В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.
-
Нахождение высоты треугольника
- Высота в разностороннем треугольнике
- Высота в равнобедренном треугольнике
-
Высота в прямоугольном треугольнике
- Высота в равностороннем треугольнике
- Примеры задач
Нахождение высоты треугольника
Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.
Высота в разностороннем треугольнике
Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:
1. Через площадь и длину стороны
где S – площадь треугольника.
2. Через длины всех сторон
где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:
3. Через длину прилежащей стороны и синус угла
4. Через стороны и радиус описанной окружности
где R – радиус описанной окружности.
Высота в равнобедренном треугольнике
Длина высоты ha, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:
Высота в прямоугольном треугольнике
Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:
1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе
2. Через стороны треугольника
Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.
Высота в равностороннем треугольнике
Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:
Примеры задач
Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.
Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:
Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.
Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Для вычисления площади треугольника вам необходимо знать его высоту. Если она не дана, вы можете вычислить ее по известным вам величинам! В этой статье мы расскажем о нескольких способах найти высоту треугольника по известным значениям других величин.
-
1
Напомним формулу для вычисления площади треугольника. Площадь треугольника вычисляется по формуле: A = 1/2bh.[1]
- А – площадь треугольника
- b – сторона треугольника, на которую опущена высота.
- h – высота треугольника
-
2
Посмотрите на треугольник и подумайте, какие величины вам уже известны. Если вам дана площадь, обозначьте ее буквой «А» или «S». Вам также должно быть дано значение стороны, обозначьте ее буквой «b». Если вам не дана площадь и не дана сторона, воспользуйтесь другим методом.
- Имейте в виду, что основанием треугольника может быть любая его сторона, на которую опущена высота (независимо от того, как расположен треугольник). Чтобы лучше понять это, представьте, что вы можете повернуть этот треугольник. Поверните его так, чтобы известная вам сторона была обращена вниз.
- Например, площадь треугольника равна 20, а одна из его сторон равна 4. В этом случае “‘А = 20″‘, ‘”b = 4′”.
-
3
Подставьте данные вам значения в формулу для вычисления площади (А = 1/2bh) и найдите высоту. Сначала умножьте сторону (b) на 1/2, а затем разделите площадь (А) на полученное значение. Таким образом, вы найдете высоту треугольника.
- В нашем примере: 20 = 1/2(4)h
- 20 = 2h
- 10 = h
Реклама
-
1
Вспомните свойства равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60˚). Если в таком треугольнике провести высоту, вы получите два равных прямоугольных треугольника. [2]
- Например, рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 8.
-
2
Вспомните теорему Пифагора. Теорема Пифагора гласит, что в любом прямоугольном треугольнике с катетами «а» и «b» гипотенуза «с» равна: a2+b2=c2. Эту теорему можно использовать, чтобы найти высоту равностороннего треугольника![3]
-
3
Разделите равносторонний треугольник на два прямоугольных треугольника (для этого проведите высоту). Затем обозначьте стороны одного из прямоугольных треугольников. Боковая сторона равностороннего треугольника – это гипотенуза «с» прямоугольного треугольника. Катет «а» равен 1/2 стороне равностороннего треугольника, а катет «b» – это искомая высота равностороннего треугольника.
- Итак, в нашем примере с равносторонним треугольником с известной стороной, равной 8: c = 8 и a = 4.
-
4
Подставьте эти значения в теорему Пифагора и вычислите b2. Сначала возведите в квадрат «с» и «а» (умножьте каждое значение само на себя). Затем вычтите a2 из c2.
- 42 + b2 = 82
- 16 + b2 = 64
- b2 = 48
-
5
Извлеките квадратный корень из b2, чтобы найти высоту треугольника. Для этого воспользуйтесь калькулятором. Полученное значение и будет высотой вашего равностороннего треугольника!
- b = √48 = 6,93
Реклама
-
1
Подумайте, какие значения вам известны. Вы можете найти высоту треугольника, если вам известны значения сторон и углов. Например, если известен угол между основанием и боковой стороной. Или если известны значения всех трех сторон. Итак, обозначим стороны треугольника: «a», «b», «c», углы треугольника: «А», «В», «С», а площадь – буквой «S».
- Если вам известны все три стороны, вам понадобится значение площади треугольника и формула Герона.
- Если вам известны две стороны и угол между ними, можете использовать следующую формулу для нахождения площади: S=1/2ab(sinC).[4]
-
2
Если вам даны значения всех трех сторон, используйте формулу Герона. По этой формуле придется выполнить несколько действий. Сначала нужно найти переменную «s» (мы обозначим этой буквой половину периметра треугольника). Для этого подставьте известные значения в эту формулу: s = (a+b+c)/2.[5]
- Для треугольника со сторонами а = 4, b = 3, c = 5, s = (4+3+5)/2. В результате получается: s=12/2, где s=6.
- Затем вторым действием мы находим площадь (вторая часть формулы Герона). Площадь = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). Вместо слова «площадь» вставьте эквивалентную формулу для поиска площади: 1/2bh (или 1/2ah, или 1/2ch).
- Теперь найдите эквивалентное выражение для высоты (h). Для нашего треугольника будет справедливо следующее уравнение: 1/2(3)h = (6(6-4)(6-3)(6-5)). Где 3/2h=√(6(2(3(1))). Получается, 3/2h = √(36). С помощью калькулятора вычислите квадратный корень. В нашем примере: 3/2h = 6. Получается, что высота (h) равна 4, сторона b – основание.
-
3
Если по условию задачи известны две стороны и угол, вы можете использовать другую формулу. Замените площадь в формуле эквивалентным выражением: 1/2bh. Таким образом, у вас получится следующая формула: 1/2bh = 1/2ab(sinC). Ее можно упростить до следующего вида: h = a(sin C), чтобы убрать одну неизвестную переменную.[6]
- Теперь осталось решить полученное уравнение. Например, пусть «а» = 3, «С» = 40 градусов. Тогда уравнение будет выглядеть так: «h» = 3(sin 40). С помощью калькулятора и таблицы синусов подсчитайте значение «h». В нашем примере h = 1,928.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 436 860 раз.
Была ли эта статья полезной?
Здесь рассмотрены все возможные способы нахождения высоты треугольников разных типов. Высота
треугольника – отрезок, проведенный из вершины треугольника перпендикулярно к противоположной
стороне. В задачах нахождение высоты часто является промежуточным звеном для поиска других значений.
Она и является катетом в треугольнике, который сама же образует, и участвует во многих формулах,
например, для нахождения площади.
- Высота разностороннего треугольника через площадь и длину
стороны - Высота разностороннего треугольника через длины всех
сторон - Высота разностороннего треугольника через длину прилежащей
стороны и синус угла - Высота разностороннего треугольника через стороны и радиус
описанной окружности - Высота равнобедренного треугольника через основание и
боковые стороны - Высота прямоугольного треугольника через длины отрезков,
образованных на гипотенузе - Высота прямоугольного треугольника через все стороны
треугольника - Высота равностороннего треугольника через сторону
треугольника
Через площадь и длину стороны разностороннего треугольника
Через площадь и длину высота находится по формуле:
h = 2S / a
где S – площадь треугольника, а – сторона треугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Согласно этой формуле высота равна удвоенной площади, деленной на длину стороны, к которой она
проведена.
Пример. Найдите высоту разностороннего треугольника, проведенную к стороне а,
площадь которого равна 27 см, а длина стороны а составляет одну треть от площади. Решение: Найдем
сторону а. Так как известно, что она составляет треть от площади, а = 27 / 3 = 9 см.
Теперь воспользуемся формулой для нахождения высоты: h = 2S / a. Подставим
известные значения. h = 2 * 27 / 9 = 6 см. Ответ: 6 см
Через длины всех сторон разностороннего треугольника
Через длины всех сторон высота разностороннего треугольника ищется по формуле:
h = (2 √(p (p-a)(p-b)(p-c))) / 2
p = (a + b + c) / 2
где h – высота, а, b, c – стороны треугольника, p – полупериметр треугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Полупериметр треугольника можно найти либо в два этапа через периметр, либо сразу по формуле. Этим
способом удобно пользоваться, когда треугольник разносторонний.
Пример. Периметр разностороннего треугольника равен 18 см. Длины сторон 6 см и 8 см. Найдите
высоту, проведенную к стороне а. Решение: P = a + b + c, значит с = P – a – b , то есть c = 18 – 8 – 6 = 4 см. Для
нахождения h будем использовать формулу h = (2 √(p (p-a)(p-b)(p-c))) / 2.
Сначала найдем полупериметр (p): p = p / 2 = 18 / 2 = 9 см. Подставим,
найденные значения в формулу высоты: h = (2 √(9 (9 — 6)(9 — 8)(9 — 4))) / 2 = √135 / 3 = 2,12 см
Через длину прилежащей стороны и синус угла разностороннего треугольника
Через длину прилежащей стороны и синус угла высота ищется по следующей формуле:
h = a * sin α
где а – длина стороны, sin α – синус прилежащей стороны.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. В разностороннем треугольнике высота проведена к стороне AB. Угол ACH равен
30˚, а длина стороны AB 12 см. Найдите длину высоты CH в треугольнике ABC. По теореме о сумме углов
в треугольнике найдем угол САН. ∠САН = 180 – (∠АСН + ∠АНС). ∠САН = 180 – 90 – 30 = 60˚ sin 60º = 1/2. СН = AB * sin ∠САН, СН = 12 * 1/2 = 6 см. Ответ:
6 см
Через стороны и радиус описанной окружности разностороннего треугольника
Через стороны и радиус описанной окружности высоту можно найти по следующей формуле:
h = bc / 2R
где r – радиус описанной около треугольника окружности, b,c – стороны треугольника
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Вокруг разностороннего треугольника описана окружность с радиусом 3 см. Из
вершины между сторонами b и с проведена высота. Стороны b и с соответственно равны 5 см и 6 см.
Найдите высоту. Решение: Найдем высоту, используя формулу h = 5 * 6 / 2 * 3 = 30 / 6 = 5 см. Ответ:
5 см.
Через длины отрезков прямоугольного треугольника, образованных на гипотенузе
Через длины отрезков образованных на гипотенузе высоту можно найти по следующей формуле:
h = √(C1 * C2)
где: C1, C2 — отрезки, образованные проведением высоты к гипотенузе.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. В прямоугольном треугольнике катеты равны 4 см и 3 см. Угол BAH равен 30˚.
Найдите высоту. По теореме Пифагора найдём сторону BC, которая является гипотенузой в треугольнике
ABC. BC² = AB² = AC², BC² = 4² + 3² = 16+9 = 25 см², BC = √25 = 5 см. Угол
АНВ равен 90˚, так как АН является высотой, то есть, проведена перпендикулярно к стороне ВС.
Следовательно, треугольник АНВ – прямоугольный. Сторона ВН лежит напротив угла 30˚ в прямоугольном
треугольнике, значит, ее длина равна половине длины гипотенузы. Найдем ВН. BH = 1/2 AB. BH = 1/2 × 4 = 2 см. BC = BH + HC,
значит, HC = BC – BH, HC = 5 – 2 = 3 см. По формуле найдем высоту
(АН). АН = √(2 * 3) = √6 = 2,4 см. Ответ: 2,4 см.
Через основание и боковые стороны равнобедренного треугольника
Через основание и боковые стороны высота равнобедренного треугольника находится по формуле:
h = √(b² — a²/4)
где а – основание треугольника, b – боковая сторона. Для равнобедренного треугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. В равнобедренном треугольнике АВС боковая сторона равна 8 см. Из вершины В к
основанию АС проведена высота ВН. Отрезок АН равен 5 см. Найдите высоту. Решение: Так как по условию
треугольник АВС равнобедренный по условию, то АВ = ВС = 8 см высота ВН,
является и медианой, и биссектрисой. Значит, АН = НС, а АС = НС + АН, АС = 5 + 5 = 10 см. По
формуле найдем высоту ВН = √(АВ² — АС² / 4). ВН = √(8² — 10² / 4) = √(64 — 100 / 4) = √39 = 6 см.
Ответ: 6 см.
Высота прямоугольного треугольника через все стороны треугольника
Если известны все стороны прямоугольного треугольника, то можно найти его высоту по следующей
формуле:
h = ab / c
где a,b,c – стороны треугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. В прямоугольном треугольнике угол между катетом и гипотенузой равен 45˚.
Длина стороны АС равна 6 см. Найти высоту АН. Решение: По теореме о сумме углов в треугольнике
найдем угол АСВ. ∠АСВ = 180˚ – (45˚ + 90˚) = 45˚. Так как АСВ = АСВ, то
треугольник АВС равнобедренный с основанием ВС. Таким образом, АС = АВ = 6 см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС. BC² = AB² + AC². BC² = 6² + 6² = 36 +36 = 72 см². ВС = √72 = 6√2 см. Найдем
высоту по формуле AH = AB * AC / BC. АН = 6 * 6 / 6√2= см. Домножим
полученное значение на √2: (6 * √2) / √2 * √2 = 6√2 / 2 = 3√2 см. Ответ:
3√2 см
Через сторону равностороннего треугольника
Высота равностороннего треугольника через сторону треугольника ищется по следующей формуле:
h = a√3 / 2
где a – сторона треугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример: Найдите высоту в равностороннем треугольнике, если известно, что его сторона
равна 4√3 см. Решение: Для нахождения высоты воспользуемся формулой h = a√3 / 2 = √3 * 4 √3 / 2 = 4 * 3 / 2 = 6 см. Ответ:
6 см
В зависимости от типа треугольника высота может располагаться по-разному:
- Например, в треугольнике KGM высота GH, проведённая из вершины G к стороне находится внутри
треугольника, так как треугольник является остроугольным. Кроме того, треугольник в данном
примере равнобедренный, значит, она же является биссектрисой и медианой. Знание этого пригодится
при решении задач, например таким образом можно будет найти основание.
- В тупоугольном треугольнике высота будет выходить за его пределы и для того чтобы её провести
понадобится сначала продлить сторону. Например, на рисунке сторона ВС продлена до НС.
- В случае, когда треугольник имеет прямой угол – высота совпадёт с одним из катетов, либо будет
внутри треугольника (как в первом рассмотренном варианте) и проведена к гипотенузе.
Высота– перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется – ортоцентр.
H – высота треугольника
a – сторона, основание
b, c – стороны
β, γ – углы при основании
p – полупериметр, p=(a+b+c)/2
R – радиус описанной окружности
S – площадь треугольника
Формула длины высоты через стороны, (H):
Формула длины высоты через сторону и угол, (H):
Формула длины высоты через сторону и площадь, (H):
Формула длины высоты через стороны и радиус, (H):
- Подробности
-
Опубликовано: 09 октября 2011
-
Обновлено: 13 августа 2021
Все формулы высоты треугольника
Высота– перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется – ортоцентр.
H – высота треугольника
a – сторона, основание
b, c – стороны
β , γ – углы при основании
p – полупериметр, p=(a+b+c)/2
R – радиус описанной окружности
S – площадь треугольника
Формула длины высоты через стороны, ( H ):
Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):
Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):
Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):
Формулы для нахождения высоты треугольника
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.
Нахождение высоты треугольника
Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.
Высота в разностороннем треугольнике
Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:
1. Через площадь и длину стороны
где S – площадь треугольника.
2. Через длины всех сторон
где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:
3. Через длину прилежащей стороны и синус угла
4. Через стороны и радиус описанной окружности
где R – радиус описанной окружности.
Высота в равнобедренном треугольнике
Длина высоты ha, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:
Высота в прямоугольном треугольнике
Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:
1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе
2. Через стороны треугольника
Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.
Высота в равностороннем треугольнике
Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:
Примеры задач
Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.
Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:
Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.
Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:
Высота треугольника онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти высоту треугольника. Для нахождения высоты треугольника введите известные элементы треугольника и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть смотрите ниже.
Открыть онлайн калькулятор
Высота треугольника. Определение
Определение 1. Отрезок, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.
Высота треугольника может содержаться внутри треугольника (Рис.1), совпадать со стороной треугольника (при прямоугольном треугольнике высота совпадает с катетом (Рис.2) ), проходить вне треугольника (при тупоугольном треугольнике(Рис.3)).
Теорема о пересечении высот треугольника
Теорема 1. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.4). Докажем, что высоты ( small AA_1 ,) ( small BB_1 ,) ( small CC_1 ) пересекаются в одной точке. Из каждой вершины треугольника проведем прямую, параллельно противоположной стороне. Получим треугольник ( small A_2B_2C_2. ) Покажем, что точки ( small A, B, C ) являются серединами сторон треугольника ( small A_2B_2C_2. ) ( small AB=A_2C ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABA_2C. ) ( small AB=CB_2 ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABCB_2. ) Тогда ( small CB_2=CA_2, ) то есть точка ( small C ) является серединой стороны ( small A_2B_2 ) треугольника ( small A_2B_2C_2. ) Аналогично доказывается, что точки ( small A ) и ( small B ) являются серединами сторон ( small B_2C_2 ) и ( small A_2C_2, ) соответственно.
Далее из ( small AA_1⊥BC ) следует, что ( small AA_1⊥B_2C_2 ) поскольку ( small BC ǁ B_2C_2 ). Аналогично, ( small BB_1⊥A_2C_2, ) ( small CC_1⊥A_2B_2. ) Получили, что ( small AA_1,) ( small BB_1, ) ( small CC_1) являются серединными перпендикулярами сторон ( small B_2C_2, ) ( small A_2C_2, ) ( small A_2B_2, ) соответственно. Но серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке (см. статью Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника). Следовательно высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.
Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром.
Высота треугольника по основанию и площади
Пусть известны сторона треугольника и площадь. Найти высоту треугольника, отпущенная на известную сторону (Рис.5).
Решение. Площадь треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:
.
 . |
(1) |
Пример 1. Сторона треугольника равна ( small a=5 ) а площадь ( small S=7. ) Найти высоту треугольника.
Применим формулу (1). Подставляя значения ( small a ) и ( small S ) в (1), получим:
Ответ: 
Высота треугольника по трем сторонам
Формула площади треугольника по трем сторонам имеет следующий вид (см. статью на странице Площадь треугольника онлайн):
 |
(2) |
где ( small a, b, c ) стороны треугольника а полупериод ( small p ) вычисляется из формулы:
 |
(3) |
Высота треугольника, отпущенная на сторону ( small a) вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления высоты треугольника по трем сторонам:
 . |
(4) |
Пример 2. Известны стороны треугольника: ( small a=5, ) ( small b= 4, ) ( small c=7. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )
Решение: Найдем, сначала полупериод ( small p ) треугольника из формулы (3):
Подставляя значения ( small a , b, c ) и ( small p ) в (4), получим:
Ответ: 
Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружности
Рассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:
 |
(5) |
 |
(6) |
Далее, из теоремы синусов имеем:
 |
(7) |
Подставляя (6) в (7), получим:
 |
(8) |
Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:
(small max (b,c) ≤2R Пример 3. Известны стороны треугольника: ( small b=7, ) ( small c= 3 ) и радиус описанной окружности ( small R=4. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )
Решение: Проверим сначала условие (9):
(small max (7,3) ≤2 cdot 4 Ответ: ( small 2frac<5><8>. )
Высота треугольника по стороне и прилежащему к ней углу
Найдем высоту ( small h_a ) треугольника на рисунке 7. Из теоремы синусов имеем:
( small frac<large h_a><large sin angle B>=frac<large c><large sin 90°>, )
| ( small h_a=c cdot sin angle B. ) | (11) |
Пример 4. Известны сторона ( small c=12 ) треугольника и прилежащий угол ( small angle B=30°. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )
Решение: Для нахождения высоты треугольника подставим значения ( small c=12 ) и ( small angle B=30° ) в (11). Имеем:
[spoiler title=”источники:”]
http://matworld.ru/geometry/vysota-treugolnika.php
[/spoiler]
