Как найти x d cntgtyb

Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Он поможет решить задания №4, 12 и 14 из профильного уровня математики.

Одна из их разновидностей уравнений – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие степеней и переменной (х) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:

$$ a^{f(x)}=b^{g(x)}; $$

Где (a) и (b) – некоторые числа, а (f(x)) и (g(x)) – какие-то выражения, зависящие от (x). Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:

$$2^x=8;$$
$$ 2^x=2^{2x+1};$$
$$3^{x^2}=2^{x^2-2x+3};$$

Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение (х). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.

И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:

$$ 7x+2=16;$$
$$x^2-4x+5=0;$$

И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением.

Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.

Простейшие показательные уравнения

Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:

Пример 1
$$ 2^x=8;$$

Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо (х) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:

$$ 2^3=2*2*2=8; $$

Значит, если (х=3), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.

Решим что-нибудь по-сложнее.

Пример 2
$$ 3^{4x-1}=frac{1}{9};$$

Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:

$$frac{1}{9}=frac{1}{3^2}=3^{-2};$$

Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:

$$ a^{-n}=frac{1}{a^n};$$

Теперь наше уравнение будет выглядеть так:

$$ 3^{4x-1}=3^{-2};$$

Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны (3), только вот степени разные – слева степень ((4х-1)), а справа ((-2)). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:

$$ 4x-1=-2;$$

Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.

$$4х=-2+1;$$
$$4x=-1;$$
$$x=-frac{1}{4}.$$

Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.

Пример 3
$$125^x=25;$$

Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что (125=5*5*5=5^3), а (25=5*5=5^2), подставим:

$$ (5^3)^x=5^2;$$

Воспользуемся одним из свойств степеней ((a^n)^m=a^{n*m}):

$$ 5^{3*x}=5^2;$$

И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:

$$ 3*x=2;$$
$$ x=frac{2}{3};$$

И еще один пример:

Пример 4
$$2^x=-4;$$

Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить (2) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.

Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.

Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.

Общий метод решения показательных уравнений

Пусть у нас есть вот такой пример:

$$ a^x=b;$$

Где (a,b) какие-то положительные числа. ((a>0, ; b>0)).

Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.

Слева у нас уже стоит (a^x), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число (b), которое нужно попытаться представить в виде (b=a^m). Тогда уравнение принимает вид:

$$ a^x=a^m;$$

Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:

$$x=m.$$

Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:

Пример 5
$$2^x=16;$$

Замечаем, что (16=2*2*2*2=2^4) это степень двойки:

$$2^x=2^4$$

Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:

$$x=4.$$

Пример 6
$$5^{-x}=125 Rightarrow 5^{-x}=5*5*5 Rightarrow 5^{-x}=5^3 Rightarrow –x=3 Rightarrow x=-3.$$

Пример 7
$$9^{4x}=81 Rightarrow (3*3)^{4x}=3*3*3*3 Rightarrow(3^2)^{4x}=3^4 Rightarrow 3^{8x}=3^4 Rightarrow 8x=4 Rightarrow x=frac{1}{2}.$$

Здесь мы заметили, что (9=3^2) и (81=3^4) являются степенями (3).

Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:

Пример 8
$$ 3^x=2;$$

(3) и (2) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число (b>0), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице (a>0, ; a neq 1):

$$ b=a^{log_{a}(b)};$$

Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим (2) в виде (3) в какой-то степени, где (a=3), а (b=2):

$$ 2=3^{log_{3}(2)};$$

Подставим данное преобразование в наш пример:

$$3^x=3^{log_{3}(2)};$$

Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:

$$x=log_{3}(2).$$

Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.

Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.

Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.

Пример 9
$$ 7^{2x}=5;$$
$$ 7^{2x}=7^{log_{7}(5)};$$
$$2x=log_{7}(5);$$
$$x=frac{1}{2}*log_{7}(5).$$

Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:

$$ x=frac{1}{2}*log_{7}(5)=log_{7}(5^{frac{1}{2}})=log_{7}(sqrt{5});$$

Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.

И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: (a^x=b), где (a>0; ; b>0).

Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа (a^x=b), где (a>0; ; b>0). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:

Решение показательных уравнений при помощи замены

Рассмотрим уравнение:

Пример 10
$$ 9^x-5*3^x+6=0;$$

Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.

Здесь это сделать легко, замечаем, что (9=3^2), тогда (9^x=(3^2)^x=3^{2x}=(3^x)^2). Здесь мы воспользовались свойством степеней: ((a^n)^m=a^{n*m}). Подставим:

$$(3^x)^2-5*3^x+6=0;$$

Обратим внимание, что во всем уравнении все (х) «входят» в одинаковую функцию – (3^x). Сделаем замену (t=3^x, ; t>0), так как показательная функция всегда положительна.

$$t^2-5t+6=0;$$

Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:

$$D=5^2-4*6=25-24=1; Rightarrow t_{1}=frac{5+sqrt{1}}{2}=3; Rightarrow t_{2}=frac{5-sqrt{1}}{2}=2;$$

Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:

$$ 3^x=3;$$
$$3^x=3^1;$$
$$x=1.$$

И второй корень:

$$ 3^x=2;$$
$$3^x=3^{log_{3}(2)};$$
$$x=log_{3}(2).$$

Ответ: (x_{1}=1; ; x_{2}=log_{3}(2).)

И еще один пример на замену:

Пример 11
$$3^{4x^2-6x+3}-10*3^{2x^2-3x+1}+3=0;$$

Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание (3). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Преобразуем первое слагаемое. Если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член (3=2+1) и вынести общий множитель (2):

$$ 3^{4x^2-6x+3}=3^{4x^2-6x+2+1}=3^{2(2x^2-3x+1)+1}=3^{2*(2x^2-3x+1)}*3^1=3*(3^{2x^2-3x+1})^2;$$

Подставим в исходное уравнение:

$$3*(3^{2x^2-3x+1})^2-10*3^{2x^2-3x+1}+3=0;$$

Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:

$$t=3^{2x^2-3x+1}; ; t>0;$$
$$3*t^2-10t+3=0;$$
$$D=100-36=64; Rightarrow t_{1}=3; t_{2}=frac{1}{3};$$

Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:

$$ 3^{2x^2-3x+1}=3;$$
$$ 2x^2-3x+1=1;$$
$$x(2x-3)=0;$$
$$x=0; ; x=frac{3}{2}.$$

И второе значение (t):

$$3^{2x^2-3x+1}=frac{1}{3};$$
$$3^{2x^2-3x+1}=3^{-1};$$
$$2x^2-3x+1=-1;$$
$$2x^2-3x+2=0;$$
$$D=9-16=-7<0;$$

Раз дискриминант получился меньше нуля, то вторая ветка решений нам корней не дает.

Ответ: (x_{1}=0; ; x_{2}=frac{3}{2}.)

Однородные показательные уравнения

Иногда встречаются такие показательные уравнения, в которых не сразу видно, как сделать одинаковые функции, а именно одинаковые основания, чтобы произвести замену. Посмотрим на такой пример:

Пример 12
$$ 7^{x+1}+3*7^{x}=3^{x+2}+3^{x};$$

Тут у нас две показательные функции с основаниями (7) и (3), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на (3^x):

$$ 7^{x+1}+3*7^{x}=3^{x+2}+3^{x} ; ; :3^x$$
$$ frac{7^{x+1}}{3^x}+frac{3*7^{x}}{3^x}=frac{3^{x+2}}{3^x}+frac{3^{x}}{3^x};$$

Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:

$$frac{a^n}{a^m}=a^{n-m};$$
$$ a^n*a^m=a^{n+m};$$
$$ frac{a^n}{b^n}=(frac{a}{b})^n;$$

Разберем каждое слагаемое:

$$ frac{7^{x+1}}{3^x}=frac{7*7^x}{3^x}=7*frac{7^x}{3^x}=7*(frac{7}{3})^x;$$
$$ frac{3*7^{x}}{3^x}=3*frac{7^x}{3^x}=3*(frac{7}{3})^x;$$
$$ frac{3^{x+2}}{3^x}=3^2*frac{3^x}{3^x}=3^2*1=9;$$
$$ frac{3^{x}}{3^x}=1;$$

Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:

$$ 7*(frac{7}{3})^x+3*(frac{7}{3})^x=9+1;$$

Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену (t=(frac{7}{3})^x):

$$7t+3t=10;$$
$$10t=10;$$
$$t=1;$$

Сделаем обратную замену:

$$(frac{7}{3})^x=1;$$

Вспоминаем, что (1=(frac{7}{3})^0):

$$(frac{7}{3})^x=(frac{7}{3})^0;$$
$$x=0.$$

Ответ: (x=0).

И последний пример на замену:

Пример 13
$$2^{x+2}+0,5^{-x-1}+4*2^{x+1}=28;$$

Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:

$$ a^n*a^m=a^{n+m};$$
$$a^{-n}=frac{1}{a^n};$$
$${(a^n)}^m=a^{n*m};$$

Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:

$$2^{x+2}=2^x*2^2=4*2^x;$$

Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны – отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!

$$0,5^{-x-1}=0,5^{-(x+1)}={(frac{1}{2})}^{-(x+1)}={(2^{-1})}^{-(x+1)}=2^{x+1}=2^x*2^1=2*2^x;$$

И последнее слагаемое со степенью:

$$ 4*2^{x+1}=4*2^x*2^1=8*2^x;$$

Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:

$$4*2^x+2*2^x+8*2^x=28;$$

Теперь можно сделать замену (t=2^x) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель (2^x)):

$$2^x*(4+2+8)=28;$$
$$14*2^x=28;$$
$$2^x=frac{28}{14}=2;$$
$$2^x=2^1;$$
$$x=1.$$

Ответ: (x=1.)

Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера.
Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.

И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут

Пример 14
$$2^{x+1}*5^x=10^{x+1}*5^{x+2};$$

Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании (2), (5) и (10). Очевидно, что (10=2*5). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:

$$2^{x+1}*5^x=(2*5)^{x+1}*5^{x+2};$$

Воспользуемся формулой ((a*b)^n=a^n*b^n):

$$ 2^{x+1}*5^x=2^{x+1}*5^{x+1}*5^{x+2};$$

И перекинем все показательные функции с основанием (2) влево, а с основанием (5) вправо:

$$frac{2^{x+1}}{2^{x+1}}=frac{5^{x+1}*5^{x+2}}{5^x};$$

Сокращаем и воспользуемся формулами (a^n*a^m=a^{n+m}) и (frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}):

$$1=frac{5^{x+1+x+2}}{5^x};$$
$$1=frac{5^{2x+3}}{5^x};$$
$$1=5^{2x+3-x};$$
$$1=5^{x+3};$$
$$5^0=5^{x+3};$$
$$x+3=0;$$
$$x=-3.$$
Ответ: (x=-3).

Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.

Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!

На этапе подготовки к заключительному тестированию учащимся старших классов необходимо подтянуть знания по теме «Показательные уравнения». Опыт прошлых лет свидетельствует о том, что подобные задания вызывают у школьников определенные затруднения. Поэтому старшеклассникам, независимо от уровня их подготовки, необходимо тщательно усвоить теорию, запомнить формулы и понять принцип решения таких уравнений. Научившись справляться с данным видом задач, выпускники смогут рассчитывать на высокие баллы при сдаче ЕГЭ по математике.

Готовьтесь к экзаменационному тестированию вместе со «Школково»!

При повторении пройденных материалов многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска нужных для решения уравнений формул. Школьный учебник не всегда находится под рукой, а отбор необходимой информации по теме в Интернете занимает долгое время.

Образовательный портал «Школково» предлагает ученикам воспользоваться нашей базой знаний. Мы реализуем совершенно новый метод подготовки к итоговому тестированию. Занимаясь на нашем сайте, вы сможете выявить пробелы в знаниях и уделить внимание именно тем заданиям, которые вызывают наибольшие затруднения.

Преподаватели «Школково» собрали, систематизировали и изложили весь необходимый для успешной сдачи ЕГЭ материал в максимально простой и доступной форме.

Основные определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».

Для лучшего усвоения материала рекомендуем попрактиковаться в выполнении заданий. Внимательно просмотрите представленные на данной странице примеры показательных уравнений с решением, чтобы понять алгоритм вычисления. После этого приступайте к выполнению задач в разделе «Каталоги». Вы можете начать с самых легких заданий или сразу перейти к решению сложных показательных уравнений с несколькими неизвестными или иррациональным уравнениям со знаком корня. База упражнений на нашем сайте постоянно дополняется и обновляется.

Те примеры с показателями, которые вызвали у вас затруднения, можно добавить в «Избранное». Так вы можете быстро найти их и обсудить решение с преподавателем.

Чтобы успешно сдать ЕГЭ, занимайтесь на портале «Школково» каждый день!

Что такое показательное уравнение и как его решать

20 декабря 2016

Этот урок предназначен для тех, кто только начинает изучать показательные уравнения. Как всегда, начнём с определения и простейших примеров.

Если вы читаете этот урок, то я подозреваю, что вы уже имеете хотя бы минимальное представление о простейших уравнениях — линейных и квадратных: $56x-11=0$; ${{x}^{2}}+5x+4=0$; ${{x}^{2}}-12x+32=0$ и т.д. Уметь решать такие конструкции совершенно необходимо для того, чтобы не «зависнуть» в той теме, о которой сейчас пойдёт речь.

Итак, показательные уравнения. Сразу приведу парочку примеров:

[{{2}^{x}}=4;quad {{5}^{2x-3}}=frac{1}{25};quad {{9}^{x}}=-3]

Какие-то из них могут показаться вам более сложными, какие-то — напротив, слишком простыми. Но всех их объединяет один важный признак: в их записи присутствует показательная функция $fleft( x right)={{a}^{x}}$. Таким образом, введём определение:

Показательное уравнение — это любое уравнение, содержащее в себе показательную функцию, т.е. выражение вида ${{a}^{x}}$. Помимо указанной функции подобные уравнения могут содержать в себе любые другие алгебраические конструкции — многочлены, корни, тригонометрию, логарифмы и т.д.

Ну хорошо. С определением разобрались. Теперь вопрос: как всю эту хрень решать? Ответ одновременно и прост, и сложен.

Начнём с хорошей новости: по своему опыту занятий с множеством учеников могу сказать, что большинству из них показательные уравнения даются намного легче, чем те же логарифмы и уж тем более тригонометрия.

Но есть и плохая новость: иногда составителей задач для всевозможных учебников и экзаменов посещает «вдохновение», и их воспалённый наркотиками мозг начинает выдавать такие зверские уравнения, что решить их становится проблематично не только ученикам — даже многие учителя на таких задачах залипают.

Впрочем, не будем о грустном. И вернёмся к тем трём уравнениям, которые были приведены в самом начале повествования. Попробуем решить каждое из них.

Первое уравнение: ${{2}^{x}}=4$. Ну и в какую степень надо возвести число 2, чтобы получить число 4? Наверное, во вторую? Ведь ${{2}^{2}}=2cdot 2=4$ — и мы получили верное числовое равенство, т.е. действительно $x=2$. Что ж, спасибо, кэп, но это уравнение было настолько простым, что его решил бы даже мой кот.:)

Посмотрим на следующее уравнение:

[{{5}^{2x-3}}=frac{1}{25}]

А вот тут уже чуть сложнее. Многие ученики знают, что ${{5}^{2}}=25$ — это таблица умножения. Некоторые также подозревают, что ${{5}^{-1}}=frac{1}{5}$ — это по сути определение отрицательных степеней (по аналогии с формулой ${{a}^{-n}}=frac{1}{{{a}^{n}}}$).

Наконец, лишь избранные догадываются, что эти факты можно совмещать и на выходе получить следующий результат:

[frac{1}{25}=frac{1}{{{5}^{2}}}={{5}^{-2}}]

Таким образом, наше исходное уравнение перепишется следующим образом:

[{{5}^{2x-3}}=frac{1}{25}Rightarrow {{5}^{2x-3}}={{5}^{-2}}]

А вот это уже вполне решаемо! Слева в уравнении стоит показательная функция, справа в уравнении стоит показательная функция, ничего кроме них нигде больше нет. Следовательно, можно «отбросить» основания и тупо приравнять показатели:

[2x-3=-2]

Получили простейшее линейное уравнение, которое любой ученик решит буквально в пару строчек. Ну ладно, в четыре строчки:

[begin{align}& 2x-3=-2 \& 2x=3-2 \& 2x=1 \& x=frac{1}{2} \end{align}]

Если вы не поняли, что сейчас происходило в последних четырёх строчках — обязательно вернитесь в тему «линейные уравнения» и повторите её. Потому что без чёткого усвоения этой темы вам рано браться за показательные уравнения.

Со всеми остальными мы идём дальше. На очереди третье уравнение:

[{{9}^{x}}=-3]

Ну и как такое решать? Первая мысль: $9=3cdot 3={{3}^{2}}$, поэтому исходное уравнение можно переписать так:

[{{left( {{3}^{2}} right)}^{x}}=-3]

Затем вспоминаем, что при возведении степени в степень показатели перемножаются:

[{{left( {{3}^{2}} right)}^{x}}={{3}^{2x}}Rightarrow {{3}^{2x}}=-{{3}^{1}}]

Ну а дальше вообще всё стандартно:

[begin{align}& 2x=-1 \& x=-frac{1}{2} \end{align}]

И вот за такое решение мы получим честно заслуженную двойку. Ибо мы с невозмутимостью покемона отправили знак «минус», стоящий перед тройкой, в степень этой самой тройки. А так делать нельзя. И вот почему. Взгляните на разные степени тройки:

[begin{matrix} {{3}^{1}}=3& {{3}^{-1}}=frac{1}{3}& {{3}^{frac{1}{2}}}=sqrt{3} \ {{3}^{2}}=9& {{3}^{-2}}=frac{1}{9}& {{3}^{frac{1}{3}}}=sqrt[3]{3} \ {{3}^{3}}=27& {{3}^{-3}}=frac{1}{27}& {{3}^{-frac{1}{2}}}=frac{1}{sqrt{3}} \end{matrix}]

Составляя эту табличку, я уж как только не извращался: и положительные степени рассмотрел, и отрицательные, и даже дробные… ну и где здесь хоть одно отрицательное число? Его нет! И не может быть, потому что показательная функция $y={{a}^{x}}$, во-первых, всегда принимает лишь положительные значения (сколько единицу не умножай или не дели на двойку — всё равно будет положительное число), а во-вторых, основание такой функции — число $a$ — по определению является положительным числом!

Ну и как тогда решать уравнение ${{9}^{x}}=-3$? А никак: корней нет. И в этом смысле показательные уравнения очень похожи на квадратные — там тоже может не быть корней. Но если в квадратных уравнениях число корней определяется дискриминантом (дискриминант положительный — 2 корня, отрицательный — нет корней), то в показательных всё зависит от того, что стоит справа от знака равенства.

Таким образом, сформулируем ключевой вывод: простейшее показательное уравнение вида ${{a}^{x}}=b$ имеет корень тогда и только тогда, когда $b gt 0$. Зная этот простой факт, вы без труда определите: есть у предложенного вам уравнения корни или нет. Т.е. стоит ли вообще его решать или сразу записать, что корней нет.

Это знание ещё неоднократно поможет нам, когда придётся решать более сложные задачи. А пока хватит лирики — пора изучить основной алгоритм решения показательных уравнений.

Как решать показательные уравнения

Итак, сформулируем задачу. Необходимо решить показательное уравнение:

[{{a}^{x}}=b,quad a,b gt 0]

Согласно «наивному» алгоритму, по которому мы действовали ранее, необходимо представить число $b$ как степень числа $a$:

[b={{a}^{m}}Rightarrow {{a}^{x}}={{a}^{m}}Rightarrow x=m]

Кроме того, если вместо переменной $x$ будет стоять какое-либо выражение, мы получим новое уравнение, которое уже вполне можно решить. Например:

[begin{align}& {{2}^{x}}=8Rightarrow {{2}^{x}}={{2}^{3}}Rightarrow x=3; \& {{3}^{-x}}=81Rightarrow {{3}^{-x}}={{3}^{4}}Rightarrow -x=4Rightarrow x=-4; \& {{5}^{2x}}=125Rightarrow {{5}^{2x}}={{5}^{3}}Rightarrow 2x=3Rightarrow x=frac{3}{2}. \end{align}]

И как ни странно, эта схема работает примерно в 90% случаев. А что тогда с остальными 10%? Остальные 10% — это немного «шизофреничные» показательные уравнения вида:

[{{2}^{x}}=3;quad {{5}^{x}}=15;quad {{4}^{2x}}=11]

Ну и в какую степень надо возвести 2, чтобы получить 3? В первую? А вот и нет: ${{2}^{1}}=2$ — маловато. Во вторую? Тоже нет: ${{2}^{2}}=4$ — многовато. А в какую тогда?

Знающие ученики уже наверняка догадались: в таких случаях, когда «красиво» решить не получается, к делу подключается «тяжёлая артиллерия» — логарифмы. Напомню, что с помощью логарифмов любое положительное число можно представить как степень любого другого положительного числа (за исключением единицы):

[a={{b}^{{{log }_{b}}a}},quad a gt 0,quad 1ne b gt 0]

Помните эту формулу? Когда я рассказываю своим ученикам про логарифмы, то всегда предупреждаю: эта формула (она же — основное логарифмическое тождество или, если угодно, определение логарифма) будет преследовать вас её очень долго и «всплывать» в самых неожиданных местах. Ну вот она и всплыла. Давайте посмотрим на наше уравнение и на эту формулу:

[begin{align}& {{2}^{x}}=3 \& a={{b}^{{{log }_{b}}a}} \end{align}]

Если допустить, что $a=3$ — наше исходное число, стоящее справа, а $b=2$ — то самое основание показательной функции, к которому мы так хотим привести правую часть, то получим следующее:

[begin{align}& a={{b}^{{{log }_{b}}a}}Rightarrow 3={{2}^{{{log }_{2}}3}}; \& {{2}^{x}}=3Rightarrow {{2}^{x}}={{2}^{{{log }_{2}}3}}Rightarrow x={{log }_{2}}3. \end{align}]

Получили немного странный ответ: $x={{log }_{2}}3$. В каком-нибудь другом задании многие при таком ответе засомневались бы и начали перепроверять своё решение: вдруг там где-то закралась ошибка? Спешу вас обрадовать: никакой ошибки здесь нет, и логарифмы в корнях показательных уравнений — вполне типичная ситуация. Так что привыкайте.:)

Теперь решим по аналогии оставшиеся два уравнения:

[begin{align}& {{5}^{x}}=15Rightarrow {{5}^{x}}={{5}^{{{log }_{5}}15}}Rightarrow x={{log }_{5}}15; \& {{4}^{2x}}=11Rightarrow {{4}^{2x}}={{4}^{{{log }_{4}}11}}Rightarrow 2x={{log }_{4}}11Rightarrow x=frac{1}{2}{{log }_{4}}11. \end{align}]

Вот и всё! Кстати, последний ответ можно записать иначе:

[x=frac{1}{2}{{log }_{4}}11={{log }_{4}}{{11}^{frac{1}{2}}}={{log }_{4}}sqrt{11}]

Это мы внесли множитель в аргумент логарифма. Но никто не мешает нам внести этот множитель в основание:

[x=frac{1}{2}{{log }_{4}}11={{log }_{{{4}^{2}}}}11={{log }_{16}}11]

При этом все три варианта являются правильными — это просто разные формы записи одного и того же числа. Какой из них выбрать и записать в настоящем решении — решать только вам.

Таким образом, мы научились решать любые показательные уравнения вида ${{a}^{x}}=b$, где числа $a$ и $b$ строго положительны. Однако суровая реальность нашего мира такова, что подобные простые задачи будут встречаться вам очень и очень редко. Куда чаще вам будет попадаться что-нибудь типа этого:

[begin{align}& {{4}^{x}}+{{4}^{x-1}}={{4}^{x+1}}-11; \& {{7}^{x+6}}cdot {{3}^{x+6}}={{21}^{3x}}; \& {{100}^{x-1}}cdot {{2,7}^{1-x}}=0,09. \end{align}]

Ну и как такое решать? Это вообще можно решить? И если да, то как?

Без паники. Все эти уравнения быстро и просто сводятся к тем простым формулам, которые мы уже рассмотрели. Нужно лишь знать вспомнить парочку приёмов из курса алгебры. Ну и конечно, здесь никуда без правил работы со степенями. Обо всём этом я сейчас расскажу.:)

Преобразование показательных уравнений

Первое, что нужно запомнить: любое показательное уравнение, каким бы сложным оно ни было, так или иначе должно сводиться к простейшим уравнениям — тем самым, которые мы уже рассмотрели и которые знаем как решать. Другими словами, схема решения любого показательного уравнения выглядит следующим образом:

1. Записать исходное уравнение. Например: ${{4}^{x}}+{{4}^{x-1}}={{4}^{x+1}}-11$;
2. Сделать какую-то непонятную хрень. Или даже несколько хреней, которые называются «преобразовать уравнение»;
3. На выходе получить простейшие выражения вида ${{4}^{x}}=4$ или что-нибудь ещё в таком духе. Причём одно исходное уравнение может давать сразу несколько таких выражений.

С первым пунктом всё понятно — записать уравнение на листик сможет даже мой кот. С третьим пунктом тоже, вроде, более-менее ясно — мы такие уравнения уже целую пачку нарешали выше.

Но как быть со вторым пунктом? Что за преобразования? Что во что преобразовывать? И как?

Что ж, давайте разбираться. Прежде всего, отмечу следующее. Все показательные уравнения делятся на два типа:

1. Уравнение составлено из показательных функций с одним и тем же основанием. Пример: ${{4}^{x}}+{{4}^{x-1}}={{4}^{x+1}}-11$;
2. В формуле присутствуют показательные функции с разными основаниями. Примеры: ${{7}^{x+6}}cdot {{3}^{x+6}}={{21}^{3x}}$ и ${{100}^{x-1}}cdot {{2,7}^{1-x}}=0,09$.

Начнём с уравнений первого типа — они решаются проще всего. И в их решении нам поможет такой приём как выделение устойчивых выражений.

Выделение устойчивого выражения

Давайте ещё раз посмотрим на это уравнение:

[{{4}^{x}}+{{4}^{x-1}}={{4}^{x+1}}-11]

Что мы видим? Четвёрка возводится в разные степени. Но все эти степени — простые суммы переменной $x$ с другими числами. Поэтому необходимо вспомнить правила работы со степенями:

[begin{align}& {{a}^{x+y}}={{a}^{x}}cdot {{a}^{y}}; \& {{a}^{x-y}}={{a}^{x}}:{{a}^{y}}=frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}}. \end{align}]

Проще говоря, сложение показателей можно преобразовать в произведение степеней, а вычитание легко преобразуется в деление. Попробуем применить эти формулы к степеням из нашего уравнения:

[begin{align}& {{4}^{x-1}}=frac{{{4}^{x}}}{{{4}^{1}}}={{4}^{x}}cdot frac{1}{4}; \& {{4}^{x+1}}={{4}^{x}}cdot {{4}^{1}}={{4}^{x}}cdot 4. \end{align}]

Перепишем исходное уравнение с учётом этого факта, а затем соберём все слагаемые слева:

[begin{align}& {{4}^{x}}+{{4}^{x}}cdot frac{1}{4}={{4}^{x}}cdot 4-11; \& {{4}^{x}}+{{4}^{x}}cdot frac{1}{4}-{{4}^{x}}cdot 4+11=0. \end{align}]

В первых четырёх слагаемых присутствует элемент ${{4}^{x}}$ — вынесем его за скобку:

[begin{align}& {{4}^{x}}cdot left( 1+frac{1}{4}-4 right)+11=0; \& {{4}^{x}}cdot frac{4+1-16}{4}+11=0; \& {{4}^{x}}cdot left( -frac{11}{4} right)=-11. \end{align}]

Осталось разделить обе части уравнения на дробь $-frac{11}{4}$, т.е. по существу умножить на перевёрнутую дробь — $-frac{4}{11}$. Получим:

[begin{align}& {{4}^{x}}cdot left( -frac{11}{4} right)cdot left( -frac{4}{11} right)=-11cdot left( -frac{4}{11} right); \& {{4}^{x}}=4; \& {{4}^{x}}={{4}^{1}}; \& x=1. \end{align}]

Вот и всё! Мы свели исходное уравнение к простейшему и получили окончательный ответ.

При этом в процессе решения мы обнаружили (и даже вынесли за скобку) общий множитель ${{4}^{x}}$ — это и есть устойчивое выражение. Его можно обозначать за новую переменную, а можно просто аккуратно выразить и получить ответ. В любом случае, ключевой принцип решения следующий:

Найти в исходном уравнении устойчивое выражение, содержащее переменную, которое легко выделяется из всех показательных функций.

Хорошая новость состоит в том, что практически каждое показательное уравнение допускает выделение такого устойчивого выражения.

Но есть и плохая новость: подобные выражения могут оказаться весьма хитрыми, и выделить их бывает довольно сложно. Поэтому разберём ещё одну задачу:

[{{5}^{x+2}}+{{0,2}^{-x-1}}+4cdot {{5}^{x+1}}=2]

Возможно, у кого-то сейчас возникнет вопрос: «Паша, ты что, обкурился? Здесь же разные основания — 5 и 0,2». Но давайте попробуем преобразовать степень с основание 0,2. Например, избавимся от десятичной дроби, приведя её к обычной:

[{{0,2}^{-x-1}}={{0,2}^{-left( x+1 right)}}={{left( frac{2}{10} right)}^{-left( x+1 right)}}={{left( frac{1}{5} right)}^{-left( x+1 right)}}]

Как видите, число 5 всё-таки появилось, пускай и в знаменателе. Заодно переписали показатель в виде отрицательного. А теперь вспоминаем одно из важнейших правил работы со степенями:

[{{a}^{-n}}=frac{1}{{{a}^{n}}}Rightarrow {{left( frac{1}{5} right)}^{-left( x+1 right)}}={{left( frac{5}{1} right)}^{x+1}}={{5}^{x+1}}]

Тут я, конечно, немного слукавил. Потому что для полного понимания формулу избавления от отрицательных показателей надо было записать так:

[{{a}^{-n}}=frac{1}{{{a}^{n}}}={{left( frac{1}{a} right)}^{n}}Rightarrow {{left( frac{1}{5} right)}^{-left( x+1 right)}}={{left( frac{5}{1} right)}^{x+1}}={{5}^{x+1}}]

С другой стороны, ничто не мешало нам работать с одной лишь дробью:

[{{left( frac{1}{5} right)}^{-left( x+1 right)}}={{left( {{5}^{-1}} right)}^{-left( x+1 right)}}={{5}^{left( -1 right)cdot left( -left( x+1 right) right)}}={{5}^{x+1}}]

Но в этом случае нужно уметь возводить степень в другую степень (напомню: при этом показатели складываются). Зато не пришлось «переворачивать» дроби — возможно, для кого-то это будет проще.:)

В любом случае, исходное показательное уравнение будет переписано в виде:

[begin{align}& {{5}^{x+2}}+{{5}^{x+1}}+4cdot {{5}^{x+1}}=2; \& {{5}^{x+2}}+5cdot {{5}^{x+1}}=2; \& {{5}^{x+2}}+{{5}^{1}}cdot {{5}^{x+1}}=2; \& {{5}^{x+2}}+{{5}^{x+2}}=2; \& 2cdot {{5}^{x+2}}=2; \& {{5}^{x+2}}=1. \end{align}]

Вот и получается, что исходное уравнение решается даже проще, чем ранее рассмотренное: тут даже не надо выделять устойчивое выражение — всё само сократилось. Осталось лишь вспомнить, что $1={{5}^{0}}$, откуда получим:

[begin{align}& {{5}^{x+2}}={{5}^{0}}; \& x+2=0; \& x=-2. \end{align}]

Вот и всё решение! Мы получили окончательный ответ: $x=-2$. При этом хотелось бы отметить один приём, который значительно упростил нам все выкладки:

В показательных уравнениях обязательно избавляйтесь от десятичных дробей, переводите их в обычные. Это позволит увидеть одинаковые основания степеней и значительно упростит решение.

Перейдём теперь к более сложным уравнениям, в которых присутствуют разные основания, которые вообще не сводятся друг к другу с помощью степеней.

Использование свойства степеней

Напомню, что у нас есть ещё два особо суровых уравнения:

[begin{align}& {{7}^{x+6}}cdot {{3}^{x+6}}={{21}^{3x}}; \& {{100}^{x-1}}cdot {{2,7}^{1-x}}=0,09. \end{align}]

Основная сложность тут — непонятно, что и к какому основанию приводить. Где устойчивые выражения? Где одинаковые основания? Ничего этого нет.

Но попробуем пойти другим путём. Если нет готовых одинаковых оснований, их можно попробовать найти, раскладывая имеющиеся основания на множители.

Начнём с первого уравнения:

[begin{align}& {{7}^{x+6}}cdot {{3}^{x+6}}={{21}^{3x}}; \& 21=7cdot 3Rightarrow {{21}^{3x}}={{left( 7cdot 3 right)}^{3x}}={{7}^{3x}}cdot {{3}^{3x}}. \end{align}]

Но ведь можно поступить наоборот — составить из чисел 7 и 3 число 21. Особенно это просто сделать слева, поскольку показатели и обеих степеней одинаковые:

[begin{align}& {{7}^{x+6}}cdot {{3}^{x+6}}={{left( 7cdot 3 right)}^{x+6}}={{21}^{x+6}}; \& {{21}^{x+6}}={{21}^{3x}}; \& x+6=3x; \& 2x=6; \& x=3. \end{align}]

Вот и всё! Вы вынесли показатель степени за пределы произведения и сразу получили красивое уравнение, которое решается в пару строчек.

Теперь разберёмся со вторым уравнением. Тут всё намного сложнее:

[{{100}^{x-1}}cdot {{2,7}^{1-x}}=0,09]

Прежде всего, сделаем то, что я рекомендовал ещё в самом начале урока — избавимся от десятичной дроби:

[{{100}^{x-1}}cdot {{left( frac{27}{10} right)}^{1-x}}=frac{9}{100}]

В данном случае дроби получились несократимыми, но если бы что-то можно было сократить — обязательно сокращайте. Зачастую при этом появятся интересные основания, с которыми уже можно работать.

У нас же, к сожалению, ничего особо не появилось. Зато мы видим, что показатели степеней, стоящий в произведении слева, противоположны:

[1-x=-left( x-1 right)Rightarrow {{left( frac{27}{10} right)}^{1-x}}={{left( frac{27}{10} right)}^{-left( x-1 right)}}={{left( frac{10}{27} right)}^{x-1}}]

Напомню: чтобы избавиться от знака «минус» в показателе, достаточно просто «перевернуть» дробь. Что ж, перепишем исходное уравнение:

[begin{align}& {{100}^{x-1}}cdot {{left( frac{10}{27} right)}^{x-1}}=frac{9}{100}; \& {{left( 100cdot frac{10}{27} right)}^{x-1}}=frac{9}{100}; \& {{left( frac{1000}{27} right)}^{x-1}}=frac{9}{100}. \end{align}]

Во второй строчке мы просто вынесли общий показатель из произведения за скобку по правилу ${{a}^{x}}cdot {{b}^{x}}={{left( acdot b right)}^{x}}$, а в последней просто умножили число 100 на дробь.

Теперь заметим, что числа, стоящие слева (в основании) и справа, чем-то похожи. Чем? Да очевидно же: они являются степенями одного и того же числа! Имеем:

[begin{align}& frac{1000}{27}=frac{{{10}^{3}}}{{{3}^{3}}}={{left( frac{10}{3} right)}^{3}}; \& frac{9}{100}=frac{{{3}^{2}}}{{{10}^{3}}}={{left( frac{3}{10} right)}^{2}}. \end{align}]

Таким образом, наше уравнение перепишется следующим образом:

[{{left( {{left( frac{10}{3} right)}^{3}} right)}^{x-1}}={{left( frac{3}{10} right)}^{2}}]

Дальше всё просто. При возведении степени в степень показатели перемножаются:

[{{left( {{left( frac{10}{3} right)}^{3}} right)}^{x-1}}={{left( frac{10}{3} right)}^{3left( x-1 right)}}={{left( frac{10}{3} right)}^{3x-3}}]

При этом справа тоже можно получить степень с таким же основанием, для чего достаточно просто «перевернуть» дробь:

[{{left( frac{3}{10} right)}^{2}}={{left( frac{10}{3} right)}^{-2}}]

Окончательно наше уравнение примет вид:

[begin{align}& {{left( frac{10}{3} right)}^{3x-3}}={{left( frac{10}{3} right)}^{-2}}; \& 3x-3=-2; \& 3x=1; \& x=frac{1}{3}. \end{align}]

Вот и всё решение. Основная его идея сводится к тому, что даже при разных основаниях мы пытаемся любыми правдами и неправдами свести эти основания к одному и тому же. В этом нам помогают элементарные преобразования уравнений и правила работы со степенями.

Но какие правила и когда использовать? Как понять, что в одном уравнении нужно делить обе стороны на что-то, а в другом — раскладывать основание показательной функции на множители?

Ответ на этот вопрос придёт с опытом. Попробуйте свои силы сначала на простых уравнениях, а затем постепенно усложняйте задачи — и очень скоро ваших навыков будет достаточно, чтобы решить любое показательное уравнение из того же ЕГЭ или любой самостоятельной/контрольной работы.

А чтобы помочь вам в этом нелёгком деле, предлагаю скачать на моём сайте комплект уравнений для самостоятельного решения. Ко всем уравнениям есть ответы, поэтому вы всегда сможете себя проверить.

В общем, желаю удачной тренировки. И увидимся в следующем уроке — там мы будем разбирать действительно сложные показательные уравнения, где описанных выше способов уже недостаточно. И простой тренировки тоже будет недостаточно.:)

Смотрите также:

1. Преобразование показательных уравнений
2. Решение показательных неравенств
3. Тест по теории вероятностей (1 вариант)
4. Общая схема решения задач B15
5. Задачи на проценты: считаем проценты с помощью пропорции
6. Более сложные задачи на производительность

На этой странице вы узнаете

• Зачем показательная функция смотрится в зеркало?
• Возможна ли дружба в математике?
• Как поменять знак неравенства всего одним действием?

Оценка за тест зависит от набранных баллов, а они зависят от количества и качества ответов. Цена билета в развлекательный центр может меняться от времени суток или дня недели. Погода в городе напрямую связана со временем года, географическим положением, температурой воздуха, влажностью, осадками и  многими другими факторами. Функция в математике показывает нам зависимость одной переменной от другой. Об этом подробнее поговорим в статье.

Показательная функция и её основные свойства

Что же нам дает знание о характере этой зависимости?

Показательная функция — это функция, у которой неизвестная находится в показателе.

 Она выглядит следующим образом:

y=a^x, где 

a > 0 и a ≠ 1

Посмотрим на обозначения элементов в показательной функции:

Например:

Рассмотрим функции с разными основаниями подробней.

Рассмотрим функции с разными основаниями подробней.

Повторение свойств степеней

Прежде чем переходить к показательным уравнениям, давайте вспомним свойства степеней. Их можно применять для преобразований во время решения.

Методы решения показательных уравнений

Показательное уравнение – это уравнение, где неизвестная находится в показателе степени. 

Если неизвестная содержится и в показателе степени, и в основании, уравнение также считается показательным.

Пример показательного уравнения: 5^4x-2 = 25.

Методы решения показательных уравнений:

• графический метод;
• метод уравнивания показателей;
• метод введения новой переменной; 
• метод вынесения общего множителя;
• метод группировки;
• метод умножения/деления на показательную функцию.

1. Графический метод

Этот метод заключается в рассмотрении левой и правой частей уравнения, как отдельных функций, и изображении их на плоскости. Данный метод в некоторых случаях может оказаться неточным. Поэтому его лучше использовать для нахождения количества решений, а сами значения находить другим методом. 

Решим следующее уравнение:

0,5^x+2 = x+5

Разделим его на отдельные функции: 

Изобразим их на плоскости и найдем точку пересечения, именно она и будет решением данного уравнения.

Точка пересечения имеет координаты (-1;4). В ответ выпишем х=-1.

1. Метод уравнивания показателей

Этот метод заключается в представлении обеих частей уравнения в виде степени с одинаковыми основаниями и приравниванию показателей степеней

Рассмотрим на примере:

2^x⋅3^x = 36

Воспользуемся свойством степеней для левой части и приведем к такому виду:

6^x = 36

Запишем левую часть как степень с основанием 6:

6^x = 6²

Перейдем к равенству степеней и найдем х:

x = 2

1. Метод введения новой переменной

Чтобы решить уравнение данным методом, нужно принять повторяющееся выражение за переменную и решить относительно нее, а после сделать обратную замену. Нельзя забывать про обратную замену, потому что значение введенной переменной не равно значению изначальной переменной.

Решим следующее уравнение:

2^2x-2⋅2^x+6 = 5

Соберем все слагаемые слева

2^2x-2⋅2^x+1 = 0

Разложим каждое слагаемое на множители:

2^x⋅2^x-2⋅2^x+1 = 0

Заметим, что 2^x можно заменить. Пусть t = 2^x, t > 0, тогда уравнение можно записать следующим образом:

t²-2t+1 = 0

Решим его относительно новой переменной:

(t-1)² = 0

t = 1

Найденное значение подходит под условие t > 0, сделаем обратную замену:

2^x = 1

Представим правую часть в виде степени с основанием 2:

2^x = 2⁰

 Приравняем показатели степеней и найдем х:

x = 0

1. Метод вынесения общего множителя

Этот метод заключается в вынесение общего множителя за скобку.

Рассмотрим на примере:

6^x-3^x = 0

Разложим первое слагаемое на множители:

3^x⋅2^x-3^x = 0

Вынесем общий множитель за скобку:

3^x(2^x-1) = 0

Так как произведение равно нулю, один из множителей должен равняться нулю. Перейдем к совокупности уравнений:

Так как показательная функция всегда больше 0, то у первого уравнения не будет решений. Из второго уравнения х = 0, значит, единственным решением данного уравнения будет х = 0.

1. Метод группировки 

Заключается этот метод во взятии слагаемых в скобки с последующим упрощением.

Давай решим такое уравнение:

x⋅5^x-5x-3⋅5^x+15 = 0

Заметим, что, сгруппировав 1 и 3 слагаемые и 2 и 4 слагаемые и вынося общий множитель за скобки, получаем одинаковые скобки:

(x⋅5^x-3⋅5^x)-(5x-15) = 0

5^x(x-3)-5(x-3) = 0

Вынесем за скобку общий множитель (х — 3):

(5^x-5)(x-3) = 0

Перейдем к совокупности уравнений:

Решим уравнения и получим х = 1 и х = 3.

1. Метод умножения/деления на показательную функцию

Данный метод заключается в умножении каждого слагаемого уравнения на определенную показательную функцию.

Рассмотрим следующее уравнение:

Для упрощения уравнения умножим каждое слагаемое на 5^x и получим:

2^x⋅5^x-1 = 0

Воспользуемся свойством степеней для первого слагаемого, а второе перенесем вправо:

10^x = 1

Представим справа степень с основанием 10:

10^x = 10⁰

Приравняем степени и получим ответ:

x = 0

Также можно делить все слагаемые на показательную функцию для упрощения уравнения. Это допустимо, только если эта функция точно не равна нулю, так как на ноль делить нельзя.

Показательные неравенства и методы их решения

Показательное неравенство – это неравенство, у которого переменная находится в показателе степени.

Самый простой вид показательного неравенства: 

a^x > y , где a и y – числа

Неравенства видов  a^f(x) > y и a^f(x) > a^g(x) называются простейшими показательными неравенствами.

Особые случаи:

• a^f(x) < y при y ≤ 0 не имеет решений, так как число больше нуля в степени всегда больше 0;
• a^f(x)>y при y ≤ 0, в таком неравенстве множеством решений является множество действительных чисел, так как:
  • число больше нуля в степени всегда положительное, 
  • положительное число больше отрицательного.

Давайте вспомним, как сравниваются показатели степеней с основаниями от 0 до 1 и основаниями больше 1.

Если основание от 0 до 1, то при переходе к неравенству степеней знак меняется на противоположный, а если основание больше 1, тогда при переходе знак остается прежним.

Методы решения показательных неравенств

Для решения показательных неравенств можно использовать те же методы, что и для решения уравнений, но с некоторыми изменениями. Они коснутся графического метода, метода уравнивания показателей и метода умножения/деления на показательную функцию.

1. Графический метод

Теперь используя этот метод нужно закрашивать нужную область.

Рассмотрим такое неравенство:

2^x ≥ -x+3

Запишем функции:

y = 2^x

y = -x+3

Изобразим их на графике:

Так как первая функция больше или равна второй, выделим промежуток на графике, где график первой функции выше графика второй

В ответ получим промежуток [1;+∞).

1. Метод уравнивания показателей 

Данный метод будет записан по-разному для возрастающей и убывающей показательных функций.

a^f(x) < a^g(x), где a > 1   ⬄   f(x) < g(x)

a^f(x) < a^g(x), где 0 < a < 1   ⬄   f(x) > g(x)

     3, 4, 5 методы работают без изменений.

      6) Метод умножения/деления на показательную функцию

Используя данный метод для неравенств, нужно учитывать, что при умножении/делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Решим одно неравенство:

 (frac{1}{3})^{x+1}+frac{1}{3}^x ≥ 12

1. Воспользуемся свойством степеней и преобразуем 

(frac{1}{3})^{x}⋅frac{1}{3}+ frac{1}{3}^x ≥ 12

1. Вынесем общий множитель

(frac{1}{3})^{x}⋅(frac{1}{3}+ 1) ≥ 12

(frac{1}{3})^{x}⋅frac{3}{4} ≥ 12

1. Домножим обе части неравенства на

1. Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 13

(frac{1}{3})^x ≥ (frac{1}{3})^{-2}

1. Перейдем к неравенству степеней, поменяем знак уравнения, так как основание принадлежит промежутку от 0 до 1 

x ≤ -2

Ответ: (-∞; -2].

Фактчек

• Вид показательной функции  y=a^x, где a > 0 и a ≠ 1.
• При 0 < a < 1 показательная функция убывает, а при a > 1 показательная функция возрастает.
• Показательное уравнение или неравенство – это уравнение или неравенство, где неизвестная находится в показателе степени.
• Методы решения показательных уравнений и неравенств: 
  • графический метод;
  • метод уравнивания показателей;
  • метод введения новой переменной;
  • метод вынесения общего множителя; 
  • метод группировки;
  • метод умножения/деления на показательную функцию.

• Если основание степени в неравенстве от 0 до 1, то при переходе к неравенству степеней знак меняется на противоположный.
• При умножении/делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

Термины

Область определения функции – это множество значений, которые может принимать х.

Множество значений функции – это множество значений, которые можно получить подставляя разные х из области определения функции.

Проверь себя

Задание 1.

Решите уравнение 3^x3^x+2=9

1. 2
2. -2
3. 0
4. 1

Задание 2.

Решите уравнение

5^frac{x-5}{x}-5^frac{1}{x} = 0

1. 5
2. 6
3. 0
4. 4

Задание 3.

Решите уравнение 4^x⋅2=256

1. 3,5
2. 0
3. 1
4. 2,8

Задание 4.

Решите неравенство 

1. -3
2. (-3; 3)
3. (-∞; -3]
4. [-3; +∞)

Задание 5.

Решите неравенство 3^x+2-9^x ≥ 0

1. [2; +∞)
2. (-∞; 2)
3. (-∞; 2]
4. 2

Ответы: 1. — 3; 2. — 2; 3. — 1; 4. — 4; 5. — 3.