Как найти взаимное расположение двух окружностей - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте вспомним,
каким уравнением задается окружность с центром в точке и
радиусом r.

Также вспомним уравнение окружности, центром которой является начало координат.

Запишем уравнения, которые задают произвольную прямую.

;

– угловой коэффициент прямой.

Сегодня мы с вами посмотрим, как могут располагаться две окружности.

Сначала перечислим все возможные случаи взаимного расположения.
Окружности могут не пересекаться. Центры окружностей могут совпадать,
Окружности могут касаться друг друга, окружности могут пересекаться в двух
точках.

Сначала рассмотрим случай, когда центры окружностей совпадают. Такие
окружности называются концентрическими. Если радиусы окружностей не
равны, то такие окружности образуют кольцо. Если радиусы окружностей
равны, то окружности совпадают.

Теперь давайте рассмотрим случаи, когда центры окружностей не
совпадают. Соединим их прямой d, которую назовем линией
центров данной пары окружностей.

В данном случае взаимное расположение окружностей будет зависеть от
соотношения между величиной d и величинами радиусов
окружностей. Для того, чтобы было понятно о какой окружности идет речь, радиус
одной из окружностей обозначим за r, а радиус второй
окружности – за R. И будем считать, что .

Если ,
то очевидно, что окружности не пересекаются. В этом случае говорят, что одна
окружность лежит вне другой.

Если ,
то тогда одна окружность лежит внутри другой, но они не пересекаются.

Если ,
тогда малая окружность лежит внутри большой, но имеет с ней одну общую точку на
линии центров. Такой случай называют внутренним касанием, а такие
окружности называют внутренне касающимися.

Если ,
то окружности пересекаются в двух точках и называются пересекающимися.

Если ,
то такие окружности имеют одну общую точку, причем центр одной из них
расположен за пределами второй окружности. Такой вид касания называется внешним
касанием, а такие окружности называются внешне касающимися. Точка касания
внешне касающихся окружностей лежит на линии центров.

Решим несколько задач.

Задача. Как располагаются окружности, если:

а) ;
б) ;
в) ;

г) ;
д) .

Решение.

а)

б)

в)

г)

д)

Рассмотрим еще одну задачу.

Задача. Наименьшее расстояние между точками двух
концентрических окружностей равно ,
а наибольшее равно .
Найдите радиусы этих окружностей.

Решение.

Ответ: .

Задача. Радиусы двух концентрических окружностей относятся как .
Найти диаметры этих окружностей, если ширина кольца, образованного ими, равна см.

Решение.

(см)

Ответ: .

Задача. Даны два круга – один внутри другого. Через их центры
проведен в большем круге диаметр, который делится окружностью меньшего круга на
три части, равные .
Найти расстояние между центрами кругов.

Решение.

,
.

Найдем радиусы окружностей.

Ответ: .

Подведем итоги урока. Сегодня мы рассмотрели варианты расположения
двух окружностей в пространстве в зависимости от соотношения расстояния между
центрами окружностей и их радиусами.

Источник

Исследуем взаимное расположение двух окружностей в зависимости от их радиусов , и расстояния между их центрами . Пусть .

Если центры окружностей совпадают, т.е. = 0, то окружности называются концентрическими, и окружность радиуса лежит внутри круга радиуса :

Пусть 0. Введём прямоугольную систему координат так, чтобы точка совпала с центром окружности радиуса , а точка ₁ с координатами являлась центром второй окружности. Тогда в данной системе координат уравнения первой и второй окружностей имеют вид:

, . (1)

Если система уравнений (1) имеет решением пару чисел = , = , то точка – общая точка данных окружностей, и обратно: если точка – общая точка данных окружностей, то пара чисел = , = является решением системы уравнений (1):

Пусть система (1) имеет решением пару чисел = , = , т.е. справедливы числовые равенства

, . (2)

Вычтем второе равенство из первого, получим равенство . Выражаем из данного равенства :

. (3)

Так как и 0, то 0. В то же время из первого равенства (2) следует, что , т.е. для величин , и должно выполняться неравенство или . Последнее неравенство запишем в виде . Следовательно, или

. (4)

Отметим, что = , если = – или = + , и , если .

Итак, если система уравнений (1) имеет решение, то величина удовлетворяет неравенствам (4). Поэтому, если не выполнено какое-то из неравенств (4), то система (1) не имеет решений и данные окружности не имеют общих точек. Так может быть в двух случаях:

1. – , т.е. + :

В этом случае окружность радиуса лежит внутри круга радиуса . Говорят также, что одна окружность лежит внутри другой.

2. + :

В этом случае говорят, что одна окружность лежит вне другой.

Если неравенства (4) выполнены, то возможны три случая:

3. = – , при этом из того что 0 следует, что . Выше мы говорили, что =, поэтому из первого из равенств (2) следует, что =0. Подставив пару чисел = , =0 в систему равенств (4), мы получим, что данные числа являются ее решением. Значит, в данном случае окружности имеют ровно одну общую точку:

Говорят, что окружности касаются изнутри.

4. = + . В данном случае также =, поэтому =0. Подставив пару чисел = , =0 в систему равенств (4), мы получим, что данные числа являются ее решением. В данном случае, как и в случае 3, окружности имеют одну общую точку, но расположены друг относительно друга иначе:

Говорят, что окружности касаются извне.

5. . Выше мы говорили, что число , которое определяется равенством (3), удовлетворяет неравенству , поэтому из первого равенства (2) получаем два значения : и . То есть в данном случае система (1) имеет два решения: = , и = , :

Следовательно, окружности пересекаются в двух точках.

Итак, если расстояние между центрами двух окружностей отлично от нуля, то возможны пять случаев, описанных выше, взаимного расположения двух окружностей.

Источник

Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям

Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r₁ – r₂ лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r₁ – r₂ лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Фигура	Рисунок	Свойства
Две окружности на плоскости
Каждая из окружностей лежит вне другой
Внешнее касание двух окружностей
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Каждая из окружностей лежит вне другой

Внешнее касание двух окружностей

Внутреннее касание двух окружностей

Окружности пересекаются в двух точках


Каждая из окружностей лежит вне другой
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов
Внешнее касание двух окружностей
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов r₁ – r₂ лежит внутри другой
Внутренняя касательная к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Внешнее касание двух окружностей

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Внешняя касательная к двум окружностям

Внутренняя касательная к двум окружностям

Внутреннее касание двух окружностей

Окружности пересекаются в двух точках

Внешнее касание двух окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другой

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Внешняя касательная к двум окружностям

Внутренняя касательная к двум окружностям

Внутреннее касание двух окружностей

Окружности пересекаются в двух точках

Внешнее касание двух окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другой

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Фигура	Рисунок	Формула
Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Внешняя касательная к двум окружностям

Внутренняя касательная к двум окружностям

Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Внешняя касательная к двум окружностям

Внутренняя касательная к двум окружностям

Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r₁ и r₂ равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r₁ и r₂ равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r₁ и r₂ равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Взаимное расположение окружностей

Выясним, каким может быть взаимное расположение двух окружностей.

Две окружности могут пересекаться, не пересекаться либо касаться друг друга.

I. Пересекающиеся окружности имеют две общие точки.

Расстояние между центрами двух пересекающихся окружностей больше разности, но меньше суммы их радиусов:

II. Не пересекающиеся окружности не имеет общих точек.

Если одна окружность лежит внутри другой, то расстояние между центрами меньше разности их радиусов:

Если одна окружность находится вне другой, расстояние между центрами больше суммы их радиусов:

R + r]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>

III. Касающиеся окружности имеют одну общую точку — точку касания.

При внешнем касании расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов:

При внутреннем касании расстояние между центрами равно разности радиусов:

Концентрические окружности разного радиуса не пересекаются. Расстояние между центрами концентрических окружностей равно нулю: O1O2=0.

Геометрия. 9 класс

Две окружности могут пересекаться, не пересекаться либо касаться друг друга.
Перейдем к анализу возможных случаев расположения двух окружностей.
Рассмотрим окружность с центром О₁ и окружность с центром О₂. Тогда расстояние между их центрами равно О₁О₂.
I. Пересекающиеся окружности имеют две общие точки.
Расстояние между центрами двух пересекающихся окружностей больше разности, но меньше суммы их радиусов:
II. Не пересекающиеся окружности не имеет общих точек.

Если одна окружность лежит внутри другой, то расстояние между центрами меньше разности их радиусов:
Если одна окружность находится вне другой, расстояние между центрами больше суммы их радиусов:
III. Касающиеся окружности имеют одну общую точку – точку касания.
При внешнем касании расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов:
При внутреннем касании расстояние между центрами равно разности радиусов:
Если центры окружностей совпадают, то такие окружности называются концентрическими.
Концентрические окружности разного радиуса не пересекаются: О₁О₂ = 0
В случае равенства радиусов они совпадают.
Если же радиусы этих окружностей не равны, то одна из них лежит внутри другой – образуется кольцо.

Кольцом называют фигуру, заключенную между концентрическими окружностями.