Как найти высоту вписанной окружности в треугольнике

Как найти высоту вписанной окружности в треугольнике

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

.

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Фигура Рисунок Формула Обозначения
Произвольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Прямоугольный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Произвольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Прямоугольный треугольник
Произвольный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольник

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, – полупериметр (рис. 6).

с помощью формулы Герона получаем:

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

то, в случае равностороннего треугольника, когда

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Треугольник вписанный в окружность

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

  1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

  1. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

  1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = frac<1><2>ab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

  1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

  1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

  1. Средняя линия треугольника вписанного
    в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

  1. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Свойства

  • Центр вписанной в треугольник окружности
    находится на пересечении биссектрис.
  • В треугольник, вписанный в окружность,
    можно вписать окружность, причем только одну.
  • Для треугольника, вписанного в окружность,
    справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
    и Теорема Пифагора.
  • Центр описанной около треугольника окружности
    находится на пересечении серединных перпендикуляров.
  • Все вершины треугольника, вписанного
    в окружность, лежат на окружности.
  • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
  • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
    треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
    формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

  1. Проведем серединные
    перпендикуляры — HO, FO, EO.
  2. O — точка пересечения серединных
    перпендикуляров равноудалена от
    всех вершин треугольника.
  3. Центр окружности — точка пересечения
    серединных перпендикуляров — около
    треугольника описана окружность — O,
    от центра окружности к вершинам можно
    провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

В ответ запишем .

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов,

Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .

. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

[spoiler title=”источники:”]

http://colibrus.ru/treugolnik-vpisannyy-v-okruzhnost/

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vpisannyj-i-opisannyj-treugolnik-vpisannaya-i-opisannaya-okruzhnost/

[/spoiler]

Источник

Содержание

  1. Определение
  2. Формулы
  3. Радиус вписанной окружности в треугольник
  4. Радиус описанной окружности около треугольника
  5. Площадь треугольника
  6. Периметр треугольника
  7. Сторона треугольника
  8. Средняя линия треугольника
  9. Высота треугольника
  10. Свойства
  11. Доказательство

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — не диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Треугольник вписанный в окружность

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

  1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известна площадь и все стороны:

    [ r = frac{S}{(a+b+c)/2} ]

  2. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известны площадь и периметр:

    [ r = frac{S}{frac{1}{2}P} ]

  3. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известны полупериметр и все стороны:

    [ r = sqrt{frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}} ]

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

  1. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

    [ R = frac{AC}{2 sin angle B} ]

  2. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известны все стороны и площадь:

    [ R = frac{abc}{4S} ]

  3. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известны     все стороны и полупериметр:

    [ R = frac{abc}{4sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} ]

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

  1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

    [ S = pr ]

  2. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр:

    [ S = sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ]

  3. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен высота и основание:

    [ S = frac{1}2 ah ]

  4. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

    [ S = frac{a^2}{2cdot (sin(α)⋅sin(β)) : sin(180 — (α + β))} ]

  5. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и синус угла между ними:

    [ S = frac{1}{2}ab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

  1.  Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны все стороны:

    [ P = a + b + c ]

  2. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и радиус вписанной окружности:

    [ P = frac{2S}{r} ]

  3. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и угол между ними:

    [ P = sqrt{ b2 + с2 — 2 * b * с * cosα} + (b + с) ]

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

  1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и косинус угла между ними:

    [ a = sqrt{b^2+c^2 -2bc cdot cos alpha} ]

  2. Сторона треугольника вписанного в
    окружность, если известна сторона и два угла:

    [ a = frac{b · sin alpha }{sin β} ]

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

  1. Средняя линия треугольника вписанного
    в окружность, если известно основание:

    [ l = frac{AB}{2} ]

  2. Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны, ни одна из них не является
    основанием, и косинус угла между ними:

    [ l = frac{sqrt{b^2+c^2-2bc cdot cos alpha}}{2} ]

Высота треугольника

h — высота треугольника.

  1. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и основание:

    [ h = frac{2S}{a} ]

  2. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известен сторона и синус угла прилежащего
    к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

    [ h = b cdot sin alpha ]

  3. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известен радиус описанной окружности и
    две стороны, ни одна из которых не является основанием:

    [ h = frac{bc}{2R} ]

Свойства

  • Центр вписанной в треугольник окружности
    находится на пересечении биссектрис.
  • В треугольник, вписанный в окружность,
    можно вписать окружность, причем только одну.
  • Для треугольника, вписанного в окружность,
    справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
    и Теорема Пифагора.
  • Центр описанной около треугольника окружности
    находится на пересечении серединных перпендикуляров.
  • Все вершины треугольника, вписанного
    в окружность, лежат на окружности.
  • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
  • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
    треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
    формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

около треугольника описана окружность

Дано: окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

Доказать: окружность описана
около треугольника.

Доказательство:

  1.  Проведем серединные
    перпендикуляры — HO, FO, EO.
  2.  O — точка пересечения серединных
    перпендикуляров равноудалена от
    всех вершин треугольника.
  3. Центр окружности — точка пересечения
    серединных перпендикуляров — около
    треугольника описана окружность — O,
    от центра окружности к вершинам можно
    провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

Следовательно: окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Источник

Здравствуйте, уважаемые читатели. Продолжаем разбор заданий с окружностью. В этой статье рассмотрим третью тему.

1. Центральные и вписанные углы.

2.Касательная, хорда, секущая.

3.Вписанная и описанная окружность (треугольник)

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. Радиус вписанной окружности обозначается маленькой буквой r

При решении задач, будем вспоминать необходимую теорию непосредственно в решении.

Задача №1

Условие задачи №1
Условие задачи №1

Площадь треугольника, в который вписана окружность, равна произведению полупериметра треугольника на радиус окружности.

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

Полупериметр – это периметр треугольника, деленный пополам.

В некоторых задачах, даны лишние данные. В этой задаче лишним является длина стороны, которая равна 18. Полупериметр равен 48:2=24, радиус равен 3. Подставим все в формулу, получим:

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

Задача №2

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

Решим задачу двумя способами:

Способ №1

Для решения этой задачи, воспользуемся формулой площади треугольника через радиус вписанной окружности

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

В этой формуле нам известен радиус. Нужно найти полупериметр. Поскольку треугольник равносторонний, то пусть стороны треугольника равны а

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

Подставим все в нашу формулу:

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

С другой стороны, площадь треугольника равна половина произведения высоты на сторону, к которой проведена эта высота

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

Не важно по какой формуле вычислять площадь треугольника, она будет одинаковой, поэтому приравняем эти формулы и найдем высоту треугольника:

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

Способ №2

Формулу радиуса окружности, вписанной в равносторонний или правильный треугольник, вы можете взять в справочных материалах, которые выдаются на экзамене, и по этой формуле вычислить сторону равностороннего треугольника:

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

Так как треугольник по условию задачи равносторонний, то высота является медианой.

ВН - высота и медиана в равностороннем треугольнике. АН=НС
ВН – высота и медиана в равностороннем треугольнике. АН=НС

Поскольку треугольник ВНС – прямоугольный, то ВН найдем по теореме Пифагора.

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

Задание №3

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

Окружность называется описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на окружности. Радиус описанной окружности обозначается большой буквой R

Найдем сторону равностороннего треугольника, через формулу радиуса описанной около равностороннего треугольника окружности. Возьмем эту формулу из справочного материала, выдаваемый на экзамене:

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

Так как треугольник, вписанный в окружность, равносторонний, то высота треугольника является и медианой. Значит АН=НС

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

По теореме Пифагора найдем высоту треугольника:

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

Высоту равностороннего треугольника, можно найти и по формуле:

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

Но этой формулы в справочнике на экзамене нет, поэтому теорема Пифагора – универсальный способ.

Спасибо что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог.

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ
Источник

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Рассмотрим важные теоремы, которые помогут нам при решении задач.

Теорема 1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Ее центр – это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Иногда говорят, что окружность описана около треугольника. Это означает то же самое – все вершины треугольника лежат на окружности.

Доказательство этой теоремы здесь: Свойство серединных перпендикуляров.

Теорема 2. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Ее центром является точка пересечения биссектрис треугольника.

Доказательство теоремы здесь: Свойства биссектрис треугольника.

Теорема 3. Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а радиус этой окружности равен половине гипотенузы.

Доказательство:

Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, по свойству медианы прямоугольного треугольника.
Его доказательство можно найти здесь: Свойство медианы прямоугольного треугольника.

Поэтому середина гипотенузы – это точка, равноудаленная от вершины прямого угла и от концов гипотенузы, то есть от всех вершин прямоугольного треугольника.

Теорема 4.

Центр окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника, лежит внутри этого треугольника.

Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.

Центр окружности, описанной вокруг тупоугольного треугольника, лежит вне этого треугольника.

Теорема 5. Радиус окружности r , вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c, вычисляется по формуле: displaystyle r=frac{a+b-c}{2}.

Доказательство теоремы здесь: Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник.

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Напомним определение правильного многоугольника:

Правильным называется многоугольник, все стороны и все углы которого равны. Центры вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника находятся в одной точке.

Из этого определения, понятно, что правильный треугольник – равносторонний. Для решения такого треугольника полезно уметь выводить формулы радиусов вписанной и описанной окружностей.

Теорема 6.

Для правильного треугольника со стороной а радиус описанной окружности равен displaystyle R=frac{asqrt{3}}{3}.

А радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен displaystyle r=frac{asqrt{3}}{6}.

Докажем эту теорему.

У равностороннего треугольника медианы, биссектрисы, высоты и серединные перпендикуляры совпадают, и точка их пересечения является центром как вписанной, так и описанной окружностей.

Пусть в правильном треугольнике ABC стороны AB=BC=AC=a, точка О – центр вписанной и описанной окружностей, AM, BH, CN — медианы и высоты. По свойству медиан треугольника, отрезки AM, BH, CN в точке О делятся в отношении 2 : 1, считая от вершин. Тогда OA = OB = OC = R, OM = OH = ON = r.

Получаем, что displaystyle R=OB=frac{2}{3}BH, r=OH=frac{1}{3}BH.

Из треугольника АВН получаем, что длина стороны displaystyle BH=frac{asqrt{3}}{2}.

Тогда displaystyle R=frac{2}{3}cdot frac{asqrt{3}}{2}=frac{asqrt{3}}{3}, r=frac{1}{3}cdot frac{asqrt{3}}{2}=afrac{sqrt{3}}{6}.

Значит, формула радиуса окружности, описанной около правильного треугольника — displaystyle r=frac{asqrt{3}}{3}.

Формула радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник displaystyle r=frac{asqrt{3}}{6}.

Как видим, часто геометрическая задача решается с помощью несложных формул, и помогает в этом алгебра.

Разберем задачи ОГЭ и ЕГЭ по теме: Вписанные и описанные треугольники.

Задача 1, тренировочная. Периметр правильного треугольника АВС равен 15. Найдите радиус вписанной и описанной окружностей.

Решение:

Длина стороны равностороннего треугольника ABC  равна 15 : 3 = 5.

Радиусы r – вписанной и R – описанной окружностей можно найти по формулам:

displaystyle r=frac{asqrt{3}}{6}, R=frac{asqrt{3}}{3}, где a — сторона треугольника.

Значит, displaystyle r=frac{5sqrt{3}}{6}, R=frac{5sqrt{3}}{3}.

Ответ: displaystyle r=frac{5sqrt{3}}{6}, R=frac{5sqrt{3}}{3}.

Решая задачи по теме «Вписанные и описанные треугольники», мы часто пользуемся формулами площади треугольника, а также теоремой синусов.

Вот две полезные формулы для площади треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

S=p cdot r,

где p=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2} left( a+b+c right) — полупериметр,

r — радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части 2:

S=genfrac{}{}{}{0}{abc}{4R},

где a, b, c — стороны треугольника, R — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Теорема синусов:

displaystylefrac{a}{sinangle A}=frac{b}{sinangle B}=frac{c}{sinangle C}=2R,

R — радиус описанной окружности

Задача 2, ЕГЭ. Найдите диаметр окружности, вписанной в треугольник со сторонами 13, 14 и 15.

Решение:

Выразим площадь треугольника двумя разными способами:

displaystyle S=pr,

displaystyle S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, где displaystyle p=frac{a+b+c}{2} – полупериметр треугольника, a a, b, c – его стороны.

displaystyle p=frac{13+14+15}{2}=21,

displaystyle S=sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=sqrt{21cdot 8cdot 7cdot 6}=84.

Тогда displaystyle r=frac{S}{p}=frac{84}{21}=4, а диаметр окружности равен 8.

Ответ: 8.

Задача 3, ЕГЭ. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен 2. Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите cleft( sqrt{2}-1 right).

Рисунок к задаче 1

Решение:

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен a. Тогда гипотенуза равна asqrt{2}.

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

S=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2} a^2.

S=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}left( 2a + asqrt{2}right)r.

Приравняв эти выражения, получим, что a=left( 2 + sqrt{2}right)r. Поскольку r=2, получаем, что a=4+2sqrt{2}.

Тогда c=asqrt{2}=4+4sqrt{2}=4left( 1+sqrt{2} right).

В ответ запишем cleft( sqrt{2}-1 right)=4.

Ответ: 4.

Задача 4, ЕГЭ. В треугольнике ABC сторона AB равна  7sqrt{3}, а угол B равен 120^{circ}. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение:

По теореме синусов displaystyle frac{AC}{sin B}=2R.

Тогда displaystyle R=frac{7sqrt{3}}{2}:frac{sqrt{3}}{2}=7.

Ответ: 7.

Задача 5, ЕГЭ. В треугольнике ABC угол А равен 57^{circ}, а угол В – 93^{circ}. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если сторона AB равна 10.

Решение:

Зная, что сумма углов треугольника равна 180^{circ}, найдем угол С.

displaystyle angle C = 180^{circ }-(angle A+angle B)=180^{circ }-(53^{circ }+97^{circ })=30^{circ }.

По теореме синусов displaystyle frac{AB}{sinC}=frac{BC}{sinA}=frac{AC}{sinB}=2R.

Значит, displaystyle R=frac{AB}{2sinC}=10.

Ответ: 10.

Задача 6, ЕГЭ. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 2

По теореме синусов,

genfrac{}{}{}{0}{AC}{sin B}=2R.

Получаем, что sin B=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}. Угол B — тупой. Значит, он равен 150^{circ}.

Ответ: 150.

Задача 7, ЕГЭ. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Рисунок к задаче 3

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

S=genfrac{}{}{}{0}{abc}{4R}.

S=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2} ah, где h — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону AB пополам. По теореме Пифагора найдем h=32.

Тогда R=25.

Ответ: 25.

Задача 8, ОГЭ. В равнобедренном треугольнике ABC основание AC равно 10 см, а высота, проведенная к основанию, 12 см. Найдите периметр треугольника и радиус вписанной окружности.

Решение:

Высота BH, проведенная к основанию AC, является медианой. Значит, AH = HC = 5.

AB находится по теореме Пифагора из треугольника ABH:

displaystyle AB=sqrt{AH^{2}+BH^{2}}=sqrt{5^{2}+12^{2}}=13.

Периметр треугольника ABC – это сумма длин сторон, т.е. P = 13 + 13 + 10 = 36.

Площадь треугольника displaystyle S=frac{1}{2}ACcdot BH=frac{1}{2}cdot 10cdot 12=60.

Радиус вписанной окружности r найдем по формуле S = p r:

displaystyle r=frac{S}{p}=frac{60}{18}=frac{10}{3}.

Ответ: displaystyle 30; frac{10}{3}.

Задача 9, ОГЭ. Стороны AB и BC треугольника ABC равны 6 и 3sqrt{2} соответственно, угол B- 45^{circ }. Найдите диаметр окружности, описанной около треугольника ABC.

Решение:

Найдем длину стороны AC по теореме косинусов, используя длины сторон AB, CB и косинус угла В, противолежащего стороне AC:

displaystyle AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2cdot ABcdot BCcdot cosB=6^{2}+(3sqrt{2})^{2}-2cdot 6cdot 3sqrt{2}cdot frac{sqrt{2}}{2}=18,AC=3sqrt{2}.

Теперь воспользуемся теоремой синусов:

displaystyle frac{AC}{sin45^{circ }}=2R,

displaystyle 2R=3sqrt{2}:frac{sqrt{2}}{2}=6.

Значит, диаметр окружности, описанной около треугольника ABC, равен 6.

Ответ: 6.

Задача 10. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус описанной окружности равен 5, а вписанной 1.

Решение:

Пусть длина радиуса описанной окружности R = 5, а длина радиуса вписанной окружности r = 1.

Мы знаем, что displaystyle r=frac{a+b-c}{2}, R=frac{c}{2}, S=pcdot r, где displaystyle p=frac{a+b+c}{2} – полупериметр, a, b, c – стороны треугольника.

Значит, displaystyle r=frac{a+b-c}{2}=frac{a+b+c-2c}{2}=frac{a+b+c}{2}-frac{2c}{2}=

=p-c=p-2R.

Отсюда displaystyle r=p-2R, p=r+2R.

Тогда displaystyle S=(r+2R)cdot r=(1+2cdot 5)cdot 1=11.

Ответ: 11.

Задача 11. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус вписанной окружности равен 2, а гипотенуза 10.

Решение:

Пусть радиус вписанной окружности r = 2, а гипотенуза c = 10.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике displaystyle r=frac{a+b-c}{2}.

Значит, displaystyle r=frac{a+b-c}{2}=frac{a+b+c-2c}{2}=frac{a+b+c}{2}-frac{2c}{2}=p-c, отсюда p =r+c.

Площадь находится по формуле S =pr, где displaystyle p=frac{a+b+c}{2} – полупериметр, a, b, c – стороны треугольника.

displaystyle S=(r+c)cdot r=(2+10)cdot 2=24.

Ответ: 24.

Рассмотрим также задачу из 2 части ЕГЭ по математике.

Задача 12. Точка О – центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке Р.

а) Докажите, что displaystyle angle POA=angle PAO.

б) Найдите площадь треугольника APO, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 10, displaystyle angle BAC=75^{circ }, angle ABC=60^{circ }.

Решение:

а) Пусть displaystyle angle ABC=2beta , angle BAC=2alpha . О – центр вписанной окружности, значит, AO и BO – биссектрисы углов ABC и BAC соответственно, и displaystyle angle ABO=angle OBC=beta , angle BAO=angle OAC=alpha .

displaystyle angle PAC=angle PBC=beta как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу PC.
Тогда displaystyle angle PAO=alpha +beta .

displaystyle angle POA – внешний угол треугольника AOB, поэтому он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, т.е. displaystyle angle POA=angle OAB+angle OBA=alpha +beta .

Значит, displaystyle angle POA=angle PAO. Что и требовалось доказать.

б)  displaystyle angle POA=angle PAO, следовательно, треугольник POA – равнобедренный, AO – основание, PA = PO.

Угол ABC равен 60^{circ }, значит, displaystyle angle ABO=angle OBC=30^{circ }.

По теореме синусов для треугольника ABP:

displaystyle frac{AP}{sinB}=2R, AP=2cdot 10cdot sin30^{circ }=10.

Тогда отрезок OP равен отрезку AP, т.е. OP = 10.

Найдем угол С из треугольника ABC: displaystyle angle C= 180^{circ }-60^{circ }-75^{circ }=45^{circ }.

displaystyle angle APO=angle ACB=45^{circ } как вписанные углы, опирающиеся на дугу AB.

Площадь треугольника AOP находится по формуле: displaystyle S=frac{1}{2}abcdot sinalpha.

displaystyle S_{APO}=frac{1}{2}cdot APcdot POcdot sinAPO=frac{1}{2}cdot 10cdot 10cdot sin45^{circ }=frac{1}{2}cdot 10cdot 10cdot frac{sqrt{2}}{2}=
displaystyle =25sqrt{2}.

Ответ: displaystyle 25sqrt{2}.

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания 16.

Если вам понравился наш материал – записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Треугольник (чёрный) с вписанной окружностью (синей), инцентр (I), вневписанными окружностями (оранжевые), эксцентры (JA,JB,JC), внутренние биссектрисы (красные) и внешние биссектрисы (зелёные)

Вписанная в треугольник окружность — окружность внутри треугольника, касающаяся всех его сторон; наибольшая окружность, которая может находиться внутри треугольника. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника и называется инцентром треугольника.

Вневписанная окружность треугольника — окружность, лежащая вне треугольника и касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон[en]. Любой треугольник имеет три различные вневписанные окружности, каждая из которых касается своей стороны треугольника.
Центром вневписанной окружности является пересечение биссектрисы одного внутреннего угла[en] и биссектрис двух других внешних углов[en]. Поскольку биссектриса внутреннего угла перпендикулярна биссектрисе смежного внешнего угла, центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вневписанных окружностей образуют ортоцентричную систему[en][1].

Не все многоугольники с числом сторон более трёх имеют вписанную окружность. Те, которые имеют, называются описанными.

Связь с площадью треугольника[править | править код]

Радиусы вписанных и вневписанных окружностей имеют тесную связь с площадью треугольника[2].

Вписанная окружность[править | править код]

Вики вписанная окружность7.png

Пусть triangle ABC имеет вписанную окружность радиуса r с центром I.
Пусть a — длина BC, b — длина AC, а c — длина AB.
Пусть вписанная окружность касается AB в некоторой точке C′, тогда
angle AC'I является прямым.
Тогда радиус C’I будет высотой треугольника
triangle IAB.
Таким образом,
triangle IAB
имеет основание длины c и высоту r, а следовательно, его площадь равна
{tfrac {1}{2}}cr.
Подобным же образом
triangle IAC
имеет площадь
{tfrac {1}{2}}br
и
triangle IBC
имеет площадь {tfrac {1}{2}}ar.
Поскольку эти три треугольника разбивают triangle ABC, получаем, что

{displaystyle Delta ={frac {1}{2}}(a+b+c)r=pr,}

где Delta  — площадь triangle ABC, а {displaystyle p={frac {1}{2}}(a+b+c)} — его полупериметр.

Чтобы получить альтернативную формулу, рассмотрим triangle IC'A. Это прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен r, а другой равен {displaystyle rcdot mathrm {ctg} {frac {angle A}{2}}}. То же самое верно для triangle IB'A. Весь треугольник состоит из 6 таких треугольников, и общая площадь составляет:

{displaystyle Delta =r^{2}cdot (mathrm {ctg} {frac {angle A}{2}}+mathrm {ctg} {frac {angle B}{2}}+mathrm {ctg} {frac {angle C}{2}})}

Вневписанные окружности[править | править код]

Пусть вневписанная окружность, касающаяся стороны AB, касается продолжения стороны AC в точке G, и пусть радиус этой окружности равен r_{c}, а её центр — I_{c}. Тогда I_{c}G является высотой треугольника triangle ACI_{c},
так что triangle ACI_{c} имеет площадь {tfrac {1}{2}}br_{c}. По тем же причинам
triangle BCI_{c}
имеет площадь
{tfrac {1}{2}}ar_{c},
а triangle ABI_{c}
имеет площадь
{tfrac {1}{2}}cr_{c}.
Тогда

{displaystyle Delta ={frac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(p-c)r_{c}}.

Таким образом, ввиду симметрии,

{displaystyle Delta =pr=(p-a)r_{a}=(p-b)r_{b}=(p-c)r_{c}}.

По теореме косинусов получаем

cos A={frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}

Комбинируя это с тождеством sin ^{2}A+cos ^{2}A=1, получим

sin A={frac {sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}

Но Delta ={tfrac {1}{2}}bcsin A, так что

{displaystyle {begin{aligned}Delta &={frac {1}{4}}{sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\&={frac {1}{4}}{sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\&={sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},end{aligned}}}

и это формула Герона вычисления площади треугольника по его сторонам.

Комбинируя формулу Герона с {displaystyle pr=Delta }, получим

{displaystyle r^{2}={frac {Delta ^{2}}{p^{2}}}={frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}.

Аналогично, {displaystyle (p-a)r_{a}=Delta } даёт

{displaystyle r_{a}^{2}={frac {p(p-b)(p-c)}{p-a}}}.

Из этих формул видно, что вневписанные окружности всегда больше вписанной и наибольшая окружность соответствует самой длинной стороне, а самая наименьшая из вневписанных окружностей соответствует самой маленькой стороне. Дальнейшее комбинирование формул приводит к:[3]

Delta ={sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.

Отношение площади вписанной окружности к площади треугольника меньше или равно {frac {pi }{3{sqrt {3}}}}, и равенство достигается только на правильных треугольниках[4].

Связанные построения[править | править код]

Окружность девяти точек и точка Фейербаха[править | править код]

  • Теорема Эйлера об окружности Эйлера. Середины отрезков высот от ортоцентра до вершин треугольника называются точками Эйлера. Основания медиан, основания высот и точки Эйлера лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек[5].
  • Теорема Фейербаха. Окружность девяти точек касается всех трёх вневписанных окружностей, а также вписанной окружности в четырёх разных точках. Одна из них – точка касания окружности Эйлера и вписанной окружности известна как точка Фейербаха.

Треугольник и точка Жергонна[править | править код]

Треугольник ΔABC с вписанной окружностью (синяя), и её центр (синий, I), треугольник точек касания (красный, ΔTaTbTc) и точка Жергонна (зелёная, Ge)

Треугольник Жергонна (для треугольника ABC) определяется тремя точками касания вписанной окружности на трёх сторонах.
Эти вершины обозначим TA, и т. д..
Точка TA лежит напротив вершины A.

Этот треугольник Жергонна TATBTC известен также как треугольник касаний треугольника ABC.

Три прямые ATA, BTB и CTC пересекаются в одной точке — точке Жергонна и обозначается Ge — X(7). Точка Жергонна лежит внутри открытого ортоцентроидного круга[en] с выколотым центром[6].

Интересно, что точка Жергонна треугольника является точкой пересечения симедиан треугольника Жергонна. Полный набор свойств точки Жергонна можно найти в статье Декова[7].

Трилинейные координаты вершин треугольника касаний задаются формулами

  • вершина A=0:sec ^{2}left({frac {B}{2}}right):sec ^{2}left({frac {C}{2}}right)
  • вершина B=sec ^{2}left({frac {A}{2}}right):0:sec ^{2}left({frac {C}{2}}right)
  • вершина C=sec ^{2}left({frac {A}{2}}right):sec ^{2}left({frac {B}{2}}right):0

Трилинейные координаты точки Жергонна

sec ^{2}left({frac {A}{2}}right):sec ^{2}left({frac {B}{2}}right):sec ^{2}left({frac {C}{2}}right),

или, эквивалентно, по теореме синусов,

{frac {bc}{b+c-a}}:{frac {ca}{c+a-b}}:{frac {ab}{a+b-c}}.

Точка Жергонна является изотомическим сопряжением точки Нагеля.

Треугольник и точка Нагеля[править | править код]

Треугольник Нагеля (см. рис. выше) для треугольника ABC определяется вершинами TA, TB и TC, которые являются точками касания вневписанных окружностей треугольника ABC и точка XA противоположна стороне A, и т. д. Описанная вокруг треугольника TATBTC окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта). Три прямые ATA, BTB и CTC делят периметр пополам и пересекаются в одной точке Нагеля Na — X(8).

Трилинейные координаты точек касания треугольника вневписанными окружностями задаются формулами

  • вершина A=0:csc ^{2}left({frac {B}{2}}right):csc ^{2}left({frac {C}{2}}right)
  • вершина B=csc ^{2}left({frac {A}{2}}right):0:csc ^{2}left({frac {C}{2}}right)
  • вершина C=csc ^{2}left({frac {A}{2}}right):csc ^{2}left({frac {B}{2}}right):0

Трилинейные координаты точки Нагеля задаются формулами

csc ^{2}left({frac {A}{2}}right):csc ^{2}left({frac {B}{2}}right):csc ^{2}left({frac {C}{2}}right),

или, эквивалентно, по теореме синусов,

{frac {b+c-a}{a}}:{frac {c+a-b}{b}}:{frac {a+b-c}{c}}.

Точка Нагеля является изотомическим сопряжением точки Жергонна.

Трилинейные координаты вписанных треугольников[править | править код]

Трилинейные координаты вершин треугольника, образованного основаниями биссектрис, задаются формулами

  • вершина A=0:1:1
  • вершина B=1:0:1
  • вершина C=1:1:0

Трилинейные координаты треугольника, образованного точками касания сторон внеописанными окружностями, задаются формулами

  • вершина A=-1:1:1
  • вершина B=1:-1:1
  • вершина C=1:-1:-1

Уравнения окружностей[править | править код]

Пусть x : y : z — координаты точки в трилинейных координатах, и пусть u = cos2(A/2), v = cos2(B/2), w = cos2(C/2). Четыре окружности, описанные выше, можно задать любым из двух указанных способов[8]:

  • Вписанная окружность:
u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy=0
pm {sqrt {x}}cos {frac {A}{2}}pm {sqrt {y}}cos {frac {B}{2}}pm {sqrt {z}}cos {frac {C}{2}}=0
  • A-внешневписанная:
u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy=0
pm {sqrt {-x}}cos {frac {A}{2}}pm {sqrt {y}}cos {frac {B}{2}}pm {sqrt {z}}cos {frac {C}{2}}=0
  • B-внешневписанная:
u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy=0
pm {sqrt {x}}cos {frac {A}{2}}pm {sqrt {-y}}cos {frac {B}{2}}pm {sqrt {z}}cos {frac {C}{2}}=0
  • C-внешневписанная:
u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy=0
pm {sqrt {x}}cos {frac {A}{2}}pm {sqrt {y}}cos {frac {B}{2}}pm {sqrt {-z}}cos {frac {C}{2}}=0

Другие свойства вписанной окружности[править | править код]

Некоторые формулы с радиусом вписанной окружности[править | править код]

  • Радиус вписанной окружности не больше одной девятой суммы высот треугольника[9].
  • Неравенство Эйлера: радиус вписанной окружности не превосходит половины радиуса описанной окружности и равенство имеет место лишь для равностороннего треугольника[10].
  • Предположим, что точки касания вписанной окружности делят стороны на отрезки длиной x и y, y и z, z и x. Тогда вписанная окружность имеет радиус[11]
r={sqrt {frac {xyz}{x+y+z}}}

и площадь треугольника равна

K={sqrt {xyz(x+y+z)}}.
  • Если высоты, опущенные на стороны a, b и c есть ha, hb и hc, то радиус вписанной окружности r равен одной трети гармонического среднего этих высот, то есть
r={frac {1}{h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}}}.
  • Произведение радиуса вписанной окружности r и радиуса описанной окружности R треугольника со сторонами a, b и c равен[1]
rR={frac {abc}{2(a+b+c)}}.
  • Некоторые связи сторон, радиусов вписанной окружности и описанной окружностей[12]:
ab+bc+ca=s^{2}+(4R+r)r,
a^{2}+b^{2}+c^{2}=2s^{2}-2(4R+r)r.
  • Любая прямая, проходящая через треугольник и делящая площадь треугольника и периметр пополам, проходит через центр вписанной окружности. Таких прямых может существовать три, две или одна[13].
  • Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности[14].

Формулы для расстояний до центра вписанной или вневписанной окружностей[править | править код]

Теорема Эйлера[править | править код]

Теорема Эйлера утверждает, что в треугольнике[10]:

(R-r_{in})^{2}=d^{2}+r_{in}^{2},

где R и rin являются радиусами описанной и вписанной окружностей соответственно, а d — расстояние между центрами этих окружностей.

Для вневписанных окружностей уравнение выглядит похоже:

(R+r_{ex})^{2}=d^{2}+r_{ex}^{2},

где rex — радиус одной из вневписанных окружностей, а d — расстояние между центрами описанной и вневписанной окружностей[15][16][17]

  • Возводя в квадрат и приводя подобные из первой формулы Эйлера выше имеем:

Квадрат расстояния от центра вписанной окружности I до центра описанной O задаётся уравнением[18]

OI^{2}=d^{2}=R(R-2r_{in}),
{displaystyle OI^{2}={frac {abc,}{a+b+c}}left[{frac {abc,}{(a+b-c),(a-b+c),(-a+b+c)}}-1right]}

Аналогично для второй формулы:

d^{2}=R(R+2r_{ex}).

Другие формулы для расстояний до центра вписанной или вневписанной окружностей[править | править код]

  • Расстояние от центра вписанной окружности до центра N окружности девяти точек равно[18]
IN={frac {1}{2}}(R-2r)<{frac {1}{2}}R.
  • Расстояние от вершины до точек касания вписанной окружности на прилегающих сторонах равно полусумме длин прилегающих сторон минус половина противолежащей стороны[19]. Так, для вершины B и прилежащих точек касания TA и TC,
BT_{A}=BT_{C}={frac {BC+AB-AC}{2}}.
  • Если обозначить центр вписанной окружности треугольника ABC буквой I, мы получим[20]
{frac {IAcdot IA}{CAcdot AB}}+{frac {IBcdot IB}{ABcdot BC}}+{frac {ICcdot IC}{BCcdot CA}}=1

и[21]

IAcdot IBcdot IC=4Rr^{2}.
  • Теорема Мансиона (составная часть Теоремы о трезубце). Середины трёх отрезков, соединяющих центр вписанной окружности с центрами вневписанных окружностей лежат на описанной окружности[10].

  • Теорема Харкорта. Пусть треугольник задан своими вершинами A, B и C, противоположные вершинам стороны имеют длины a, b и c, площадь равна K и прямая касается вписанной в треугольник окружности в произвольной точке. Обозначим расстояния от вершин треугольника до прямой через a ‘, b ‘ и c ‘, при этом, если вершина и центр окружности лежат по разные стороны от прямой, расстояние считается отрицательным. Тогда
aa^{prime }+bb^{prime }+cc^{prime }=2K..

Другие свойства вневписанных окружностей[править | править код]

  • Следующее отношение выполняется для радиуса r вписанной окружности, радиуса R описанной окружности, полупериметра s и радиусов вневписанных окружностей ra, rb, rc[12]:
r_{a}+r_{b}+r_{c}=4R+r,
r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}=s^{2},
r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}=(4R+r)^{2}-2s^{2},
  • Окружность, проходящая через центры вневписанных окружностей, имеет радиус 2R[12].
  • Если H — ортоцентр треугольника ABC, то[12]
r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=AH+BH+CH+2R,
r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+(2R)^{2}.
  • Вершины A, B и C треугольника ABC являются основаниями высот треугольника JAJB,JC,

где JAJB,JC — центры вневписанных окружностей[10].

  • Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности[14].
  • Центр Шпикера треугольника является радикальным центром его вневписанных окружностей[22]. Если из центра Шпикера треугольника провести 6 касательных к 3 вневписанным окружностям треугольника, то все их длины будут равны между собой.

Окружность Аполлония[править | править код]

Определение окружности Аполлония[править | править код]

Точка Аполлония и окружность Аполлония

Пусть дан треугольник ABC. Пусть вневписанные окружности треугольника ABC, противоположные вершинам A, B и C, есть соответственно EA, EB, EC (см. рисунок). Тогда окружность Аполлония E (на рис. справа показана зеленым цветом) касается внутренним образом сразу трех вневписанных окружностей треугольника ABC в точках соответственно EA, EB и EC (см. рисунок)[23].

Радиус окружности Аполлония[править | править код]

Радиус окружности Аполлония равен {frac {r^{2}+s^{2}}{4r}}, где r — радиус вписанной окружности и s — полупериметр треугольника[24].

Определение точки Аполлония Ap[править | править код]

  • Точка Аполлония Ap в Энциклопедии центров треугольника у Кларка Кимберлинга (Encyclopedia of Triangle Centers (ETC)) именуется как центр треугольника под именем X(181).
  • Точка Аполлония Ap или X(181) определяется следующим образом:

Пусть A’ , B’ и C’ есть точки касания окружности Аполлония E с соответствтвующими вневписанными окружностями. Тогда прямые AA’ , BB’ и CC’ пересекаются в одной точке Ap, которую называют точкой Аполлония треугольника ABC.

Изогональное сопряжение[править | править код]

Изогональное сопряжение имеет ровно четыре неподвижные точки (то есть точки, которые сопряжены самим себе): центр вписанной окружности и центры вневписанных окружностей треугольника[25].

Ортоцентр треугольника изогонально сопряжён центру описанной окружности этого треугольника[25].

Обобщение на другие многоугольники[править | править код]

  • Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито.
  • Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вневписанную окружность. Они называются внеописанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важное свойство отмечает теорема Уркхарта. Она утверждает:
  • Если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точках E и F, то
{displaystyle AB+BC=AD+DCquad Leftrightarrow quad AE+EC=AF+FC.}

См. также[править | править код]

  • Вневписанная окружность
  • Внеописанный четырёхугольник
  • Вписанная окружность
  • Вписанные и описанные фигуры для треугольника
  • Вписанное коническое сечение[en]
  • Вписанная сфера
  • Высота треугольника
  • Замечательные точки треугольника
  • Инцентр или Центр вписанной окружности
  • Окружность
  • Описанная окружность
  • Описанный четырёхугольник
  • Ортоцентр
  • Степень точки относительно окружности
  • Теорема Мансиона
  • Теорема о трезубце
  • Теорема Тебо 2 и 3
  • Теорема Харкорта
  • Точки Аполлония
  • Степень точки относительно окружности
  • Центр Шпикера
  • Центроид
  • Центроид треугольника
  • Эллипс Мандарта
  • Эллипс Штейнера

Примечания[править | править код]

  1. ↑ 1 2 Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry. — Dover, 2007 (оригинал — 1929).. — С. 189, #298(d).
  2. ↑ H.S.M. Coxeter. Introduction to Geometry. — 2. — Wiley, 1961..
  3. ↑ Marcus Baker. A collection of formulae for the area of a plane triangle. — January 1885. — Т. part 1, vol. 1(6). — С. 134-138.. См. также часть 2 в томе. 2(1), Сентябрь 1885, 11-18.)
  4. ↑ D. Minda, S. Phelps. Triangles, ellipses, and cubic polynomials // American Mathematical Monthly. — October 2008. — Вып. 115. — С. 679-689: Theorem 4.1..
  5. ↑ С. И. Зетель. Новая геометрия треугольника. — Москва: УЧПЕДГИЗ, 1962. — С. 52-53 Глава III.
  6. ↑ Christopher J. Bradley, Geoff C. Smith. The locations of triangle centers // Forum Geometricorum. — 2006. — Вып. 6. — С. 57-70..
  7. ↑ Deko Dekov. Computer-generated Mathematics : The Gergonne Point // Journal of Computer-generated Euclidean Geometry. — 2009. — Т. 1. — С. 1–14.. Архивировано 5 ноября 2010 года.
  8. ↑ William Allen Whitworth. Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions. — 2012. — С. 210-215. — (Forgotten Books).
  9. ↑ Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann. The Secrets of Triangles. — Prometheus Books, 2012. — С. 289.
  10. ↑ 1 2 3 4 А. Д. Куланин, С. Н. Федин. Геометрия треугольника в задачах. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — ISBN 978-5-397-00786-3.
  11. ↑ Thomas Chu. The Pentagon. — Spring, 2005. — С. 45, задача 584..
  12. ↑ 1 2 3 4 Amy Bell. Hansen’s right triangle theorem, its converse and a generalization // Forum Geometricorum. — 2006. — Вып. 6. — С. 335–342.
  13. ↑ Dimitrios Kodokostas. Triangle Equalizers // Mathematics Magazine. — 2010. — Вып. 83, April. — С. 141-146..
  14. ↑ 1 2 Мякишев, 2002, с. 11, п. 5.
  15. ↑ Roger Nelson. Euler’s triangle inequality via proof without words // Mathematics Magazine. — February 2008. — Вып. 81(1). — С. 58-61.
  16. ↑ R. A. Johnson. Modern Geometry. — Boston: Houghton Mifflin, 1929. — С. 187.
  17. ↑ Lev Emelyanov, Tatiana Emelyanova. Euler’s formula and Poncelet’s porism // Forum Geometricorum. — 2001. — Вып. 1. — С. 137–140..
  18. ↑ 1 2 3 William N. Franzsen. The distance from the incenter to the Euler line // Forum Geometricorum. — 2011. — Т. 11. — С. 231–236..
  19. ↑ Mathematical Gazette, July 2003, 323—324.
  20. ↑ Patricia R. Allaire, Junmin Zhou, Haishen Yao. Proving a nineteenth century ellipse identity // Mathematical Gazette. — 2012. — Вып. 96, March. — С. 161-165..
  21. ↑ Nathan Altshiller-Court. College Geometry. — Dover Publications, 1980. — С. 121,#84.
  22. ↑ Odenhal, 2010, с. 35—40.
  23. ↑ Darij Grinberg, Paul Yiu. The Apollonius Circle as a Tucker Circle // Forum Geometricorum. — 2002. — Вып. 2. — С. 175-182.
  24. ↑ Milorad R. Stevanovi´c. The Apollonius circle and related triangle centers // Forum Geometricorum. — 2003. — Вып. 3. — С. 187-195..
  25. ↑ 1 2 В. В. Прасолов. Точки Брокара и изогональное сопряжение. — М.: МЦНПО, 2000. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-49-9.

Литература[править | править код]

  • Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002.
  • Clark Kimberling. Triangle Centers and Central Triangles // Congressus Numerantium. — 1998. — Вып. 129. — С. i-xxv, 1-295.
  • Sándor Kiss. The Orthic-of-Intouch and Intouch-of-Orthic Triangles // Congressus Numerantium. — 2006. — Вып. 6. — С. 171—177.
  • Boris Odenhal. Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10.

Ссылки[править | править код]

  • Derivation of formula for radius of incircle of a triangle
  • Weisstein, Eric W. Incircle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Сайты с интерактивным содержанием[править | править код]

  • Triangle incenter Triangle incircle Incircle of a regular polygon With interactive animations
  • Constructing a triangle’s incenter / incircle with compass and straightedge An interactive animated demonstration
  • Equal Incircles Theorem at cut-the-knot
  • Five Incircles Theorem at cut-the-knot
  • Pairs of Incircles in a Quadrilateral at cut-the-knot
  • An interactive Java applet for the incenter
Источник

Добавить комментарий