МОА + ∠СОА + ∠ВОD + ∠МОВ = 20° + 20° + 2∠МОВ = 40° + 2∠МОВ = 90°.
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На этом уроке мы продолжим рассмотрение элементов треугольника – медиан, биссектрис и высот треугольника.
Вначале дадим определение медианы треугольника и рассмотрим три медианы треугольника. Дадим определение биссектрисы треугольника и рассмотрим три биссектрисы треугольника. Дадим определение высоты треугольника и рассмотрим высоты в произвольном треугольнике и в тупом треугольнике. Далее решим ряд задач с использованием этих элементов.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»
[spoiler title=”источники:”]
http://resh.edu.ru/subject/lesson/7290/conspect/
http://interneturok.ru/lesson/geometry/7-klass/treugolnikib/mediany-bissektrisy-i-vysoty-treugolnika
[/spoiler]
- Математика – уроки для подготовки к экзаменам ЕГЭ ОГЭ
- Math
- Найти высоту треугольника, если известны три стороны. Метод нахождения высоты. Геометрия 8. 9 класс.
Канал видеоролика: Math
Смотреть видео:
СМОТРЕТЬ ВИДЕОРОЛИК:
youtu.be/bYQMsNIWWEc
#математикаогэ #гвэ #егэответы #репетиторпоматематике #репетитор_по_математике #огэматематика #огэответы #ответы_огэ #егэматематика
Свежая информация для ЕГЭ и ОГЭ по Математике (листай):
С этим видео ученики смотрят следующие ролики:
Облегчи жизнь другим ученикам – поделись! (плюс тебе в карму):
- Комментарии
Нет комментариев. Ваш будет первым!
Содержание материала
- Определение
- Видео
- Свойства равносторонней фигуры
- Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружности
- Свойства высоты в равностороннем треугольнике
- В треугольнике проведены три высоты
- Задача наподобие треугольников
- Высота треугольника по основанию и площади
- Остроугольный треугольник и высота
- Примеры задач
Определение
Одной из таких характеристик является высота треугольника. Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к его противоположной стороне. Вершиной называют одну из трех точек, которые вместе с тремя отрезками составляют треугольник.
Определение высоты треугольника может звучать и так: высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Это определение звучит сложнее, но оно точнее отражает ситуацию. Дело в том, что в тупоугольном треугольнике не получится провести высоту внутри треугольника. Как видно на рисунке 1, высота в этом случае получается внешней. Кроме того, нестандартной ситуацией является построение высоты в прямоугольном треугольнике. В этом случае, две из трех высот треугольника будут проходить через катеты, а третья от вершины к гипотенузе.
Как правило, высоту треугольника обозначают буквой h. Также обозначается высота и в других фигурах.
Видео
Свойства равносторонней фигуры
При решении задач, связанных с нахождением высоты в равностороннем треугольнике, часто приходится использовать его свойства. Зная их, найти нужные параметры будет несложно. Тем более что все они связаны с главной особенностью фигуры — равенством его всех сторон.
Равностороннее тело с тремя углами обладает следующими особенностями:
- в нём все углы одинаковые и равны 60 градусов;
- середина пересечения отрезков, совпадающих с высотой, биссектрисой и медианой, является центром геометрического тела;
- радиус описанной окружности превышает радиус вписанной в 2 раза;
- в равностороннем треугольнике длины всех элементов выражаются через длину стороны.
Эти свойства очевидны. Если начертить треугольник с равными сторонами и вписать его в окружность, за центр можно принять точку O, при этом радиус описанного круга будет OK. Тогда линия, проведённая из неё к вершине, будет радиусом. Пусть конечная точка будет B. Но так как место пересечения является общим и для высот и медиан, из свойства последних можно сделать вывод, что в точке линия делится в отношении 2 к 1. Отсчёт следует вести с вершины треугольника. Значит: OB = 2 * OK.
Из основных формул, которые используются при вычислениях, в первую очередь нужно запомнить:
- радиус описанной окружности: R = (a * √3) / 3;
- диаметр вписанного круга: r = (a * √3) / 6;
- медиана: h = (a * √3) / 2;
- площадь: s = (a2 * √3) / 4;
- периметр: p = 3 * a.
Если рассмотреть треугольник ABC с проведённой высотой BN, можно утверждать, что грань АВ = ВС = АС = AN /2 = NC /2. Так как фигура ABN является копией BNC в зеркальном отражении, разделённые углы у вершины будут одинаковыми, а и их разворот составлять 30 градусов. Из этого следует, что угол A равен 60 градусам, значит, отрезок BN = AB * sin 60 = (AB * √3) / 2.
Зная длину медианы (высоты), вычислить другие параметры треугольника не составит труда. Например, периметр, P = 2 √3 * h; площадь — S = (h * 2) / √3.
При этом замечательным свойством является ещё и то, что ортоцентр одновременно будет в фигуре и центром тяжести (центроидом), поэтому точка пересечения высот и делит отрезок в отношении 2 к 1.
Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружности
Рассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:
 |
(5) |
откуда
 |
(6) |
Далее, из теоремы синусов имеем:
 |
(7) |
Подставляя (6) в (7), получим:
или
 |
(8) |
Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:
| (small max (b,c) ≤2R < b+c ) | (9) |
Пример 3. Известны стороны треугольника: ( small b=7, ) ( small c= 3 ) и радиус описанной окружности ( small R=4. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )
Решение: Проверим сначала условие (9):
| (small max (7,3) ≤2 cdot 4 < 7+3 ) | (10) |
Условие (9) удовлетворяется, следовательно такой треугольник существует. Для нахождения выстоты треугольника воспользуется формулой (8). Имеем:
Ответ: ( small 2frac{5}{8}. )
Свойства высоты в равностороннем треугольнике
Равносторонний треугольник — это треугольник, стороны которого, углы, высоты, медианы, оси симметрии и биссектрисы будут равны.
Такой треугольник является частным примером равнобедренного треугольника, но не наоборот.
Высоту в таком треугольнике можно найти с помощью следующей формулы:
h=a32
где а — сторона равностороннего треугольника.
Главным свойством, которым обладает высота равностороннего треугольника, является тот факт, что она равна медиане и биссектрисе:
h=m=l=32a
где h — высота,
m — медиана,
l — биссектриса,
а — сторона правильного равностороннего треугольника.
В треугольнике проведены три высоты
Как и для медиан, и для биссектрис, для высот треугольника верно следующее утверждение:
В любом треугольнике три высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.
Доказывать это утверждение мы здесь, пожалуй, не будем.
Давай просто нарисуем, чтобы понять, как это бывает «высоты или их продолжения».
1. Треугольник остроугольный – тогда пересекаются сами высоты:
2. Треугольник тупоугольный – тогда пересекаются продолжения высот:
Что же полезного мы ещё не обсудили?
Задача наподобие треугольников
В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90) проведена высота CD. Определите CD, если AD = 9 см, BD = 16 см
Решение.
Треугольники ABC, ACD и CBD подобны между собой . Это непосредственно следует из второго признака подобия (равенство углов в этих треугольниках очевидно).
Прямоугольные треугольники — единственный вид треугольников, которые можно разрезать на два треугольника, подобных между собой и исходному треугольнику.
Обозначения этих трех треугольников в таком порядке следования вершин: ABC, ACD, CBD. Тем самым мы одновременно показываем и соответствие вершин. (Вершине A треугольника ABC соответствует также вершина A треугольника ACD и вершина C треугольника CBD и т. д.)
Треугольники ABC и CBD подобны. Значит:
AD/DC = DC/BD, то есть
DC2=AD*BD
DC2=9*16
DC=12 см
Высота треугольника по основанию и площади
Пусть известны сторона треугольника и площадь. Найти высоту треугольника, отпущенная на известную сторону (Рис.5).
Решение. Площадь треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:
.
Откуда:
 . |
(1) |
Пример 1. Сторона треугольника равна ( small a=5 ) а площадь ( small S=7. ) Найти высоту треугольника.
Решение:
Применим формулу (1). Подставляя значения ( small a ) и ( small S ) в (1), получим:
Ответ:
Остроугольный треугольник и высота
Вернёмся–ка к остроугольному треугольнику. Отметим на рисунке равные углы:
Что видим теперь? Ещё подобные треугольники!
Как от двух линий вообще могут получиться столько подобных треугольников?!
Но тем не менее…
Видишь, какое богатство? И всё это может быть использовано в задачах!
Ну вот, теперь ты узнал что-то новенькое про высоты треугольника.
Теперь пробуй применять в задачах всё это – и соображение о том, что высота образует прямоугольный треугольник, и простые подобия прямоугольных треугольников, получающихся при пересечении двух высот, и подобие похитрее — которое с косинусом, и то, что угол между высотами равен углу между сторонами…
Главное, ты не старался просто запоминать все эти факты, а осознай, что их можно очень просто вывести.
И тогда, если ты будешь точно знать, например, что две проведённые высоты приносят кучу бонусов в виде всяких подобий, то ты непременно и сам получишь все эти бонусы, а заодно – решение своей задачи!
Примеры задач
Задача 1 Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.
Решение В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:
Задача 2 Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.
Решение Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:
Теги
Как найти высоту равнобедренного треугольника
Каждому иногда приходится освежить школьные знания, даже если, на первый взгляд, итоговая формула выглядит не сложной. Высоту равнобедренного треугольника легко вывести из теоремы знаменитого математика Пифагора, либо извлечь из формулы Герона.
1
Вычисление высоты равнобедренного треугольника онлайн
Самый простой способ, который не потребует от вас никаких умственных усилий – это нахождение искомой величины с использованием онлайн сервисов. Многие сайты предлагают вычислить высоту равнобедренного треугольника, пользователю лишь потребуется задать первоначальные величины – длины сторон (для равнобедренного – сторону и основание). К примеру, можно воспользоваться этой страницей совершенно бесплатно. Если вы хотите совершить вычисления самостоятельно, переходите к следующему пункту.
2
Формулы для высоты равнобедренного треугольника
Согласно вычислениям из указанных во вступлении теорем, формула для высоты такого треугольника равна корню из разности сторон, каждая из которых возведена в квадрат и поделена на 4. Визуально это выглядит так (где h – искомая высота, а – длина основания треугольника, b – длина его стороны):
Если у вас все еще остались вопросы, послушайте подробное и понятное видео, на котором учитель объясняет, как найти высоту треугольника с равными сторонами.
С применением циркуля
Если нужно нарисовать высоту (перпендикуляр к противоположной стороне) в произвольном треугольнике и измерить её, то лучше всего воспользоваться классическим методом построения. Он предусматривает использование циркуля в качестве основной рабочей принадлежности. Кроме этого, для работы понадобится лист бумаги, небольшая линейка, ластик и простой карандаш.
Способ начертить искомый отрезок:
- На листе бумаги чертят треугольник (можно нарисовать заранее, чтобы сэкономить время).
- Рисунок располагают так, чтобы вершина угла, из которого нужно начертить высоту, находилась сверху, а противоположная ему сторона фигуры была расположена горизонтально (по отношению к ученику).
- Иглу циркуля ставят в вершине любого угла у основания.
- Ножку с грифелем ставят в верхнюю точку треугольника, из которой проводится высота.
- Циркулем рисуют окружность и делают пометку в месте её пересечения с основанием фигуры.
- Аналогичным способом чертят круг из другого угла при основании. При этом важно определить новый радиус, который будет равен длине второй стороны треугольника.
- Делают пометку в месте пересечения начерченных окружностей.
- Ластиком стирают лишние линии, оставляя лишь поставленную точку.
- С помощью карандаша и линейки из неё проводят отрезок к вершине, который и будет высотой треугольника.
- Стирают линии, находящиеся под основанием.
Таким же способом можно с помощью циркуля построить высоту треугольника из любого другого угла.
С помощью линейки
Начертить и обозначить высоту можно и без циркуля. Для этого следует воспользоваться чертёжным угольником, 2 стороны которого перпендикулярны друг другу. Альтернативой этой школьной принадлежности могут стать 2 прямые линейки, соединённые между собой под прямым углом.
В остроугольном треугольнике
Провести высоту в треугольнике, где все углы острые (менее 90 градусов), довольно просто.
Чтобы справиться с этой задачей, нужно подготовить все необходимое и заранее начертить на бумаге геометрическую фигуру.
Правильная последовательность действий:
- Находят вершину, из которой хотят провести перпендикуляр.
- Совмещают угольник с противоположной стороной фигуры.
- Перемещают чертёжную принадлежность до тех пор, пока её перпендикулярная сторона не пройдёт через вершину.
- Простым карандашом проводят линию, которая и будет искомым отрезком.
В тупоугольной фигуре
Трёхсторонняя фигура, у которой один из углов тупой (более 90 градусов) имеет только 1 внутреннюю высоту. Для её проведения используют то же, что и в предыдущем случае.
Порядок действий:
- Располагают чертёж так, чтобы тупой угол оказался у основания.
- Угольник прикладывают к наибольшей стороне фигуры.
- Совмещают перпендикулярную сторону линейки с вершиной тупого угла.
- Соединяют 2 точки простым карандашом, получая искомую линию.
В прямоугольном и равнобедренном
В прямоугольном треугольнике нужно находить только 1 высоту. Две другие будут совпадать с катетами.
Пошаговая инструкция:
- Прикладывают одну из перпендикулярных сторон угольника к гипотенузе.
- Вторую сторону линейки совмещают с вершиной прямого угла.
- Проводят линию, которая будет высотой.
Проще всего проводить перпендикуляр из верхней точки равнобедренного треугольника.
Он будет совпадать с биссектрисой и медианой фигуры. Начертить его можно таким же способом, что и для остроугольной фигуры. Более простой метод предусматривает выполнение следующих действий:
- Линейкой замеряют длину основания.
- Эту величину делят на 2.
- Полученное значение откладывают от вершины одного из углов при основании.
- Отмечают середину стороны и соединяют её с верхней точкой фигуры.
Проведение высоты в треугольнике — это простая задача, с которой легко справится каждый ученик.
Для этого достаточно сделать чертёж геометрической фигуры и воспользоваться одним из существующих способов построения. Такая работа потребует минимум времени и не отнимет у школьника много сил.
