Как найти xmin функции - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Как найти точки минимума и максимума функции

Содержание:

Минимум и максимум функции
- Точка минимума, минимум функции
- Точка максимума, максимум функции
Исследование функций на экстремумы
Примеры задач

Минимум и максимум функции

Минимумом и максимумом функции, другими словами экстремумами, называют точки, в которых функция меняет характер монотонности (с возрастания на убывание и наоборот). Важно понимать, что экстремумы это не максимальные и минимальные значения функции. Обозначаются следующим образом:

(y_{min}, y_{max}) — минимум, максимум функции или экстремумы;
(x_{min}, x_{max}) — точки минимума, максимума функции;
(y_{наиб}, y_{наим}) — наибольшее (максимальное), наименьшее (минимальное) значение функции.

Точка минимума, минимум функции

Точка минимума — такая точка (x_0), если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство (f(x)geq f(x_0))

Минимум функции — значение функции в точке минимума (x_0)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Простыми словами, точка минимума — это та, где убывание функции меняется на возрастание.

Точка максимума, максимум функции

Точка максимума — такая точка (x_0), если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство (f(x)leq f(x_0))

Максимум функции — значение функции в точке максимума (x_0)

Простыми словами, точка максимума — это та, где возрастание функции меняется на убывание.

Точки максимума и минимума на графике:

Точка экстремума

Источник: school-collection.edu.ru

Исследование функций на экстремумы

Теорема. Если функция f(x) имеет экстремум в точке (x=x_0,) то в ней производная либо равна 0, либо не существует.

Алгоритм нахождения экстремумов с помощью производной:

Найти область определения функции — D(y).
Определить производную — f ‘(x).
Определить стационарные точки y = f(x), т.е. те, которые принадлежат D(y), f ‘(x) в них обращается в ноль, отыскать критические точки, в которых производной не существует (пример: (f^,(x)=frac1{2sqrt x}), производной не существует при x = 0).
Исследовать характер изменения функции f (x) и знак f ‘(x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения (при отрицательном знаке производной функция убывает, при положительном — возрастает).
Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума (возрастание меняется на убывание — точка максимума, убывание на возрастание — минимума) или не является точкой экстремума (то есть, меняется ли знак производной при переходе через исследуемую точку).
Вычислить значения функции в точках экстремума.

Примеры задач

Задача 1

Исследовать на экстремумы функцию (f(x)=x^3-3x^2.)

Решение задачи по алгоритму:

1) (D(y): xin(-infty;+infty)), т.е. x — любое число.

2) Производная: (f'(x)=3x^2-6x) .

3) Из пункта 1 следует, что критических точек нет. Найдем стационарные:

Приравниваем f ‘(x) к 0, решаем квадратное уравнение (3x^2-6x=0), получаем (x_1=0),(;x_2=2.)

4) Отметим на горизонтальной оси координат точки 0 и 2. Подставим любое x из интервала ((-infty;0)) в f'(x), например, пусть x = -1, тогда (f'(x)=3{(-1)}^2-6(-1)=3+6=9). Получаем f ‘(x)>0, значит на исследуемом интервале f(x) возрастает. Аналогично рассмотрим оставшиеся интервалы. Итого, на отрезке (0;2) производная отрицательна, функция убывает, а на интервале ((2;+infty)) производная положительна, возрастает. Из этого следует, что x=0 – точка максимума, а x=2 – минимума.

5) Найдем значение экстремумов функции.

(f(0)=0-3times0=0)

(f(2)=2^3-3times2^2=8-12=-4)

Ответ: (x_{min}=2,;y_{min}=-4;;x_{max}=0,;y_{max}=0) или (0;0) – минимум функции, (2;-4) – максимум.

Задача 2

Найти промежутки монотонности функции (f(x)=frac x{x^2-4}).

1) (D(y): xinmathbb{R},;)кроме(;pm2)

2) (f'(x)=frac{1(x^2-4)-xtimes2x}{{(x^2-4)}^2}=-frac{x^2+4}{{(x^2-4)}^2})

3) Итак, как выяснилось в пункте 1, критические точки 2 и -2. Если мы приравняем f ‘(x) к 0, чтобы найти стационарные точки, то увидим, что уравнение не будет иметь корней. Значит, стационарных точек нет. Из этого следует, что функция монотонна на всей области определения. Проверим, возрастает она или убывает. Для этого решаем неравенство (-frac{x^2+4}{{(x^2-4)}^2}leq0) и получим, что неравенство верно при любом x, значит функция убывает.

Не забываем, что в ответе, указывая промежуток, обязательно нужно исключить критические точки -2 и 2 т.к. в них функция не определена.

Ответ: f(x) убывает на промежутке ((-infty;-2)cup(-2;2)cup(2;+infty)).

Задача 3

Докажите, что функция (f(x)=x^5+2x^3-4) возрастает на всех числовой прямой.

1) (D(y): xinmathbb{R}), значит критических точек нет.

2) (f'(x)=5x^4+6x)

3) Приравняем f'(x) к 0 и найдем корень: x = 0. Отметим 0 на числовой прямой и определим знак производной на промежутках ((-infty;0)) и ((0;+infty)). Получим, что производная положительна на обоих промежутках, следовательно функция возрастает на всей числовой прямой.

Утверждение доказано

Источник

Применение
производной.

Нахождение экстремумов (
максимумов и минимумов) функции.

Краткая теория. (Разобрать, записать в тетрадь основные понятия, ответить на
вопросы по теоретической части) .

Рисунок 1. Рассмотрим внутренние точки области определения функции,
изображенной на рис.1, в которых производная равна нулю или не существует. В точках,
где производная равна 0, касательная параллельна оси ОХ. Это точки Х₂,
Х₃, Х₄, Х₆ и Х₇. В точке Х₅
касательную провести нельзя, т.к. острый график, поэтому в этой точке
производная не существует. На концах промежутка в точках Х₁ и Х₈
тоже касательные провести нельзя, так как нужна окрестность точки. На концах
промежутка экстремумов не бывает.

Определение. Точки,
в которых производная функции равна 0 или не существует называются критическими.

На
нашем рисунке это точки Х₂, Х₃,
Х₄, Х_5, Х₆ и Х₇. Среди этих точек
могут быть точки максимума ( max ) и минимума ( min ), которые называются точками экстремума ( X_maxи X_min ). Значения функции в
этих точках называют экстремумами функции и обозначают f_max (X_max) и f_min (X_min).

Необходимым условием существования экстремумов является
равенство нулю производной или если производная не существует, то есть необходимое
условие – это наличие критических точек. (Это теорема Ферма), но этого условия
еще не достаточно. Чтобы функция имела экстремум в некоторой точке, надо, чтобы
при переходе через эту точку производная меняла свой знак, то есть надо, чтобы
возрастание менялось на убывание, или убывание на возрастание. Если такой смены
нет, то в этой критической точке не будет экстремума.

Если
знак производной меняется с (+ ) на (- ) – это точка max, если знак производной меняется с (- )
на (+ ) – это точка min.

На
рис.1: Точка Х₂ является точкой max, т.к. при переходе через
эту точку возрастание сменилось убыванием ( f ´(x) поменяла знак с (+ ) на (- )). Такими же будут
точки Х₄и Х_6. В
точках Х₃и Х₅ при переходе f ´(x) поменяла знак с (- ) на (+ ). Это точки min.

В критической точке Х₇ не произошло
смены знака производной (функция возрастала до этой точке и возрастает после
этой точки). Здесь никакого экстремума нет. Это точка перегиба. Не будет существовать экстремумов и в точках, в которых график функции
будут разрываться. На нашем рисунке такого случая нет.

Вывод. Для существования
экстремумов необходимо выполнение двух условий:

1. Существование критических точек.

2. Смена знака производной при переходе через критическую точку.

Ответить на
вопросы.

1.
Что такое критические точки, как их
находят?

2.
Какие бывают точки экстремума?

3.
Что такое экстремумы функции?

4.
Какие существуют экстремумы функции?

5.
Что является необходимым условием существования
экстремума?

6.
Что является достаточным условием
существования экстремума?

7.
В каком случае функция будет иметь
максимум?

8.
В каком случае функция будет иметь
минимум?

Нахождение экстремумов
функции осуществляют по следующему плану:

1. Найти
область определения функции.

2. Найти
производную.

3. Найти
критические точки ( приравнять производную к нулю).

4. На
числовой прямой отметить найденные критические точки, выделить
полученные числовые промежутки и проверить знак производной в каждом из них.

5. Записать,
где получились точки максимума или минимума, (а может быть и перегиба, если
знак производной не менялся при переходе через точку, или разрыва).

6. Вычислить
значение экстремумов функции (значение самой функции в точках экстремума.

7. Для
наглядности или когда надо построить график заданной функции, заносятся все
полученные данные в таблицу.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Найти
критические точки функции f(x)
=x³
-7x²
-5x +6 (в
ответ записать большее значение). Решение.

(В данном примере надо выполнить
только три первых пункта плана.)

1. D(
f ) = (- ∞; + ∞).

2. Найдем
производную f ´(x)
=(x³ -7x²
-5x +6)´ =3х² – 14х -5

3. 3х²
– 14х -5= 0 D= (-14)² – 4·3·(-5) = 196
+ 60 = 256 = 16²

X₁
= (14+16)/(2·3) = 5 X₂
= (14 – 16)/(2·3) = – 1/3 Ответ: 5

Пример 2. Исследовать
функцию f(x)
=2x³ –
24x на
экстремумы ( сделать таблицу, в ответ записать а) точку минимума; б) максимум
функции).

Решение.

(В этом задании надо
выполнить все пункты плана.)

1. D(
f ) = (- ∞; + ∞).

2. Найдем
производную f ´(x)
=(2x³ – 24x)´=
6х² – 24

3.
6х²
– 24=0 Здесь неполное
квадратное уравнение, вынесем за скобки общий множитель 6 (х²
– 4)=0;    х² – 4=0;     х² = 4;     х₁ =2 и х₂=
– 2 это критические
точки.

4.
Знаки в
промежутках определяют, выбирая любые числа из каждого промежутка и подставляя
в производную. Например, из промежутка ( -∞; -2)
можно взять число         х= – 3.        6· (-3)² -24 = 6· 9 -24=30
> 0 (если квадратичная функция, знаки чередуются).

5.
     Xmax
= -2     Xmin = 2

6. f_max
(-2)
=2·(-2)³ – 24·(-2)=32

f_min
(2)
=2·(2)³ – 24·(2)= – 32

X	( -∞; -2)	-2	(-2; 2)	2	(2 ; +∞)
f ´ (x)	+	0	–	0	+
f (x)	↑	32	↓	-32	↑
	max		min

Ответ:
а) 2 б) 32.

Пример 3. Исследовать
функцию f(x)
= Х +(1/х) на экстремумы ( сделать таблицу, в ответ
записать а) критические точки; б) точку максимума; в) минимум функции).

Решение.

(В этом задании надо
выполнить все пункты плана.)

1.
D( f
) = (- ∞; 0) U (0; + ∞).      ( так
как в выражении 1/х   х≠0)

2.
Найдем
производную f ´(x)
=( Х +(1/х))´= 1 – (1 / х²) = (х² -1) / х²

3.       (х²
-1) = 0     х² =1      x₁
= -1   x₂
=1 при х=0 производная не существует.
Критических точек 3.
Это -1;
0; 1.

Здесь функция не квадратичная
функция и знаки надо проверять в каждом промежутке. Например, из промежутке
( -1; 0) можно взять х= – 0,5. 1 – (1 / х²) =
1 – (1 /( – 0,5)²) = 1 –( 1/0,25)=
1 – 16 =-15 <0 ( поставили на рисунке знак минус.). Так проверяем знак в
каждом промежутке в этом задании.

5. В этом примере две
точки экстремума Xmax = -1 Xmin
= 1

6.
f_max
(-1)
= -1
+(1/-1)= -2

f_min
(1)
= 1 +(1/1) = 2

X	( -∞; -1)	-1	(-1; 0)	0	(0 ; 1)	1	(1 ; +∞)
f ´ (x)	+	0	—	Не существует	–	0	+
f (x)	↑	– 2	↓		↓	2	↑
	max		разрыв		min

Ответ: а) -1; 0; 1. б) –
1. в) 2.

Решить самостоятельно.

1. Найти
критические точки функции f(x)
= -2x³
+6x²
+ 48x – 16 (в
ответ записать меньшее значение).

2. Исследовать
функцию f(x)
=x³
– 27x + 20 на
экстремумы ( без таблицы, в ответ записать а) точку минимума; б) минимум
функции).

3. Исследовать
функцию f(x)
=3x⁴ –
4x³
+ 5 на
экстремумы ( сделать таблицу, в ответ записать а) наименьшую критическую
точку; б) точку экстремума; в) экстремум функции; г) что происходит с функцией
в критической точке х=0 ?).

Ответы на вопросы.

1. Производная
равна нулю или не существует.

2. Точки
минимума и максимума.

3. Значение
функции в точках экстремума.

4. Максимум
функции и минимум функции.

5. Существование
критических точек.

6. Смена
знака производной в этой точке.

7. Максимум,
если знак меняется с ( + ) на ( – ).

8. Минимум,
если знак меняется с ( – ) на ( + ).

Ответы на задачи.

1. Критические
точки х= -2 и х=4; меньшее -2

2. а)
Точка минимума х= 3

б)
минимум функции f(x)
= -34

3. а)
наименьшая критическая точка х = 0

б)
точка экстремума х=1

в) экстремум
функции f(1) = -1

г)
что происходит с функцией в т. х=0? Перегиб графика.

Источник

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная
равна нулю.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

– Производная положительна там, где функция возрастает.
– Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после – производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.

(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.

(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

(-7): минимум.

(3): максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

– Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
– Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

Найдите производную функции (f'(x)).
Найдите корни уравнения (f'(x)=0).
Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов).
Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью).
Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
– если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
– если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
– если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

(15x^4-60x^2=0) (|:15)
(x^4-4x^2=0)
(x^2 (x^2-4)=0)
(x=0) (x^2-4=0)
(x=±2)

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).

Ответ. (-2).

Смотрите также:
Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов

Скачать статью

Источник

Значения функции и точки максимума и минимума

Наибольшее значение функции

Наменьшее значение функции

Точки max

Точки min

Как говорил крестный отец: «Ничего личного». Только производные!

Статью Как посчитать производные? надеюсь, ты изучил, без этого дальше будет проблематично.

12 задание по статистике считается достаточно трудным, а все потому, что ребята не прочитали эту статью (joke). В большинстве случаев виной всему невнимательность.

12 задание бывает двух видов:

Найти точку максимума / минимума (просят найти значения «x»).
Найти наибольшее / наименьшее значение функции (просят найти значения «y»).

Как же действовать в этих случаях?

Найти точку максимума / минимума

Взять производную от предложенной функции.
Приравнять ее к нулю.
Найденный или найденные «х» и будут являться точками минимума или максимума.
Определить с помощью метода интервалов знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.

Задания с ЕГЭ:

Найдите точку максимума функции

Берем производную:

Приравняем ее к нулю:
Получили одно значение икса, для нахождения знаков подставим −20 слева от корня и 0 справа от корня в преобразованную производную (последняя строчка с преобразованием):

Все верно, сначала функция возрастает, затем убывает — это точка максимума!
Ответ: −15

Найдите точку минимума функции

Преобразуем и возьмем производную:

Получается один корень «−2», однако не стоит забывать о «−3», она тоже будет влиять на изменение знака.

Отлично! Сначала функция убывает, затем возрасает — это точка минимума!

Ответ: −2

Найти наибольшее / наименьшее значение функции

Взять производную от предложенной функции.
Приравнять ее к нулю.
Найденный «х» и будет являться точкой минимума или максимума.
Определить с помощью метода интервала знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.
В таких заданиях всегда задается промежуток: иксы, найденные в пункте 3, должны входить в данный промежуток.
Подставить в первоначальное уравнение полученную точку максимума или минимума, получаем наибольшее или наименьшее значение функции.

Задания с ЕГЭ:

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−4; −1]

Преобразуем и возьмем производную:
«3» не вдходит в промежуток [−4; −1]. Значит, остается проверить «−3» — это точка максимума?

Подходит, сначала функция возрастает, затем убывает — это точка максимума, и в ней будет наибольшее значение функции. Остается только подставить в первоначальную функцию:

Ответ: −6

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0; 1,5π]

Наибольшее значение функции равно «11» при точке максимума (на этом отрезке) «0».

Ответ: 11

Выводы:

70% ошибок заключается в том, что ребята не запоминают, что в ответ на наибольшее/наименьшее значение функции нужно написать «y», а на точку максимума/минимума написать «х».
Нет решения у производной при нахождении значений функции? Не беда, подставляй крайние точки промежутка!
Ответ всегда может быть записан в виде числа или десятичной дроби. Нет? Тогда перерешивай пример.
В большинстве заданий будет получаться одна точка и наша лень проверять максимум или минимум будет оправдана. Получили одну точку — можно смело писать в ответ.
А вот с поиском значения функции так поступать не стоит! Проверяйте, что это нужная точка, иначе крайние значения промежутка могут оказаться больше или меньше.

Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.

Источник

Задача
нахождения минимума функции одной
переменной min/(x)
нередко
возникает в практических приложениях.
Кроме того, многие методы решения задачи
минимизации функции многих переменных
сводятся к многократному поиску
одномерного минимума. Поэтому разработка
новых, более эффективных одномерных
методов оптимизации продолжается и
сейчас, несмотря на кажущуюся простоту
задачи.

Примечание.
В
дальнейшем, если не будет особо оговорено,
под минимумом функции будет
подразумеваться локальный минимум.

Нахождение
минимума функции осуществляется в два
этапа:

1. Приближенное
определение местоположения минимума.

2. Вычисление
точки минимума x_min
c заданной
точностью s
одним
из
нижеприведенных методов.

На
первом этапе, задав некоторую начальную
точку x
°,
спускаются с заданным шагом h
в
направлении уменьшения функции и
устанавливают интервал длиной 2h,
на
котором находится минимум, из условия
f
( x_m
– h ) < f ( x_m
) < f ( x_m
+ h ). Для
функции, изображенной на рис. 23.1,
если
A
< x °
<
x _g
, будет
выделен интервал [a,b]
с
локальным минимумом x
_min
₁,
а если x_g
< x °
<
B – с
глобальным минимумом x
_min
₂,
т. е. тот, в области «притяжения» которого
оказалась начальная точка x
°.

Если
на отрезке [a,b]
функция
f
( x ) унимодальна,
т. е. она имеет на этом отрезке единственную
точку минимума x
_min
и
слева от этой точки является строго
убывающей, а справа –
строго
возрастающей, то для вычисления точки
минимума с заданной точностью могут
использоваться нижеприведенные
методы:

23.2.1.
Метод
деления отрезка пополам

Задаются
a,
b и
погрешность s.
Вычисляются
две точки вблизи середины интервала
[a,
b]:

x₁
=
(a
+
b
–
s)
/
2, x₂
= (a
+ b + s)
/
2.
Если
f
( x ₁
) > f ( x ₂
), то
a
= x ₁,
иначе
b
= x ₂.
Если
|
b – a | > 2s, тогда
повторяем с п.1.

^4. ^{Вычисляем}
^xmin
=
⁽^a
+ ^b)/2,
JW
=
^f⁽^Xmm
^).

Этот
метод прост в реализации, позволяет
находить минимум разрывной функции,
однако требует большого числа вычислений
функции для обеспечения заданной
точности.

23.2.2.
Метод
золотого сечения

Золотое
сечение – это такое деление отрезка [a,
b] на
две неравные части при котором
отношение большего отрезка ко всему
интервалу равно отношению меньшего
отрезка к большему. При этом имеет место
следующее соотношение:

^{(b

– x1)/(b –}^a^)

=^(x1^–^a^)/(b

–^x1)^{= 1- £ = 0.618, £ = (3 –}^V^{5)/2

= 0.382.}

О
точке, которая расположена на расстоянии
£
длины
от одного из концов отрезка, говорят,
что она осуществляет золотое
сечение данного
отрезка. Каждый отрезок имеет две такие
точки, расположенные симметрично
относительно середины. Алгоритм
поиска минимума аналогичен вышеописанному
методу деления пополам и отличается
тем, что вначале точки x₁
и
x₂
выби-

раются
так, чтобы они осуществляли золотое
сечение отрезка, и вычисляются
значения функции в этих точках. В
последующем, после сокращения интервала
путем отбрасывания неблагоприятной
крайней точки, на оставшемся отрезке
уже имеется точка, делящая его в золотом
отношении, (
точка
xj
на
рис. 23.2
) известно
и значение функции в этой точке.
Остается лишь выбрать ей симметричную
и вычислить значение функции в этой
точке для того, чтобы вновь решить,
какую из крайних точек отбросить.

f(xi).

Алгоритм
метода:

Задаются
a,
b и
погрешность s.

1. Вычисляются
две точки

^x1
=
а
+
^£(b
^–
ci
^x2
=
b
^-£(Ъ
^–
ci
^yi
=
^f
^(хД
^y2
=
^f⁽^x2⁾
^.

2. Если
yj
> y2, то
a
= xj,
xj
= x2, yi = У2,
x₂
= b – £ (b-a);
У2
=
f(x2),
иначе
b
= x2, x2 = xj,
y2 = yi,
xj
=
a + £ (b-a),

Если
|
b
– a > 2s, то
повторить п.2.
Если
yj
> y2, то
a
= xj,
иначе
b
= x2,

^5. ^{Вычисляется}
^x_mm
=
^(a
+ ^b)/2,
^y_mm
=
^f
^(x_min^).

^yj
⁼

За
одно вычисление функции отрезок, на
котором находится x_mi_n,

уменьшается
в j-£
=0.62 раза,
т.е. быстрее, чем метод деления пополам,
в котором за два вычисления функции
отрезок уменьшается в 0,5
раза.

23.2.3.
Метод
Фибоначи

На
практике количество вычислений значений
функции часто бывает ограничено
некоторым числом n
(
тем самым ограничено и число шагов
вычислений по методу золотого
сечения; оно не превышает n-1
). Метод
Фибоначчи отличается от метода
золотого сечения лишь выбором первых
двух симметричных точек и формул их
пересчета и гарантирует более точное
приближение к точке x
_min
за
n
-1 шаг,
чем метод золотого сечения за то же
количество шагов. Согласно методу
Фибоначи, на нулевом шаге первые две
симметричные точки вычисляют по
формулам xi⁰
=
ао
+
F n
(
bo
–
ao
)
/ Fn+2
,

X2⁰
=
bo
–
F n
(
bo
–
ao
)
/ Fn+2
=
ao
+
F n
+ 1 (
bo
–
ao
)
/ Fn+2
,

где
F
_n
,
F _n
+ ₁
,
F _n
+ ₂
–
числа
Фибоначи ,
определяемые
рекурентной формулой

F
_k
=
F _k
– 1 +
F k
– 2 ,
k=3, 4, … ; F 1
=
F 2
=
1 Запишем
первые десять чисел Фибоначи :

F1
=1,
F2
=1,
F3
=2,
F4
=
3, F5
=5,
F6
=8,
F₇
=13, F8
=21,
F₉
=34, F10

=55.

В
последующем, после сокращения интервала
путем отбрасывания неблагоприятной
крайней точки, одна из точек пересчитывается
по одной из соответствующих формул

_k
^x1^k
⁼
^ak
⁺
^F
n
– k ⁽
^b0
^–
^a0
⁾
^/
^Fn
+ 2 ^,^x2^k
⁼
^ak
⁺
^F
n
+ 1 – k ⁽
^b0
^–
^a0
⁾
^/
^Fn
+ 2 ^,

Выполняется
n
– 2 шага,
при k
= 1, 2, … , n – 2, после
чего отбрасывается крайняя неблагоприятная
точка и вычисляется точка минимума x
_min
=
( a _n
_–
₁+
b _n
_–
₁)
/ 2. Погрешность
вычисления точки минимума не превышает
(b₀
– ao)
/
(2F _n
₊
₂),
т.
е. за три вычисления функции получают
точку минимума с погрешностью не
превышающей 1
/ 10 первоначального
интервала ,
пять
вычислений –
1 / 26, восемь
–
1 / 110.

_Т
lim
F_n
/
F_n+2
= (3
-V5)/2, _б

Т.к. ⁿ
² то,
при достаточно больших n,
вычисле-

П
—
GO

ния
по методу Фибоначи и золотого сечения
начинаются практически из одной и
той же пары симметричных точек.

Алгоритм
метода:

Задаются
a,
b, число
вычислений функции n.

1. Вычисляются
d
= ( b-a ) / F_n+₂
и
две точки

^x1
=
^a
+ ^Fn^d^,
^x2
=
^a
+ ^Fn+1^d^,
^J1
=
^f
⁽^x1
X
У2
=
^f
⁽^x2
⁾
^.

2. Если
yi
> y2 ,
то
a
= xi,
xi = x2, У1
=
У2,
x2
=
a
+
Fn
–
k
d;
У2
=f(x2),
иначе
b
= x2, x2 = xi,
У2
=
У1,
xi
=
a
+
Fn
– k +1 d,
yi
=f(xi).

п.2
повторяется n-2
раза,
при k
= 1, 2, … , n-2.

3. Если
У1
>
У2
,
то
a
=
xi,
иначе
b
= x2

^4. ^{Вычисляется}
^xmin
=
^(a
+
^b)/2,
JW
=
^f
⁽^xmin⁾
^.

23.2.4.
Метод
последовательного перебора

Этот
метод не требует предварительного
определения местоположения точки
минимума. Идея метода состоит в том,
что, спускаясь из точки x₀
с
заданным шагом h
в
направлении уменьшения функции,
устанавливают интервал длиной 2h,
на
котором находится минимум, который
затем последовательно уточняют,
повторяя спуск с последней точки,
уменьшив шаг и изменив его знак, пока
не будет достигнута заданная точность.
Алгоритм метода приведен ниже.

Задаются
x₀,
некоторый
шаг h
и
погрешность s
.

1. Вычисляем
y_o
= f
(x_o)

2. Определяем
направление убывания функции. Если f
(x_o+sh)
> y_o,
то
h
= -h.

Из
точки x₀
делается
шаг x₁=x₀+h
и
вычисляются y₁
= f
(x₁).
Если
y₁
< y₀,
то
x₀
= x₁,
y₀
= y₁,
и
повторить с п.3

5. h
=
–
h
/
4.
В
точке x₁
функция
оказалась большей, чем в x₀,
следова-
тельно,
мы перешагнули точку минимума и
организуем спуск в обратном на-
правлении.

6. Если
| h
|
>
s,
тогда
повторить с п.3

^7. ^xmin
=
^xo^,
^fmin
=
^f^.

Скорость
сходимости данного метода существенно
зависит от удачного выбора начального
приближения x₀
и
шага h.
Шаг
h
следует
выбирать как половину оценки
расстояния от x₀
до
предполагаемого минимума x_mf_n.

23.2.5.
Метод
квадратичной параболы

Для
ускорения спуска к минимуму из некоторой
точки x₀
используют
локальные свойства функции вблизи этой
точки. Так, скорость и направление
убывания можно определить по величине
и знаку первой производной. Вторая
производная характеризует направление
выпуклости: если f”>0,
то
функция имеет выпуклость вниз, иначе
– вверх. Вблизи локального безусловного
минимума дважды дифференцируемая
функция всегда выпукла вниз. Поэтому,
если вблизи точки минимума функцию
аппроксимировать квадратичной параболой,
то она будет иметь минимум. Это свойство
и используется в методе квадратичной
параболы, суть которого в следующем.

Вблизи
точки x0
выбираются
три точки xj,
x2,
x3.
Вычисляются
значения y₁,
y₂,
y₃.
Через
эти точки проводится квадратичная
парабола

p(
x –
x₃)
+ q( x
–
x₃)
+ r
=
pz
+
qz
+
r,

z
— x x3,
z1
—
x1
x3,
z2
—
x2
x3,
r
— y 3, (23.1)

_p
=
⁽^y1
^–
^y3⁾
^z2
^–
⁽^y2
^–
^y3⁾
^z1 _q
=
⁽^y1
^–
^y3⁾
^z2
^–
⁽^y2
^–
^y3⁾
^z1²

^z1^z2^(z1^-z2⁾ ^z1^z2^(z2^-z1⁾

Если
p>0,
то
парабола имеет минимум в точке z_m
= -b/(2a). Следовательно,
можно аппроксимировать положение
минимума функции значением x_m1
= x₃
+ z_m
и,
если точность не достигнута, следующий
спуск производить, используя эту новую
точку и две предыдущие. Получается
последовательность x_m1,
x_m₂,
x_m₃,
…
, сходящаяся
к точке x_m.

Алгоритм
метода можно записать следующим образом
Задается x0,
h
и
s.

1.Выбираем
3
точки:
x₁=x_o-h,x₂=x_o-h,x₃=x_o+h,
2.
Вычисляем
y1
=
f
(x1),
y2
=
f
(x2),
y3
=
f
(.
3.Проверяем
положительность знака второй производной:

h²f”
= y₁
– 2y₂
+ y₃
> 0 (см.
п. (4.7)),
если
нет, то начальное приближение

x0
выбрано
неудачно (в x0
имеется
выпуклость вверх) и следует закончить
вычисления с таким сообщением, если
да, то переходим к п.4.

4. Вычисляем
z,
z₁,
z₂,
p, q, r, z_m
по
вышеприведенным формулам

(23.1).

5. Переименовываем
точки, отбрасывая точку x₁:

6.
Проверяем
|z_m
| < s,
если
нет, то повторяем с п.4.

^xm
= ^x3
+
^zm^,
^ym
= ^f
^(xm
X
^конец.

Данный
метод сходится очень быстро и является
одним из наилучших методов спуска.
Следует отметить, однако, что вблизи
минимума расчет по приведенным здесь
формулам для p
и
q
приводит
к накоплению погрешности из-за потери
значащих цифр при вычитании близких
чисел. Поэтому разные авторы предлагают
свои эквивалентные формулы, счет по
которым более устойчив. Кроме того,
в алгоритм вносятся некоторые поправки,
позволяющие предусмотреть различные
неприятные ситуации – переполнение,
деление на 0, уход от корня.

23.2.6.
Метод
кубической параболы

Данный
метод аналогичен предыдущему, но за
счет использования аппроксимации
кубической параболой имеет более
высокую сходимость, если
функция допускает простое вычисление
производной. При
его использовании вблизи точки x0
выбираются
две точки xi
и
x2
(обычно
x₁
=
x₀),
вычисляются

значения
функции y₁,
y₂
и
ее производной D₁
=
f(x₁),
D₂
= f‘(x₂).
Затем
через эти точки проводится кубическая
парабола, коэффициенты которой
определяются таким образом, чтобы
совпадали значения производных параболы
и функции:

p(x
– x₂)
+ q( x
– x₂)
+ r
(x
– x₂)
+ s
= pz + qz
+ rz + s = P( z),

z=x-x₂,z₁=x₁-x₂,

P(0)
= У2,
P(0)
= D2,
P(z1)
=
У1,
P’(z1)
=
Д.

Как
нетрудно убедиться, коэффициенты
параболы вычисляются по следующим
формулам: s
= У2,
r
= D2,

^p
= ⁽^D1
^–
^D2
^–
²⁽^y1
^–
^y2
^–
^D2
■ ^z1^)/z1⁾^z²^,^q
= ⁽^D2
^–
^D1
+
³⁽^y1
^–
^y2
^–
^D2
^ ^z1^)/z1^)/z1^.‘

Поэтому
приближенное положение минимума можно
получить по формуле x_m1=x₂+z_m
и,
если точность не достигнута, следующий
спуск произво-

Известно,
что кубическая парабола имеет минимум
в точке дить уже из точек x₂,
x_m1
(точка
x_j
отбрасывается).
Если подкоренное выражение окажется
отрицательным, то спуск следует
производить до точки перегиба
параболы z_m1
= -q
/3p
. Следует
также убедиться, что в начальной точке

a,
D₂
– D
_
функция
вогнута вниз — ––
> o.

Алгоритм
метода можно записать следующим образом.
Задаются начальное значение x₀,
некоторый
малый шаг h
и
s.

Вычисляем
x₁
= x_o,
D₁
= f‘(x₁).
Если
D₁
>
o, то
изменяем знак h
(h=-h).
Вычисляем
x₂
=
x₁
+ h, D₂
= f‘(x₂).
Если
(D₂
– D₁)/
h
< o,
функция
вогнута вверх, тогда x₀
выбрана
неудачно и следует закончить
вычисления с этим сообщением.
Вычисляем
y
= f
(x1),
y2
=
f
(.
Вычисляем
zj,
p,
q, r, z_m
по
вышеприведенным формулам.

^7. ^x1
=
^x2^,
^y1
=
^y2^
^D1
=
^D2^,
^x2
=
^x2
+
^zm^,
^y2
=
^f
⁽^X2^),
^D2
=
^f
‘^(x).

8. Проверяем
|z_m|
< s,
если
нет, тогда повторяем п.6.

^9. ^xm
=
^x2
+
^Zm^,
^ym
=
^f
⁽^xm
^ ^конец.

Следует
отметить, что вблизи точки минимума
расчет по приведенным здесь простейшим
формулам для p,
q не
всегда устойчив из-за ошибок округления,
поэтому различные авторы рекомендуют
использовать несколько преобразованные
формулы.

ЛЕКЦИЯ
24.
РЕШЕНИЕ
ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Источник

Как найти точки минимума и максимума функции

Минимум и максимум функции

Точка минимума, минимум функции

Точка максимума, максимум функции

Исследование функций на экстремумы

Примеры задач

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

– Производная положительна там, где функция возрастает. – Производная отрицательна там, где функция убывает.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Значения функции и точки максимума и минимума

Найти точку максимума / минимума

Найти наибольшее / наименьшее значение функции

Вам также может понравиться

Как найти угол треугольника по трем точками

Как найти объемную плотность куба

Как составить введение для книги

Добавить комментарий Отменить ответ

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная
равна нулю.

– Производная положительна там, где функция возрастает.
– Производная отрицательна там, где функция убывает.