Как найти яркостную температуру

Как найти яркостную температуру

Яркостная температура — фотометрическая величина, характеризующая интенсивность излучения. Часто используется в радиоастрономии.

В диапазоне частот[править | править код]

По определению, яркостная температура T_{b} в диапазоне частот Delta nu  — это такая температура, которую имело бы абсолютно чёрное тело, обладающее такой же интенсивностью в данном диапазоне частот. Интенсивность излучения абсолютно чёрного тела задается формулой Планка:

I_{{nu }}={frac {2hnu ^{3}}{c^{2}}}{frac {1}{exp {{frac {hnu }{kT}}}-1}}, где

nu  — частота излучения,
h — постоянная Планка,
c — скорость света,
k — постоянная Больцмана.
Отсюда имеем:

T_{b}={frac {hnu }{k}}ln ^{{-1}}left(1+{frac {2hnu ^{3}}{I_{{nu }}c^{2}}}right)

Для случая низких частот hnu ll kT формула Планка сводится к формуле Рэлея-Джинса:

I_{{nu }}={frac {2nu ^{2}kT}{c^{2}}}

Тогда яркостная температура выражется:

T_{b}={frac {I_{{nu }}c^{2}}{2knu ^{2}}}

В диапазоне длин волн[править | править код]

Интенсивность излучения абсолютно чёрного тела в диапазоне длин волн задается формулой Планка для длин волн:

I_{{lambda }}={frac {2hc^{2}}{lambda ^{5}}}{frac {1}{e^{{{frac {hc}{kTlambda }}}}-1}}, где

Отсюда яркостная температура в диапазоне длин волн Delta lambda выражается формулой:

T_{b}={frac {hc}{klambda }}ln ^{{-1}}left(1+{frac {2hc^{2}}{I_{{lambda }}lambda ^{5}}}right)

Для длинноволнового излучения hc/lambda ll kT яркостная температура выражется:

T_{b}={frac {I_{{lambda }}lambda ^{4}}{2kc}}

Для излучения, близкого к монохроматическому, яркостную температуру можно выразить через энергетическую яркость I и длину когерентности L:

T_{b}={frac {pi Ilambda ^{2}L}{4kcln {2}}}

Нужно отметить, что яркостная температура не является температурой в привычном понимании. Она характеризует излучение, и в зависимости от механизма излучения может значительно отличаться от физической температуры излучающего тела (хотя построить устройство, которое будет нагреваться источником излучения с некоторой яркостной температурой до реальной температуры, равной яркостной, теоретически возможно[1]). У нетепловых источников яркостная температура может быть очень высокой. У пульсаров она достигает 10^{{26}}K[2]. Для излучения гелий-неонового лазера мощностью 60 мВт с длиной когерентности 20 см, сфокусированного в пятне диаметром 10 мкм, яркостная температура составит почти 14⋅109 К. Для чисто тепловых источников их яркостная температура совпадает с их физической температурой.

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Например, классическая модель абсолютно чёрного тела в виде замкнутой ёмкости с небольшим отверстием, которое закрыто светофильтром, пропускающим в обе стороны только очень узкую полосу излучения нужной частоты, и полностью отражающим все остальные частоты. Излучение источника должно быть сфокусировано на этом отверстии.
  2. ↑ Лекции по Общей астрофизике на www.astronet.ru. Дата обращения: 28 мая 2011. Архивировано 20 июня 2015 года.

См. также[править | править код]

  • Температура
  • Антенная температура
  • Шумовая температура антенны

Литература[править | править код]

  1. Каплан С. А. Элементарная радиоастрономия. — «Наука», 1966.
Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

Brightness temperature or radiance temperature is a measure of the intensity of electromagnetic energy coming from an source.[1] In particular, it is the temperature at which a black body would have to be in order to duplicate the observed intensity of a grey body object at a frequency nu .[2]
This concept is used in radio astronomy,[3] planetary science,[4] materials science and climatology.[5]

The brightness temperature provides “a more physically recognizable way to describe intensity.”[6]

When the electromagnetic radiation observed is thermal radiation emitted by an object simply by virtue of its temperature, then the actual temperature of the object will always be equal to or higher than the brightness temperature.[7] The actual temperature will be higher than the brightness temperature if the emissivity of the object is greater than 1.

For radiation emitted by a non-thermal source such as a pulsar, synchrotron, maser, or a laser, the brightness temperature may be far higher than the actual temperature of the source.[7] In this case, the brightness temperature is simply a measure of the intensity of the radiation as it would be measured at the origin of that radiation.

In some applications, the brightness temperature of a surface is determined by an optical measurement, for example using a pyrometer, with the intention of determining the real temperature. As detailed below, the real temperature of a surface can in some cases be calculated by dividing the brightness temperature by the emissivity of the surface. Since the emissivity is a value between 0 and 1, the real temperature will be greater than or equal to the brightness temperature. At high frequencies (short wavelengths) and low temperatures, the conversion must proceed through Planck’s law.

The brightness temperature is not a temperature as ordinarily understood. It characterizes radiation, and depending on the mechanism of radiation can differ considerably from the physical temperature of a radiating body (though it is theoretically possible to construct a device which will heat up by a source of radiation with some brightness temperature to the actual temperature equal to brightness temperature).[8]

Nonthermal sources can have very high brightness temperatures. In pulsars the brightness temperature can reach 1030 K.[9] For the radiation of a helium–neon laser with a power of 1 mW, a frequency spread Δf = 1 GHz, an output aperture of 1 mm2, and a beam dispersion half-angle of 0.56 mrad, the brightness temperature would be 1.5×1010 K.[10]

For a black body, Planck’s law gives:[8][11]

I_{nu }={frac {2hnu ^{{3}}}{c^{2}}}{frac {1}{e^{{{frac {hnu }{kT}}}}-1}}

where

I_{nu } (the Intensity or Brightness) is the amount of energy emitted per unit surface area per unit time per unit solid angle and in the frequency range between nu and nu +dnu ; T is the temperature of the black body; h is Planck’s constant; nu is frequency; c is the speed of light; and k is the Boltzmann constant.

For a grey body the spectral radiance is a portion of the black body radiance, determined by the emissivity epsilon .
That makes the reciprocal of the brightness temperature:

T_{b}^{{-1}}={frac {k}{hnu }},{text{ln}}left[1+{frac {e^{{{frac {hnu }{kT}}}}-1}{epsilon }}right]

At low frequency and high temperatures, when hnu ll kT, we can use the Rayleigh–Jeans law:[11]

I_{{nu }}={frac {2nu ^{2}kT}{c^{2}}}

so that the brightness temperature can be simply written as:

T_{b}=epsilon T,

In general, the brightness temperature is a function of nu , and only in the case of blackbody radiation it is the same at all frequencies. The brightness temperature can be used to calculate the spectral index of a body, in the case of non-thermal radiation.

Calculating by frequency[edit]

The brightness temperature of a source with known spectral radiance can be expressed as:[12]

T_{b}={frac {hnu }{k}}ln ^{{-1}}left(1+{frac {2hnu ^{3}}{I_{{nu }}c^{2}}}right)

When hnu ll kT we can use the Rayleigh–Jeans law:

T_{b}={frac {I_{{nu }}c^{2}}{2knu ^{2}}}

For narrowband radiation with very low relative spectral linewidth Delta nu ll nu and known radiance I we can calculate the brightness temperature as:

T_{b}={frac {Ic^{2}}{2knu ^{2}Delta nu }}

Calculating by wavelength[edit]

Spectral radiance of black-body radiation is expressed by wavelength as:

I_{{lambda }}={frac {2hc^{2}}{lambda ^{5}}}{frac {1}{e^{{{frac {hc}{kTlambda }}}}-1}}

So, the brightness temperature can be calculated as:

T_{b}={frac {hc}{klambda }}ln ^{{-1}}left(1+{frac {2hc^{2}}{I_{{lambda }}lambda ^{5}}}right)

For long-wave radiation hc/lambda ll kT the brightness temperature is:

T_{b}={frac {I_{{lambda }}lambda ^{4}}{2kc}}

For almost monochromatic radiation, the brightness temperature can be expressed by the radiance I and the coherence length L_{c}:

T_{b}={frac {pi Ilambda ^{2}L_{c}}{4kcln {2}}}

In oceanography[edit]

In oceanography, the microwave brightness temperature, as measured by satellites looking at the ocean surface, depends on salinity as well as on the temperature of the water.[13]

References[edit]

  1. ^ “Brightness Units”. Lewis Center for Educational Research. Retrieved 26 April 2023.
  2. ^ “Brightness Temperature”. Archived from the original on 2017-06-11. Retrieved 2015-09-29.
  3. ^ Keane, E.F. (2011). “The Transient Radio Sky” (PDF). Berlin Heidelberg: Springer-Verlag Theses. pp. 171–174. doi:10.1007/978-3-642-19627-0. Retrieved 26 April 2023.
  4. ^ Maris, M.; et al. (2020). “Revised planet brightness temperatures using the Planck/LFI 2018data release”. Astronomy &Astrophysics. Retrieved 26 April 2023.
  5. ^ “AMSU Brightness Temperature-NOAA CDR”. NOAA. Retrieved 26 April 2023.
  6. ^ “Emissivity, Energy Conservation, Brightness Temperature”. Satellite Meteorology. University of Wisconsin Madison. Retrieved 26 April 2023.
  7. ^ a b “brightness temperature”. Oxford Reference. Retrieved 26 April 2023.
  8. ^ a b Rybicki, George B., Lightman, Alan P., (2004) Radiative Processes in Astrophysics, ISBN 978-0-471-82759-7
  9. ^ Blandford, R.D. (15 Oct 1992). “Pulsars and Physics”. Philosophical Transactions: Physical Sciences and Engineering. 341 (1660): 177–192. Retrieved 26 April 2023.
  10. ^ “Brightness Temperature of a Laser—C.E. Mungan, Spring 2010” (PDF). United States Naval Academy. Retrieved 26 April 2023.
  11. ^ a b “Blackbody Radiation”. Archived from the original on 2018-03-07. Retrieved 2013-08-24.
  12. ^ Jean-Pierre Macquart. “Radiative Processes in Astrophysics” (PDF).[permanent dead link]
  13. ^ “Can you explain “brightness temperature”?” (PDF). NASA. Retrieved 26 April 2023.
Источник

Радиационная
температура
Тр
– это
температура абсолютно чёрного тела,
при которой его энергетическая светимость
R равна
энергетической светимости
Rm
данного тела в широком диапазоне длин
волн.

Если
же измерить мощность, излучаемую
некоторым телом с единицы поверхности
в достаточно
широком
интервале волн и ее величину
сопоставить
с энергетической светимостью
абсолютно
черного
тела, то
можно, используя формулу (11), вычислить
температуру этого тела, как

(17)

Определенная
таким способом температура Tp
будет достаточно точно соответствовать
истинной температуре T
при условии, что коэффициент
монохроматического поглощения поверхности
тела должен быть близок к единице. Для
реальных (нечерных) тел истинная
температура Т
оказывается
больше радиационной Тр.
 Например,
для серого тела закон Стефана-Больцмана
может быть записан в виде

Rm(T)
=
αT
σT4;

где αT
<
1.

Подставляя данное
выражение в формулу (17), получим

(18)

Из
(18) следует, что истинная температура
серого тела всегда выше радиационной,
т.е. Tp
<
T.

3.2. Цветовая температура.

Спектральная
плотность энергетической светимости
серых тел (или тел близких к ним по
свойствам) с точностью до постоянного
коэффициента (коэффициента монохроматического
поглощения) пропорциональна спектральной
плотности энергетической светимости
абсолютно черного тела. Следовательно,
распределение энергии в спектре серого
тела такое же, как и в спектре абсолютно
черного тела при той же температуре.

Для
определения температуры серого тела
достаточно измерить мощность I(λ,Т),
излучаемую единицей поверхности тела
в достаточно узком спектральном интервале
(пропорциональную r(λ,Т)),
для двух различных волн. Отношение
I(λ,Т)
для двух длин волн равно отношению
зависимостей f(λ,Т)
для
этих волн, вид которых дается формулой
(5):

(19)

Из
данного равенства можно математическим
путем получить температуру Т.
Полученная таким образом температура
называется цветовой. Цветовая температура
тела, определенная по формуле (19), будет
соответствовать истинной, если коэффициент
монохроматического поглощения не сильно
зависит от длины волны. В противном
случае понятие цветовой температуры
теряет смысл. Цветовая температура
серого тела совпадает с истинной
температурой и может быть найдена также
из закона смещения Вина.

Таким образом,

цветовая
температура
Тц
– это
температура абсолютно чёрного тела,
при которой относительные распределения
спектральной плотности
энергетической
светимости абсолютно чёрного тела и
рассматриваемого тела максимально
близки в видимой области спектра.

Обычно
для определения цветовой температуры
выбирают длины волн λ1=655
нм (красный
цвет), λ2=
470
нм
(зелено-голубой цвет).

3.3. Яркостная температура.

Яркостной
температурой Тя
некоторого
тела
называется
температура абсолютно
чёрного тела,
при которой его спектральная плотность
энергетической светимости
r(λ,T)
для какой либо определённой длины волны
равна спектральной плотности энергетической
светимости rТ(λ,Т)
данного
тела
для той же длины волны.

Так как для нечерного
тела спектральная плотность энергетической
светимости при определенной температуре
будет всегда ниже чем у абсолютно черного
тела, то истинная температура тела будет
всегда выше яркостной.

В
качестве яркостного пирометра широко
используется пирометр с исчезающей
нитью. Принцип определения температуры
основан на визуальном
сравнении
яркости раскаленной нити лампы пирометра
с яркостью изображения исследуемого
объекта. Равенство яркостей, наблюдаемое
через монохроматический светофильтр
(обычно измерения проводят на длине
волны λ=660
нм),
определяется по исчезновению изображения
нити пирометрической лампы на фоне
изображения раскаленного объекта. Накал
нити лампы пирометра регулируется
реостатом, а температура нити определяется
по градуировочному графику, или таблице.
Если температура нити высока, то для
ослабления потока излучения применяется
также и нейтральный светофильтр.

Пусть
мы в результате измерений получили
равенство яркостей нити пирометра и
исследуемого объекта и по графику
определили температуру нити пирометра
Т1.
Тогда, на основании формулы (3) можно
записать:

f
(λ,T1)
α1(λ,T1)
= f (λ ,T2)
α2(
λ, T2

)
(20)

где
α1(λ,T1)
и
α2(λ,T2)
коэффициенты монохроматического
поглощения материала нити пирометра и
исследуемого объекта соответственно;

T1
и
T2
–
температуры нити пирометра и объекта.

Как
видно из (20), равенство температур объекта
и нити пирометра будут наблюдаться
только тогда, когда будут, равны их
коэффициенты монохроматического
поглощения в наблюдаемой области спектра
α1(λ,T1)=α2(λ,T2).
Если
α1(λ,T1)
> α2(λ,T2),
мы получим заниженное значение температуры
объекта, при обратном соотношении –
завышенное значение температуры.

Источник

Добавить комментарий