Как найти взаимное расстояние

Взаимное расположение прямых в пространстве

Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:

– прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;

– прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;

– прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;

– прямые совпадают.

Получим признаки этих случаев взаимного расположения прямых, заданных каноническими уравнениями

где — точки, принадлежащие прямым и соответственно, a — направляющие векторы (рис.4.34). Обозначим через вектор, соединяющий заданные точки.

Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямых и соответствуют следующие признаки:

– прямые и скрещивающиеся векторы не компланарны;

– прямые и пересекаются векторы компланарны, а векторы не коллинеарны;

– прямые и параллельные векторы коллинеарны, а векторы не коллинеарны;

– прямые и совпадают векторы коллинеарны.

Эти условия можно записать, используя свойства смешанного и векторного произведений. Напомним, что смешанное произведение векторов в правой прямоугольной системе координат находится по формуле:

Равенство нулю смешанного произведения векторов является необходимым и достаточным условием их компланарности. Поэтому:

– прямые и скрещивающиеся определитель отличен от нуля;

– прямые и пересекаются определитель равен нулю, а вторая и третья его строки не пропорциональны, т.е.

– прямые и параллельные вторая и третья строки определителя пропорциональны, т.е. а первые две строки не пропорциональны, т.е.

– прямые и совпадают все строки определителя пропорциональны, т.е.

---

Расстояние между параллельными прямыми

Найдем расстояние между параллельными прямыми, заданными каноническими уравнениями (рис.4.35)

где — произвольные точки на прямых и соответственно, а координаты направляющих векторов прямых пропорциональны:

Искомое расстояние равно высоте параллелограмма, построенного на векторах и , и может быть найдено по формуле (4.35).

---

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Напомним, что расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра, т.е. кратчайшее расстояние между точками этих прямых.

Найдем расстояние между скрещивающимися прямыми, заданными каноническими уравнениями

где — произвольные точки на прямых и соответственно.

Искомое расстояние равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах (рис.4.36), т.е.

где

— смешанное и векторное произведения векторов. Как показано выше, прямые и скрещивающиеся тогда и только тогда, когда векторы некомпланарные, т.е.

Отсюда следует, что вторая и третья строки не пропорциональны. Поэтому векторы неколлинеарные, т.е. и знаменатель в правой части (4.38) отличен от нуля.

---

Угол между прямыми

Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Поэтому величина острого угла между прямыми

вычисляется по формуле

---

Пример 4.16. Найти расстояние между прямой, проходящей через точки , и осью абсцисс. Найти величину острого угла между этими прямыми.

Решение. Каноническое уравнение оси абсцисс имеет вид так как ось проходит через точку а — ее направляющий вектор. Каноническое уравнение прямой получено в примере 4.15,”а”:

Полагая по формуле (4.38) получаем:

Острый угол находим по формуле (4.39):

---

Взаимное расположение прямой и плоскости

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости:

– прямая и плоскость пересекаются, т.е. имеют одну общую точку;

– прямая и плоскость параллельны, т.е. не имеют общих точек;

– прямая лежит в плоскости, т.е. все точки прямой принадлежат плоскости.

Получим признаки для всех этих случаев. Пусть прямая и плоскость заданы уравнениями:

т.е. прямая проходит через точку коллинеарно вектору а плоскость перпендикулярна вектору

Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямой и плоскости соответствуют следующие признаки:

– прямая и плоскость пересекаются векторы и не ортогональны (рис.4.37,а);

– прямая и плоскость параллельны векторы и ортогональны, а точка не принадлежит плоскости (рис.4.37,б);

– прямая лежит в плоскости векторы и ортогональны, а точка принадлежит плоскости (рис.4.37,в).

Учитывая свойство скалярного произведения векторов получаем:

– прямая и плоскость пересекаются ;

– прямая и плоскость параллельны

– прямая лежит в плоскости

---

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость (рис.4.38). Из двух смежных углов и , как правило, выбирают меньший. Если прямая перпендикулярна плоскости (ее ортогональная проекция на плоскость является точкой), то угол считается равным . Если обозначить и углы, образованные наклонной с перпендикуляром к плоскости, то

Поскольку угол (или ) равен углу между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости , то . Записывая скалярное произведение через координаты множителей, получаем формулу вычисления угла между прямой и плоскостью:

Отсюда, например, следует полученное ранее необходимое условие параллельности прямой и плоскости.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Расстояние между прямыми в пространстве онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между прямыми в пространстве. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния между прямыми в пространстве, задайте вид уравнения прямых (“канонический” или “параметрический” ), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку “Решить”.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Расстояние между прямыми в пространстве − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L₁ и L₂:

.

(1)

,

(2)

Прямые (1) и (2) в пространстве могут совпадать, быть паралленьными, пересекаться, или быть скрещивающимся. Если прямые в пространстве пересекаются или совпадают, то расстояние между ними равно нулю. Мы рассмотрим два случая. Первый − прямые параллельны, и второй − прямые скрещиваются. Остальные являются частыми случаями. Если при вычислении расстояния между параллельными прямыми мы получим расстояние равным нулю, то это значит, что эти прямые совпадают. Если же расстояние между скрещивающимися прямыми равно нулю, то эти прямые пересекаются.

1. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве

Рассмотрим два метода вычисления расстояния между прямыми.

которое и является расстоянием между прямыми L₁ и L₂ (Рис.1).

Пример 1. Найти расстояние между прямыми L₁ и L₂:

(3)

(4)

Найдем проекцию точки M₁ на прямую L₂. Для этого построим плоскость α, проходящей через точку M₁ и перпендикулярной прямойL₂.

Для того, чтобы плоскость α было перепендикулярна прямой L₂, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L₂, т.е. в качестве нормального вектора плоскости α можно взять направляющий вектор прямой L₂. Тогда уравнение искомой плоскости, проходящей через точку M₁(x₁, y₁, z₁) имеет следующий вид:

m2<x−x1)+p2(y−y1)+ l2(z−z1)=0

(5)

После упрощения получим уравнение плоскости, проходящей через точку M₁ и перпендикулярной прямой L₂:

Найдем точку пересечения прямой L₂ и плоскости α, для этого построим параметрическое уравнение прямой L₂.

Выразив переменные x, y, z через параметр t, получим параметрическое уравнение прямой L₂:

(7)

Чтобы найти точку пересечения прямой L₂ и плоскости α, подставим значения переменных x, y, z из (7) в (6):

Решив уравнение получим:

(8)

Подставляя полученное значение t в (7), получим точку пересеченияпрямой L₂ и плоскости α:

Остается найти расстояние между точками M₁ и M₃:

Ответ: Расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно d=7.2506.

Метод 2. Найдем расстояние между прямыми L₁ и L₂ (уравнения (1) и (2)). Во первых, проверяем параллельность прямых L₁ и L₂. Если направляющие векторы прямых L₁ и L₂ коллинеарны, т.е. если существует такое число λ, что выполнено равенство q₁=λq₂, то прямые L₁ и L₂ параллельны.

Данный метод вычисления расстояния между параллельными векторами основана на понятии векторного произведения векторов. Известно, что норма векторного произведения векторов и q₁ дает площадь параллелограмма, образованного этими векторами (Рис.2). Узнав площадь параллелограмма, можно найти вершину параллелограмма d, разделив площадь на основание q₁ параллелограмма.

Вычислим координаты вектора :

Вычислим векторное произведение векторов и q₁:

Вычисляя определители второго порядка находим координаты вектора c:

Далее находим площадь параллелограмма:

.

Расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно:

,

,

Пример 2. Решим пример 1 методом 2. Найти расстояние между прямыми

(25)

(26)

Векторы q₁ и q₂ коллинеарны. Следовательно прямые L₁ и L₂ параллельны. Для вычисления расстояния между параллельными прямыми воспользуемся векторным произведением векторов.

Построим вектор =<x₂−x₁, y₂−y₁, z₂−z₁>=<7, 2, 0>.

Вычислим векторное произведение векторов и q₁. Для этого составим 3×3 матрицу, первая строка которой базисные векторы i, j, k, а остальные строки заполнены элементами векторов и q₁:

Вычислим определитель этой матрицы, разложив ее по первой строке. Результатом этих вычислений получим векторное произведение векторов и q₁:

Таким образом, результатом векторного произведения векторов и q₁ будет вектор:

Поскольку векторное произведение векторов и q₁ дает плошадь параллелограмма образованным этими векторами, то расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно :

Ответ: Расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно d=7.25061.

2. Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве

Пусть задана декартова прямоугольная симтема координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L₁ и L₂ (уравнения (1) и (2)).

Пусть прямые L₁ и L₂ не параллельны (паралельные прямые мы расстотрели в предыдущем параграфе). Чтобы найти расстояние между прямыми L₁ и L₂ нужно построить параллельные плоскости α₁ и α₂ так, чтобы прямая L₁ лежал на плоскости α₁ а прямая L₂ − на плоскости α₂. Тогда расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно расстоянию между плоскостями L₁ и L₂ (Рис. 3).

Поскольку плоскость α₁, проходит через прямую L₁, то он проходит также через M₁(x₁, y₁, z₁). Следовательно справедливо следующее равенство:

A1x1+B1y1+C1z1+D1=0.

(27)

где n₁=<A₁, B₁, C₁> − нормальный вектор плоскости α₁. Для того, чтобы плоскость α₁ проходила через прямую L₁, нормальный вектор n₁ должен быть ортогональным направляющему вектору q₁ прямой L₁, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Так как плоскость α₁ должна быть параллельной прямой L₂, то должна выполнятся условие:

Решая систему линейных уравнений (27)−(29), с тремя уравнениями и четыремя неизвестными A₁, B₁, C₁, D₁, и подставляя в уравнение

получим уравнение плоскости α₁. (Как построить уравнение плоскости, проходящей через прямую, параллельно другой прямой подробно изложено здесь).

Аналогичным образом находим уравнение плоскости α₂:

Плоскости α₁ и α₂ параллельны, следовательно полученные нормальные векторыn₁=<A₁, B₁, C₁> и n₂=<A₂, B₂, C₂> этих плоскостей коллинеарны. Если эти векторы не равны, то можно умножить (31) на некторое число так, чтобы полученный нормальный вектор n₂ совпадал с нормальным вектором уравнения (30).

Тогда расстояние между параллельными плоскостями вычисляется формулой:

.

Полученное расстояние между плоскостями α₁ и α₂ является также расстоянием между прямыми L₁ и L₂.

Пример 3. Найти расстояние между прямыми

(32)

(33)

Построим плоскость α₁, проходящую через прямую L₁, параллельно прямой L₂.

Поскольку плоскость α₁ проходит через прямую L₁ , то она проходит также через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=M₁(2, 1, 4) и нормальный вектор n₁=<m₁, p₁, l₁> плоскости α₁ перпендикулярна направляющему вектору q₁ прямой L₁. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

A1x1+B1y1+C1z1+D1=0.

(34)

а условие параллельности прямой L₁ и искомой плоскости α₁ представляется следующим условием:

Так как плоскость α₁ должна быть параллельной прямой L₂, то должна выполнятся условие:

A1·2+B1·1+C1·4+D1=0.

(37)

A1·1+B1·3+C1·(−2)=0.

(38)

A1·2+B1·(−3)+C1·7=0.

(39)

Представим эти уравнения в матричном виде:

(40)

(41)

Искомая плоскость может быть представлена формулой:

Упростим уравнение, умножив на число 17.

(43)

Построим плоскость α₂, проходящую через прямую L₂, параллельно прямой L₁.

Поскольку плоскость α₂ проходит через прямую L₂ , то она проходит также через точку M₂(x₂, y₂, z₂)=M₂(6, −1, 2) и нормальный вектор n₂=<m₂, p₂, l₂> плоскости α₂ перпендикулярна направляющему вектору q₂ прямой L₂. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

A2x2+B2y2+C2z2+D2=0.

(44)

а условие параллельности прямой L₂ и искомой плоскости α₂ представляется следующим условием:

Так как плоскость α₂ должна быть параллельной прямой L₁, то должна выполнятся условие:

A1·6+B1·(−1)+C1·2+D1=0.

(47)

A1·2+B1·(−3)+C1·7=0.

(48)

A1·1+B1·3+C1·(−2)=0.

(49)

Представим эти уравнения в матричном виде:

(50)

(51)

Искомая плоскость может быть представлена формулой:

Упростим уравнение, умножив на число −83.

(53)

Расстояние между построенными плоскостями (43) и (53) будет расстоянием между прямыми (1) и (2).

Запишем формулы уравнений плоскостей α₁ и α₂ :

Поскольку нормальные векторы плоскостей α₁ и α₂ совпадают, то можно найти расстояние между плоскостями α₁ и α₂, используя следующую формулу:

(54)

Упростим и решим:

Расстояние между прямыми равно: d=4.839339

Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости

Показать, при каких условиях прямые на плоскости параллельны, пересекаются, совпадают. Рассмотреть случаи, когда прямые заданы каноническими, общими или уравнениями с угловым коэффициентом. Научить находить косинус угла между пересекающимися прямыми и координаты точки их пересечения. Научить находить расстояние от точки до прямой на плоскости и расстояние между параллельными прямыми.

1) Школьники должны знать:

− условия, при которых прямые пересекаются, параллельны, совпадают, в случаях, если прямые заданы общими уравнениями, каноническими, уравнениями с угловым коэффициентом;

− условия, при которых прямые перпендикулярны;

− формулу для нахождения расстояния от точки до прямой на плоскости;

− формулу для нахождения косинуса угла между пересекающимися прямыми в случаях, если прямые заданы общими уравнениями, каноническими, уравнениями с угловым коэффициентом.

2) Школьники должны уметь:

− выяснять взаимное расположение прямых на плоскости;

− находить угол между прямыми на плоскости;

− находить расстояние от точки до прямой на плоскости;

− находить расстояние между параллельными прямыми на плоскости.

Взаимное расположение прямых на плоскости

Прямые на плоскости могут совпадать, пересекаться или быть параллельными.

1.Пусть на плоскости заданы общими уравнениями две прямые L1 и L2:

где и – нормальные векторы прямых L1 и L2, соответственно.

а) совпадают, если

− нормальные векторы прямых коллинеарны, а значит, их координаты пропорциональны;

− точка, лежащая на первой прямой, лежит также и на второй прямой

.

б) параллельны, если

− нормальные векторы прямых коллинеарны, а значит, их координаты пропорциональны;

− точка, лежащая на первой прямой, не лежит на второй прямой.

.

в) пересекаются, если нормальные векторы прямых не коллинеарны, а значит, их координаты не пропорциональны, т. е.

.

2.Пусть на плоскости заданы прямые L1 и L2 каноническими уравнениями:

а) совпадают, если

− направляющие векторы прямых коллинеарны, а значит, их координаты пропорциональны;

− точка, лежащая на первой прямой, лежит также и на второй прямой

и .

б) параллельны, если

− направляющие векторы прямых коллинеарны, а значит, их координаты пропорциональны;

− точка, лежащая на первой прямой, не лежит на второй прямой.

и .

в) пересекаются, если направляющие векторы прямых не коллинеарны, а значит, их координаты не пропорциональны, т. е.

3.Если прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловым коэффициентом

а) совпадают, если k1 = k2 и b1 = b2;

б) параллельны, если k1 = k2 и b1 ¹ b2;

в) пересекаются, если k1 ¹ k2.

Угол между прямыми на плоскости

Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых.

1.Пусть на плоскости заданы прямые L1 и L2 общими уравнениями:

Тогда косинус наименьшего угла между прямыми L1 и L2 на плоскости равен модулю косинуса угла между нормальными векторами этих прямых:

В случае если прямые L1 и L2 перпендикулярны, их нормальные векторы также перпендикулярны, а значит, скалярное произведение нормальных векторов должно быть равно нулю, т. е. .

2.Пусть прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями:

Тогда косинус наименьшего угла между прямыми L1 и L2 равен модулю косинуса угла между направляющими векторами этих прямых:

2. Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловым коэффициентом

Тогда тангенс наименьшего угла между прямыми L1 и L2 можно найти по формуле:

,

где k1 и k2 – угловые коэффициенты прямых L1 и L2.

Очевидно, что две прямые будут параллельны, если их угловые коэффициенты будут равны.

Итак, условие параллельности двух прямых:

Если две прямые перпендикулярны, т. е. угол φ = p/2, мы получим

Это будет иметь место, когда

Итак, условие перпендикулярности двух прямых:

Расстояние от точки до прямой на плоскости

Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.

Расстояние от точки до прямой можно вычислить:

1) Как длину отрезка перпендикуляра, если удается включить этот отрезок в некоторый треугольник в качестве одной из высот;

2) Используя координатно – векторный метод.

Пусть на плоскости заданы прямая L и точка M, не принадлежащая этой прямой

–

расстояние от точки М0(x0, y0) до прямой L.

Замечание. Расстояние между двумя параллельными прямыми на плоскости можно найти по последней формуле, если находить расстояние от любой точки, принадлежащей одной прямой, до другой прямой.

Даны координаты точек A(4, 1), B(2, −1), C(−3, 5). Найти угол между медианой и высотой, проведенными из вершины A.

Напишем уравнение высоты AH. Для любой точки M(x, y), лежащей на прямой AH, вектор перпендикулярен вектору , а значит, скалярное произведение этих векторов должно быть равно нулю, т. е. .

и ,

Итак, уравнение высоты AH:

Напишем уравнение медианы, проведенной из вершины A. Найдем координаты точки D. Точка D − середина отрезка BC, значит, ее координаты можно найти как среднее арифметическое координат точек B и C. Координаты точек B(2, −1) и C(−3, 5), тогда координаты точки D:

Для любой точки N(x, y), лежащей на медиане AD, вектор коллинеарен вектору , а значит, координаты этих векторов должны быть пропорциональны. Найдем координаты векторов и :

Запишем условие пропорциональности координат:

(умножим на (1/2));

По свойству пропорций получим:

.

Получили общее уравнение медианы AD:

.

Косинус наименьшего угла между прямыми равен модулю косинуса угла между нормальными векторами этих прямых.

Уравнение прямой AH: Тогда нормальный вектор этой прямой − . Уравнение прямой AD: . Тогда нормальный вектор этой прямой − .

.

Ответ: .

Даны координаты точек A(4, 1), B(2, −1), C(−3, 5). Найти расстояние от точки A до прямой BC.

Напишем уравнение прямой BC. Для любой точки N(x, y), лежащей на прямой BC, вектор коллинеарен вектору , а значит, координаты этих векторов должны быть пропорциональны:

.

Перемножив по свойству пропорций, перейдем к общему уравнению прямой:

Тогда общее уравнение прямой BC:

.

Точка A(4, 1) BC. Расстояние от точки до прямой на плоскости можно найти по формуле:

где .

.

Ответ: расстояние от точки A до прямой BC равно .

Выяснить взаимное расположение прямых L1 и L2. Если прямые пересекаются, то найти угол между ними и координаты точки их пересечения, а если параллельны, то найти расстояние между ними:

L1: ;

L2: ;

Запишем координаты нормальных векторов прямых L1 и L2:

L1: , тогда – нормальный вектор прямой L1;

L2: , тогда – нормальный вектор прямой L2.

Найдем отношение координат нормальных векторов прямых:

.

Так как координаты нормальных векторов пропорциональны, то векторы и коллинеарны, а значит, прямые L1, и L2 либо параллельны, либо совпадают.

Прямые параллельны так как

.

Расстояние между прямыми найдем, как расстояние от точки М1, лежащей на прямой L1, до прямой L2 по формуле:

где .

Найдем координаты точки M1, принадлежащей прямой L1. Для этого одну из координат, например y0, примем равной нулю, тогда x0 = 4, значит, точка .

Ответ: прямые параллельны, расстояние между ними равно .

Выяснить взаимное расположение прямых L1 и L2. Если прямые пересекаются, то найти угол между ними и координаты точки их пересечения, а если параллельны, то найти расстояние между ними:

Найдем направляющие векторы прямых L1 и L2:

,

то координаты направляющих векторов не пропорциональны. Следовательно, прямые L1 и L2 пересекаются.

Косинус наименьшего угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами этих прямых.

Найдем координаты точки пересечения прямых L1 и L2. Для этого получим общие уравнения этих прямых.

Пусть точка М (x0, y0) − точка пересечения прямых L1 и L2. Тогда координаты точки М должны удовлетворять обоим уравнениям. Решим систему уравнений:

Следовательно, точка − точка пересечения прямых L1 и L2.

Ответ: прямые пересекаются, , точка пересечения прямых − точка .

Задачи для усвоения пройденного материала.

1. Найти расстояние от точки А(−4, 1) до прямой, проходящей через точки B(1, −1), C(1, 5).

2. Выяснить взаимное расположение прямых и .

3. Найти точку пересечения медиан треугольника, вершинами которого являются точки

4. Найти точку пересечения высот треугольника, вершинами которого являются точки

5. Написать уравнение прямой, проходящей через точку и составляющей угол 450 с прямой .

6. Найти угол между прямыми и

1. При каких значениях параметров прямые и параллельны? совпадают? пересекаются?

2. При каких значениях параметров прямые и параллельны? совпадают? пересекаются?

3. При каких значениях параметров прямые и параллельны? совпадают? пересекаются?

4. Как найти угол между пересекающимися прямыми,?

5. Как найти координаты точки пересечения прямых?

6. Как найти расстояние между параллельными прямыми?

7. При каких значениях параметров прямые и параллельны? совпадают? пересекаются?

Расстояние между двумя параллельными прямыми: определение и примеры нахождения

В материале этой статьи разберем вопрос нахождения расстояния между двумя параллельными прямыми, в частности, при помощи метода координат. Разбор типовых примеров поможет закрепить полученные теоретические знания.

Расстояние между двумя параллельными прямыми: определение

Расстояние между двумя параллельными прямыми – это расстояние от некоторой произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Приведем иллюстрацию для наглядности:

На чертеже изображены две параллельные прямые a и b . Точка М 1 принадлежит прямой a , из нее опущен перпендикуляр на прямую b . Полученный отрезок М 1 Н 1 и есть расстояние между двумя параллельными прямыми a и b .

Указанное определение расстояния между двумя параллельными прямыми справедливо как на плоскости, так и для прямых в трехмерном пространстве. Кроме того, данное определение взаимосвязано со следующей теоремой.

Когда две прямые параллельны, все точки одной из них равноудалены от другой прямой.

Пусть нам заданы две параллельные прямые a и b . Зададим на прямой а точки М 1 и М 2 , опустим из них перпендикуляры на прямую b , обозначив их основания соответственно как Н 1 и Н 2 . М 1 Н 1 – это расстояние между двумя параллельными прямыми по определению, и нам необходимо доказать, что | М 1 Н 1 | = | М 2 Н 2 | .

Пусть будет также существовать некоторая секущая, которая пересекает две заданные параллельные прямые. Условие параллельности прямых, рассмотренное в соответствующей статье, дает нам право утверждать, что в данном случае внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении секущей заданных прямых, являются равными: ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . Прямая М 2 Н 2 перпендикулярна прямой b по построению, и, конечно, перпендикулярна прямой a . Получившиеся треугольники М 1 Н 1 Н 2 и М 2 М 1 Н 2 являются прямоугольными и равными друг другу по гипотенузе и острому углу: М 1 Н 2 – общая гипотенуза, ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . Опираясь на равенство треугольников, мы можем говорить о равенстве их сторон, т.е.: | М 1 Н 1 | = | М 2 Н 2 | . Теорема доказана.

Отметим, что расстояние между двумя параллельными прямыми – наименьшее из расстояний от точек одной прямой до точек другой.

Нахождение расстояния между параллельными прямыми

Мы уже выяснили, что, по сути, чтобы найти расстояние между двумя параллельными прямыми, необходимо определить длину перпендикуляра, опущенного из некой точки одной прямой на другую. Способов, как это сделать, несколько. В каких-то задачах удобно воспользоваться теоремой Пифагора; другие предполагают использование признаков равенства или подобия треугольников и т.п. В случаях, когда прямые заданы в прямоугольной системе координат, возможно вычислить расстояние между двумя параллельными прямыми, используя метод координат. Рассмотрим его подробнее.

Зададим условия. Допустим, зафиксирована прямоугольная система координат, в которой заданы две параллельные прямые a и b . Необходимо определить расстояние между заданными прямыми.

Решение задачи построим на определении расстояния между параллельными прямыми: для нахождения расстояния между двумя заданными параллельными прямыми необходимо:

– найти координаты некоторой точки М 1 , принадлежащей одной из заданных прямых;

– произвести вычисление расстояния от точки М 1 до заданной прямой, которой эта точка не принадлежит.

Опираясь на навыки работы с уравнениями прямой на плоскости или в пространстве, определить координаты точки М 1 просто. При нахождении расстояния от точки М 1 до прямой пригодится материал статьи о нахождении расстояния от точки до прямой.

Вернемся к примеру. Пусть прямая a описывается общим уравнением A x + B y + C 1 = 0 , а прямая b – уравнением A x + B y + C 2 = 0 . Тогда расстояние между двумя заданными параллельными прямыми возможно вычислить, используя формулу:

M 1 H 1 = C 2 – C 1 A 2 + B 2

Выведем эту формулу.

Используем некоторую точку М 1 ( x 1 , y 1 ) , принадлежащую прямой a . В таком случае координаты точки М 1 будут удовлетворять уравнению A x 1 + B y 1 + C 1 = 0 . Таким образом, справедливым является равенство: A x 1 + B y 1 + C 1 = 0 ; из него получим: A x 1 + B y 1 = – C 1 .

Когда С 2 0 , нормальное уравнение прямой b будет иметь вид:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y + C 2 A 2 + B 2 = 0

При С 2 ≥ 0 нормальное уравнение прямой b будет выглядеть так:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y – C 2 A 2 + B 2 = 0

И тогда для случаев, когда С 2 0 , применима формула: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2 .

А для С 2 ≥ 0 искомое расстояние определяется по формуле M 1 H 1 = – A A 2 + B 2 x 1 – B A 2 + B 2 y 1 – C 2 A 2 + B 2 = = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Таким образом, при любом значении числа С 2 длина отрезка | М 1 Н 1 | (от точки М 1 до прямой b ) вычисляется по формуле: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Выше мы получили: A x 1 + B y 1 = – C 1 , тогда можем преобразовать формулу: M 1 H 1 = – C 1 A 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 = C 2 – C 1 A 2 + B 2 . Так мы, собственно, получили формулу, указанную в алгоритме метода координат.

Разберем теорию на примерах.

Заданы две параллельные прямые y = 2 3 x – 1 и x = 4 + 3 · λ y = – 5 + 2 · λ . Необходимо определить расстояние между ними.

Решение

Исходные параметрические уравнения дают возможность задать координаты точки, через которую проходит прямая, описываемая параметрическими уравнениями. Таким образом, получаем точку М 1 ( 4 , – 5 ) . Требуемое расстояние – это расстояние между точкой М 1 ( 4 , – 5 ) до прямой y = 2 3 x – 1 , произведем его вычисление.

Заданное уравнение прямой с угловым коэффициентом y = 2 3 x – 1 преобразуем в нормальное уравнение прямой. С этой целью сначала осуществим переход к общему уравнению прямой:

y = 2 3 x – 1 ⇔ 2 3 x – y – 1 = 0 ⇔ 2 x – 3 y – 3 = 0

Вычислим нормирующий множитель: 1 2 2 + ( – 3 ) 2 = 1 13 . Умножим на него обе части последнего уравнения и, наконец, получим возможность записать нормальное уравнение прямой: 1 13 · 2 x – 3 y – 3 = 1 13 · 0 ⇔ 2 13 x – 3 13 y – 3 13 = 0 .

При x = 4 , а y = – 5 вычислим искомое расстояние как модуль значения крайнего равенства:

2 13 · 4 – 3 13 · – 5 – 3 13 = 20 13

Ответ: 20 13 .

В фиксированной прямоугольной системе координат O x y заданы две параллельные прямые, определяемые уравнениями x – 3 = 0 и x + 5 0 = y – 1 1 . Необходимо найти расстояние между заданными параллельными прямыми.

Решение

Условиями задачи определено одно общее уравнение, задаваемое одну из исходных прямых: x-3=0. Преобразуем исходное каноническое уравнение в общее: x + 5 0 = y – 1 1 ⇔ x + 5 = 0 . При переменной x коэффициенты в обоих уравнениях равны (также равны и при y – нулю), а потому имеем возможность применить формулу для нахождения расстояния между параллельными прямыми:

M 1 H 1 = C 2 – C 1 A 2 + B 2 = 5 – ( – 3 ) 1 2 + 0 2 = 8

Ответ: 8 .

Напоследок рассмотрим задачу на нахождение расстояния между двумя параллельными прямыми в трехмерном пространстве.

В прямоугольной системе координат O x y z заданы две параллельные прямые, описываемые каноническими уравнениями прямой в пространстве: x – 3 1 = y – 1 = z + 2 4 и x + 5 1 = y – 1 – 1 = z – 2 4 . Необходимо найти расстояние между этими прямыми.

Решение

Из уравнения x – 3 1 = y – 1 = z + 2 4 легко определются координаты точки, через которую проходит прямая, описываемая этим уравнением: М 1 ( 3 , 0 , – 2 ) . Произведем вычисление расстояния | М 1 Н 1 | от точки М 1 до прямой x + 5 1 = y – 1 – 1 = z – 2 4 .

Прямая x + 5 1 = y – 1 – 1 = z – 2 4 проходит через точку М 2 ( – 5 , 1 , 2 ) . Запишем направляющий вектор прямой x + 5 1 = y – 1 – 1 = z – 2 4 как b → с координатами ( 1 , – 1 , 4 ) . Определим координаты вектора M 2 M → :

M 2 M 1 → = 3 – ( – 5 , 0 – 1 , – 2 – 2 ) ⇔ M 2 M 1 → = 8 , – 1 , – 4

Вычислим векторное произведение векторов :

b → × M 2 M 1 → = i → j → k → 1 – 1 4 8 – 1 – 4 = 8 · i → + 36 · j → + 7 · k → ⇒ b → × M 2 M 1 → = ( 8 , 36 , 7 )

Применим формулу расчета расстояния от точки до прямой в пространстве:

M 1 H 1 = b → × M 2 M 1 → b → = 8 2 + 36 2 + 7 2 1 2 + ( – 1 ) 2 + 4 2 = 1409 3 2

[spoiler title=”источники:”]

http://pandia.ru/text/78/424/22534.php

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/rasstojanie-mezhdu-dvumja-parallelnymi-prjamymi/

[/spoiler]

Пусть
даны две прямые l₁
и l₂
на плоскости:

.

Чтобы
определить их взаимное расположение,
достаточно решить систему уравнений:

(3.8)

Если
эта система имеет единственное решение
(х₀,
у₀),
то прямые l₁
и l₂,
пересекается в точке М₀(х₀,
у₀).
Если система (3.8) не имеет решений, то
прямые l₁
и l₂
не пересекаются, следовательно, l₁
|| l₂.
Если система (3.8) имеет бесконечное
множество решений, то l₁
и l₂
совпадают.

Однако
решить вопрос о взаимном расположении
l₁
и l₂
можно и не решая системы (3.3). Действительно,
из общего уравнения прямой l₁,
находим, что ее нормальный вектор
имеет координатыА₁
и В₁
, т.е.
= {А₁,
В₁},
а прямая l₂
имеет нормальный вектор
= {А₂,
В₂}.
Если векторы
,коллинеарны, то прямыеl₁
и l₂
либо параллельны, либо совпадают. Если
,неколлинеарны, то прямые пересекаются.
Зная, что коллинеарные векторы (и только
они) имеют пропорциональные координаты,
получаем: если,
то прямыеl₁
и l₂
пересекаются; если
то
прямыеl₁
и l₂
параллельны;
если
то
прямыеl₁
и l₂
совпадают.

Используя
нормальные векторы
,можно также найти угол между прямыми,
так как угол между нормальными векторами
равен одному из угловмежду прямымиl₁
и l₂
(рис. 3.9).

Из
определения скалярного произведения
векторов получаем:,
поэтому.

Пусть
на плоскости заданы прямая
и точкаМ₀(х₀,
у₀).
Найдем расстояние d
от точки М₀(х₀,
у₀)
до прямой l
(рис. 3.10). Пусть М₁(х₁,
у₁)
– точка пересечения прямой l
и прямой, проходящей через точку М₀
перпендикулярно l.
Так как М₁
лежит на l,
то ее
координаты удовлетворяют уравнению
этой прямой, таким образом, имеем
тождество:

.
(3.9)

Рассмотрим
вектор
.
Этот вектор коллинеарен нормальному
вектору= {А₁,
В₁}
прямой l
и
,
поэтому косинус угла между векторамииравен либо 1, либо -1. Следовательно,,
откуда

.

Учитывая
тождество (3.9) получаем:

.
(3.10)

Пример
3.3. Найти
расстояние от точки пересечения прямых
l_l
и l₂
до прямой l₃.
Определить взаимное расположение пар
прямых l₁,
l₃
и l₂,
l₃,
если прямые заданы общими уравнениями:

Решение.Решим систему уравнений:

Получим:
х₀
= 1, у₀
= 2
– единственное
решение. Следовательно, прямые l₁
и l₂
пересекается
в точке М₀(1,
2). Используя формулу (3.10), найдем расстояние
d
от М₀
до l₃:

Нормальные
векторы прямых l₁,
l₂
и l₃
соответственно будут
= {3, –2},= {1, 1},= {–6, 4}. Так как координатыипропорциональны 3/( – 6) = –2/3 и –2/41/(
–3), тоl₁
|| l₃.
Для
и
имеем:
1/(–6)1/4,
следовательно,l₂
и l₃
пересекаются.

3.3. Плоскость в пространстве

Пусть
в пространстве задана прямоугольная
система координат: 0 – начало координат,– единичные направляющие векторы осей
координат, соответственно 0х,
0у
и 0z.
Рассмотрим в пространстве произвольную
плоскость
.
Выведем уравнение этой плоскости, т.е.
уравнение, содержащее переменныех,
у,
z,
которому удовлетворяют координаты
любой точки, лежащей на плоскости
и не удовлетворяют координаты никакой
точки, не лежащей
на этой
плоскости.

Пусть
задана точка М₁(х₁,
у₁,
z₁)и вектор={А,
В,
C}
перпендикулярный плоскости
(нормальный вектор плоскости). ПустьM(x,
у,
z)
– произвольная точка, принадлежащая
плоскости
.
Тогда вектор

перпендикулярен
вектору
(рис. 3.11), а поэтому=
0 (условие перпендикулярности векторов
(см. разд. 2.4)) или

.
(3.11)

Итак,
координаты любой точки М,
лежащей в плоскости
,
удовлетворяют этому уравнению
и,
легко видеть, что координаты точки, не
лежащей в плоскости
,
не удовлетворяют уравнению (3.11).
Следовательно, уравнение (3.11) является
уравнением плоскости и называется
уравнением плоскостипо
точке и нормальному вектору.

Уравнение
(3.11) является уравнением первой степени
относительно текущих координат х,
у,
z.
Можно показать (аналогично тому, как
это было сделано в разд. 3.1), что всякое
уравнение первой степени относительно
x,
у,
z

(3.12)

является
уравнением некоторой плоскости (оно
называется общим
уравнением плоскости), причем вектор
={А,
В,
C},
является нормальным вектором плоскости.

Если
в уравнении (3.12) D
= 0, то этому
уравнению удовлетворяет тройка чисел
(0, 0, 0), т.е. соответствующая плоскость
проходит через начало координат. Нетрудно
видеть, что плоскость 0ху
имеет уравнение
,
плоскость 0xz
– уравнение
,
a плоскость 0yz
задается уравнением
.

Известно,
что плоскость однозначно определяется
тремя точками, не лежащими на одной
прямой. Пусть
иМ(х,
у,
z)
– произвольная точка плоскости
(рис. 3.12). Рассмотрим векторы

они
компланарны, поэтому
их смешанное
произведение равно 0, т.е.

(3.13)

Это
уравнение называется уравнением
плоскости по
трем точкам.

Пусть
плоскость
пересекает оси координат в точках:М₁(а,
0, 0), М₂(0,
b,
0), M₃(0,
0, с).
Подставляя
их координаты
в уравнение (3.13), находим:

Вычислив определитель,
получим:

,

откуда

Это
уравнение называется уравнением
плоскости в
отрезках.

Пример
3.4. Построить
плоскость, заданную общим уравнением:

.

Решение.
Преобразуем данное уравнение в уравнение
в отрезках

В

M₁

идим,
что плоскость отсекает на осях 0x,
0y, 0z, соответственно отрезки 3,
2, 1. Следовательно, она проходит через
точки

М₁(3,
0, 0), М₂(0
2, 0), М₃(0,
0, 1).

По этим данным легко
построить плоскость (рис. 3.13).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Расстояние между прямыми в пространстве онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между прямыми в пространстве. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния между прямыми в пространстве, задайте вид уравнения прямых (“канонический” или “параметрический” ), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку “Решить”.

Расстояние между прямыми в пространстве − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L₁ и L₂:

где M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂) − точки, лежащие на прямых L₁ и L₂, а q₁={m₁, p₁, l₁} и q₂={m₂, p₂, l₂} − направляющие векторы прямых L₁ и L₂, соответственно.

Прямые (1) и (2) в пространстве могут совпадать, быть паралленьными, пересекаться, или быть скрещивающимся. Если прямые в пространстве пересекаются или совпадают, то расстояние между ними равно нулю. Мы рассмотрим два случая. Первый − прямые параллельны, и второй − прямые скрещиваются. Остальные являются частыми случаями. Если при вычислении расстояния между параллельными прямыми мы получим расстояние равным нулю, то это значит, что эти прямые совпадают. Если же расстояние между скрещивающимися прямыми равно нулю, то эти прямые пересекаются.

1. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве

Рассмотрим два метода вычисления расстояния между прямыми.

Метод 1. От точки M₁ прямой L₁ проводим плоскость α, перпендикулярно прямой L₂. Находим точку M₃(x₃, y₃, y₃) пересечения плоскости α и прямой L₃. По сути мы находим проекцию точки M₁ на прямую L₂. Как найти проекцию точки на прямую посмотрите здесь. Далее вычисляем расстояние между точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₃(x₃, y₃, z₃):

которое и является расстоянием между прямыми L₁ и L₂ (Рис.1).

Пример 1. Найти расстояние между прямыми L₁ и L₂:

Решение. Прямая L₁ проходит через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=M₁(1, 2, 1) и имеет направляющий вектор

Прямая L₂ проходит через точку M₂(x₂, y₂, z₂)=M₂(8, 4, 1) и имеет направляющий вектор

Найдем проекцию точки M₁ на прямую L₂. Для этого построим плоскость α, проходящей через точку M₁ и перпендикулярной прямойL₂.

Для того, чтобы плоскость α было перепендикулярна прямой L₂, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L₂, т.е. в качестве нормального вектора плоскости α можно взять направляющий вектор прямой L₂. Тогда уравнение искомой плоскости, проходящей через точку M₁(x₁, y₁, z₁) имеет следующий вид:

Подставляя значения m₂, p₂, l₂, x₁, y₁, z₁ в (5) получим :

После упрощения получим уравнение плоскости, проходящей через точку M₁ и перпендикулярной прямой L₂:

Найдем точку пересечения прямой L₂ и плоскости α, для этого построим параметрическое уравнение прямой L₂.

Выразив переменные x, y, z через параметр t, получим параметрическое уравнение прямой L₂:

Чтобы найти точку пересечения прямой L₂ и плоскости α, подставим значения переменных x, y, z из (7) в (6):

Решив уравнение получим:

Подставляя полученное значение t в (7), получим точку пересеченияпрямой L₂ и плоскости α:

Остается найти расстояние между точками M₁ и M₃:

Ответ: Расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно d=7.2506.

Метод 2. Найдем расстояние между прямыми L₁ и L₂ (уравнения (1) и (2)). Во первых, проверяем параллельность прямых L₁ и L₂. Если направляющие векторы прямых L₁ и L₂ коллинеарны, т.е. если существует такое число λ, что выполнено равенство q₁=λq₂, то прямые L₁ и L₂ параллельны.

Данный метод вычисления расстояния между параллельными векторами основана на понятии векторного произведения векторов. Известно, что норма векторного произведения векторов и q₁ дает площадь параллелограмма, образованного этими векторами (Рис.2). Узнав площадь параллелограмма, можно найти вершину параллелограмма d, разделив площадь на основание q₁ параллелограмма.

Вычислим координаты вектора :

Вычислим векторное произведение векторов и q₁:

Вычисляя определители второго порядка находим координаты вектора c:

Далее находим площадь параллелограмма:

Расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно:

где

Пример 2. Решим пример 1 методом 2. Найти расстояние между прямыми

и

Решение. Прямая L₁ проходит через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=M₁(1, 2, 1) и имеет направляющий вектор

Прямая L₂ проходит через точку M₂(x₂, y₂, z₂)=M₂(8, 4, 1) и имеет направляющий вектор

Векторы q₁ и q₂ коллинеарны. Следовательно прямые L₁ и L₂ параллельны. Для вычисления расстояния между параллельными прямыми воспользуемся векторным произведением векторов.

Построим вектор ={x₂−x₁, y₂−y₁, z₂−z₁}={7, 2, 0}.

Вычислим векторное произведение векторов и q₁. Для этого составим 3×3 матрицу, первая строка которой базисные векторы i, j, k, а остальные строки заполнены элементами векторов и q₁:

Вычислим определитель этой матрицы, разложив ее по первой строке. Результатом этих вычислений получим векторное произведение векторов и q₁:

Таким образом, результатом векторного произведения векторов и q₁ будет вектор:

Поскольку векторное произведение векторов и q₁ дает плошадь параллелограмма образованным этими векторами, то расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно :

Ответ: Расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно d=7.25061.

2. Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве

Пусть задана декартова прямоугольная симтема координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L₁ и L₂ (уравнения (1) и (2)).

Пусть прямые L₁ и L₂ не параллельны (паралельные прямые мы расстотрели в предыдущем параграфе). Чтобы найти расстояние между прямыми L₁ и L₂ нужно построить параллельные плоскости α₁ и α₂ так, чтобы прямая L₁ лежал на плоскости α₁ а прямая L₂ − на плоскости α₂. Тогда расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно расстоянию между плоскостями L₁ и L₂ (Рис. 3).

Поскольку плоскость α₁, проходит через прямую L₁, то он проходит также через M₁(x₁, y₁, z₁). Следовательно справедливо следующее равенство:

где n₁={A₁, B₁, C₁} − нормальный вектор плоскости α₁. Для того, чтобы плоскость α₁ проходила через прямую L₁, нормальный вектор n₁ должен быть ортогональным направляющему вектору q₁ прямой L₁, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Так как плоскость α₁ должна быть параллельной прямой L₂, то должна выполнятся условие:

Решая систему линейных уравнений (27)−(29), с тремя уравнениями и четыремя неизвестными A₁, B₁, C₁, D₁, и подставляя в уравнение

получим уравнение плоскости α₁. (Как построить уравнение плоскости, проходящей через прямую, параллельно другой прямой подробно изложено здесь).

Аналогичным образом находим уравнение плоскости α₂:

Плоскости α₁ и α₂ параллельны, следовательно полученные нормальные векторыn₁={A₁, B₁, C₁} и n₂={A₂, B₂, C₂} этих плоскостей коллинеарны. Если эти векторы не равны, то можно умножить (31) на некторое число так, чтобы полученный нормальный вектор n₂ совпадал с нормальным вектором уравнения (30).

Тогда расстояние между параллельными плоскостями вычисляется формулой:

Полученное расстояние между плоскостями α₁ и α₂ является также расстоянием между прямыми L₁ и L₂.

Пример 3. Найти расстояние между прямыми

и

Решение. Прямая L₁ проходит через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=M₁(2, 1, 4) и имеет направляющий вектор q₁={m₁, p₁, l₁}={1, 3, −2}.

Прямая L₂ проходит через точку M₂(x₂, y₂, z₂)=M₂(6, −1, 2) и имеет направляющий вектор q₂={m₂, p₂, l₂}={2, −3, 7}.

Шаг 1.

Построим плоскость α₁, проходящую через прямую L₁, параллельно прямой L₂.

Поскольку плоскость α₁ проходит через прямую L₁ , то она проходит также через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=M₁(2, 1, 4) и нормальный вектор n₁={m₁, p₁, l₁} плоскости α₁ перпендикулярна направляющему вектору q₁ прямой L₁. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

а условие параллельности прямой L₁ и искомой плоскости α₁ представляется следующим условием:

Так как плоскость α₁ должна быть параллельной прямой L₂, то должна выполнятся условие:

Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четырьмя неизвестными (34)−(36). Подставим значения x₁, y₁, z₁, m₁, p₁, l₁, m₂, p₂, l₂ в (27)−(29):

Представим эти уравнения в матричном виде:

Решим систему линейных уравнений (40) отностительно A₁, B₁, C₁, D₁:

Искомая плоскость может быть представлена формулой:

Подставляя значения A₁, B₁, C₁, D₁ в (42), получим:

Упростим уравнение, умножив на число 17.

Шаг 2.

Построим плоскость α₂, проходящую через прямую L₂, параллельно прямой L₁.

Поскольку плоскость α₂ проходит через прямую L₂ , то она проходит также через точку M₂(x₂, y₂, z₂)=M₂(6, −1, 2) и нормальный вектор n₂={m₂, p₂, l₂} плоскости α₂ перпендикулярна направляющему вектору q₂ прямой L₂. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

а условие параллельности прямой L₂ и искомой плоскости α₂ представляется следующим условием:

Так как плоскость α₂ должна быть параллельной прямой L₁, то должна выполнятся условие:

Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четырьмя неизвестными (37)−(39). Подставим значения x₂, y₂, z₂, m₂, p₂, l₂, m₁, p₁, l₁ в (37)−(39):

Представим эти уравнения в матричном виде:

Решим систему линейных уравнений (50) отностительно A₂, B₂, C₂, D₂:

Искомая плоскость может быть представлена формулой:

Подставляя значения A₂, B₂, C₂, D₂ в (52), получим:

Упростим уравнение, умножив на число −83.

Шаг 3.

Расстояние между построенными плоскостями (43) и (53) будет расстоянием между прямыми (1) и (2).

Запишем формулы уравнений плоскостей α₁ и α₂ :

где n₁={A₁, B₁, C₁}={15, −11, −9} и n₂={A₂, B₂, C₂}={15, −11, −9} − нормальные векторы плоскостей α₁ и α₂, соответственно, а свободные члены равны D₁=17, D₂=−83, соответственно.

Поскольку нормальные векторы плоскостей α₁ и α₂ совпадают, то можно найти расстояние между плоскостями α₁ и α₂, используя следующую формулу:

Подставим значения A₁, B₁, C₁, D₁, D₂ в (54):

Упростим и решим:

Расстояние между прямыми равно: d=4.839339