Как найти взаимное расположение графиков функций

Для построения графика каждой линейной функции составим таблицу значений.

прямых.

Графики
двух линейных функций представляют собой прямые, которые либо пересекаются,
либо параллельны.

ПРИМЕР:

Даны графики функций, заданных формулами:

у =
0,9х – 1,

у =
0,8х + 1

с различными коэффициентами при  х.

Выясним, пересекаются ли эти графики.
Пересечение графиков означает, что они имеют общую точку. В этом случае
найдётся такое значение х, которому соответствует одно и то же значение  у  для
обеих функций. Чтобы найти это значение  х,
надо решить уравнение

0,9х – 1 = 0,8х + 1.

Имеем:

0,9х – 0,8х = 1 + 1,

0,1х = 2,

х =
20.

При  х = 20  обе
функции

у =
0,9х – 1,

у =
0,8х + 1

принимают одно и то же значение,
равное  17. Точка 
(20; 17)  принадлежит как одному, так и другому
графику. Такая точка только одна. Значит, прямые, являющиеся графиками функций

у =
0,9х – 1,

у =
0,8х + 1

пересекаются.

ПРИМЕР:

Даны графики функций, заданных формулами:

у =
0,5х + 1,

у =
0,5х – 2

с одинаковыми коэффициентами при  х.

Чтобы выяснить, пересекаются ли графики
этих функций, надо решить уравнение

0,5х + 4 = 0,5х – 2.

Так как это уравнение не имеет корней, то
прямые, которые являются графиками функций

у =
0,5х + 1,

у =
0,5х – 2

Не имеют общих точек, т. е. они
параллельны.

Графики двух
линейных функций, заданных формулами вида

y = аx + b, 

пересекаются,
если коэффициенты при  х  различны, и параллельны, если коэффициенты
при  х  одинаковы.

На
рисунке изображены прямые, которые являются графиками линейных функций,
заданных формулами вида

y = аx + b, 

с
одинаковыми коэффициентами при  х  и различными
значениями  b.

Все эти прямые параллельны и наклонены к оси  х  под одним и тем же углом. Этот угол зависит
от коэффициента  а. Число  а  называют угловым
коэффициентом прямой – графика функции

y = аx + b, 

используя термин угловой 
коэффициент прямой, доказанное выше свойство можно
сформулировать так:

– если угловые
коэффициенты прямых, являющихся графиками двух линейных функций, различны, то
эти прямые пересекаются, а если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые
параллельны.

Из формулы

y = аx + b, 

Следует, что при  х
= 0  значение 
у  равно  b. Значит, график функции 
y = аx + b  пересекает ось  у  в точке с
координатами  (0; b). На рисунке
изображены прямые, которые являются графиками функций, заданных формулами
вида  y = аx + b  с различными  а  и одним и тем же
значением  b.
Все эти прямые пересекаются в одной точке, лежащей на оси  у.

Задания к уроку 21

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

Взаимное расположение графиков линейной функции

График линейной функции представляет собой прямую. Если на одной координатной прямой существуют две прямые, то они, как и любые прямые на плоскости, могут пересекаться, быть параллельными друг другу или совпадать.

Рассмотрим две линейные функции:

(y = k_{1}x + b_{1 }) и (y = k_{2}x + b_{2})

И их возможные расположения на одной координатной плоскости.

СОВПАДЕНИЕ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ:

Графики линейных функций совпадают при:

(k_{1} = k_{2})

(b_{1} = b_{2})

Например:

Графики функций (y = 3x–2) и (y = 3x–2) совпадают, так как

(k_{1} = k_{2} = 3 ) и ( b_{1} = b_{2} = –2)

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ:

Графики линейных функций параллельны при:

(k_{1} = k_{2})

(b_{1} neq b_{2})

Например:

Графики функций (y = –2x) и (y = –2x + 5) параллельны, так как

(k_{1} = k_{2} = –2)

(b_{1} = 0; b_{2} = 5 Longrightarrow b_{1} neq b_{2} )

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ:

Графики линейных функций пересекаются при:

(k_{1} neq k_{2} ) и ( b_{1} neq b_{2})

Например:

Графики функций (y = 2x–5) и( y = frac{1}{4}x + 2) пересекаются, так как

(k_{1} = 2, k_{2} = frac{1}{4} Longrightarrow k_{1} neq k_{2})

(и)

(b_{1} = –5, b_{2} = 2 Longrightarrow b_{1} neq b_{2})

При этом по определению пересекающихся прямых, они должны иметь одну общую точку. Эта будет такая точка с координатами ((x; y)), которая будет принадлежать как первому, так и второму графику функций.

То есть для функций:

(y_{1} = k_{1}x_{1} + b_{1})

(y_{2} = k_{2}x_{2} + b_{2})

Будут соблюдаться условия:

(k_{1} neq k_{2} ) и ( b_{1} neq b_{2})

Поэтому будет существовать точка пересечения этих графиков с координатами:

(x = x_{1} = x_{2})

(y = y_{1} = y_{2})

В таком случае, чтобы найти точку пересечения графиков функций без построения для функций (mathbf{y}_{mathbf{1}} = k_{1}x = b_{1}) нужно:

1. Приравнять (y_{1} и y_{2},) а значит приравнять( k_{1}x_{1} + b_{1} и k_{2}x_{2} + b_{2}.)

2. Так как (x_{1} = x_{2} = x), решим уравнение

(k_{1}x + b_{1} = k_{2}x + b_{2}.)

3. Подставить найденный аргумент в любую из функций и найти её значение y. Найденная пара (x; y) будет являться координатой общей точки для данных графиков функций.

Рассмотрим данный алгоритм на примере функций, заданных на графике выше.

Пример №1:

Найти без построений точку пересечения для графиков

(y = 2x – 5 ) и ( y = frac{1}{4}x + 2)

1. Игреки данных функций равны, следовательно:

(2x – 5 = frac{1}{4}x + 2)

2. Иксы в данном уравнении равны, значит можем решить уравнение:

(frac{7}{4}x = 7)

(x = 4)

3. Подставим x = 4 в первое уравнение, получим:

(y = 2x – 5)

(y = 2 bullet 4 – 5)

(y = 3)

Следовательно, точкой пересечения данных графиков является точка с координатами ((4;3)), что и подтверждает наш график выше.

ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ

Графики линейных функций пересекаются под прямым углом, если

(k_{1} bullet k_{2} = –1)

(k_{1} = –frac{1}{k_{2}})

Например:

Графики функций (y = 3x–2) и (y = –frac{1}{3}x + 1) перпендикулярны друг дугу, так как

(k_{1} bullet k_{2} = 3 bullet (–frac{1}{3}) = –1)

§ 1  Взаимное расположение графиков линейных функций

Из курса геометрии мы знаем, что 2 прямые на плоскости могут совпадать, т.е. иметь бесконечно много общих точек; пересекаться, т.е. иметь одну общую точку или не пересекаться, т. е. не иметь ни одной общей точки. Такие прямые называются параллельными.

Линейная функция задаётся равенством вида у = kх + m. Коэффициент k называют угловым коэффициентом. Он «отвечает» за угол наклона прямой относительно положительного направления оси х. Если k > 0, то угол наклона острый (как на рисунке 1), если k < 0, то угол наклона тупой (как на рисунке 2).

А теперь посмотрим на рисунок 3. На нём изображены 2 прямые, заданные уравнениями у = k1 + m1 и у = k2 + m2. Предположим, что k1 = k2. Это означает, что углы наклона прямой одинаковы. Это соответственные углы, а значит данные нам прямые параллельны по признаку параллельных прямых.

Таким образом, если 2 линейные функции имеют одинаковый угловой коэффициент, то их графики будут параллельны. Если же угловые коэффициенты не равны, то графики будут пересекаться.

Например, даны линейные функции, заданные формулами у = 2х – 1 и у = 2х + 3. Как будут располагаться на плоскости их графики по отношению друг к другу? Так как угловой коэффициент первой функции k1 = 2 и угловой коэффициент второй функции k2 = 2, то графики будут параллельны.

Или другая пара: у = х – 3 и у = 2х + 3. У первой функции коэффициент k1 = 1, а у второй функции коэффициент k2 = 2. Это неравные коэффициенты, поэтому графики этих функций будут пересекаться. А в каком же случае прямые будут совпадать?

Для ответа надо сначала ответить на другой вопрос: а за что «отвечает» коэффициент m? Давайте посмотрим на рисунок, на котором изображены графики трёх функций:

у = х, у = х + 3 и у = х – 2.

У всех трёх функций угловой коэффициент k= 1, т. е. графики параллельны. Но обратите внимание: график функции у = х проходит через начало координат, здесь m = 0. График функции у = х + 3 получен сдвигом графика у = х на 3 единицы вверх, как показывает коэффициент m = 3.

График функции у = х – 2 получен сдвигом графика у = х на 2 единицы вниз, как показывает коэффициент m = –2. Иначе говоря, коэффициент m отвечает за параллельный перенос графика у = kх относительно начала координат на m единиц вдоль оси у.

Теперь можно ответить на поставленный вопрос. 2 прямые будут совпадать, если у них одинаковые угловые коэффициенты и коэффициент m1равен коэффициенту m2.

§ 2  Краткие итоги по теме урока

Графики линейных функций по отношению друг к другу на плоскости могут быть параллельны, если угловые коэффициенты k1 и k2 равны, а коэффициенты m1 и m2 различны. Могут пересекаться в случае, когда угловые коэффициенты k1 и k2 не равны. А также могут совпадать, если угловые коэффициенты k1 и k2 равны и коэффициенты m1 и m2 так же равны. График функции у = kх проходит через начало координат, т. к. коэффициент m = 0, а график функции у = kх + m проходит через точку (0; m).

Вопросы
занятия:

·  рассмотреть угловой коэффициент линейной
функции;

·  выяснить, как зависит взаимное расположение
графиков функций от значений угловых коэффициентов.

Материал
урока

На
прошлом уроке мы познакомились с линейной функцией:

На
этом уроке мы выясним, как зависит расположение графиков линейных функции от
значений коэффициентов k
и
b.

Рассмотрим
функции и построим их графики:

У
рассматриваемых функций коэффициенты k
равны,
а коэффициенты b
не
равны.

Все
прямые по построению параллельны, а также они наклонены к оси икс под
одинаковым углом. Этот угол зависит от значения числа k,
которое называют угловым коэффициентом графика линейной функции.

Давайте
построим графики функций:

У
данных функций угловые коэффициенты различны. При этом у первой функции
коэффициент k
отрицателен
и график этой функции образует с осью икс тупой угол. А у второй функции
угловой коэффициент положителен и график образует с осью икс острый угол.

Обратите
внимание, что в отличие от предыдущего примера, где угловые коэффициенты равны
и прямые параллельны, здесь графики функций пересекаются.

Таким
образом, можем сделать вывод.

Если
угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками двух линейных функций,
различны, то эти прямые пересекаются, а если угловые коэффициенты одинаковы, то
прямые параллельны.

В
системе координат, в которой мы с вами строили графики функций, в качестве
координатных осей берутся прямые, которые перпендикулярны друг к другу, поэтому
её называют прямоугольной.

Такая
система координат была введена знаменитым французским учёным Рене Декартом. И в
его честь её так же называют декартовой.