Как найти ядро множества

Обобщение понятия принадлежности. В рассмотренных примерах характеристическая функция принимала значения 0 или 1. Предположим, что характеристическая функция принимает любое значение из . Тогда элемент может не принадлежать множеству , принадлежать в какой-либо степени или быть элементом множества .

Нечёткое множество. Нечётким подмножеством (нечётким множеством) множества называется множество упорядоченных пар , где – функция принадлежности элемента множеству , характеризующая степень принадлежности элемента этому множеству, или, другими словами, меру соответствия элемента универсального множества свойствам нечёткого множества . В случае непрерывного множества для задания нечёткого множества используют такое обозначение: .

Множество принадлежностей. Множество значений функции принадлежности называется Множеством принадлежностей. Если , то – обычное множество, т. е. чёткое множество можно рассматривать как предельный случай нечёткого множества. Далее в этом учебном пособии множество принадлежностей .

Мощность нечёткого множества. Пусть на универсальном множестве задано нечёткое множество . Мощность нечёткого множества или его Кардинальное число определяется следующим образом: .

Пример 28. На универсальном множестве определим следующее нечёткое множество:

Определим кардинальное число нечёткого множества :

Принадлежность элемента нечёткому множеству можно обозначать и так: .

Для определения степени принадлежности элемента нечёткому множеству существует специальная терминология. Так, нечёткое множество , заданное в Примере 28, содержит в незначительной степени элемент , не содержит , в небольшой степени содержит , в значительной степени – и , и содержит элемент .

Пример 29. Нечёткое множество небольших натуральных чисел может быть задано, например, так:

Замечание. Значения заданы субъективно.

Носитель нечёткого множества. Носителем (суппортом) нечёткого множества (supp) называется множество элементов , для которых . Нечёткое множество называется пустым, если его носитель является пустым множеством.

Ядро нечёткого множества. Ядром Нечёткого множества () называется множество элементов , для которых .

Высота нечёткого множества. Величина ( для дискретных универсальных множеств) называется Высотой нечёткого множества ().

Нормальные и субнормальные нечёткие множества. Нечёткое множество Нормально, если его высота равна 1. Если высота меньше 1, то нечёткое множество называется Субнормальным. Всякое непустое субнормальное нечёткое множество можно преобразовать к нормальному , нормируя его функцию принадлежности:

Унимодальные нечёткие множества. Нечёткое множество называется Унимодальным, если только для одного .

Точки перехода нечётких множеств. Элементы , для которых , называются Точками перехода нечёткого множества .

Выпуклые нечёткие множества. Нечёткое множество называется Выпуклым, если:

Пример 30. Пусть универсальное множество есть множество действительных чисел, т. е. . Определим нечёткое множество как множество чисел, близких к числу (Рис. 4).

Рисунок 4

Функцию принадлежности можно задать следующим образом: , где . Показатель степени выбирается в зависимости от степени близости к . Например, для описания множества чисел, очень близких к , можно взять ; для множества чисел, не очень далеких от , .

Пример 31. На универсальном множестве из Примера 28 Задано нечёткое множество . Для нечёткого множества : 1) определить его мощность; 2) определить носитель, ядро и высоту; 3) выяснить, является ли оно нормальным или субнормальным. Если является субнормальным, преобразовать его к нормальному; 4) проверить, будет ли полученное множество унимодальным; 5) определить точки перехода .

Решение.

1. По определению, мощность (кардинальное число) нечёткого множества , заданного на конечном универсальном множестве , определяется по формуле: .

Тогда .

2. Воспользуемся определениями носителя, ядра и высоты нечёткого множества. Очевидно, , , .

3. Заданное нечёткое множество является субнормальным. Построим соответствующее ему нечёткое нормальное множество . Для этого вычислим значения функции принадлежностей элементов по формуле:

Имеем: , аналогично: , , , , . Таким образом, нечёткое нормализованное множество .

4. Множество является унимодальным, так как содержит только один элемент , для которого .

5. Множество имеет единственную точку перехода – , так как только .

Умножение нечётких множеств на число. Если – такое положительное число, что , то для нечёткого множества функция принадлежности определяется следующим образом: .

Сравнение нечётких множеств. Рассмотрим два нечётких множества и , заданных на универсальном множестве .

Говорят, что Содержится в , т. е. , если для любого . Графически это означает, что кривая, задающая нечёткое множество располагается выше аналогичной кривой нечёткого множества . Если условие включения выполняется не для всех , то говорят о Степени включения в , которая определяется как , где – множество , на котором выполняется условие включения.

Два нечётких множества и Равны, если они содержатся друг в друге, т. е. , если для любого .

Подмножество -уровня. Подмножеством -уровня нечёткого множества , , называется чёткое подмножество элементов , для которых . Множество называют также -сечением нечёткого множества . При этом, если , то говорят о сильном сечении, а если , то о слабом сечении. Имеет место Важное свойство: если , то .

Для задач анализа и синтеза нечётких множеств применяют Теорему о декомпозиции: нечёткое множество можно разложить по его множествам -уровня следующим образом: , где – произведение числа на множество .

Пример 32. На универсальном множестве определим нечёткое множество . Найдём все подмножества нечёткого множества :

По теореме о декомпозиции нечётких множеств заданное нечёткое множество представим следующим образом:

Где , т. е.

< Предыдущая		Следующая >

Источник

Ядро бинарного отношения.

Пусть

 произвольное
бинарное отношение из A
в B.

Ядром бинарного отношения

называется композиция
.

Рассмотрим два примера:

Пример 1.

Пусть A = B
= {1, 2, 3, 4};

= {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}, тогда

^-1
= {(1, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 2), (4, 3)};

=
{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}.

Этот пример показывает, что ядро не
обязано быть

– рефлексивным ((4, 4) в него не входит);

– транзитивным ((1, 3) не входит, а (1, 2), (2,
3) входят);

– полным ((1, 3), (3, 1) не входят).

Свойства ядра:

Любое ядро – симметричное бинарное
отношение.

Доказательство.

и

и

Пусть

Значит, любое ядро содержит все пары
вида (a, a),
где a – каждый первый
элемент пар бинарного отношения
.
Следовательно, ядро не может быть пустым,
если только
.

Если

и
,
то
.
Обратно, если
,
то

и
.

Пример 2.

Пусть M – произвольное
конечное множество, 2^M
его булеан; рассмотрим
прямое произведение 2^M,
где

Рассмотрим отношение
,
следовательно

,тогда

.
Такое ядро, содержит упорядоченные пары
множеств одинаковой мощности, оно
называется отношением равномощности.

Лекция 8. Отношения эквивалентности.

Бинарное отношение

на множестве А называется отношением
эквивалентности, если оно рефлексивно,
симметрично, транзитивно. Обычно
отношение эквивалентности обозначается
знаком .
Примеры отношения эквивалентности:

Отношение
параллельности на множестве прямых
евклидовой плоскости;
Отношение равенства на множестве
рациональных дробей:

,
v, q
≠ 0, uq = vp;

Отношение сравнимости
на N;
Отношение обучения в одной группе на
множестве студентов СибАДИ.

Классы эквивалентности.

Пусть на множестве А задано отношение
эквивалентности и x
– произвольный элемент множества А.
Классом эквивалентности элемента
х по отношению 
называют множество всех элементов [x]
= {yA|
(x, y)

или x 
y}.

Лемма 1.

Классы эквивалентности – непустые
множества.

Доказательство.

x 
x 
(x, x)

x
[x].

Лемма 2.

Если a ~
b, то [a]
= [b].

Доказательство.

Пусть
x
[a]

x 
a и a 
b 
x 
b 
x
[b]
Пусть
x
[b]

x 
b и b 
a 
x 
a 
x
[a]

[a]
= [b].

Лемма 3.

Если
a 
b, то [a]
 [b]
= 

Доказательство.

Пусть x[a]
 [b]
= x 
[a] и x
 [b]
 x

a, x

b 
a 
b 
получили противоречие.

Три доказанных леммы можно объединить
в одну теорему.

Теорема.

Если на множестве А задано отношение
эквивалентности 
, то оно определяет разбиение множества
А на непустые непересекающиеся классы
эквивалентности.

Обратная теорема.

Пусть P = {P_i}
– разбиение множества А; 
P_i
= A, P_i P_i
= , если i
≠ j. Тогда на
множестве А строится отношение
эквивалентности по следующему правилу:
x,
y 
A: x

y 
x 
P_i и y 
P_i_.

Доказательство.

x 
x (x

P_i);
Если x 
y, то y

x (x,
y P_i);
Если x 
y, y

z, то x
z (x,
y, z
P_i).

Теорема доказана.

Множество
классов эквивалентности, построенных
по данному отношению эквивалентности
,
называется фактормножеством
множества
А
по отношению .

Пример.

В случае отношения обучаемых в одной
группе: класс эквивалентности – группа,
фактор множество – множество групп.
В случае отношения сравнения по mod
m: класс эквивалентности
– множество натуральных чисел имеющих
один и тот же остаток при делении на m,
фактор множество – семейство всех
классов.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

У этого термина существуют и другие значения, см. Ядро.

Ядро в алгебре — характеристика отображения , обозначаемая ker ,f , отражающая отличие от инъективного отображения, обычно — множество прообразов некоторого фиксированного (нулевого, единичного, нейтрального) элемента . Конкретное определение может различаться, однако для инъективного отображения множество ker ,f всегда должно быть тривиально, то есть состоять из одного элемента (как правило, нейтрального элемента из ).

Если множества и обладают некоторой структурой (например, являются группами или векторными пространствами), то ker ,f также должно обладать этой структурой, при этом различные формулировки основной теоремы о гомоморфизме связывают образ и фактормножество .

Ядро линейного отображения[править | править код]

Ядром линейного отображения называется прообраз нулевого элемента пространства :

ker f является подпространством в . Оно всегда содержит нулевой элемент пространства . Согласно основной теореме о гомоморфизме, образ изоморфен факторпространству по ядру :

{displaystyle mathrm {Im} ,fsimeq V/ker f.}

Соответственно, размерность образа пространства равна разности размерностей пространства и ядра отображения, если размерность конечна:

{displaystyle dim mathrm {Im} ,f=dim V-dim ker f,}

а прообраз любого вектора определён с точностью до прибавления вектора из ядра:

$f^{{-1}}(u)=v_{0}+ker f,~~~f(v_{0})=u,~~~v_{0}in V,~uin U.$

Всякий базис ядра называется фундаментальной системой решений.

Теория матриц[править | править код]

Любую прямоугольную матрицу размера , содержащую элементы поля (в частности, вещественные числа), можно рассматривать как линейный оператор $g:{mathbb {K}}^{n}rightarrow {mathbb {K}}^{m}$ умножения векторов слева на матрицу:

$g(v)=Gv,~~~vin {mathbb {K}}^{n}$

Таким образом, результаты теории конечномерных линейных пространств целиком переносятся на работу с матрицами. В частности, систему линейных уравнений с неизвестными

$left{{begin{matrix}a_{{11}}x_{1}+ldots +a_{{1n}}x_{n}=b_{1};\ldots ~~ldots ~~ldots ~~\a_{{m1}}x_{1}+ldots +a_{{mn}}x_{n}=b_{m}.end{matrix}}right.$

можно рассматривать как задачу поиска прообраза вектора ${mathbf {b}}=(b_{1},;ldots ,;b_{m})$ , а задача о решении однородной системы уравнений () сводится к поиску ядра отображения .

Пример[править | править код]

Пусть будет линейным отображением $f:{mathbb R}^{3}to {mathbb R}^{3}$ и:

$f({vec {x}})={begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&0end{pmatrix}}{begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\0end{pmatrix}}.$

Тогда его ядро является векторным подпространством:

$ker f=left{{begin{pmatrix}0\0\lambda end{pmatrix}}in {mathbb R}^{3}mid lambda in {mathbb R}right}.$

Гомоморфизм групп[править | править код]

Если — гомоморфизм между группами, то ker f образует нормальную подгруппу .

Гомоморфизм колец[править | править код]

Если — гомоморфизм между кольцами, то ker f образует идеал кольца .

См. также[править | править код]

Коядро

Литература[править | править код]

Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — Москва: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

In set theory, the kernel of a function (or equivalence kernel^[1]) may be taken to be either

the equivalence relation on the function’s domain that roughly expresses the idea of “equivalent as far as the function can tell”,^[2] or
the corresponding partition of the domain.

An unrelated notion is that of the kernel of a non-empty family of sets which by definition is the intersection of all its elements:

${displaystyle ker {mathcal {B}}~=~bigcap _{Bin {mathcal {B}}},B.}$

This definition is used in the theory of filters to classify them as being free or principal.

Definition[edit]

Kernel of a function

For the formal definition, let f:Xto Y be a function between two sets.
Elements ${displaystyle x_{1},x_{2}in X}$ are equivalent if ${displaystyle fleft(x_{1}right)}$ and ${displaystyle fleft(x_{2}right)}$ are equal, that is, are the same element of
The kernel of is the equivalence relation thus defined.^[2]

Kernel of a family of sets

The kernel of a family of sets is^[3]

${displaystyle ker {mathcal {B}}~:=~bigcap _{Bin {mathcal {B}}}B.}$

The kernel of is also sometimes denoted by The kernel of the empty set, is typically left undefined.
A family is called fixed and is said to have non-empty intersection if its kernel is not empty.^[3]
A family is said to be free if it is not fixed; that is, if its kernel is the empty set.^[3]

Quotients[edit]

Like any equivalence relation, the kernel can be modded out to form a quotient set, and the quotient set is the partition:

${displaystyle left{,{win X:f(x)=f(w)}~:~xin X,right}~=~left{f^{-1}(y)~:~yin f(X)right}.}$

This quotient set ${displaystyle X/=_{f}}$ is called the coimage of the function and denoted (or a variation).
The coimage is naturally isomorphic (in the set-theoretic sense of a bijection) to the image, specifically, the equivalence class of in (which is an element of ) corresponds to f(x) in (which is an element of ).

As a subset of the square[edit]

Like any binary relation, the kernel of a function may be thought of as a subset of the Cartesian product
In this guise, the kernel may be denoted (or a variation) and may be defined symbolically as^[2]

The study of the properties of this subset can shed light on

Algebraic structures[edit]

If and are algebraic structures of some fixed type (such as groups, rings, or vector spaces), and if the function f:Xto Y is a homomorphism, then is a congruence relation (that is an equivalence relation that is compatible with the algebraic structure), and the coimage of is a quotient of ^[2]
The bijection between the coimage and the image of is an isomorphism in the algebraic sense; this is the most general form of the first isomorphism theorem.

In topology[edit]

If f:Xto Y is a continuous function between two topological spaces then the topological properties of can shed light on the spaces and
For example, if is a Hausdorff space then must be a closed set.
Conversely, if is a Hausdorff space and is a closed set, then the coimage of if given the quotient space topology, must also be a Hausdorff space.

A space is compact if and only if the kernel of every family of closed subsets having the finite intersection property (FIP) is non-empty;^[4]^[5] said differently, a space is compact if and only if every family of closed subsets with F.I.P. is fixed.

References[edit]

^ Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra, Chelsea Publishing Company, p. 33, ISBN 0821816462.
^ ^a ^b ^c ^d Bergman, Clifford (2011), Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics, Pure and Applied Mathematics, vol. 301, CRC Press, pp. 14–16, ISBN 9781439851296.
^ ^a ^b ^c Dolecki & Mynard 2016, pp. 27–29, 33–35.
^ Munkres, James (2004). Topology. New Delhi: Prentice-Hall of India. p. 169. ISBN 978-81-203-2046-8.
^ A space is compact iff any family of closed sets having fip has non-empty intersection at PlanetMath.

Bibliography[edit]

Awodey, Steve (2010) [2006]. Category Theory. Oxford Logic Guides. Vol. 49 (2nd ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923718-0.
Dolecki, Szymon; Mynard, Frederic (2016). Convergence Foundations Of Topology. New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917.

Источник

Ядро и образ линейного отображения

Ядром линейного отображения mathcal{A}colon Vto W называется множество таких векторов mathbf{v}in V , что $mathcal{A}(mathbf{v})= mathbf{o}_W$ , т.е. множество векторов из {V} , которые отображаются в нулевой вектор пространства {W} . Ядро отображения mathcal{A}colon Vto W обозначается:

$ker mathcal{A}= Bigl{mathbf{v}colon, mathbf{v}in V,~ mathcal{A}(mathbf{v})=mathbf{o}_WBigr}.$

Образом линейного отображения mathcal{A}colon Vto W называется множество образов mathcal{A}(mathbf{v}) всех векторов из {V} . Образ отображения обозначается operatorname{im}mathcal{A} или mathcal{A}(V)colon

operatorname{im}mathcal{A}= mathcal{A}(V)= Bigl{mathbf{w}colon, mathbf{w}=mathcal{A}(v),~ forall mathbf{v}in VBigr}.

Заметим, что символ operatorname{im}mathcal{A} следует отличать от operatorname{Im}z — мнимой части комплексного числа.

Примеры ядер и образов линейных отображений

1. Ядром нулевого отображения mathcal{O}colon Vto W является все пространство {V} , а образом служит один нулевой вектор, т.е. $ker mathcal{O}=V,~ operatorname{im}mathcal{O}={mathbf{o}_W}.$

2. Рассмотрим отображение $mathsf{a!e}colon Vto mathbb{R}^n$ , которое ставит в соответствие каждому вектору mathbf{v} n-мерного линейного пространства {V} его координатный столбец $v=begin{pmatrix}v_1&cdots&v_n end{pmatrix}^T$ относительно заданного базиса $mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_n$ . Ядром этого отображения является нулевой вектор $mathbf{o}_V$ пространства {V} , поскольку только этот вектор имеет нулевой координатный столбец $mathsf{a!e}(mathbf{o}_V)=oin mathbb{R}^n$ . Образ преобразования совпадает со всем пространством $mathbb{R}^n$ , так как это преобразование сюръективно (любой столбец из $mathbb{R}^n$ является координатным столбцом некоторого вектора пространства {V} ).

3. Рассмотрим отображение $operatorname{pr}_{mathbf{e}}colon mathbb{E}to mathbb{R}$ , которое каждому вектору mathbf{v} n-мерного евклидова пространства ставит в соответствие алгебраическое значение $operatorname{pr}_{mathbf{e}}(mathbf{v})= langle mathbf{e},mathbf{v}rangle$ его проекции на направление, задаваемое единичным вектором . Ядром этого преобразования является ортогональное дополнение ${mathbf{e}}^{perp}$ — множество векторов, ортогональных . Образом является все множество действительных чисел mathbb{R} .

4. Рассмотрим отображение $mathcal{D}colon P_n(mathbb{R})to P_{n-1}(mathbb{R})$ , которое каждому многочлену степени не выше {n} ставит в соответствие его производную. Ядром этого отображения является множество $P_0(mathbb{R})$ многочленов нулевой степени, а образом — все пространство $P_{n-1}(mathbb{R})$ .

Свойства ядра и образа линейного отображения

1. Ядро любого линейного отображения mathcal{A}colon Vto W является подпространством: ${mathbf{o}_V}triangleleft ker mathcal{A} triangleleft V$ .

В соответствии с определением требуется доказать, что множество ker mathcal{A} является непустым и замкнутым относительно операций сложения векторов и умножения вектора на число. В самом деле, из однородности отображения следует, что

$mathcal{A}(mathbf{o}_V)= mathcal{A}(0cdotmathbf{v})= 0cdot mathcal{A}(mathbf{v})= mathbf{v}_W,$

т.е. нулевой вектор $mathbf{o}_V$ отображается в нулевой вектор $mathbf{o}_W$ . Следовательно, ядро любого линейного отображения не является пустым и содержит, по крайней мере, нулевой элемент: $mathbf{o}_Vin ker mathcal{A}$ . Покажем, что множество замкнуто по отношению к операциям сложения векторов и умножения вектора на число. Действительно:

$begin{gathered} left.{begin{matrix} mathbf{v}_1in ker mathcal{A}~ Rightarrow~ mathcal{A} (mathbf{v}_1)= mathbf{o}_W\ mathbf{v}_2in ker mathcal{A}Rightarrow mathcal{A} (mathbf{v}_2)= mathbf{o}_W end{matrix}}right} Rightarrow~ mathcal{A}(mathbf{v}_1+mathbf{v}_2)= mathcal{A} (mathbf{v}_1)+ mathcal{A}(mathbf{v}_2)= mathbf{o}_W~ Rightarrow~ mathbf{v}_1+ mathbf{v}_2in ker mathcal{A},;\[5pt] mathbf{v}in ker mathcal{A}~ Rightarrow~ mathcal{A}(mathbf{v})=mathbf{o}_W~ Rightarrow~ mathcal{A}(lambdacdot mathbf{v})= lambdacdotmathcal{A}(mathbf{v})= lambda cdot mathbf{o}_W= mathbf{o}_W~ Rightarrow~ lambdacdot mathbf{v}in ker mathcal{A},. end{gathered}$

Следовательно, множество ker mathcal{A} является линейным подпространством пространства {V} .

2. Образ любого линейного отображения mathcal{A}colon Vto W является подпространством: operatorname{im}mathcal{A}triangleleft W .

В самом деле, докажем, например, замкнутость множества operatorname{im} mathcal{A} по отношению к операции умножения вектора на число. Если mathbf{w}in operatorname{im}mathcal{A} , то существует вектор mathbf{v}in V такой, что mathbf{w}=mathcal{A} (mathbf{v}) . Тогда mathcal{A}(lambdacdot mathbf{v})= lambdacdot mathcal{A}(mathbf{v})= lambdacdot mathbf{w} , то есть lambdacdot mathbf{w}in operatorname{im}mathcal{A} .

Поскольку ядро и образ линейного отображения являются линейными подпространствами (свойства 1 и 2), можно говорить об их размерностях.

Дефектом линейного отображения называется размерность его ядра: d=dim ker mathcal{A} , а рангом линейного отображения — размерность его образа: operatorname{rg}mathcal{A}=r=dim operatorname{im}mathcal{A} .

3. Ранг линейного отображения равен рангу его матрицы (определенной относительно любых базисов).

В самом деле, если $mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_n$ любой базис пространства {V} , то $operatorname{im}mathcal{A}= operatorname{Lin}[ mathcal{A} (mathbf{e}_1),ldots,mathcal{A}(mathbf{e}_n)]$ . Поэтому максимальное число линейно независимых векторов системы $mathcal{A} (mathbf{e}_1),ldots,mathcal{A} (mathbf{e}_n)$ (ранг системы векторов) равно максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы {A} отображения, т.е. рангу матрицы: dim operatorname{im} mathcal{A}= operatorname{rg}A= operatorname{rg}mathcal{A} .

4. Линейное отображение mathcal{A}colon Vto W инъективно тогда и только тогда, когда $ker mathcal{A}={mathbf{o}_V}$ , другими словами, когда дефект отображения равен нулю: d=dim ker mathcal{A}=0 .

Действительно, образом нулевого вектора $mathbf{o}_v$ служит нулевой вектор $mathbf{o}_W$ . Поэтому, если отображение инъективно, то ядро содержит только нулевой вектор $mathbf{o}_v$ , иначе два разных вектора имели бы один и тот же образ $mathbf{o}_W$ . Обратно, при условии $ker mathcal{A}= {mathbf{o}_V}$ разные векторы $mathbf{v}_1ne mathbf{v}_2$ не могут иметь одинаковые образы $mathcal{A}(mathbf{v}_1)= mathcal{A}(mathbf{v}_2)$ , так как в этом случае из равенств $mathcal{A}(mathbf{v}_1)- mathcal{A}(mathbf{v}_2)= mathcal{A} (mathbf{v}_1-mathbf{v}_2)= mathbf{}_W$ , следует, что ненулевой вектор $(mathbf{v}_1-mathbf{v}_2)in ker mathcal{A}$ (приходим к противоречию).

5. Линейное отображение mathcal{A}colon Vto W сюръективно тогда и только тогда, когда operatorname{im}mathcal{A}=W , другими словами, когда ранг отображения равен размерности пространства образов: r=dim operatorname{im}mathcal{A}= dim{W} .

6. Линейное отображение mathcal{A}colon Vto W биективно (значит, обратимо) тогда и только тогда, когда $ker mathcal{A}={mathbf{o}_V}$ и operatorname{im}mathcal{A}=W одновременно.

Теорема (9.1) о размерностях ядра и образа. Сумма размерностей ядра и образа любого линейного отображения mathcal{A}colon Vto W равна размерности пространства прообразов:

dim ker mathcal{A}+ dim operatorname{im}mathcal{A}= dim{V},.

(9.3)

Действительно, пусть d=dim ker mathcal{A},~ dim{V}=n . Выберем в подпространстве kermathcal{A} triangleleft V базис $mathbf{e}_1,ldots, mathbf{e}_d$ и дополним его векторами $mathbf{e}_{d+1},ldots,mathbf{e}_n$ до базиса $mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_n$ всего пространства {V} . Покажем, что векторы $mathcal{A}(mathbf{e}_{d+1}),ldots,mathcal{A}(mathbf{e}_n)$ образуют базис подпространства operatorname{im}mathcal{A}triangleleft W .

Во-первых, $operatorname{im}mathcal{A}= operatorname{Lin}[mathcal{A} (mathbf{e}_{d+1}), ldots,mathcal{A}(mathbf{e}_n)]$ , так как образ любого вектора $mathbf{v}= v_1 mathbf{e}_1+ldots+v_d mathbf{e}_d+v_{d+1}mathbf{e}_{d+1}+ldots+ v_n mathbf{e}_n$ линейно выражается через векторы $mathcal{A}(mathbf{e}_{d+1}),ldots, mathcal{A}(mathbf{e}_n):$

$mathcal{A}(mathbf{v})= mathcal{A} Biggl( sum_{i=1}^{n} v_i mathbf{e}_iBiggr)= sum_{i=1}^{n}v_imathcal{A}(mathbf{e}_i)= sum_{i=1}^{d}v_i underbrace{mathcal{A} (mathbf{e}_i)}_{mathbf{o}_W}+ sum_{i=d+1}^{n} v_imathcal{A} (mathbf{e}_i)= sum_{i=d+1}^{n} v_imathcal{A}(mathbf{e}_i).$

Во-вторых, образующие $mathcal{A}(mathbf{e}_{d+1}), ldots, mathcal{A} (mathbf{e}_n)$ линейно независимы. Если их линейная комбинация равна нулевому вектору:

$mathbf{o}_W= sumlimits_{i=d+1}^{n} lambda_i mathcal{A} (mathbf{e}_i)= mathcal{A}!left(sum_{i=d+1}^{n}lambda_i mathbf{e}_iright)!,$

то вектор $textstyle{sumlimits_{i=d+1}^{n}lambda_i mathbf{e}_i}$ принадлежит ядру (его образ — нулевой вектор). Однако, по построению этот вектор принадлежит алгебраическому дополнению $(ker mathcal{A})^{+}$ . Учитывая, что $ker mathcal{A}cap (ker mathcal{A})^{+}={mathbf{o}_V}$ , заключаем: $textstyle{sumlimits_{i=d+1}^{n}lambda_i mathbf{e}_i}=mathbf{o}_V$ . Получили разложение нулевого вектора по линейно независимой системе $mathbf{e}_{d+1},ldots, mathbf{e}_n$ векторов, значит, все коэффициенты lambda_i=0 . Поэтому равенство $textstyle{sumlimits_{i=d+1}^{n}lambda_i mathcal{A}(mathbf{e}_i)= mathbf{o}_W}$ справедливо только для тривиальной линейной комбинации, т.е. система векторов $mathcal{A}(mathbf{e}_{d+1}),ldots, mathcal{A} (mathbf{e}_n)$ линейно независимая.

Таким образом, векторы $mathcal{A}(mathbf{e}_{d+1}),ldots, mathcal{A} (mathbf{e}_n)$ образуют базис подпространства $operatorname{im}mathcal{A}= operatorname{Lin} mathcal{A}(mathbf{e}_{d+1}),ldots, mathcal{A} (mathbf{e}_n)$ , а его размерность определяется количеством базисных векторов, т.е. dimoperatorname{im} mathcal{A}=n-d , что равносильно (9.3).

Следствие. Линейное отображение mathcal{A}colon Vto W биективно (значит, обратимо) тогда и только тогда, когда обратима его матрица (определенная относительно любых базисов).

Действительно, для обратимости преобразования mathcal{A}colon Vto W (см. свойство 6) его матрица (размеров mtimes n ) должна удовлетворять условиям (см. свойства 3,4,5):

operatorname{rg}A= operatorname{rg}mathcal{A}= dim operatorname{im}mathcal{A}= dim{W}=m,quad d=dim ker mathcal{A}=0.

Тогда по теореме 9.1 заключаем, что m=n-d=n , т.е. матрица — квадратная n-го порядка и невырожденная (operatorname{rg}A=n) , что и требовалось доказать.

Обратимые линейные отображения называются также невырожденными (имея в виду невырожденность их матрицы).

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Ядро бинарного отношения.

Свойства ядра:

Лекция 8. Отношения эквивалентности.

Классы эквивалентности.

Ядро линейного отображения[править | править код]

Теория матриц[править | править код]

Пример[править | править код]

Гомоморфизм групп[править | править код]

Гомоморфизм колец[править | править код]

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

Definition[edit]

Quotients[edit]

As a subset of the square[edit]

Algebraic structures[edit]

In topology[edit]

See also[edit]

References[edit]

Bibliography[edit]

Ядро и образ линейного отображения

Примеры ядер и образов линейных отображений

Свойства ядра и образа линейного отображения

Добавить комментарий Отменить ответ

Ядро бинарного отношения.

Свойства ядра:

Лекция 8. Отношения эквивалентности.

Классы эквивалентности.

Ядро линейного отображения[править | править код]

Теория матриц[править | править код]

Пример[править | править код]

Гомоморфизм групп[править | править код]

Гомоморфизм колец[править | править код]

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

Definition[edit]

Quotients[edit]

As a subset of the square[edit]

Algebraic structures[edit]

In topology[edit]

See also[edit]

References[edit]

Bibliography[edit]

Ядро и образ линейного отображения

Примеры ядер и образов линейных отображений

Свойства ядра и образа линейного отображения

Вам также может понравиться

Как найти в тексте обособленное согласованное определение

Как найти день рождения группы

Как найти телефон когда потерял видео

Добавить комментарий Отменить ответ